Couche limite atmosphérique. Fermeture d ordre 1 : la théorie K

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Judith Viau
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1 Couche limite atmosphérique Fermeture d ordre 1 : la théorie K

2 Contenu Règles de paramétrage Théorie K des transports turbulents Analogie moléculaire Théorie de la longueur de mélange de Prandtl Approches dans le choix de K K constant Profils de K(z) Simulation de la dynamique de K (fermeture 1 1/2) Exemples de paramétrage Cours 8-2

3 Équations de Reynolds pour l air sec ui x i ui = 0 = 0 x i ui ui 1 p1 θ1 u i + uj = + δ i3g 2 ε ijkω juk + ν uu j i t xj ρ0 xi θ0 xj xj θ t p + u i 0 d θ x = ρ RT i = x i ν θ θ x i u θ i Rd cpd p00 T, p hpa θ = = p T p 0 g = = Γ = ρ g 7 équations et 16 inconnues... 0 θ = θ0 + θ1 p = p0 + p1 0 d c θ pd 0 = cst ρ 0 = cst ν = cst ν θ = cst Cours 8-3

4 Le problème de fermeture dans la CLA Le nombre d inconnues est plus élevé que le nombre d équations... Équation pronostique moment Nombre d équations Nombre d inconnues u i 1 u t i = x j { uu } j i 3 6 uu j i 2 ( uu ) j i uu i ju k = t xk 6 10 uuu k j k 3 ( uu u ) i j k uu i ju ku m = t xm Cours 8-4

5 Ordre de fermeture Triangle des inconnues qu on paramétrise Zéro v u w uu Un uv uw vv vw ww uuu Deux uvv uuv uuw uvw uww vvv vvw vww www Cours 8-5

6 Modélisation de la couche limite atmosphérique Fermetures Méthodes semi-empiriques Méthodes d ordre supérieure Ordre 1 K algébrique Ordre 1,5 K différentielle Cours 8-6

7 Règles de paramétrage Le terme paramétré doit obéir à certaines règles: 1) Avoir les mêmes dimensions que le terme physique; 2) avoir les mêmes propriétés tensorielles; 3) avoir les mêmes propriétés de symétrie; 4) être invariant par rapport à une transformation galiléenne; 5) satisfaire toutes les contraintes auxquelles le terme physique est soumis. Cours 8-7

8 Paramétrage des termes inconnus wu ' ' La théorie K wv ' ' ξ wξ w ξ = K z w' θ ' 2 1 > K ms 0 Théorie K ou des transports gradients Cette fermeture est nommée «Small eddy closure». Pourquoi? Cours 8-8

9 Noms pour K Viscosité turbulente coefficient de diffusion turbulente coefficient d échange turbulent coefficient d échange gradient K m = coefficient d échange turbulent pour la quantité de mouvement K H = coefficient d échange turbulent pour la chaleur K E = coefficient d échange turbulent pour l humidité K K K K H H = E = αθ M, αθ = KM α θ est le nombre de Prandtl qui dépend de la stabilité. Cours 8-9

10 Analogie avec la viscosité moléculaire Pour un fluide newtonien: u τ = = ρ m τ moléculaire µ υ u µ υ = ρ viscosité cinématique τ Pour un écoulement turbulent : u τ = ρk = K ρ Rey Reynolds M M u ρk M coefficient d'austausch Cours 8-10

11 Analogie avec la viscosité moléculaire La viscosité cinématique υ La viscosité cinématique d un fluide est déterminée par la composition chimique du fluide et par son état thermodynamique. Elle est une caractéristique du fluide. La viscosité turbulente K M La viscosité turbulente varie quand la turbulence varie. La viscosité turbulente est fonction de la stabilité statique, du cisaillement du vent et d autres caractéristiques de l écoulement. Elle dépend du type d écoulement. Cours 8-11

12 Ordre de grandeur de K et υ La viscosité cinématique de l air υ ms La viscosité turbulente KM 0.1, 2000 ms 2 1 Intervalle habituelle de K m : KM 2 1 1,10 ms KM >> υ Cours 8-12

13 Caractéristiques de la diffusion (1) K ~ lv v Vitesse caractéristique de l écoulement turbulent ou échelle de vitesse (proportionnelle à l écart type des fluctuations au tour de la moyenne) l La longueur de mélange qui dépend du type de turbulence thermique ou dynamique : convection libre, convection forcée, mixte, stable ou laminaire K est une propriété de l écoulement et non du fluide! Cours 8-13

14 Caractéristiques des diffusivités (2) K ~ lv K lv ~ Re ν ν = Le nombre de Reynolds V~1 m/s; l~300 m; ν ~ 2 X 10-5 m 2 /s K lv ~ Re 1, 5 10 ν ν = = 7 Le transport turbulent est bien plus important que le transport moléculaire! Cours 8-14

15 Longueur de mélange et stabilité dans la couche de surface Neutre stable instable z z z Type de tourbillons selon la stabilité de la couche de surface Cours 8-15

16 Énergie cinétique turbulente et stabilité Cours 8-16

17 Théorie de longueur de mélange de Prandtl Conditions d applicabilité: 1) neutralité statique; θ = 0 2) le profil vertical des autres quantités moyennes doit être une fonction linéaire de z ξ = cst Cours 8-17

18 Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux de quantité de mouvement z+l m z z-l m u u u u = z l m u uw = lmw z uw = K M u u uw = lmw z K M = u lw m Cours 8-18

