Maths en vacances. problèmes de concours récents (tant pour la voie économique que pour la voie scientifique). C est pourquoi

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1 Mahéaques Mahs e vacaces Fraços Delaplace, Perre Grard Professeurs de ahéaques e classes préparaores écooques e coercales (ECS), lcée Nore-Dae du Gradchap (Versalles). Coe chaque aée ous pesos au éudas de preère aée qu souhae révser peda leurs vacaces. Cee aée ous proposos deu aes de révso : Tou d abord l algorhque lée au probablés pus ue révso du calcul algébrque e rgooérque do la praque fa souve défau à os élèves... F. D. - P. G. Preère pare Sulaos d epéreces aléaores das les épreuves de cocours O peu cosaer l porace de la sulao e PASCAL d epéreces aléaores das pluseurs problèes de cocours réces (a pour la voe écooque que pour la voe scefque). C es pourquo ous vous cosellos les eercces suvas pour vous eraîer à ce sle d épreuves. Quelques prcpes géérau ules : Quelques prcpes géérau ules : - Cos ou d abord u era du problèe d HEC Mah opo E : «Das le lagage PASCAL, la foco rado revoe, pour u argue de pe eger vérfa, u obre eer coprs ere e (cee foco es alsée au débu du corps prcpal du prograe par la procédure radoze)». Cee précso es ule pusque lade foco rado es pas eplcee au prograe offcel. Elle rese cepeda quase dspesable pour les eercces de sulao. Noos qu l ese ue aure foco «rado» das le PASCAL, cee fos-c sas argue, e qu red u réel au hasard das l ervalle [,[. Grâce à cee derère foco, das les eercces suvas, o ulsera ue foco B aa pour paraère u réel p (coprs ere e ) qu sule ue varable de Beroull de paraère p, c es à dre que proba(b(p) ) p e proba(b(p) ) -p. fuco B(p:real):eger; f (rado<p) he B: else B:; Nous doos c eplcee la descrpo de cee foco as ce es qu e deuèe aée que vore professeur pourra eplquer, à l ade du cours sur les varables aléaores à desé, pourquo cee foco B su ue lo de Beroull de paraère p. - Coe peu-o eser, par sulao, l espérace d ue varable aléaore X? Acpos u peu sur le prograe de secode aée : So X ue varable aléaore sur u espace probablsé aa ue espérace e ue varace e so ( X ) ue sue de varables aléaores deques e dépedaes suva oues la êe lo que X. N O oe leur espérace coue c es à dre l espérace de X. O a alors le héorèe suva (déoré plus lo): N *, E ( T ), l E X V T + + e ε>, l pt ( EX > ε) * N, o pose T X. Cec prouve doc que, «lorsque ed vers +» la varable T es quas cosae e égale à E(X) e que pour ou réel ε > e pour assez grad, T a ue fore probablé d êre ue valeur approchée à ε près de E(X). Praquee, o calculera réalsaos X,..., ω X ω de la varable X (par ue boucle for : o, éa u «grad» eer aurel) e o esera E(X) par leur oee arhéque : X... ω + + X ω. Par eeple, s la varable X es sulée par ue foco X( ) de PASCAL : Nuéro 8 Ma

2 fuco Esperace : real ; var S : real ; {soe parelle pour le calcul de la oee) : eger ; ed ; S : ; for : o do S : S+X( ) ; Esperace : S/ ; - Coe peu-o eser, par sulao, la probablé d u évéee A? So A u évéee d u espace probablsé Ω. Noos X la varable aléaore qu vau lorsque A es A réalsé e das le cas corare (c es la foco caracérsque de A!). X su ue lo de Beroull de A paraère p p( XA ) p( A) doc so espérace es EX ( A ) pa. Il suff doc d eser E( X A ) par la éhode précédee pour eser pa, par eeple s l évéee A es sulé par ue codo A : fuco sul : real ; var S, : eger ; proba_de_a : real ; S : ; for : o do f (A es réalsé) he S : S+ ; proba_de_a : S/ ; ed ; Preuve du héorèe : Par léaré de l espérace : E T E X E X Ce qu sgfe que T e X o la êe espérace. De plus, s l o oe σ leur varace coue, pour ou, Var ( X ) E ( X ) ( E ( X )), doc E ( X ) Var X + E X σ + ; les varables X éa dépedaes, o peu écrre : Var ( T ) Var X Var ( X ) D où l o dédu : σ l Var ( T ) l + + σ σ σ e par l égalé de Beaé-Tchébchev : * N, p T E( T ) > ε E( X) D où le résula lorsqu o fa edre vers +. σ VT ( ) ε Eercce : O réalse successvee des épreuves à deu ssues (succès ou échec) deques e dépedaes elles que la probablé d ober u succès lors d ue epérece es u réel p apparea à ] ;[. O code les succès par des e les échecs par des. O obe as des sues de e de, par eeple le résula d ue epérece pourra êre : O appelle X la varable aléaore égale à la logueur de la preère sére de résulas deques (c deu ) e X la varable aléaore égale à la logueur de la deuèe sére de résulas deques (c cq ) ; Das ce eeple o a doc X e X 5. ) Doer la lo de la varable aléaore X. ) Doer la lo du couple (X, X). E dédure la lo de X as que so espérace. Que cosae--o? ) Idquez ce que sule la procédure suvae (ulsa la foco B décre das les prcpes géérau) e dquez ce que représee le coeu de la varable L après l eécuo de cee procédure. procedure eperece(var L:eger); var,,rage : eger; :B(q); repea rage:b(q); ul (rage<>); L:; :rage; repea L:L+; rage:b(q); ul (rage <> ); ) O eécue le prograe suva (ulsa la procédure précédee), que s aed-o à ce qu l affche? progra e; {codage : Ple, Face} cos N_essa ; q.; var soelog,log, : eger; Nuéro 8 Ma

