Géométrie 2 Semestre 6, printemps Géométrie du triangle

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1 Université de Lorraine, site de Nancy Licence de Mathématiques Géométrie 2 Semestre 6, printemps Géométrie du triangle Exercice 1 Points remarquables du triangle, droite d Euler. Soit A, B et C trois points non alignés d un plan affine euclidien. (1) Montrer, à l aide de relations entre vecteurs, que les médianes du triangle ABC sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. (On verra à l exercice 3 une démonstration plus géométrique de cette propriété.) (2) Montrer que les médiatrices du triangle ABC sont concourantes en un point O et que ce point O est le centre de l unique cercle passant par A, B et C ; ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle. (3) Montrer que les hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. On donnera deux démonstrations : l une vectorielle, l autre à l aide du triangle (dont on justifiera l existence) dont A, B et C sont les milieux des côtés. (4) Montrer que les bissectrices (intérieures) des angles aux sommets du triangle ABC sont concourantes en un point I et que ce point I est le centre de l unique cercle tangent aux trois côtés du triangle ; ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle. (5) Montrer que O, H et G sont alignés et que OH = 3 OG ; la droite (OH) est appelée droite d Euler du triangle. Indication : on pourra considérer l homothétie de centre G et de rapport 1/2. Exercice 2 Le cercle d Euler. On reprend les notations de l exercice 1. L objectif de cet exercice est de montrer qu il existe un cercle, dit cercle d Euler ou cercle des neuf points du triangle ABC, passant par les neuf points suivants : les trois milieux des côtés du triangle, les trois pieds des hauteurs, les trois milieux des segments reliant H aux trois sommets du triangle. On note A, B et C les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB], A, B et C les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C, A, B et C les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH]. (1) Quelle est l image de A par la symétrie orthogonale par rapport à (B C )? En déduire, à l aide du théorème de l angle inscrit, que A, B, C et A sont cocycliques. (2) En considérant l homothétie de centre G et de rapport 1/2, montrer que le centre O du cercle circonscrit à A B C est le milieu de [OH]. (3) Quelles sont les images de O et A par l homothétie de centre G et de rapport 1/2? Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OA HA? (4) Déduire de ce qui précède que O A = O A. (5) Conclure. 1

2 Exercice 3 Une démonstration géométrique de la concourance des médianes. L objectif de cet exercice est de démontrer que les médianes d un triangle sont concourantes sans faire appel explicitement au calcul vectoriel mais uniquement au théorème de Thalès et à des propriétés des symétries. Soit A, B et C trois points non alignés d un plan affine euclidien. On note A, B et C les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB], G le point d intersection de (BB ) et (CC ), K le symétrique de A par rapport à G. (1) Montrer que (BB ) est parallèle à (CK) et que (CC ) est parallèle à (BK). (2) Déterminer les images respectives de G et de K par la symétrie de centre A. (3) Conclure et montrer que AG = 2 3 AA. Exercice 4 Construction de triangles. (Extrait d une épreuve du concours du CAPES externe 2011.) Dans un plan affine euclidien orienté, on considère deux points distincts B et C et un point M n appartenant pas à la droite (BC). Pour chacune des assertions suivantes, déterminer s il existe un point A qui la vérifie. On précisera pour chaque cas le nombre de solutions et on prendra soin de fournir toutes les explications et justifications utiles. (1) M est le centre de gravité du triangle ABC. (2) M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. (3) M est l orthocentre du triangle ABC. (4) M est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. Exercice 5 Le triangle orthique. Soit ABC un triangle non aplati et non rectangle d un plan affine euclidien. On appelle triangle orthique du triangle ABC le triangle dont les sommets sont les pieds des hauteurs du triangle ABC. Montrer que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices intérieures de son triangle orthique. Indication : on pourra considérer trois quadruplets de points cocycliques. Exercice 6 Le théorème d Al-Kachi. Soit ABC un triangle dans un plan affine euclidien. On note  l angle (non orienté) au sommet A. On note aussi a = BC, b = AC, c = AB. Montrer que a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Exercice 7 La formule des sinus. On reprend les notations de l exercice 6. Montrer que sin  sin B = a b où R est le rayon du cercle circonscrit. = sin Ĉ c = 2Aire(ABC) abc = 1 2R Exercice 8 La formule de Héron. On reprend les notations de l exercice 6. Soit p = (a + b + c)/2. Montrer que l aire du triangle ABC est égale à p(p a)(p b)(p c). 2