19 Application : le profil logarithmique du vent dans la couche de surface 1) Dans la couche de surface les flux turbulents sont presque constants u uw = KM = u 2 * 2) Avec cette équation nous pouvons trouver la vitesse moyenne en fonction de la distance à la surface z si on connaît le coefficient d échange K M. Cours 8-19

20 Application : le profil logarithmique du vent dans la couche de surface K ~ lv 1) La longueur de mélange dépend, entre autres, de la stabilité. Nous sommes dans le cas neutre, Ri =???? 2 ) Dans le cas neutre de quoi dépend la longueur de mélange? l = kz 3 ) Quelle est l échelle de vitesse de la couche de surface? v = u * Cours 8-20

21 Application : le profil logarithmique du vent dans la couche de surface u uw = KM = u 2 * KM ~ lv l kz v = u = * KM = kzu * 2 2 u u* u* u = = = * K kzu kz M * u u ln z * = k z0 k = 0,38;0, 4 Cours 8-21

22 Application : le profil logarithmique du vent dans la couche de surface KM u * z u* = kzu u = ln u ( ln z ln z ) * = 0 k z0 k Cours 8-22

23 Exemples de paramétrages Contraintes: K=0 quand il n y a pas de turbulence K=0 au sol (z=0) K augmente avec l intensité de la turbulence (TKE) K dépend de la stabilité statique K dépend de la direction (un vecteur) K est non négatif (analogie moléculaire) Cours 8-23

24 Gradients sans dimensions Échelles typiques de la couche de surface longueur vitesse température humidité kz u * θ * q * ϕ M = kz u * u z ϕ kz = θ H * θ ϕ E = kz q * q On a assez de mesures dans la couche de surface pour déterminer les fonctions ci-dessus. Au delà de couche de surface les mesures sont plus difficiles Cours 8-24

25 Évaluation des K 1 ) mesure directe des flux turbulents 2 ) mesure des gradients K x wx = x z Au dessus de la couche limite les gradient verticaux sont petits, donc difficiles à mesurer Cours 8-25

26 Couche stable : petits tourbillons Flux de chaleur θ θ w = K K = θ w θ u uw = K K= uw u Cours 8-26

27 Couche convective : grands tourbillons Dans l atmosphère réelle il y a des situations où les flux sont contre le gradient K doit être négatif??? La théorie de longueur de mélange de Prandtl ne s applique pas... Des grands tourbillons... Cours 8-27

28 Couche de mélange au dessus d'une forêt indéfini 0 0 Flux de chaleur θ θ w = K K = θ w θ ( ) Cours 8-28

29 Couche convective : grands tourbillons θ θ w = K H γ c γ c 0,7 10 Km 3 1 Deardorff, 1966 Cours 8-29

30 Approches dans le choix de K Donner des valeurs de K constantes Spécifier des profils verticaux de K(z) Simuler la dynamique de K Cours 8-30

31 Application : couche limite neutre Couche d Ekman : Couche atmosphérique au dessus de la couche de surface. Atmosphère : Neutre Barotrope Sèche Axe des x aligné selon le gradient de pression ou selon le vent géostrophique Cours 8-31

32 Équations de mouvement du 1 p u ' w' dv 1 p v ' w' = fv = fu dt ρ x z dt ρ y z Choix du référentiel? Hypothèses? Fermeture? Valeur de K m? Choix du référentiel : L axe des x aligné avec le vent géostrophique. Hypothèses : atmosphère neutre et barotrope, homogénéité horizontale et stationnarité Fermeture : ordre 1 de type K Valeur de K m : constante 0 = fv KM u z 0 = fu+ fug KM v Cours 8-32

33 Profil vertical du vent f v u = K z ( ) M f ( u u ) K z v g = M. z = 0 u = v = 0 z u u, v 0 v = u exp( az) sin ( az) g u = u 1 exp( az)cos( az) g f g avec a = 2K M Cours 8-33

34 Profil du vent, couche d'ekman h E h E = π 2K M f.. Modèle d Ekman Modèle avec correction (CS) Cours 8-34

35 Profil du vent dans la couche d Ekman Vent géostrophique = 10 m s -1 dans la direction x... K M = 10 m 2 s -1. f = 10-4 s -1. Hauteur de la couche d Ekman h E =1400 m. Cours 8-35

36 Limitations de la théorie K algébrique Avec cette théorie nous sommes en mesure d évaluer l évolution dans le temps des quantités moyennes si on on connaît bien les coefficients d échange K. Mais - Les coefficients de K dépendent de l état et du type de turbulence. Les quantités moyennes ne nous donnent pas les informations nécessaires - La théorie K utilise l analogie entre la diffusion moléculaire et la diffusion turbulente. Or la diffusion moléculaire est locale pendant que la diffusion turbulente dépend de tout le domaine de l écoulement ainsi que de son histoire passée. Cours 8-36

37 Résumé : fermetures K Ce type de fermeture a ses fondements théoriques dans l'analogie moléculaire: La diffusion dépend de la longueur de mélange, l'équivalent du libre parcours moyen des molécules. La diffusion dépend de l'intensité et du type de turbulence, l'équivalent de la vitesse thermique des molécules (elle même associé à 'énergie cinétique moyenne des molécules). Les transports se réalisent en direction contraire au gradient moyen de la grandeur à transporter (transports contre-gradient) La théorie K simule assez bien la dynamique dans la couche neutre et légèrement stable. Dans a couche très stable, à cause de l'intermittente de la turbulence (la couche n est pas stationnaire) ii est essentiel d'utiliser la fermeture 1 1/2 où on introduit des équation d ordre 2 (au moins l équation d énergie cinétique turbulente moyenne). La théorie K ne s'applique pas dans la couche limite convective. Cours 8-37

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