"-2 X~+t-- X~ + ~" = g(x~) u

Transcription

1 DISTRIBUTIONS DES SINISTRES INCENDIE SELON LEUR COOT GIOVANNA?IL2R RARA It:din Ii. INTRODUCTION On peut penser que la dimension des sinistres est la rdsultante d'un tr~s grand hombre de causes /teffets positifs. Soicnt ~, ~... ~,, les variables aldatoires inddpendantes qui reprdsentent les facteurs dlementaires exergant leur action darts l'ordre indiqu~ par les indices. Si X~ est l'ampleur du sinistre do aux tacteurs {t, ~e... ~ nous pouvons supposer que l'augmentation causde par ~+t soit proportionelle it ~ ~ et k une certaine fonction, g(x,,) de la dimension X~. C'e~t k dire. nous supposons qu'il y ait los relations: X., +, = X,, + ~,, ~ L g(x.,) v ~ O, I,..., I g - - I et II s'mlsuit quc..v,, = o:,v(.v,,) = I ~ q- t "-2 X~+t-- X~ + ~" = g(x~) u (i) Si chaque facteur n'apporte qu'un faible contribut ~t l'augmentation du sinistre, nous pouvons alors poser approximativement aussi: f ~L + ~ ~,,, = g(t) (2) A",Vo dt

2 32 DISTRIBUTIONS SINISTRES INCENDIE Comme X varie de Xo 5. X,~z (et que X = X~, d&igne la dimension extr6me du sinistre) le second membre de la (2) d&rit une variable al&toire, fonction de X. Puisque par hypothase ~, ~2... ~,, sont des variables aldatoires ind@endante, si.nest suffisament grand, d'apr6s le thdor6me de la limite des probabilitds il s'insuit que la variable aldatoire au second membre de la (2), est, k la limite, distribu& suivant la loi normale. Si l'on pose g(l) = l -- c, la variable aldatoire normalc qui d&rit la dimension du sinistre pourra ~tre posde darts la forme In (X -- c). Si Z* est une variable aldatoire normale r('cluite (o, 0, entre Z* et X il y aura la relation ln(x -- c) -- m Z* = " - - (3) e; C'est 5. dire en posant e = I/.; ~ = --m/. Z* ==In(X--c)-t- ff (4) d'oh Z* --,B X =c + exp- (5) 0 La fonction cumulative de la variable al&toire X sera pour x > l? z*- p ) F(x) == Prob [A'.<x} = Prob c q exp = ~x I -- c c'est :'t dire -: P,-ob {z* ~ ~. ],l(x - c) + ~,, (6) Ct In {x--r) + [a 1:(.~) - I/~ oxp -- ~ d~ (7) et la fonction de densit6 I ~ I exp-- - {=In(x--c} -/- [31 ~ /(x). 1/2~.r-- c 2 (8)

3 DISTRIBUTIONS SINISTRES INCENDIE 33 Pour les d4veloppements successifs il est pr6ffrable de consid6rer la variable normale Z o; ~ lide it Z* par la relation Z* -- Z c'est ~ dire Z= aln(x--c) + b (4 bis) b_ La fonction de densit6 de Z est' et celle de X f(x) -- V~. x--c exp -- fa ln(x -- c) -4- b} 2 (8bis) Les trois premiers moments par rapport ~ o de la variable al6atoire X en fonction de Z seront: V-' ----c + )~. exp --2 exp(--z2) dz (9) I = c + exp 4 a~ / V-~ = c2 -F (~4--c)~ exp (') 2~ + 2c(~.t--c) (Io) V-a = c 3 + (~, -- c) a exp 3 +3c -(~xl--c)-f3c(~t--c) e exp Pour l'6cart absolu moyen par rapport 5. la moyenne, on aura: (ri) +m ~L I S = I Ix--lxt If(x) dx=2 I (V.~--x) f(x)dx (I2) ~m -m 3

4 34 DISTRIBUTIONS SINISTRES INCENDIE puisque pour x = >~' z = I/4a +ita= 2 f I --4a 24ab 5 i/~ e x p z -- b --exp-- dz (I3) a el'oh vient" s =--,-j, 2(~,v '~-c) rappelant la fonction connue' la relation pr6.c&lente devient' I f --t/4a +k k 1/,ta exp (-l~) dl exp (--1 "2) d!.s = 2(~, --c) 0 (~4) Le coefficient de variation suivant l'dcart absolu moyen est done' S 2(p.t--c)(I) = o (:5) bt~ g~ 4 a 2. AJUS'['EMENT DES I)ONNI~ES ITALiENNES INCENDIE.~ LA LO[ LOG- NORMALE D'apr~s recherches fakes sur les donndes du,,concordato Italia no Incendi Rischi [ndustriali" pour la t)driode z963-i965, il est possible de tirer la distribution des sinistres selon lcur coot soil pour l'ensemble des risques assur6s soit l)our let principaux regroul)ements des industries effectuds suivant l'activitd exercde et suivant le capital assu%. Ces distributions prdsentent quelques particularitds pcrmettant de supposer que l'ampleur des sinistres suit la loi log-normale. I1 s'agit en fait de distributions unimodales, dissyn%triques, 6taldes vers la droite: le 5o% des sinistres est en g6n6ral concentr6 dans les deux premieres classes; tandis qu'ils diminuent progressivement dans les autres. l.a fonction d'ajustement est donc donn('e par la (8 his).

