Contrôle du lundi 17 octobre 2011 (1 h 30) 1 ère S1. Note : À l aide de ce résultat, démontrer que pour tout réel x 1, f x ...

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1 ère S ontrôle du lund 7 octobre 0 ( h 30) Répondre très lsblement et sans rature en écrvant au stylo à plume Il est demandé de ne pas employer le symbole Note : À l ade de ce résultat, démontrer que pour tout réel, f () Prénom et nom : /40 = /0 I (3 ponts) n consdère la foncton f : 4 Écrre les condtons qu permettent d assurer l estence de f () f () estent s et seulement s En dédure après recherche au broullon l ensemble de défnton de la foncton f L ensemble de défnton de f est ) En utlsant l égalté () et le résultat de la parte, détermner le sens de varaton de la foncton f sur l ntervalle ] ; + [ Rédger convenablement (vor ndcatons de rédacton en fn d énoncé) II (8 ponts) Parte ompléter le tableau c-dessous donnant les varatons des fonctons et Fare les flèches de varatons à la règle + Parte n consdère la foncton f : défne sur \ { } III (4 ponts) Détermner le melleur encadrement possble de L ampltude de cet encadrement est égale à pour [ ; 4] ) Mettre sous forme canonque le polynôme Donner le résultat sans détaller la démarche = IV (8 ponts) QM Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) sans ustfer ompléter le tableau de réponses sur l énoncé Ne pas entourer les réponses choses sur l énoncé

2 a où a est un réel strctement négatf Les aes du repère,, c-dessous partagent le plan en quatre régons appelées quadrants (les frontères sont comprses) es quadrants sont numérotés,,, ) n consdère la foncton f défne par f V (4 ponts) Dans le plan mun d un repère,,, on consdère les ponts A(, ), B(7, ), (, 5) A B La courbe représentatve de f est stuée dans les quadrants : a et b et c et d et ) Parm les fonctons suvantes lesquelles sont égales à la foncton homographque? a b c d 3 ) n note la courbe représentatve de la foncton «racne carrée» dans le plan mun d un repère,, Parm les ponts suvants, lesquels appartennent à? ) Donner sans calcul et sans ustfer une équaton de chacune des drotes (AB) et (A) (AB) : (A) : ) Détermner une équaton cartésenne de la drote (B) en utlsant la colnéarté des vecteurs Rédger complètement la recherche selon le modèle suvant en utlsant une chaîne d équvalences : «Sot M(, y) un pont quelconque du plan a b A(4 ; ) c B( 4 ; ) d (4 ; ) 4 ) La foncton f : correspond au programmes de calcul : Reprendre le modèle c-contre : M (B) s et seulement s les vecteurs et sont colnéares s et seulement s s et seulement s» a P : multpler par soustrare b P : multpler par - aouter c P 3 : soustrare d P 4 : soustrare élever au carré prendre la valeur absolue prendre la valeur absolue multpler par élever au carré prendre la racne carrée prendre la racne carrée multpler par Questons ) ) 3 ) 4 ) Réponses Total :

3 VI (5 ponts) Dans le plan mun d un repère orthogonal,,, on consdère la drote D d équaton cartésenne 3 + y 5 = 0 ) La drote D coupe l ae des abscsses en un pont A et l ae des ordonnées en un pont B ompléter sans ustfer : Tracer D sur le graphque c-dessous A yb VIII (4 ponts) Logque ) n consdère la proposton condtonnelle portant sur un réel : S ] ; ], alors ette proposton condtonnelle est-elle vrae ou fausse? Vrae Fausse Énoncer la récproque de cette proposton S, alors ) ompléter sans ustfer la phrase suvante : ette récproque est-elle vrae ou fausse? Vrae Fausse ) n consdère la proposton condtonnelle suvante concernant deu drotes D et D de l espace : «S D et D sont sécantes, alors D et D sont coplanares» ette proposton est vrae Énoncer la contraposée de cette proposton «Le vecteur u ( ; ) est un vecteur drecteur de D» 3 ) Donner une équaton cartésenne de la drote D passant par le pont (4 ; 3 ) et parallèle à D S, D : alors 4 ) Donner la valeur du coeffcent drecteur m de D m = VII ( ponts) Sot AB et BD deu trangles rectangles respectvement en A et ayant le côté [B] en commun tels que A = D (vor fgure c-dessous) n pose = A et y = AB Eprmer BD en foncton de et y D Ne pas détaller les calculs BD = A B