3 radoze; soelog:; for : o N_essa do eperece(log); soelog:soelog+log; wrel(soelog/n_essa); ed. Soluo : : ) Noos, pour ou eer aurel o ul, P l évéee «avor PILE au èe lacer» e F l évéee «avor FACE au èe lacer» * X(Ω) N e cope eu de la forule des probablés oales applquée au ssèe cople * d évéee {P,F}, N, p( X ) p( X e P) + p( X e F), c es à dre : * N, px ( ) pp (... PF ) + pf (... FP ) p ( p) + ( p) p + + ) O a be sûr X(Ω) N * e de la êe faço : l N N * * (, ), p( X e X l) pp (... PF +... F+ lp ++ l ) + pf (... FP +... P+ lf ++ l ), c es à dre : (, l) N N, p ( X e X l) p ( p) + ( p) p * * + l + l O e dédu la lo argale par la forule de vore cours : + * l N p X l p X X l, ( ) ( e ) + + p ( p) l ( p) + + p l c es à dre : + + l N *, ( p X l ) ( p ) l p + + p l ( p) + e pusque p e -p apparee ous les deu à ] ;[ : ( ) p ( p) px l p p + O rappelle que la sére de ere gééra ( ) p p l l coverge s e seulee s < e qu alors sa soe es l l, doc les séres de eres géérau l( p) e lp coverge pusque p e -p apparee ous les deu à ] ;[doc X a ue espérace e p E(X ) p lp X l l p + lp l l l p l p l p p ( p) p + + p p p ( p) c es à dre : E(X ) ) la boucle : :B(q); repea rage:b(q); ul (rage<>); soce le résula du preer rage das (ple e face ) e a que les rages suvas so deques au preer, o effecue de ouveau rages. La boucle : L:; :rage; repea L:L+; rage:b(q); ul (rage <> ); soce le ouveau rage (forcée dsc de ) das e a que ce rage es deque à o procède à u ouveau rage e o augee L de. A la f de cee boucle, L coe doc la logueur de la deuèe sére de ple ou face, c es à dre X. As la procédure «Eperece» a pour effe de socer das la varable L la valeur de X. Noer au passage que le paraère L es be passé «par varable». ) La boucle : for : o N_essa do eperece(log); soelog:soelog+log; a pour effe de réalser epéreces du pe précéde où o l o oalse les résulas des valeurs de X obeues ; la lge : «wrel(soelog/n_essa);» X ( ω ) X ( ω ) c es à dre, d après les prcpes géérau c-dessus, ue esao de E(X) qu es d alleurs eacee égale à ). affche A la f de l eécuo du prograe, o s aed doc à ce qu ue valeur uérque proche de so affchée. Eercce : (d après HEC Mah opo E ) éa u eer aurel supéreur ou égal à, o place das u sac eos uéroés de à e o les re au hasard u à u du sac sas rese. O oe (a,.,a) les uéros des eos rés das l ordre de leur apparo. O obe as à chaque epérece ue peruao de ;. O suppose qu o a aua de chaces d ober elle peruao pluô que elle aure, doc la probablé d ober ue peruao doée es!. O oe L la logueur de la preère sous-sue crossae, L la logueur Nuéro 8 Ma

4 de la secode sous-sue crossae e T le obre de sous-sues crossae das la peruao (a,.,a) ; Par eeple, das le cas où 8, s o a obeu la peruao (5,,,,,,8,7) alors L à cause de la preère sous-sue crossae (5,), L à cause de la secode sous-sue crossae () e les sous-sues crossaes so respecvee (5,), (), (,,,8) e (7) : l e a doc e par coséque T. ) Déerer la lo de L as que so espérace e la le de cee espérace lorsque ed vers +. ) Das le lagage PASCAL o peu auss ulser la foco «rado» avec u paraère eer srcee posf, as lorsque q es u eer aurel o ul, rado(q) es u eer chos au hasard par l ordaeur suva ue lo ufore sur {,,q-}. Das u prograe écr e PASCAL, fgure - ue cosae doée, - la déclarao pe ableau arra[..] of eger - la procédure : procedure aleaore(var A : ableau); var au,, alea : eger; for : o do A[]:; for : dowo do alea:rado()+; au:a[alea]; A[alea]:A[]; A[]:au; a) Eplquer pourquo cee procédure pere de suler l epérece aléaore défe au débu de l eercce. b) Ecrre ue foco d eêe fuco T(A : ableau) : eger qu revoe le obre de sous-sues crossaes du ableau A correspoda à ue peruao de {,,}. c) Copléer la foco suvae pour qu elle revoe la logueur de la preère soussue crossae du ableau A : fuco L(A : ableau):eger; var : eger; :... ; whle (<-) ad... do :+; L:...; d) Copléer la foco suvae pour qu elle revoe la logueur de la secode sous-sue crossae du ableau A : fuco L(A : ableau):eger; var,log : eger; :...;{se servr de la foco L!) whle... ad... do...; L:...; e) copléer le prograe prcpal suva af qu l affche ue esao de E(T) e de E(L). var Tab : ableau;,s,sp : eger; radoze; S:;SP:; for : o do aleaore(tab); S:...;SP:...; wrel(... ;...); ed. Soluo : : ) Noos que L(Ω){,,} e que pour ou de {,,}, l évéee [ ] «les preers uéros so das l ordre crossa», or par les L es l évéee A possblés de résulas équprobables pour ( a,..., a ) l a eacee [ ] pl C A! C -lses srcee crossaes, as ; e parculer p[ L ] p[ L ] e pour ou de {,,-},! p[ L ] p[ L ] p[ L + ] ;! ( + )! D où la lo de L. De plus EL ( ) pl [ ] + +! ( + )!! ( )! ( + )!! c es à dre : ( + ) EL ( ) ( )! ( + )!! ( )!! ( + )!! so e splfa : EL ( ) e doc, lorsque ed vers +, E(L) ed vers e-.! ) a) Das la procédure «aleaore» au dépar, le ableau A es repl avec les obres,,, das ce ordre pus chaque case de A[] à A[] es échagée avec ue case chose au hasard (éveuellee Nuéro 8 Ma

