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1 Développement logiciel Master 1 Biostat / MIND Durée : 2h30 (avec la partie SAS) Les notes de cours et l aide de R sont autorisées. Une très grande importance sera portée sur la rédaction de vos codes. Ainsi usez (abusez?) de commentaires dans votre code, choisissez de bons noms pour vos variables, veillez à l indentation... (ceci pour avoir une meilleure note) Vous me remettrez votre code sur une clé USB et le nom de votre fichier sera de la forme Nom-Prénom.R. Vous penserez bien à rajouter les figures générées au format pdf. Vos figures doivent être produites afin qu elles soient compréhensibles facilement comme une figure de rapport en fait. Exercice 1. Autour du 421 Le 421 est un jeux de dés où la combinaison la plus forte est justement le obtenu en jetant 3 dés. Rassurez vous nous n allons pas implémenter un jeu du 421 mais seulement nous concentrer sur la combinaison Avec un seul dé : a) Écrivez une fonction qui compte le nombre de coup nécessaire pour obtenir le (dans un ordre quelconque) en lançant un dé à chaque tentative. Par exemple une expérience aura pu nécessiter 4 tentatives pour avoir un 1, suivi de 2 tentatives pour obtenir un 2 et enfin 8 pour obtenir un 4 donnant ainsi un total de 14 tentatives. b) Lancez un grand nombre de fois votre fonction dans le but de représenter graphiquement la distribution du nombre de tentatives nécessaires. Sur votre graphique vous placerez la moyenne empirique et théorique (vous justifierez vos calculs en tant que commentaires de codes). 2. Avec deux dés maintenant... a) Reprenez la question 1.a) mais en tenant compte du fait que 2 dés sont désormais lancés. b) Lancez un grand nombre de fois votre fonction dans le but de représenter graphiquement la distribution du nombre de tentatives nécessaires. 3. Écrivez une nouvelle fonction généralisant celle écrite à la question 2.a) où maintenant n dés sont lancés. 4. Faites une représentation graphique de la distribution du nombre de tentatives nécessaires lorsque l on joue avec n = 1,..., 10 dés. 5. Faites un graphique afin de vérifier si la loi du nombre de tentatives avec 9 dés est semblable à celle avec 10 dés. Solution 1. ## Question 1. nbessai1de <- function(){ + restants <- c(1, 2, 4) + nb.essai <- 0 + while (length(restants) 0){ 1

2 + lancer <- sample(6, 1) + nb.essai <- nb.essai restants <- restants[restants!= lancer] + return(nb.essai) ## Essayons le code n.sim < ans <- rep(na, n.sim) for (i in 1:n.sim) + ans[i] <- nbessai1de() par(mar = c(4, 5, 0.5, 0.5)) hist(ans, freq = FALSE, main = "", xlab = "Nombre de tentatives", ylab = "Densité") abline(v = mean(ans), col = 2) ## C'est la somme de loi géometriques de paramètre p = 1 / 2, p = 1 / ## 3 et p = 1 / 6 donc l'esperance est = 11 abline(v = 11, col = 3) legend("topright", c("empirique", "Theorique"), col = 2:3, bty = "n", lty = 1) Densit Empirique Theorique Nombre de tentatives 2

3 ## Question 2. nbessai2des <- function(){ + restants <- c(1, 2, 4) + nb.essai <- 0 + while (length(restants) 0){ + lancer <- sample(6, 2, replace = TRUE) + nb.essai <- nb.essai restants <- restants[!(restants %in% lancer)] + return(nb.essai) ## Essayons le code n.sim < ans <- rep(na, n.sim) for (i in 1:n.sim) + ans[i] <- nbessai2des() par(mar = c(4, 5, 0.5, 0.5)) hist(ans, freq = FALSE, main = "", xlab = "Nombre de tentatives", ylab = "Densité") Densit Nombre de tentatives 3

