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1 Ce documen a éé mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Naionale des Sujes d Examens de l enseignemen professionnel. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel Ce fichier numérique ne peu êre reprodui, représené, adapé ou radui sans auorisaion.

2 Maériel auorisé : BTS OPTICIEN LUNETIER MATHÉMATIQUES Session 04 Durée : heures Coefficien : Toues les calcularices de poche, y compris les calcularices programmables, alphanumériques ou à écran graphique, à condiion que leur foncionnemen soi auonome e qu il ne soi pas fai usage d imprimane. (Circulaire n du 6//999.) Dès que le suje vous es remis, assurez-vous qu il es comple. Le suje compore 5 pages numéroées de /5 à 5/5. Un formulaire de 3 pages es join au suje. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel BTS OPTICIEN LUNETIER SESSION 04 CODE : MAT OL DUREE : h Coefficien : ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE Page /5

3 EXERCICE (0 poins) La réinie pigmenaire es une maladie généique caracérisée par la dégénérescence des cellules en cônes e en bâonnes responsables de la vision. Afin de freiner l évoluion de cee maladie, deux raiemens son possibles. Dans ce exercice, on éudie, pour ces deux raiemens, l évoluion de la quanié des principes acifs présens dans le sang en foncion du emps. Les rois paries de ce exercice peuven êre raiées de façon indépendane. A. Modèle discre du premier raiemen : éude de suies Le premier raiemen consise à injecer par inraveineuse un médicamen permean une meilleure vascularisaion des vaisseaux sanguins de la réine. On injece dans le sang à l insan = 0, une dose de,8 uniés du médicamen. On suppose que ce médicamen diffuse insananémen dans le sang e qu il es ensuie progressivemen éliminé. Au bou de chaque heure après l injecion, sa quanié a diminué de 30 % par rappor à la valeur qu elle avai au débu de cee heure. Dans le bu d aeindre une quanié de médicamen présene dans le sang supérieure à 5 uniés, on décide de réinjecer une dose de,8 uniés oues les heures. Pour ou enier naurel n, on noe u n la quanié de médicamen, exprimée en uniés, présene dans le sang au bou de n heures. Jusifier que u 0 =,8 e que, pour ou enier naurel n, u n + = 0,7 u n +,8. On pose, pour ou enier naurel n, v n = u n 6. Démonrer que (v n ) es une suie géomérique de raison 0,7 don on donnera le premier erme v 0. 3 Pour ou enier naurel n, exprimer v n en foncion de n. En déduire que, pour ou enier naurel n, u n = 6 4, (0,7) n. 4 a) Déerminer la limie de la suie (u n ). b) Inerpréer le résula obenu par rappor au bu à aeindre. B. Modèle coninu du second raiemen : résoluion d une équaion différenielle Le second raiemen consise à faire absorber au malade par voie orale un médicamen à base de palminae de viamine A e d oméga-3. L évoluion, en foncion du emps (exprimé en heures), de la quanié de principe acif présene dans le sang après absorpion (exprimée en mg) es modélisée par une foncion vérifian l équaion différenielle (E) : y ' + y =,5 e 0,5, où y es une foncion inconnue de la variable, définie e dérivable sur [0, + [, e y ' la foncion dérivée de y. Déerminer les soluions de l équaion différenielle (E 0 ) : y ' + y = 0. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel Soi g la foncion définie sur [0, + [ par g() = 5 e 0,5. Vérifier que g es une soluion de (E). 3 En déduire les soluions de l équaion différenielle (E). 4 Déerminer la soluion f de l équaion différenielle (E) vérifian la condiion iniiale f (0) = 0. BTS OPTICIEN LUNETIER SESSION 04 CODE : MAT OL DUREE : h Coefficien : ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE Page /5

4 C. Éude d une foncion Soi f la foncion définie sur [0, + [ par f () = 5 e + 5 e 0,5. On noe C sa courbe représenaive dans le plan muni d un repère orhonormal. a) Déerminer lim f (). b) Donner une inerpréaion graphique du résula précéden. a) Calculer f '() pour ou réel de l inervalle [0, +[ e vérifier que f '() peu s écrire sous la forme : f '() =,5 e ( e 0,5 ). b) Éudier le signe de f '() sur l inervalle [0, +[. c) Dresser le ableau de variaion de f sur l inervalle [0, + [. 3 Écrire une équaion de la angene T à la courbe C au poin d abscisse 0. 4 a) Un logiciel de calcul formel fourni ci-dessous une expression d une primiive de la foncion f sur l inervalle [0, + [. Ce logiciel noe %e l expression e. Jusifier, à l aide d un calcul, l expression fournie par le logiciel. b) En déduire la valeur exace, puis la valeur approchée arrondie à 0, de l inégrale : I = 6 ( 5 e + 5 e 0,5 ) d. 0 La valeur de cee inégrale représene la quanié de principe acif présene dans le sang enre les insans = 0 e = 6. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel BTS OPTICIEN LUNETIER SESSION 04 CODE : MAT OL DUREE : h Coefficien : ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE Page 3/5