5 elle-êe ). As, o réalse be ue peruao de {,.., }. La preuve qu o a, par ce procédé, aua de chace d ober elle peruao pluô que elle aure deadera u raval rès ceraee hors de la porée des élèves de prépas! b) La soluo suvae, reposa sur le fa que le obre de sous-sues crossaes d u ableau A es a a + qu e so pas das l ordre crossa, augeé de. E effe, a, égal au obre de couples es ouours le débu de la preère sous-sue crossae (cee sous-sue «éa éveuellee rédue à (a) ), pour qu l a ue secode sous-sue crossae, l fau qu l ese el que a > a+, e as de sue. Par eeple, s e s A[ 5], les sous-sues crossaes so, (), ( ) e (5) doc T e les couples successfs décrossas so, e ( 5) qu arque ous la f e le débu de deu sues crossaes successves. Il e a be e + T. D où : fuco T(A:ableau) : eger; var C, : eger; C:; for : o - do f (A[]>A[+]) he C:C+; T:C+; c) fuco L(A : ableau):eger; var : eger; :; {pus, o parcour la sue a qu elle es crossae} whle (<-) ad (A[]<A[+]) do :+; L:;{L es le derer dce ae} d) fuco L(A : ableau):eger; var,log : eger; {c es u peu la êe foco que L, sauf qu o déarre le copage use après la preère sous-sue crossae!} :L(A)+; whle (<-) ad (A[]<A[+]) do :+; L:-L(A); e)ic o va applquer ce qu a éé vu das les prcpes géérau e chercha la oee de valeurs de T e la oee de valeurs de L. (Le chffre ous assure qu o a fa u «grad obre» d essas as e ous pere pas de déerer la précso de l esao obeue!) radoze; S:;SP:; for : o do aleaore(tab); S:S+T(Tab);SP:SP+L(Tab) ; wrel(s/,' ',SP/); ed. Eercce : (d après Ecrcoe S) So u eer posf ou ul, a u eer par supéreur ou égal à e p u réel el que < p <. U oueur effecue ue successo de lacers d'ue pèce qu fa ple avec la probablé p. O oe F la varable aléaore égale à la forue du oueur à l'ssue du èe lacer sacha qu au dépar F a. Pour ou eer aurel, ava le lacer +, le oueur se ue pare X, eère, de sa forue sur ple e l'aure pare, F - X, sur face. O suppose que, pour ou eer aurel, la lo codoelle de la varable X sacha {F } es ue lo boale de paraères e r, r éa u réel de ],[. S le lacer + fa apparaîre ple, sa forue deve F+ X, s l fa apparaîre face, sa forue deve F+ (F - X). O cosdère le prograe suva das lequel o ulse la foco B décre das les prcpes géérau : progra sulao; var a,,,x,f : eger; r,p : real; fuco se(:eger; s:real) : eger;... {prograe prcpal} radoze;readl();readl(p);readl(r);readl(a);f:a; for : o do X:se(F,r); f B(p) he ed. La foco "se" es ue foco qu sule ue lo boale de paraères e s. Elle do doc predre, à chaque appel, ue valeur aléaore coprse au ses large ere e, la probablé qu'elle pree ue valeur doée éa celle foure par lo boale de paraères e s. ) Rédger les lges aquaes (déclaraos e srucos) das la défo de la foco "se". Nuéro 8 Ma

6 ) Rédger les srucos aquaes du corps prcpal du prograe de elle sore que celu-c calcule e affche les forues successves F,..., F du oueur, les paraères a, r, p, éa fours par l'ulsaeur. Soluo : : progra e; var a,,,x,f : eger; r,p : real; fuco se(:eger;s:real):eger; {sulao d'ue varable aléaore suva ue lo B(,s) à l'ade de epéreces de Beroull de paraère s} var,soe : eger; Soe:; for : o do f (B(s)) he Soe:Soe+; {O copablse les succès c es à dre les sur les epéreces ; oos qu o aura pu replacer cee lge par :Soe : Soe + B(s)} se:soe; {prograe prcpal} radoze; readl();readl(p);readl(r);readl(a); F:a; for : o do X:se(F,r); f B(p) he F:*X else F:*(F-X); wrel(f); ed. Eercce : (d après HEC Mahs 99) So u eer supéreur ou égal à. O cosdère ue ure coea des boules de couleurs C,C e C. Les boules de couleur C so e proporo p elle que p p e p. O effecue rages successfs d'ue boule avec rese. Pour ou de {,,},o oe X la varable aléaore égale au obre de boules de couleur C obeues à l'ssue des rages. O suppose avor déf das u prograe Pascal le Tpe Tableau Arra[..] of eger ; a) Ecrre, à l ade de la foco rado, ue procédure «Trage(var C : ableau)» perea de suler le rage avec rese de boules de couleur C ou C ou C e proporo,, respecvee. L'élée C[] vau, ou e représee la couleur de la èe boule rée (C, C ou C). b) Ecrre ue foco «Dfferece» de paraère C qu reoure la valeur de X X. c) Ulser la foco précédee pour évaluer l espérace de X X ; que s aed-o à ober coe résula? Soluo : : a) progra e; pe ableau Arra[..] of eger; procedure Trage (var C : ableau); var,u : eger; for : o do u:rado(); {bre au hasard ere e } f (u ) he C[]: {doc sur / des cas} else f (u ) he C[]: {doc sur / des cas} else C[]:; {doc sur / des cas} {as es-o sûr que C[] vau avec ue probablé, ue probablé e avec ue probablé }. b) fuco dfferece (var C : ableau):eger; var dff, : eger; Trage(C);{o effecue u rage aléaore à l ade de la procédure précédee, lequel es codfé e socé das le ableau C} dff:; Nuéro 8 Ma