4 ## Question 3. nbessais <- function(n.des){ + restants <- c(1, 2, 4) + nb.essai <- 0 + while (length(restants) 0){ + lancer <- sample(6, n.des, replace = TRUE) + nb.essai <- nb.essai restants <- restants[!(restants %in% lancer)] + return(nb.essai) ## Essayons le code n.sim < nb.des <- 1:10 ans <- matrix(na, n.sim, length(nb.des)) for (i in nb.des) + ans[,i] <- replicate(n.sim, nbessais(i)) boxplot(ans, names = c("1 dé", paste(2:10, "dés")), + ylab = "Nb de tentatives") 1 d.. 3 d..s 5 d..s 7 d..s 9 d..s Nb de tentatives 4

5 ## Question 4. qqplot(ans[,9], ans[,10], xlab = "Nombre de tentatives (9 dés)", + ylab = "Nombre de tentatives (10 dés)") abline(0, 1) Nombre de tentatives (10 d..s) Nombre de tentatives (9 d..s) ## ou encore plot(table(ans[,9] - ans[,10]), xlab = "Différences nombre de tentatives", ylab = "Effectifs") 5

6 Effectifs Diff..rences nombre de tentatives PPP Exercice 2. Réchauffement climatique? Nous allons étudier les données de températures minimales journalières observées à Sète. a) Importez les données de températures dans R à partir du fichier de données disponible à l adresse suivante b) Faites une fonction qui retravaille les données brutes afin de supprimer les valeurs manquantes ou suspectes et d obtenir au final un jeu de donnée sous la forme jour mois année obs (en degré) xxx xxx xxx xxx. c) Représentez graphiquement la saisonalité, i.e., la loi de la température par classe mensuelle. d) Faites une fonction qui calcule la moyenne mensuelle pour un mois donné et toutes les années, i.e., une moyenne mensuelle par année. e) Exécutez votre fonction pour le mois de Décembre et représentez graphiquement votre résultat. f) Écrivez une fonction qui ajuste par maximum de vraisemblance le modèle suivant ( ) ind t 1976 T t N β 0 + β 1, σ 2, t = 1949, 1950,...,

7 g) Quelle valeur obtenez vous pour β 1? Qu est ce que cela veut dire concrètement sur l intensité du réchauffement climatique, i.e., réchauffement de xx degrés tout les xx années? h) Donnez une prédiction pour la température minimale moyenne pour le mois de Décembre Bonus : Peut-on dire si statistiquement il y a réchauffement climatique ou non à Sète? Solution 2. data <- read.table("data/tn_souid txt", header = TRUE, sep = ",", skip = 21) formatdata <- function(data){ + ## Virons les valeurs louches + idx <- data$q_tn == 0 + data <- data[idx,] + date <- data$date + year <- as.numeric(substr(date, 1, 4)) + month <- as.numeric(substr(date, 5, 6)) + day <- as.numeric(substr(date, 7,8)) + return(data.frame(day = day, month = month, year = year, obs = data$tn / 10)) data <- formatdata(data) boxplot(data$obs ~ data$month)

8 moyennemensuelle <- function(data, month = 12){ + moy.dec <- NULL + for (year in sort(unique(data$year))){ + idx <- which(data$year == year & data$month == month) + if (length(idx) 0) + moy.dec <- rbind(moy.dec, c(year, mean(data$obs[idx]))) + colnames(moy.dec) <- c("year", "obs") + return(as.data.frame(moy.dec)) moy.dec <- moyennemensuelle(data) plot(moy.dec) obs year fitmodel <- function(data){ + obs <- data$obs + year <- data$year + nllik <- function(par){ 8

9 + beta0 <- par[1] + beta1 <- par[2] + sigma <- par[3] + if (sigma <= 0) + return(1e6) + mu <- beta0 + beta1 * (year ) / return(-sum(dnorm(obs, mu, sigma, log = TRUE))) + start <- c(mean(obs), 0, sd(obs)) + opt <- nlm(nllik, start, hessian = TRUE) + return(opt) fit <- fitmodel(moy.dec) fit $minimum [1] $estimate [1] $gradient [1] e e e-06 $hessian [,1] [,2] [,3] [1,] e e-03 [2,] e e-05 [3,] e e+01 $code [1] 1 $iterations [1] 7 ## beta_1 vaut environ 2.53 soit un réchauffement de 2.53 degrés par ## siècle. fit$estimate[1] + fit$estimate[2] * ( ) / 100 [1] ## Bonus : on pourrait faire un test du rapport de vraisemblance par ##exemple 9

10 PPP 10

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