4 IX ( ponts) Dans le plan P mun d un repère orthonormé,,, on note la courbe représentatve de la foncton «carré» n note E l ensemble des ponts du plan stués strctement au-dessus ou sur (hachurer ce domane sur le graphque c-dessous) n note F le complémentare* (vor rappel) de E dans P F est donc l ensemble des ponts du plan stué audessous ou sur Prénom et nom : I / 3 Note : /40 = /0 II / 8 III / 4 IV QM / 8 V / 4 VI / 5 ompléter l algorthme c-dessous permettant de rentrer les coordonnées (, y) d un pont M du plan et d affcher s ce pont appartent à E ou à F Entrées : Sasr et y VII / VIII / 4 IX / Tratement et sorte : S, FnS alors affcher «M appartent à» Snon affcher «M appartent à» Bonus : n consdère l équaton a b 0 (E) d nconnue où a et b sont deu paramètres réels Détermner l ensemble G des ponts M(a, b) du plan P tels que l équaton (E) at deu solutons dstnctes ou confondues dans Répondre en une phrase L ensemble G est *Rappel de la défnton du complémentare d une parte dans un ensemble : Sot E un ensemble et A une parte de E n appelle complémentare de A dans E l ensemble des éléments de E qu n appartennent pas à A Ade à la rédacton pour les fonctons (comment parler des varatons d une foncton) : Voc quelques eemples de rédacton pouvant ader pour l eercce II Parte ) : n s ntéresse au varatons de la foncton qu a tout réel assoce 3 n peut rédger de deu manères n donne un nom à la foncton n pose u() = 3 La foncton u est une foncton affne Le coeffcent de est strctement postf (3) donc u est strctement crossante sur n ne donne pas de nom à la foncton La foncton 3 est une foncton affne Le coeffcent de est strctement postf (3) donc elle est strctement crossante sur

5 I f : orrgé du contrôle du 7 octobre 0 4 ondtons qu permettent d assurer l estence de f () n analyse les types de problèmes qu se posent : on a un quotent et une racne carrée 4 0 f () estent s et seulement s 0 4 nul) Ensemble de défnton de la foncton f (le dénomnateur dot être non nul ; le radcande dot être postf ou n fat un tableau de sgnes pour trouver les valeurs de qu vérfent l néquaton 4 L ensemble de défnton de f est l ntervalle [0 ; 4[ II (8 ponts) Parte + + * 0 ** * n applque la règle du sens de varaton d une foncton affne ** n applque la règle du sens de varaton de l nverse d une foncton défne sur un ntervalle et qu a un sgne constant sur cet ntervalle ) Forme canonque du polynôme Démontrons que pour tout réel, \ { } f f () ) En utlsant l égalté () et le résultat de la parte, détermner le sens de varaton de la foncton f sur l ntervalle ] ; + [ Rédger convenablement (vor ndcatons de rédacton en fn d énoncé) La foncton est une foncton affne Le coeffcent de est strctement postf () donc elle est strctement crossante sur donc par restrcton sur ] ; + [ D après la parte, la foncton est une foncton strctement crossante Attenton : cette foncton est l nverse d une foncton affne mas on ne dt pas que c est une foncton nverse (car l n y a qu une foncton nverse : c est la foncton ) r la somme de deu fonctons strctement crossante sur un ntervalle est strctement crossante n en dédut que f est strctement crossante sur l ntervalle ] ; + [ n ne peut pas dédure le sens de varaton de f en utlsant la forme ntale de f() ( ) n en travallant avec des négaltés Parte f : défne sur \ { } f n est pas une foncton homographque (c est une foncton ratonnelle)

6 III Détermnons le melleur encadrement possble de pour [ ; 4] n procède par encadrements successfs 4 ) D () = { A } D (y) = { B } A 5 3 y B 5 4 L ampltude de cet encadrement est égale à = IV QM Questons ) ) 3 ) 4 ) ) Le vecteur u ( ; 3) est un vecteur drecteur de D Réponses d b a, b a, b, c, d 3 ) D : drote passant par le pont (4 ; 3 ) et parallèle à D D : 3 + y 5 = 0 V A(, ) B(7, ) (, 5) ) (AB) : y = (A) : = ) Détermnons une équaton cartésenne de la drote (B) en utlsant la colnéarté des vecteurs 4 ) Le coeffcent drecteur m de D est égal à m = 3 Méthode : on passe l équaton cartésenne de D en équaton rédute 3 5 D a pour équaton rédute : y n peut alors «lre» le coeffcent drecteur de D Sot M(, y) un pont quelconque du plan M (B) s et seulement s les vecteurs BM et B sont colnéares s et seulement s s et seulement s (B) a pour équaton y 3 = 0 VI D : 3 + y 5 = 0

7 VII = A et y = AB D IX Entrées : Sasr et y Tratement et sorte : S y, alors affcher «M appartent à E» A y B n applque le théorème de Pythagore dans le trangle AB rectangle en A n obtent : B y FnS Snon affcher «M appartent à F» n applque le théorème de Pythagore dans le trangle BD rectangle en n obtent : BD B D y Donc y BD y n ne peut pas aller plus lon : la racne carrée d une somme n est pas égale à la somme des racnes carrées VIII Logque ) S ] ; ], alors ette proposton condtonnelle est vrae La récproque de cette proposton s énonce ans : S, alors ] ; ] ette récproque est fausse (contre-eemple : =,5) ) «S D et D sont sécantes, alors D et D sont coplanares» La contraposée de cette proposton s énonce ans : S D et D ne sont pas coplanares, alors elles ne sont pas sécantes