7 for : o do f (C[]) he dff:dff+; {X augee de das ce cas} f (C[]) he dff:dff-; {X augee de das ce cas} dfferece:dff; {c es doc be X X} {prograe prcpal} var Couleur : ableau; S, : eger; progra e5; Cos obre_de_lacers ; var S :eger ; procedure EP( : eger); var,x : eger ; S:; for : o do X:rado(); f X > 9 he S:S+; {O réalse ue esao de l espérace de X X e réalsa rages de boules selo les prcpes géérau éocés plus hau}. radoze; S:; for : o do S:S+dfferece(Couleur); wrel('esao de E(X-X) : ',S/); ed. c) O s aed à ce que le prograe affche ue valeur proche de : e effe, pour ou apparea à {,, }, X le obre de succès sur epéreces de Beroull deques e dépedaes (succès ue boule de couleur C es obeue) elles que la probablé d ober u succès lors d ue epérece es p(la couleur de la boule es C). Doc X e X suve oues les deu la êe lo boale B(,/). Doc X e X o ue espérace e E(X X) E(X) E(X). Eercce 5: (d après HEC Mahs Eco e) O réalse ue sue de lacers dépedas d ue pèce de oae équlbrée. Pour ou eer aurel o ul, o appelle S le obre de fos où ple a éé obeu sur lacers. ) Doer la lo, l espérace e la varace de S. ) Déorer que, pour ou réel r vérfa < r < ½, S l p + r ) Das le lagage PASCAL o peu auss ulser la foco «rado» avec u paraère eer srcee posf, as lorsque q es u eer aurel o ul, rado(q) es u eer chos au hasard par l ordaeur suva ue lo ufore sur {,,q }. O cosdère le prograe suva :. Eercce 5 Soluo : {prograe prcpal} Var,U, : eger; radoze; :obre_de_lacers; U:; for : o do EP(); f Abs(S/-.5) > ep(-.*l()) he U:U+; wrel('p ',U/); ed. a) Que fa la procédure EP de ce prograe? b) Quel obre eer es copablsé das la varable U à la f de l eécuo du prograe? c) De quel obre la valeur de P foure pae l eécuo du prograe es-elle ue esao? d) A quo peu-o s aedre pour la valeur de P? ES VS. Soluo : ) O a c le coee classque de epéreces de Beroull deques e dépedaes pour lesquelles le succès représee «ple» qu es obeu avec ue probablé ½, S es le obre de succès obeus lors des epéreces par coséque, S su ue lo boale de paraères e ½, so espérace e sa varace so doc : e V( X) >, or ε ) D après l égalé de Beaé-Tchébcheff, la varable aléaore S X es ue varable aléa- ore aa ue espérace e ue varace alors ε, p( X E( X) ε) Nuéro 8 Ma

8 S E( X) E E( S ) e S V( X) V V( S ). e e prea ε, o a doc S r doc S p p e pusque r r r r par hpohèse < r < ½, o a doc r >, doc doc S l p + r l + r e a). Das la procedure EP, X vau rado(), X su doc ue lo ufore sur {,,99} e par coséque : px ( > 9) px ( ) 5. la lge : La lge X rado() sule doc 5 le lacer d ue pèce e covea que (X > 9) radu l obeo de «ple» alors que «X 9» p Ple p( X > 9). «f X > 9 he radu l obeo de «face» e o be : S:S+» augee doc S de s o a eu Ple e augee pas S s o a eu Face., S esure doc be le obre de «Ples» obeus lors de lacers. Cec prouve doc que l eécuo de la procédure EP() a pour effe de ere das la varable globale S la valeur de S pour u essa de lacers d ue pèce équlbrée. b). U es alsé à e es augeé de à chaque fos que l évéee doc : S, es réalsé, U es le obre de fos où, sur epéreces, l évéee S, a éé réalsé. c) A la f de so eécuo, le prograe affche «P» suv de la valeur de U/, c es à dre la fréquece de réalsao de l évéee S,. Coe o l a vu das les prcpes gé- érau plus hau das ce arcle, l s ag d ue esao de p S, d) Mas pusque c es grad ( vau ), o s aed à ce que cee probablé so proche de la le de cee probablé lorsque ed vers +, c es à dre.. Eercce : la lo Hpergéoérque O cosdère le prograe suva (l sruco «rado(n)» a éé eplquée à l eercce précéde). progra e ; fuco T(N,,a:eger):eger; var Pogee : arra[..] of eger; S,, uero : eger; for : o N do Pogee[]:; for : o do repea uero :+rado(n); {uéro es doc u obre prs au hasard ere e N} ul (Pogee[uero]); Pogee[uero]:; S:; for : o a do f (Pogee[]) he S:S+; T:S; {Prograe prcpal} cos _essas ; var P : real; N,,, a, : eger; U : arra[..] of eger; Beg for : o do U[]:; radoze; N:;:;a:; for : o _essas do :T(N,,a); U[]:U[]+; for : o N do wrel(u[]/_essas); ed. ) O suppose que N, e a e que, lors d u calcul de T(N,, a), rado(n) a doé successvee les valeurs 7,,,,. Idquer le coeu de la varable «pogee» à la f de ce calcul de T(N,, a) as que la valeur de T(N,, a) das ce cas. Reveos au cas gééral : Nuéro 8 Ma

9 ) La foco T sule ue varable aléaore ; quelle es la lo de cee varable aléaore (appelée ecore T). ) Lorsqu o eécue ce prograe, qu affche--l a la f? ) Quelles srucos faudra-l aouer au prograe pour qu l affche ue esao de l espérace de T? Soluo : : ) Au dépar le ableau pogee es alsé à : vare de à e lorsque uero e pogee[8] doc pogee[8] passe à lorsque uero + e pogee[] doc pogee[] passe à lorsque uero + e pogee[] doc pogee[] passe à lorsque uero + e pogee[] doc l a rerage : uero + 7 e pogee[7] doc pogee[7] passe à falee le ableau pogee es deveu : ) Das la preère boucle T alse le ableau pogee à pus, das ue secode boucle T e à cases dsces de ce ableau (s la case es déà à, T e re au hasard ue aure usqu à ce qu elle so dfféree de celles précédee choses). Ef, das la boucle : S:; for : o a do f (Pogee[]) he S:S+; T:S; La varable S cope le obre de cases par les a preères qu coee. Falee T vau S. As T(N,, a) es égale au obre de cases du ableau par les a preères qu o éé ses à. Résuos : sur N cases, o e chos dsces e T es égal au obre de cases choses do les uéros so ere e a. D après le cours, o peu coclure que : T su ue lo hpergéoérque de paraères N, e a. ) Das le prograe prcpal, N, e a, U es u ableau de cases alsées à e o calcule résulas de T : T(ω),, T(ω), pred successvee ces valeurs, doc appare à l eseble T(Ω) qu es lu-êe égal à {,,} pus que T su ue lo H(N,, a), doc les valeurs prses par so coprses ere e e : U[] coe le obre de fos où, sur essas, T a doé, U[] coe le obre de fos où, sur essas, T a doé, U[] coe le obre de fos où, sur essas, T a doé, U[] coe le obre de fos où, sur essas, T a doé e ef U[] coe le obre de fos où, sur essas, T a doé, e pour ou coprs ere e, U[]/ coe la fréquece des cas où o a eu T c es à dre ue esao de p(t ) coe o l a vu das les prcpes géérau (vor plus hau das ce arcle : «Coe peu-o eser, par sulao, la probablé d u évéee A?»). Be sûr, dès que dépasse, cee esao es ulle. Cocluso : à la f de so eécuo, le prograe affche des esaos de p(t ) pour vara de à. ) Coe o a vu das les prcpes géérau, o esera l espérace de T, e calcula T( ω ) T( ω ).Ce qu ous aèe à odfer le prograe prcpal coe su : var P,soe : real; N,,, a, : eger; U : arra[..] of eger; Beg for : o do U[]:; radoze; N:;:;a:;soe: ; for : o _essas do :T(N,,a); U[]:U[]+; soe :soe + ;{o aoue T(ω)à la soe} for : o N do wrel(u[]/_essas); wrel( o ese E(T) par :,soe/) ; ed. Eercce 7 7: O rerouve le coee probablse suva das quelques problèes de cocours (par eeple Edhec 97 opo S ou ecore ESC 97 ah opo E e ) : O dspose de deu ures U e V. Ialee, l ure U es vde e l ure V coe N boules uéroées de à N. O effecue ue sue d épreuves, chacue cossa à chosr au hasard u obre coprs ere e N, pus à rasférer la boule pora ce uéro de l ure das laquelle elle es vers l aure ure. O cosdère alors le débu de prograe suva : progra e7 ; cos N ; pe ure arra[..n] of eger ; {u ableau W de pe «ure» coe N cases reples avec des ou des, odélsa as la présece de la boule uéro das l ure W par W[] ou au corare so absece par W[].} var U, V : ure ; fuco cope(w : ure) :eger ; procedure Eperece ; Nuéro 8 Ma