5 EXERCICE (0 poins) Un fabriquan de lenilles souples, dies «hydrophiles», propose une nouvelle généraion de lenilles en silicone d hydrogel. Les quare paries de ce exercice peuven êre raiées de façon indépendane. A. Événemens indépendans À l issue de la fabricaion, ces lenilles peuven présener deux ypes de défaus : un rayon de courbure défecueux ; une perméabilié à l oxygène défecueuse. On considère la producion de lenilles au cours d un mois donné. On adme que, dans cee producion, 3 % des lenilles présenen un rayon de courbure défecueux e % présenen une perméabilié à l oxygène défecueuse. On prélève une lenille au hasard dans cee producion. On noe A l événemen : «la lenille prélevée présene un rayon de courbure défecueux». On noe B l événemen : «la lenille prélevée présene une perméabilié à l oxygène défecueuse». On suppose que les événemens A e B son indépendans. On adme alors que les événemens A e B son indépendans, les événemens A e B son indépendans e les événemens A e B son indépendans. Les quesions,, 3 e 4 suivanes son des quesionnaires à choix muliples. Pour chaque quesion, une seule réponse es exace. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraî exace. On ne demande aucune jusificaion. La réponse juse rappore un poin. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rappore ni n enlève de poin. La probabilié P(A B) es : La probabilié P(A B) es : 3 La probabilié P( A B ) es : 0,006 0,0006 0,05 0,0494 0,006 0,05 0,9994 0,9506 0, La probabilié que la lenille prélevée présene un seul des deux défaus es : 0,0488 0,05 0,0494 Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel BTS OPTICIEN LUNETIER SESSION 04 CODE : MAT OL DUREE : h Coefficien : ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE Page 4/5

6 B. Loi binomiale, loi de Poisson Dans cee parie, les résulas approchés son à arrondir à 0 3. On considère un sock imporan de lenilles fabriquées par l enreprise. Dans ce sock, on adme que 5 % des lenilles ne son pas conformes aux normes de commercialisaion. On prélève au hasard 0 lenilles dans ce sock pour vérificaion de la conformié. Le sock es suffisammen imporan pour que l on puisse assimiler ce prélèvemen au irage avec remise de 0 lenilles. On considère la variable aléaoire X qui, à ou prélèvemen ainsi défini, associe le nombre de lenilles de ce prélèvemen non conformes aux normes de commercialisaion. a) Jusifier que la variable aléaoire X sui une loi binomiale don on donnera les paramères. b) Calculer la probabilié qu au moins une lenille de ce prélèvemen soi non conforme aux normes de commercialisaion. On adme que la loi de X peu êre approchée par une loi de Poisson. a) Jusifier que le paramère de cee loi de Poisson es = 6. b) Soi Y une variable aléaoire suivan la loi de Poisson de paramère = 6. Calculer P(Y 5). c) Déduire de la quesion précédene une valeur approchée de la probabilié qu il y ai, dans un prélèvemen, au moins six lenilles non conformes aux normes de commercialisaion. C. Loi normale Dans cee parie, on s inéresse à la densié des lenilles souples. Une lenille es considérée conforme pour la densié lorsque celle-ci es comprise enre 0,88 e,. Dans la producion d un mois, on prélève au hasard une lenille souple. On désigne par Z la variable aléaoire qui, à chaque lenille prélevée, associe sa densié. On adme que Z sui la loi normale de moyenne e d écar ype 0,08. Calculer, à l aide de la able du formulaire ou d une calcularice, la probabilié qu une lenille prélevée au hasard dans cee producion soi conforme pour la densié. Donner le résula approché arrondi à 0 3. D. Inervalle de confiance Le fabriquan voudrai esimer la densié moyenne inconnue µ des lenilles de sa producion annuelle. On désigne par D la variable aléaoire qui, à oue lenille de cee producion, associe sa densié. On adme que D sui la loi normale de moyenne µ e d écar ype = 0,07. On prélève un échanillon aléaoire de 50 lenilles dans la producion annuelle. Cee producion es suffisammen imporane pour que l on puisse assimiler ce prélèvemen à un irage avec remise. On désigne par D la variable aléaoire qui, à ou échanillon de 50 lenilles ainsi prélevé, associe la densié moyenne des lenilles de ce échanillon. On adme que D sui la loi normale de moyenne µ e d écar ype avec = 0, Pour l échanillon prélevé, on consae que la densié moyenne des lenilles es d =,08. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel Déerminer un inervalle de confiance cenré sur d de la moyenne inconnue µ au niveau de confiance 95 %. Arrondir les bornes de l inervalle à 0. On considère la phrase suivane : «on es sûr que la moyenne µ apparien à l inervalle de confiance obenu à la quesion précédene». Es-ce vrai? Jusifier. BTS OPTICIEN LUNETIER SESSION 04 CODE : MAT OL DUREE : h Coefficien : ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE Page 5/5