5 - ze - c) - c) - In - c) I)ISTI~.IBUTIONS SINISTRES INCENDiE 35 Pour determiner la valeur des param~tres, on a consider6 la variable Z lide it X par la relation (4 bis). Puisque Z est une variable aldatoire normale, les frdqucnces cumul~es, c'est h dire les fr~quences des valeurs de Z infdrieures h el, sont exprinafies par zl 1/~ if exp {--z ~) dz -m Dfisignant par P(x~) les frdquences cumul~es de X (c'est 5. dire les fr~queuces des valcurs de X infdrieure a x.~) oll peut poser 91 P(xi) = 7r c exp (-- z 2) dz (16) Apr6s avoh" fitabli les valeurs zt, on a considfirfi les relations zt = a ln(x~ - + b (17) Le paramhtre c qui se prdsente en forint non lindaire a 6t6 ddtermin6 par tgttonnements, en prenant comme valeur de dfipart la quantit6 c d'apr& l'dgalitd : za - in (xa - - (x2 - z-_ -- z, -- In (x-. -- c) -- li~-(fc~ ~ c) (18) concernant les trois premi6res classes de sinistres. Les param6tres aet b ont d% ddterminds par la mdthode des moindres carrds. D'apr6s los valcurs 6tablies suivant la (I7), par l'emploi de la (16) on a trouvd les valeurs thdoriques P*(xi) et f*(xi). Pour at)prdcier l'ajustement on a calculd l'dcart moyen entre les valeurs thdoriqucs et les valeurs obscrvdes, c'est it dire ct l'indice Z ~. n I = 2.,, If(x,)--f*(xz) I i De plus la moyenne et le coefficient de variation scion l'dcart absolu moyen des distributions observdes ont 6td compar6s "a ceux de l'application des relations (9) ct (15). Nous rel)ortons en appendice les phases du d~roulcment d'ajustement concernant la categoric des industries mdtalhngiques.

6 3 6 I)ISTRIBUTIONS SINISTRES INCENDIE 3. ANALYSE DES RI,~SULTATS OBTENUS A) Catdgories d'industries selon leur activitd L'ajustement 5. la loi log-normale des distributions des sinistres incendie suivant leur coflt peut fitre consid6r~ en g~ndral satisfaisant. Les valeurs de Z 2 sont pour toutes les cat~gories inf6fieures b. la valeur th6orique tabul6e au seuil de probabilit6 de lo%. L'6cart moyen entre les valeurs observdes et les valeurs ajust~es est uniquement ~lev6 pour les industries des combustibles (23~o). De plus dans cette distribution la moyenne th~orique s'filoigne dans une certaine mesure de la moyenne observ6e et il enest de m~me pour le coefficient de variation selon l'dcart absolu moyen. II faut noter cependant que les sinistres de cette categoric ne sont qu'une modeste partie de l'ensemble des sinistres (seulcment le 1,3%) et c'est pourquoi la moyenne relev6e a un degr6 de prdcision tr~s bas. En ce qui concerne los industries de l'alimentation et du cuir les ajustements peuvent ~tre acceptables bien que les valeurs effectives de la moyenne et du coefficient de variation s'6loignent des valeurs thfioriques. B) Catdgories d'industries salon le capital assurd Si l'on regroupe les donndes des sinistres suivant le capital assur6, les distributions des sinistres selon leur coflt prfsentent un ajustement moins satisfaisant k la loi log-normale. Les valeurs de X 2 sont 61evdes exceptd la classe des risques avec un capital supfrieur ~ I.OOO millions. L'fcart moyen entre les valeurs th~oriques et les valeurs observfes est cel)endaut relativament bas; les movennes et les coefficients de variation sont suffisamment proches.

7 Tableau. I Distribution (ramen6e 5. tm total de io ooo) des sinistres incendie selon le coht par cat6gories d'industries Donn6es du,,concordato Italiano hlcendi Rischi Industriali (1963/I965)" Cat6goriesd'tndustries (.f. Montant des si nlstres (en i.ooo L.) De o de 250 & 500 de 500 & i.ooo de i.ooo de & 4 ooo de & 8 ooo de 8.ooo 5. i6 ooo de 16.ooo de plus de 64 ooo 4J o I6I 177 i28 e~ I ~ I o I I F I o o 4 I94 1.3oo lo4 ~ I o I = E 5.f i.802 i [ I69 I92 I z 78 > t~ u O~

