LES SOLIDES DE L ESPACE

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1 LE OLIE E L EE LE OLYERE Un polyèdre est un solide limité uniquement par des portions de plans, appelées «faces». Les segments délimitant les faces sont appelés les arêtes. Les faces d un polyèdre sont des polygones. YRMIE Une pyramide est un polyèdre dont les faces latérales sont des triangles ayant un sommet en commun : le sommet de la pyramide. La base de la pyramide est un polygone quelconque. Exemples : La pyramide EF, sa base est le polygone EF, son sommet est le point, sa hauteur est H (la distance de au «sol» ), H est le projeté orthogonal de sur le plan contenant le polygone de base. IRE E L E L HUTEUR RETENIR : LE VOLUME E L YRMIE = F E H L aire latérale d une pyramide est la somme des aires des faces latérales. YRMIE REGULIERE : Une pyramide régulière est une pyramide qui a pour base un polygone régulier (c est à dire avec ses côtés de même longueur et des angles au centre égaux, ex : triangle équilatéral, carré), de plus, le pied de la hauteur est au centre du polygone de base. Les faces latérales d une pyramide régulière sont donc des triangles isocèles. Vocabulaire : dans les faces latérales, la hauteur d un triangle s appelle l apothème, exemple. RIME Un prisme est un polyèdre dont deux faces sont des polygones identiques et situés dans des plans parallèles. es deux polygones s appellent les bases du prisme. Les autres faces, les faces latérales, sont toujours des parallélogrammes. 1

2 RIME ROIT Un prisme droit est un prisme dont les arêtes des faces latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Les faces latérales d un prisme droit sont donc des rectangles. RETENIR : LE VOLUME UN RIME = IRE E L E HUTEUR L IRE LTERLE UN RIME = ERIMETRE E L E L HUTEUR RLLELEIEE RETNGLE (droit) Un parallélépipède rectangle a toutes ses faces rectangles. UE Un cube a toutes ses faces carrées. LE OLIE E REVOLUTION ONE E REVOLUTION Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d un triangle rectangle autour d un axe portant un côté de l angle droit du triangle. IRE E L E HUTEUR RETENIR : LE VOLUME = H V = r2 h r : rayon du disque de base Vocabulaire : on appelle génératrice, l hypoténuse du triangle rectangle qui engendre le cône, est une génératrice dans le cône ci contre. YLINRE E REVOLUTION Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d un rectangle autour d un axe portant un côté du rectangle. La base du cylindre est un disque. RETENIR : LE VOLUME = IRE E L E L HUTEUR h V = r 2 h r : rayon du disque de base r l aire latérale = 2 rh HERE Une sphère est un solide engendré par la rotation d un demi cercle autour d un axe portant le diamètre du demi cercle. utre définition : La sphère de centre et de rayon r est l ensemble de tous les points de l espace situés à la distance r du point. Le volume d une sphère = 4 r L aire = 4 r 2 Ne pas confondre sphère et boule. 2

3 ETION 'UN VE ROIT R UN LN La section d'un pavé droit par un plan () parallèle à une face est... La section d'un pavé droit par un plan () parallèle à une arête est.. I I L L Le plan est parallèle à la face. IL est. Le plan est parallèle à l arête []. IL est.. ETION 'UN YLINRE R UN LN La section d'un cylindre de rayon R par un plan () perpendiculaire à l'axe est un. dont le centre appartient à l'axe. La section d'un cylindre par un plan () parallèle à l'axe est un. R R

4 1) L YRMIE ETION 'UNE YRMIE ET 'UN ONE La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une du polygone de base. La pyramide IL est une. de la pyramide. e même, la grande pyramide est un de la petite pyramide. Le coefficient de réduction est k =.. 2) LE ONE La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est qui est une réduction du disque de base. Le cône de sommet et de base le disque de diamètre [ ] est une réduction du cône de sommet et de Le cône base de sommet le disque de et diamètre de base le []. disque de diamètre [ ] est une.. du cône de sommet et de base le disque de diamètre []. ' T ' e même, la grand cône est l agrandissement du petit cône dans le rapport : e même, la grand cône est un du petit cône. O Le coefficient de réduction est k =.. 4

5 Exemple : Enoncé : On a représenté un cône et une section parallèle à la base. O = 72 cm et O = 6 cm. Le rayon [O ] de la section mesure 24 cm. 1. alcule le rayon O de la base du cône. O' ' 2. alcule le volume V1 du grand cône, puis le volume V2 du petit cône. O GRNIEMENT / REUTION RORIETE : oit un agrandissement de coefficient k : Les longueurs sont multipliées par. L = L Les aires sont multipliées par. = Les volumes sont multipliés par. V = V THEOREME UTILIER LORQU ON VEUT LULER UN VOLUME UNE REUTION i on coupe une pyramide, ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une réduction de la pyramide ou du cône, et la section obtenue est une réduction de la base. EXEMLE : 1) Un triangle a une aire de 18,5 m 2. Quelle est l aire du triangle obtenu après un agrandissement de coefficient,7? 2) Un cône a une base de rayon 51cm et 2cm de hauteur. Quel est le volume du cône obtenu après une réduction au tiers? ) Une figure a une aire de 16,5 cm 2. près transformation, elle a une aire de 10,125 cm 2. Est-ce une réduction ou un agrandissement? Quel est le coefficient? 4) On fait subir un agrandissement de coefficient 5 à une pyramide. La pyramide obtenue a un volume de 2000 cm. Quel était le volume de la pyramide de départ? 5