3 Exercice 9 Soit un triangle équilatéral d un plan affine euclidien. Montrer que la fonction qui à un point associe la somme de ses distances aux trois côtés est constante à l intérieur du triangle. Exercice 10 Soit ABC un triangle non aplati d un plan affine euclidien. On considère trois cercles centrés respectivement en A, B et C et qui sont tangents deux à deux. Déterminer les rayons de ces cercles. Exercice 11 Le théorème de Ménélaüs. Soit A, B et C trois points non alignés d un plan affine. Soit a (BC) tel que a B et a C, b (AC) tel que b A et b C, c (AB) tel que c A et c B. Montrer que a, b et c sont alignés si et seulement si ab ac bc ba ca cb = 1. Indication : on pourra d abord montrer le sens direct en considérant la projection sur (BC) parallèlement à (ab) ou bien en considérant la composée de trois homothéties bien choisies. Exercice 12 Le théorème de Ceva. On reprend les notations de l exercice 11. (1) Montrer que les droites (Aa), (Bb) et (Cc) sont parallèles ou concourantes si et seulement si ab ac bc ba ca cb = 1. Indication : pour montrer le sens direct, dans le cas où les( trois droites sont concourantes ) en un point J, on pourra d abord justifier que ab det AJ, AB ac = ( ), etc. det AJ, AC (2) On suppose de plus que a [AB], b [AC] et c [AB]. Formuler un énoncé en termes de distances et le démontrer en adaptant la démonstration de la question (1) en termes d aires. Exercice 13 Soit ABC un triangle non aplati et non isocèle en A d un plan affine euclidien. Soit I et J les pieds respectifs des bissectrices intérieure et extérieure de l angle en A. (1) Montrer que AB AC = IB IC = JB JC. Indication : on pourra introduire les symétriques orthogonaux de B ou de C par rapport à ces bissectrices ou utiliser la formule des sinus (exercice 7). (2) Montrer que l ensemble des points M tels que MB MC = AB AC est un cercle, que l on déterminera. 3

4 Exercice 14 Soit un triangle d un plan affine euclidien. À l aide du théorème de Ceva (exercice 12), montrer que les droites considérées dans chacun des cas suivants sont concourantes. (1) Les médianes du triangle. (2) Les hauteurs du triangle. (3) Les bissectrices intérieures du triangle (indication : utiliser l exercice 13). (4) La bissectrice intérieure d un angle du triangle et les bissectrices extérieures des deux autres angles (indication : utiliser l exercice 13). (5) Les droites passant par un sommet et le point du côté opposé tel que ces deux points divisent le triangle en deux lignes brisées de même longueur (le point d intersection de ces trois droites est appelé point de Nagel du triangle). Exercice 15 On considère quatre points A, B, C et D du plan tels que trois quelconques d entre eux ne sont jamais alignés. (1) Montrer que (ABCD) est un parallélogramme si et seulement si (ABCD) n est pas croisé, BAD = BCD et ÂBC = ÂDC. (2) Caractériser (ABCD) s il est croisé, BAD = BCD et ÂBC = ÂDC. * Exercice 16 Flexibilité des quadrilatères. On se donne quatre réels strictement positifs a, b, c et d. (1) Montrer qu il existe un quadrilatère (ABCD) non croisé, sans angle plat ou nul et tel que AB = a, BC = b, CD = c et DA = d si et seulement si a < b + c + d, b < a + c + d, c < a + b + d, d < a + b + c. Indication : considérer e > 0 pour lequel il existe un triangle dont les côtés ont pour longueurs a, b et e et un triangle dont les côtés ont pour longueurs c, d et e. (2) On suppose la condition réalisée. Montrer qu il existe un réel ε > 0 et une application ] ε, ε[ t (A(t), B(t), C(t), D(t)) de classe C telle que pour tout t ] ε, ε[, A(t) = A et C(t) (AC), pour tout t ] ε, ε[, (A(t), B(t), C(t), D(t)) est un quadrilatère non croisé et sans angle plat ou nul, pour tout t ] ε, ε[, A(t)B(t) = a, B(t)C(t) = b, C(t)D(t) = c et D(t)A(t) = d, (A(0), B(0), C(0), D(0)) = (A, B, C, D), (A (0), B (0), C (0), D (0)) (0, 0, 0, 0). 4