8 Go Go Tableau II Dlstnbut~on (ramen6e /tun total de to ooo) des Slmstres mcendie selon le cofit et le capital assur6 U Montant des simstres (en I ooo L.) De o ~ 250 de 250 ~. 500 tie 500 h i.ooo de i ooo a 2 ooo de 2 ooo h 4.ooo de 4.0o0 ~ de h i6 ooo de t6.ooo ~ de & 64 ooo plus de 64 ooo Industries avec un capital assur6 de o & de ioo a de 250 ~ plus de [oo 250 i.ooo T ooo millions milhons mllhons mllhous o I 649 I.o2[ I 223 I 259 I SS 953 I Io9 4 ti I 7o o S7 18o 12o I r45 I16 I2I I90 Z Cq U; 7, F.,J. 7. C. t~

9 Tableau III Industrie m~tatlurgique. <tjustenlent de la distribution observde fi la loi log-nornlale IZxtrenllt6 sup~rieure de classe (i) -.r, Log~0 (*, -- 70) (2) (3) = n(x3 Valeurs observdes f(xf) P(x,) (4) (5) i z(x,) z*(x,) [ P*(x,) (6) (7) - (8) Valeurs ajustfies f*(xz) n*(x,) (9) (~o) f(x,) -- f * (*D (II) bq 7Z 250 5oo I ooo 8 ooo 16 ooo 32 ooo 64 ooo cc 2, , , , , , o '5 21 1o 3 0,4971 o,497r 0,I602 0,6573 O,12I 4 o ,0934 o,872i o,o48~ 0,9202 O,O374 0,9576 0,0180 0,9756 o,o15[ 0,9907 0,0072 0,9979 0,0021 1, ,005 0,286 0,543 0,8O 4 0,995 1,2J9 1,393 1,664 2, ,009 0,4949 0, ,553 0,7745 0,774 0,8632 1,008 0,9230 1,239 o,96o2 1,469 o,9812 1,669 o,9919 1, I,O000 0, , o, i216 I69 0,0887 I23 0, o,o , O,OLO7 15, 49 7 o,oo32 4 0,0022 0,0~22 --0,0002 0,0047 O,OTr 7 0, o,oo3o o,oo44 o,oo23 --0,00II 6c Y, 7~ z* ~ a Log~0(x 70) + b a' = o.759i, b =--1,72o 7 I = E f(x~-)--f*(xt) - o,o32o ~, [,~(x~) -- n*(*,)? 7"2 = "~l*(x,) -- 6'852 degr6s de libert6 = 5

10 i Tableau IV ~ Ajustement des distributmns du,,concordato Italiano hlcendi" 5. la Ioi log-normale Industries a b c I Z 2 degr6s de llbert6! Moyenne eli milhons de L obser-v6 ; th6oriq. Coefficient de variation observ6e th6oriq. i) Alimentation 0,2655-1,38o2 12o 0,0850 8,582 t Papier 0,2953-1, o, I290 7,249 C6ramiques F o,3432 -I,928o -- o,o994 8,o87 Chimiques o,3o5o 1,8278 t2o O, lo5o 7.8t6 Combustibles o,3169-2, o,2332 6,955 Cuir 0,2402-1,o655 15o o,o Bois o,33o6 1, o,o634 7,'257 M6tallurgiques o,3297-1,72o 7 7 o,o32o Textiles 0,2635-1,I976 15o 0,0298 9,379 2) Avec tin capital assure de o 5. ioo nnll. o,3329 -i o,o6oo 29,350 7 de too 5. 25o mill. o,2845 -i,4io 7 i3o o,o374 i3,544 6 de i.ooo mill 0,2832 -r, ,0593 i3,i74 6 plus de 1.ooo mill o,2846-1, ,0534 6, ,1oo 6,39o 1,5 1,6o 5,98o 6,1 lo 1,5o 1,54 2,43o 2,3oo 1,38 1,39 6,230 6,005 1,48 1,48 8,540 13,63o 1,32 1,47 3,080 6,550 1,52 1,68 3,030 3,660 1,32 1,43 2,070 1,9IO 1,4o 1, ,980 i,53 1,57 i,74 o 1,720 1,4o i,42 2,400 3,25 1,4o 1,5I 3,43 o 3,89o i,48 i,53 6,31o 7,43 o i,48 1,54 ~4 ~q 7, u Ensemble 0,2838-1,464o iio o,o258 ]4, ,360 3,870 x,48 t,53

11 DISTRIBUTIONS SINISTRES INCENDIE 41 2,00 1,50 1,00 0,5 J In (x~- c) i r t i i J I i i 25o 500 I0oo (Io0 8o O00.~ [NI)US'I'RII~ METALLUF,iGIQUE' Ajustement dc I~ chstrlbution des Slnlstres mcendie selon le cofit /1 la lol log-norlnme. Representation grmique cle la v~lri~d)le Z. Z = aln(x--c) ~ b; c~ = 0,3297 b ,7zo7; c = 7 Source.,,Concord,~to ItMi~Lno lncench -- lo~ghi IndustrKdl" I)onn6es dc I~ p~riode 1963-t965. Elabortttion du Servme Etudes des Assicurazioni Gcnerah