10 ) Ecrre la foco cope qu pred e argue l ure W e red le obre de boules présees das ce ableau. ) Ecrre la procédure Eperece (sas argue) qu chos u obre eer h au hasard ere e N e qu échage d ure la boule uéro h. ) désga u eer aurel féreur ou égal à N, écrre ue foco : fuco X( :eger) : eger ulsa la foco e la procédure précédee af qu elle sule la varable aléaore X égale au obre d épreuves qu l fau effecuer pour que l ure U a pour la preère fos boules (Noer que X es alors la varables cerae égale à e que X es la varable cerae égale à ). ) Ecrre u prograe ulsa ou ce qu précède e qu affche ue esao du obre oe d epéreces qu l fau effecuer pour que, pour la preère fos, l ure V so vde. 5 ) Eude héorque du obre oe d epéreces qu l fau effecuer pour que, pour la preère fos, l ure V so vde (c es à dre E(XN)). a) So Z ue varable aléaore à valeur das N défe sur u espace probablsé Ω e adea ue espérace. O cosdère u évéee A el que pa e pa. Déorer que les varables aléaore «Z sacha A» e «Z sacha A» o chacue ue espérace e que E( Z) p( A). E( Z A) + p( A). E( Z A). b) Pour ou eer coprs ere e N, o pose N X+ X. N es doc le obre d épreuve use écessare pour que, l ure U coea boules, elle coee pour la preère fos + boules. Déorer que N a ue espérace (oée µ ). c) O cosdère, s es u eer coprs ere e N, l évéee : A «ere le oe où U a eu pour la preère fos boules e le oe où U a eu pour la preère fos + boules, l a eu ue seule épreuve» Déorer que la varable aléaore «N sacha A» es égale à + N- + N. E dédure que N + µ µ. E dédure ue foco «esperace) aa pour argue u eer (supposé N coprs ere e N) reda E(X) d) E dédure ue foco «esperace) aa pour argue u eer (supposé coprs ere e N) reda E(X) ) O se place das le cas parculer où N ; Pour ou eer aurel o ul o oe Y la varable aléaore égale au obre de boules coeues das U à l ssue de la èe épreuve. a) Déorer que pour ou eer aurel o ul o a : Pour ou eer de {,, 5} : 7 + py py + py + py + py + e ( 5) py + py + + b) E dédure que pour ou eer aurel o ul : E( Y ) E( Y ) E( Y ) e foco de as que sa le lorsque ed vers +. ; e dédure 7 ) Ecrre e PASCAL ue foco Y( : eger) de pe eger qu sule la varable aléaore Y. Soluo soluo : : ) fuco cope(w : ure) :eger ; var,s : eger ; S : ; for : o N do f W[] he S :S+ ; {o parcour les cases de l ure W e s W[], cela sgfe que la boule es das l ure doc o augee le copeur de } cope : S ; ed ; )procedure Eperece ; var h : eger ; h :+rado(n) ; {rado(n) es u obre au hasard ere e N doc h es be u obre au hasard ere e N} f U[h] he {s la boule h es das l ure U alors o la e das V} U[h] : ; V[h] : ; ed else {so, elle das V doc o l elève de V e o la e das U} U[h] : ; V[h] : ; ed ; ed ; Nuéro 8 Ma