5 * Exercice 17 Centre de gravité du triangle plein. Si K est une partie compacte du plan d aire non nulle, il existe un unique point G tel que, pour tout point M, 1 MG = MXdX. Aire(K) (La démonstration est analogue à celle de l existence et de l unicité du barycentre d un n-uplet de points affectés de poids.) Ce point est appelé centre de gravité de K. On se donne trois points non alignés A, B et C et on note K le triangle plein de sommets A, B et C, c est-à-dire la partie compacte du plan délimitée par [AB] [BC] [CA]. Le centre de gravité de K coïncide-t-il avec le centre de gravité du triangle (ABC) selon la définition usuelle (c est-à-dire l isobarycentre de A, B et C)? K Exercice 18 Soit ABC un triangle non aplati et non isocèle en A. On suppose que AB < AC. On note A, B et C les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB] et D la bissectrice intérieure de A B C issue de A. (1) Montrer que D coupe le segment [AC] en un point A. Indication : après avoir montré que D coupe (BC) en un point A, on pourra considérer le triangle A B A. (2) Montrer que D coupe la droite (AB) en un point M tel que A [BM]. (3) Montrer que le triangle MAA est isocèle en A. (4) Montrer que BM = CA. Indication : on pourra utiliser la formule des sinus (exercice 7) dans les triangles BA M et CA A. (5) En déduire que A et A séparent le triangle ABC en deux lignes brisées de même longueur (autrement dit, montrer que A B + BA + AA = A C + CA ). * Exercice 19 On reprend les notations de l exercice 18. On appelle cercle de Spieker du triangle ABC le cercle inscrit dans le triangle A B C. Montrer que le centre du cercle de Spieker est le barycentre de A, B et C affectés des poids BC, AC et AB (autrement dit le centre de gravité de l ensemble [AB] [BC] [AC]). Exercice 20 Quelques lignes de niveau. On considère deux points distincts A et B du plan et un réel k. On demande dans cet exercice de ne pas effectuer de calculs vectoriels (voir l exercice 21 pour des démonstrations vectorielles concernant les lignes de niveau). (1) (a) Soit I le milieu de [AB]. Montrer que pour tout point M on a MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2AI 2. Indication : on pourra considérer le projeté orthogonal de M sur (AB) et utiliser les mesures algébriques sur cette droite. (b) En déduire l ensemble des points M du plan tels que MA 2 + MB 2 = k. (2) (a) Montrer que pour tout point M on a MA 2 MB 2 = HA 2 HB 2 où H est le projeté orthogonal de M sur (AB). 5

6 (b) En déduire l ensemble des points M du plan tels que MA 2 MB 2 = k. (3) (a) Déterminer l ensemble des points M du plan distincts de B tels que MA MB = k lorsque k = 1, k = 0 puis k < 0. (b) Dans cette question on suppose que k ]0, 1[ ]1, + [. Soit G le point de (AB) tel que AG AB = k2 1 k. 2 (i) Montrer que pour tout point M du plan on a MA 2 k 2 MB 2 = (1 k 2 )MG 2 k2 1 k 2 AB2. Indication : on pourra considérer le projeté orthogonal de M sur (AB). (ii) En déduire l ensemble des points M du plan distincts de B tels que MA MB = k. (iii) Application : retrouver le résultat de la question (2) de l exercice 13. * Exercice 21 La fonction scalaire de Leibniz. On considère des points A 1,..., A n du plan affine euclidien P et des réels α 1,..., α n. On appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système de points pondérés ((A 1, α 1 ),..., (A n, α n )) la fonction F : P R définie par n M P, F (M) = α k MA 2 k. On note s = n k=1 α k. (1) On suppose dans cette question que s 0. Soit G le barycentre des points A 1,..., A n affectés des poids α 1 s,..., αn. Montrer que s M P, F (M) = F (G) + s MG 2. (2) On suppose dans cette question que s = 0. Montrer qu il existe un vecteur v que l on déterminera tel que (M, N) P 2, F (N) = F (M) + 2 MN, v. (3) Étudier les lignes de niveau de l exercice 20 à l aide de fonctions scalaires de Leibniz. k=1 Exercice 22 Donner une démonstration de la concourance des hauteurs d un triangle (non aplati) exprimant les hauteurs comme lignes de niveau (on utilisera la question (2) de l exercice 20). 6