7 FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES BTS OPTICIEN-LUNETIER. RELATIONS FONCTIONNELLES ln ab ln a lnb, où a > 0 e b > 0 expa b expaexpb. CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL a) Limies usuelles Comporemen à l'infini lim ln ; lim e ; Si > 0, lim ; si < 0, lim 0 Croissances comparées à l'infini Si > 0, lim e b) Dérivées e primiives FFoonncc i iioonns s uus suueel lll llees s Opéraions u v u v k u k u uv u v u v u u u u u v u v v v Comporemen à l'origine lim ln 0 Si > 0, lim 0 ; si < 0, lim 0 0 Si > 0, lim ln 0. 0 ln Si > 0, lim 0 f f f f ln e ( C) sin cos e cos sin v u v uu u u e e u an Arc sin Arc an u ln u, u à valeurs sricemen posiives u α α u α u u an cos Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel c) Calcul inégral Valeur moyenne de f sur [a, b] : b f d b a a Inégraion par paries : b u a b v d u v u v a b a d Formulaire de mahémaiques - - B.T.S. Opicien-luneier

8 d) Développemens limiés sin 3 5 p p p ε cos 3! 5! p!! 4! e) Équaions différenielles Équaions G a x b x 0 f k 3. PROBABILITES k nk a) Loi binomiale PX k p q b) Loi de Poisson P X k E V X X k n 4 Soluions sur un inervalle I b e où G es une primiive de a C où k e k! C k n n! k!n k! p p p ε p! ; EX np ; X npq k 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0 0,887 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,637 0, 0,68 0,3033 0,393 0,064 0,0333 0,0536 0,0758 0, ,00 0,0033 0,007 0,06 0, ,0000 0,0003 0,0007 0,006 0, ,0000 0,000 0,000 0, ,0000 0,0000 0, k Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel Formulaire de mahémaiques - - B.T.S. Opicien-luneier

9 c) Loi normale La loi normale cenrée réduie es caracérisée par la densié de probabilié : f x e EXTRAITS DE LA TABLE DE LA FONCTION INTEGRALE DE LA LOI NORMALE CENTREE, REDUITE n(0,) x P T f x d x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0, , , ,67 9 0, ,69 5 0,75 7 0, ,788 0,85 9 0, , ,583 0,6 7 0,659 0, ,79 0 0,76 0,79 0 0,88 6 0, , ,587 0,65 5 0,66 8 0, ,73 4 0,764 0, ,8 0,5 0 0,55 7 0,59 0 0,69 3 0, ,70 9 0, , , ,83 8 0,56 0 0, , ,633 0, , , , , ,85 4 0,59 9 0, , , , , ,74 0, ,80 3 0,88 9 0,53 9 0, ,60 6 0, ,677 0,7 3 0, , ,805 0,83 5 0,57 9 0, , , , ,75 7 0, , , , ,53 9 0,57 4 0,60 3 0, , ,79 0 0,75 7 0,78 3 0,80 6 0, , , ,64 0,65 7 0, ,7 4 0, ,785 0,83 3 0,838 9,0,,,3,4,5,6,7,8,9,0,,,3,4,5,6,7,8,9 0,84 3 0, , ,903 0,99 0,933 0,945 0, ,964 0,97 3 0,977 0,98 0,986 0, ,99 8 0, , , , ,998 TABLE POUR LES GRANDES VALEURS DE Noa : 0, , , , ,90 7 0, , , , ,97 9 0, ,98 6 0, , ,99 0 0, , , , ,998 0,846 0, , , ,9 0, , , , ,97 6 0, , , , ,99 0,994 0, , , ,998 0, , , ,908 0,93 6 0, , ,958 0, ,973 0, , ,987 0,990 0,99 5 0, , , , , , ,87 9 0,89 5 0, ,95 0,938 0, ,959 0,967 0, , , , , ,99 7 0, , , , ,998 4 () 0,853 0, , ,9 5 0,96 5 0, , , , , , ,984 0, , ,99 9 0, , , , , , , ,896 0,93 0,97 9 0, ,95 5 0, , , , , ,988 0, ,993 0, ,996 0,997 0, , , , , ,94 7 0,99 0,94 8 0,95 5 0,96 6 0, , , , , ,99 0,993 0, ,996 0,997 0, , , ,88 0 0, ,96 0, ,94 9 0, ,96 5 0, ,976 0,98 0, , ,99 3 0, ,995 0, , , , ,86 0, ,90 5 0,97 7 0,93 9 0,944 0, , , , ,98 7 0, , ,99 6 0, ,995 0, , ,998 0,998 6 Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel 3,0 3, 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 3,8 4,0 4,5 () 0, , , , , , , , , , Formulaire de mahémaiques B.T.S. Opicien-luneier

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