11 )fuco X(:eger):eger; var : eger; :; whle (cope(u)<>) do {a que U a pas ecore eu boules} X:; Eperece; {o réalse ue épreuve} :+; { cope as le obre d epéreces usqu à ce que U a boules} ) L ure V sera vde au bou de XN épreuves d où le prograe prcpal ulsa ce qu précède e esa so espérace par la éhode eplquée das les prcpes géérau. var, : eger; soe : real; radoze;soe:; for : o do {o réalse les calculs de X(ω),, X(ω)} {alsao des deu ures} for : o N do U[]:;V[]:; soe:soe + X(N); {o aoue X(ω) à Soe} wrel(soe/); {l s ag be d ue esao de E(XN) par ( ) ( ) } ed. X ω X ω 5 a) Z( Ω ), pz ( ) pz ( A ) pa + pz ( A ) pa doc pz ( ApA ) pz ( ) doc pz. ( A ) pz. ( ) pa Cosdéros la sére de ere gééral u pz. ( A ) ( Z ( Ω )). Pour ou o a : u pz. ( ) or la sére de ere gééral pz. ( ) coverge pusque, par hpohèse, E(Z) ese. D après le crère de coparaso des séres à eres posfs, o peu doc coclure pa que la sére de ere gééral u pz. ( A ) ( Z ( Ω)) coverge e que, par coséque, EZA ese. O orera de êe que EZA ese. De plus, EZ px. Z ( Ω). p( Z A) p( A) + p( Z A) p( A) c es à dre, pusque oues les séres e présece so covergees : Z ( Ω) E(Z) pa pz. ( A ) + pa pz. ( A ) Z ( Ω) Z ( Ω) d où falee : EZ paeza. + paeza. 5 b) N es la dfférece de deu varables aléaores aa oues les deu des espéraces, elle a doc elle-êe ue espérace. 5 c) Dre que l évéee A es réalsé c es dre que lors de l epérece qu a suv le oe où U a eu pour la preère fos boules, U a pas récupéré ue boule, au corare elle e a perdu ue, U e coea doc que boules, e V e coea N +. Pour qu alors U se rerouve avec + boules (pour la preère fos) l fau X + X épreuves. Or X + X ( X + X ) + ( X X ) N + N. Auree d, lorsque A es réalsé, pour que U se rerouve avec + boules, l fau : epérece correspoda à la pere d ue boule suve de X + X N + N épreuves pour que U a de ouveau + boules. Ce qu prouve falee que : D aure par, s N A + N + N. A es réalsé, alors le obre d épreuves uses écessares pour que U passe d u coeu de boules à u coeu de + es, doc N ; As N A. Ulsos alors le a) e prea pour Z la varable aléaore N. O sa que cee varable aléaore a ue espérace (vor b)) qu es oée µ e que pa ( ) e, o peu doc applquer le a) e affrer que les varables N A e N A o des espéraces e que EN ( ) pa ( ). EN ( A) + pa ( ). EN ( A), c es à dre : µ pa ( ). + pa ( ). E( + N + N ) e par léaré de l espérace : ( ) µ pa ( ). + pa ( ). + µ + µ. D aure par, A s obe lorsque U coea boules (e doc V e coea N ) o re u uéro au hasard par ceu qu se rouve das l ure V, o a doc N chaces sur N pour que cela se produse. As p( A ) N les égalés successves :. D où N Nuéro 8 Ma

12 N N µ +. ( + µ + µ ) N N N N µ.( µ ) N µ N N N N N.( ) N + + µ. µ N N N N. µ N N +. ( + µ ) N N N µ.( ) N µ N+ µ + + doc µ N 5 d) So u eer supposé coprs ere e N ; O a, pusque X, X ( X + X ) N doc EX ( ) µ. Avec µ EN ( ) EX ( ) EX ( ). D ou la foco suvae qu calcule E(X) : fuco esperace(:eger):real; var sopar,mu : real; : eger; MU:; {alsé à µ sopar:; for : o (-) do MU:(N+*MU)/(N-); {MU coe doc µ } sopar:sopar + MU; {O aoue µ à sopar} esperace:sopar; Y ( Y + e o a ré au sor le de la boule de U). Ces deu évéees éa a) dépedas, cela se radu par De êe s appare à {,,5}, ( Y ) py+ py es la réuo des deu évéees copables : + ( Y e o a ré au sor ue des -(-) boules de V) e ( Y + e o a ré au sor ue des + boules de U) Par dépedace, py ( e o a ré au sor ue des -(-) boules de V) -(-) ( ) de êe : py ( e o a ré au sor ue des + boules de U) + py D où py ( ) py ( ) + py ( + ) + O prouve de êe que ( 5) py + py. b) O obe e parculer, lorsque vare de à : py + ( + ) ( ) + ( ) ; py ( + ) py ( ) + py ( ) py py py 5 ( ) ( + ) + ( ) ; py py py ( 5) py py py 5 5pY 5 py 5pY ( + ) ( ) + ( ) ; ( ) + + py + py ( 5) ; O peu alors addoer ces égalés ebre à ebre : 5 7 py py + py + py py + py + py 5 + 5pY... py + py + + py e ea cope du fa que cela doe : p Y + p Y + p Y py + py + py 5 + py c es à dre + p ( Y + ) p ( Y ) c es à dre ef : p ( Y + ) + E Y d où : EY EY + +. La sue de ere gééral E( X ) es doc ue sue arhéco-géoérque de preer ere EY ( ) d où par les echques que ou bo élève se do de coaîre par cœur : e doc * N E( Y ) l EY. + Nuéro 8 Ma

13 7 ) Pour suler la varable Y, oos qu l suff d effecuer epéreces, c es à dre eécuos de la procédure «Eperece» pus de coper, à l ade de la foco «cope» le obre de boules qu se rouve das l ure U à l ssue des epéreces. Cela doe, la cosae N éa alsée à (cos N au débu du prograe) : fuco Y( : eger):eger; var : eger; for : o do Eperece; Y:cope(U); Deuèe pare Calcul algébrque de base DEUXIEME PARTIE : Calcul algébrque de base Les épreuves de cocours écesse ue cerae asace e calcul algébrque qu, recoassos-le, fa souve défau au éudas. Beaucoup e save pas déarrer u calcul, e recoasse pas ue deé rearquable, ec. Le eps des vacaces peu êre l'occaso de fare des eercces qu'o a pas le eps de fare e classe as qu s'avérero rapdee reables. Nous e proposos c quelques-us u e ous vous egageos à e chercher d'aures af que le calcul e so plus u problèe e so. So e deu réels posfs ou uls. Morer que +,,, +, +, + [ ] [ [ [ [ [ ] Eercce Soluo : : L'epresso A(, ) + + es be défe pour ou couple de réels posfs ou uls; de plus le déoaeur es supéreur ou égal à doc srcee posf. As, déerer les couples (, ) pour lesquels A(, ) es supéreur ou égal à c'es déerer les couples (, ) pour lesquels + + Les proposos suvaes so équvalees: ( ) + ( ) + Les deu faceurs de ce produ so doc de êe sge e par sue, lorsque, ou, e récproquee; o a doc: + + ( ) [ ] [ [ [ [ [ ],,, +, +, So e deu réels els que e ], [; orer que l + + l Soluo : Soluo : Rearquos que cee écrure a u ses: Doc e < < + > e + > + + > Eercce ce qu usfe l'esece de so logarhe; par alleurs, éa srcee posf, so logarhe ese. Pour orer que a b, o ore que b a b; applquos: < < l l ; o do doc déorer que + l l l + O do doc orer que: + + l l e l + l + + C'es-à-dre: + ( + ) l e l + + Ou ecore: Or, o a: < + ( + ) e Coe es posf e <, o e dédu: < e doc < + + < < doc < + < + Nuéro 8 Ma

14 O e dédu doc: < < + Ce qu achève la déosrao Ecrre f ( + )( + ) + o( ) + + o( ) f a+ b+ c + o où a, b, c so ros cosaes qu'o précsera Eercce sous la fore Soluo : : Calculos successvee les coeffces des eres de degré, de degré e de degré de f. Pour le degré, c'es facle: o ulple les eres de degré ere eu e o obe. Pour ober, das le développee, u ere degré, l fau ulpler eres de degré par ere de degré ; le ere de degré es alors la soe de ces eres; o peu préseer le calcul sous fore d'u ableau: o + + o Le ere du preer degré es: Pour ober, das le développee, u ere degré, l fau ulpler eres de degré par ere de degré ou eres de degré par deu eres de degré ; le ere de degré es alors la soe de ces eres; o peu préseer le calcul sous fore d'u ableau: o + + o Le ere du secod degré es: Il s'esu: 7 f o( ) Résoudre les équaos suvaes: l l + a) b) ( l ) + l Eercce Soluo : : a) U calcul rapde e sas précauo codu le cadda pressé à écrre: l l + doc + doc e par sue e so les soluos de l'équao. Sas doue le plus grad obre d'ere vous o repéré la falle de ce eposé, qu codu à u auvas eseble de soluos: Il cove d'abord de Nuéro 8 Ma

15 précser l'eseble de défo de l'équao, c'es-à-dre l'eseble des valeurs de pour lesquelles l'écrure doée à u ses. L'eseble de défo E de l'équao l l ( + ) es l'eseble des réels els que > + > > O a doc E ], + [ Sur ce eseble, o peu écrre e doc: l l + + E rasposa das le preer ebre, O a ue race évdee e coe le produ des races es égal à, o e dédu que la secode race es. Cope eu de l'eseble de défo, seule la race égale à es soluo de l'équao proposée. b) L'eseble de défo E de l'équao ( l ) l posfs. O a doc E ], + [ E rasposa das le preer ebre, o a l'équao: ( l ) l O pose X l ; o obe alors ue équao du secod degré X X + es l'eseble des réels srcee qu a éé résolue c-dessus; pour X, o a e; pour X, o a e. Après avor vérfé que ce deu obres so be das E, o e dédu que les soluos de l'équao so, c, e e e. Soe e produ de deu obres U cera obre de ssèe d'équaos se raèe au ssèe de base suva: u+ v S uv P Cope eu de la sére d'écrure das le ssèe, s'l ade ue soluo (a, b) alors l e ade ue aure (b, a). O ore que ce ssèe ade ue soluo s, e seulee s, S V e que das ce cas, les obres a e b so les races de l'équao U SU + V Résoudre le ssèe d'équaos suvas: + 7 Soluo : Eercce 5 5 Soluo : S ce ssèe ade ue soluo (a, b) alors l e ade ue aure (b, a). Par alleurs, les deu obres a e b so races de l'équao X 7X O calcule le dscra de cee équao: ( 7) ( ) 5 O e dédu que cee équao ade deu soluos ,,, Résoudre le ssèe d'équaos suvas: Eercce Soluo : : O se raèe à u ssèe d'équaos cou: soe e produ de deu obres + E posa u e v o obe le ssèe u+ v uv S ce ssèe ade ue soluo (a, b), alors a e b so races de l'équao du secod degré X X Ce ssèe ade ue race évdee ; le produ des races éa égal à, o e dédu que l'aure race es. As o a u v ce qu ous codu à ou ou u v Nuéro 8 Ma

16 Seul, le secod ssèe ade des soluos; o rouve édaee coe couple soluo (, ), (, ), (, ), (, ) Ef l'équao, ore que e so de sges corares; les soluos du ssèe so doc (, ) e (, ) Eercce 7 7 Déerer les valeurs de a pour lesquelles le ssèe d'équaos suva ade soluos réelles + a Soluo : : O peu se raeer au ssèe d'équaos: soe e produ de deu obres coe das l'eercce précéde; ouefos, o peu auss rearquer qu'e addoa/sousraa la preère à deu fos la deuèe, o obe des deés rearquables: + a+ a Pour que le ssèe doé a des soluos, l fau que a + e a soe posfs, c'es-à-dre a ; sous cee corae, les soluos possbles du ssèe so doées par: + a+ ou + a+ ou + a+ ou + a+ a a a a Par sue, e addoa e e sousraa ces deu égalés pus e dvsa par, a+ + a a+ a, () a a+ a + a+, () a+ a a+ + a, () a+ + a a+ a, () O replace ces soluos possbles das le ssèe doé; o rearquera que l'epresso + e so des epressos de la fore ( u v) ( u v) ( u v ) obe alors: a+ a + + a ( a+ ) ( a) e () e () u+ v u v u v ; o a+ a + + a ( a) ( a+ ) Il e résule doc que ) les soluos du ssèe d'équaos doé, so, pour a, a+ + a a+ a, e a+ + a a+ a, ) le ssèe d'équaos doé 'a pas de soluos pour a <. () e () Déerer suva les valeurs u réel a les races de l'équao a + a + Eercce 8 8 Soluo : : L'équao doée es du secod degré s a ; das ce cas, ( ) a a L'œl avsé de l'éuda rodé à oues les fcelles du calcul algébrque de base, rearquera que l'epresso peu auss s'écrre: ( ) ( ) a a + u v + uv u+ v. e recoaîra là, ue deé "rearquable": ( a + ) Be sûr, le développee de codu à la êe epresso; ce qu'o peu reprocher au cadda, c'es de e pas s'apercevor que a + a+ es auss égal à ( a + ). Le dscra es ouours posf ou ul; o e dédu doc, que pour a, l'équao proposée ade deu races ( a ) ( a ) + a e ( a ) + ( a+ ) a a Das le cas où a, l'équao s'écr: + O e dédu édaee que cee équao ade ue race égale à. Nuéro 8 Ma

17 Trosèe pare Focos rgooérques Das les les qu suve, o do se rappeler que s ~ e que cos ~ Déerer les les suvaes ) s l s ) s l s ) s l s ) l cos l Eercce Soluo : : ) O a s ~ e s ~ ) O a s ~ e s ~ ) O a s ~ ( ) e s ~ ( ) sue s l s ) O a car l ( cos ) l cos l cos ~ cos ~ ; doc s ~ e par sue s l s s ; doc s ~ e par sue s l s s ; doc ( ) ~ ( ) s 8 8 e par s 9 9 ; doc l l cos Pour l'eercce suva, o rappelle que pour ou réel, s s cos Calculer les dérvées des focos défes par ) f ( a )( s ) ) f s + cos s Eercce Soluo : : ) La foco f es défe e dérvable sur E, ; o a, pour ou élée de E, s f ( s cos ) s cos de dérvée défe par: f ' s cos s ) La foco f es défe e dérvable pour ou réel, de dérvée défe par: f ' s + cos + cos s cos cos Calculer les égrales suvaes: ) s d ) cosd ) a d ) a d 5) d cos + ) cos s 7) d cos d Eercce Soluo : : Les ros preères égrales so des forules; les égraos so édaes. Pour le calcul de la ), l cove de se rappeler la dérvée de la foco a; la cquèe es plus suble: o peu d'abord ulpler les deu eres de la fraco par cos e après avor vérfer que la dérvée de la foco es la foco a cos s. Pour la 7) l fau savor que o peu coclure. Pour la ), peser que s cos a s a ) s d s d cos cos cos + + Nuéro 8 Ma

18 cos cos s s s s a d d l cos l l l cos ) d d [ ] ) ) ( a a ) [ a ] [ ] d d d a a + 5) d cos cos cos d d d d + cos cos s s s O e dédu: ) d cos a s cos cos ( s ) d d cos ( + s ) d s s O facorse s ( s )( + cos ) e o splfe cos cos ( s ) d d cos ( + s ) d s s O obe ue fore rearquable u' u; o peu doc e dédure: ( s ) cos + d s 7) cos d s d s d Pour ou réel coprs ere e /, s e doc s s. O a doc: cos d s d cos O rappelle que + u u + u Eercce (Nous ecourageos ous les éudas à rerouver ce résula e plus parculèree ceu qu e souvee pas l'avor déà fa). Calculer ) ) d + d ) 9 d O ulsera les chagees de varables suvas: pour a + b, o pose a a pour pour b a b, o pose s b b a a, o pose a b cos Soluo : : ) O pose a ; so ϕ la foco défe par ϕ ( ) a ; pour o a a e doc pour o a a e doc La foco ϕ es C sur, Doc: cos d d à valeurs das,. Par alleurs: ( a ) + + cos cos cos d d cos a cos s d + Sur l'ervalle, la foco cosus es posve e doc d cos d + ) O pose cos s s ; so ϕ la foco défe par () pour o a cos e doc cos cos ϕ ; Nuéro 8 Ma

19 pour o a cos e doc La foco ϕ es C sur, à valeurs das [, ]. Par alleurs: s cos s d d cos cos cos Doc: cos s d d s cos Sur l'ervalle, les focos cosus e sus so posves e doc cos cos du d d d d cos cos s u O obe cee derère égrale e effecua le chagee de varable u s E rearqua que + u u + u O e dédu que + + d l l l l u + + u Ef, o peu rearquer que + ( + ) ( + ) l d + ) O pose s ; so ϕ la foco défe par () pour e doc e doc à valeurs das, o a s pour o a s La foco ϕ es C sur, Doc: doc ϕ s ;. Par alleurs: d cos d 9 9 s 9cos 9 cos d cos d s Sur l'ervalle, la foco cosus es posve e 9 cos s d d d d s d s s s doc La deuèe égrale es ue égrale coue; pour la preère, o ulple le uéraeur e le déoaeur par s : 9 s du d d [ cos ] cos cos u E rearqua que + u u + u O e dédu que: 9 + d l u l u l + + Ef, o peu rearquer que + ( + ) ( + doc ) 9 d l ( ) + Quarèe pare Quarèe Pare : Iégrao des focos de la fore f() Iégrao des focos de la fore f() (a (a a)e b a ) e b O se propose de calculer ( ) I + + e d de deu faços dfférees: égraos par pares successves e sues. Pour les égraos par pares successves, ous proposos ce qu su: S u e v so des focos de classes C 5 sur l'ervalle [, ], o a: ( ) () () () () () '() '() () () () + + () () u v d u v u v u v u v u v d O peu préseer le calcul des prves des focos u e v sous la fore du ableau suva: Nuéro 8 Ma

20 ( ) u u u u" u' u v v v' v" v v ( ) Le ebre de gauche de l'égalé es l'égrale du produ des élées de la preère coloe du ableau (sous ); l'égrale du secod ebre es l'égrale du produ des élées de la derère coloe du ableau (sous ), le èe élée du croche es la foco obeue e effecua le produ coe c-dessous: ( ) ( ) u u ( ) v v Lassos le so au leceur de gééralser cee éhode à u obre quelcoque d'égraos par pares successves e fasos l'applcao das l'eercce suva A l'ade d'égraos par pares successves, calculer ( ) I + + e d Eercce 5 Soluo : : Applquos ce qu ve d'êre fa: o désge par u la foco epoeelle e par v la foco polôe. Das le ableau c-dessous, ous replaços les focos par leurs epressos pour ue valeur doée de. ( ) u e e e e e ( ) v O obe e doc: ( + + ) + e ( + ) I + e e ( ) ( ) e ( ) + + d O effecue les calculs: I e + e + e e + e e + e + e I e 9 + e + Falee: I e + 5 Eercce Calcul de ( + + ) à l'ade de sues: I e d So u eer aurel; calculer I e d pour, pus doer ue relao de récurrece ere I e I pour ou supéreur ou égal à. E dédure I e foco de pour coprs ere e. Déerer la valeur de I. Soluo : : O rearque que l'égrale I es ue soe algébrque de produs d'égrales de la fore I e d par des cosaes (o d auss que I es ue cobaso léare des égrales I), pour des valeurs eères e posves de : I I I + I I+ I O déere alors I e ue relao ere I e I - pour supéreur ou égal à. I e d e e e à l'ade d'ue égrao par pares + I e e d I I e Pour les valeurs de vara de à, o obe: ( ) ( ) ( 5 ) ( ) I I e e e e e e e e e c'es-à-dre: I e 5e e 5 e De la relao I I I + I I+ I e des résulas résués das le ableau c-dessus, o dédu: I 5 e e + 5 e e + e E après réduco: I 5 e Nuéro 8 Ma