VARIABLES ALÉATOIRES CORRIGÉ

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1 S-3 VARIABLES ALÉATOIRES CORRIGÉ Aa a Les dfférentes valeurs x pouvant être prses par X sont b c d x (l enveloppe rapporte baths) et x3 x (l enveloppe ne rapporte ren), (l enveloppe rapporte 5 baths) Étant en stuaton d équprobablté, on applquera la formule : p X x card (le premer souscrpteur a le chox entre enveloppes) et d enveloppes permettant d obtenr le gan x 5 D où : P X,5 ; P X, ; P X, 5 px E X 55 V X px E X X V X 5 card A card A card où est le nombre Dans ces condtons, cette lotere est favorable aux organsateurs pusque le premer souscrpteur rsque de perdre 55 baths Cependant, l écart type étant mportant, on peut consdérer que le gan peut rasonnablement se stuer dans l ntervalle 6;5, ce qu n exclus pas une possblté de gan postf Les dfférentes valeurs pouvant être prses par Y sont y = (aucune des deux enveloppes n est gagnante), y = (une enveloppe rapporte bahts et l autre ren), y3 = (les deux enveloppes rapportent bahts), y = 3 (une enveloppe rapporte 5 bahts et l autre ren), y5 = (une enveloppe rapporte 5 bahts et l autre ), et y6 = 8 (les deux enveloppes rapportent 5 bahts) On peut utlser utlse la même règle que dans le a), avec card Alors, py y Total p Y y 3 66 p y 3 p y x - Total p X x - p x 363 p x,5,, Les calculs de py 3 et celu de py py sont semblables à S-3 Varables Aléatores - -

2 py 5 66 py Les calculs de py et py 8 sont semblables à celu de e Les calculs du tableau précédent permettent de dre que E Y p x 68 f De même, V Y p x E X Y V Y Aa Les calculs sont du même type que dans l exercce précédent est l ensemble des jetons prs parm 8 sans ordre (trage smultané) et sans répétton card 3 est équprobable (jeton ndscernable au toucher et chox au hasard) On a alors Card ( X x ) P( X x ) Card 3 P X 5 5 ; P X ; 3 8 P X P X P X 5 5 ; La lo de probablté de X est alors : x p X x 5 p x p x Total On trouve E X px,5 Le jeu est légèrement favorable au joueur V X px E X 65, d où 8,6 X V X mas l est très rsqué, la majorté des valeurs étant comprses entre -6,8 et,5 S-3 Varables Aléatores - -

3 A3a x p P( X x ) p x 3 Total p x Justfcatons : Il y a 5 chox de morceaux possbles, c est-à-dre 365 : Card = 365 On peut consdérer que l on est en stuaton d'équprobablté On a alors Card ( X x ) P( X x ) Card Card X En effet, l faut chosr morceaux parm les qu ne sont pas du rap Card( X ) D où PX ( ) Card 365 Card X En effet, l faut chosr morceau parm les qu sont du rap 3 Card ( X ) 66 et 3 morceaux parm les qu ne sont pas du rap D où PX ( ) Card De même, PX ( ) 3, PX ( 3) PX ( ) car l n y a qu une seule façon de chosr les morceaux de rap D après le tableau, on a E X px, V X p x E X , 66 D où X V X,8 3 On cherche P X P X 66, Aa 3 S on tre cartes d un jeu de 3 cartes, le nombre de mans possble est card 6 Varable aléatore X : elle peut prendre 3 valeurs,, ou P X 8 ; P X ; S-3 Varables Aléatores - 3 -

4 8 8 P X 6 6 D où la lo de probablté de X x p X x Total 6 3 Varable aléatore Y : elle ne prend que valeurs, ou Il y a trages possbles de deux cartes consécutves ( et 8, ou 8 et, etc) et, pour chacun de ces trages, on a 6 façons de l obtenr, d où : y Total PY 6 et PY PY D où la lo de probablté de Y p Y y 3 3 Consdérons l événement X Y, c'est-à-dre : «les deux cartes sont consécutves et ce sont deux cœurs On n a que trages correspondant à cet évènement ( et 8 de cœur, 8 et de cœur, etc ) Donc, P X Y, 6 Mas P X PY, D où P X Y P X PY : X et Y ne sont pas ndépendantes A5a S André nvestt tout son argent dans l actvté B, l espérance est EB, et l écart type VB,,6 d où B,6 André a «de fortes chances», en nvestssant euro, d avor un revenu entre,83 et,35 euros S on nomme X la varable aléatore donnant le revenu pour un nvestssement de euro dans ce 3 cas, on a : X A B C D ,8,,5 3,, Alors, E X E A E B E C E D ,6,,3,, Alors, V X V A V B V C V D X V X On a donc, André à «de fortes chances», en nvestssant euro, d avor un revenu entre,6 et, euros 3 L ntérêt de la dversfcaton opérée dans la queston par rapport à un nvestssement mono-actvté est de dmnuer le rsque, pusque la largeur de l ntervalle est mons mportante S-3 Varables Aléatores - -

5 A6a E X Y E X E Y E X E X E X Y E X E Y X 3 X, , ,5, 5 E Y E Y,5 3 Y Y V 3X Y V X V Y,8,5 5, ,56 Alors, X Y V X Y,5,8 V 5X Y 5V X V Y 5,8,5 Alors, X Y 5 3 5,8 Aa x 3 y 3 Lo de X Lo de Y PY PY 3 6 P X 3 P X 3 8 P X 3 8 P X P X 3 8 PY 3 Exemple de calcul pour P X 3 Y X correspond à l événement «la carte est un ro» et 3 carte est un cœur» X 3 Y (cellule encadrée en gras) Y correspond à l événement «la correspond alors à l événement «la carte est le ro de cœur» et la probablté de cet événement est P X 3 Y 3 ; j, P X x Y y PX x P Y y Les varables aléatores X et Y sont donc ndépendantes On vot que, pour tout couple d enters A8a On peut, avant toute chose, détermner le nombre total de réparttons de bulletns possbles, c'est-à-dre card Ic, les bulletns choss sont tous dfférents (texte) et aucun rôle ou ordre partculer ne leur est attrbué On utlsera donc des combnasons, et card S on note, comme on le fera pour la queston 5 F la varable aléatore égale au nombre de bulletns P F de canddates fémnnes choss par Alfred, l s agt de calculer c 3 S-3 Varables Aléatores - 5 -

6 On a card F d p P( D d ) p x p x Alors, PF card F card 5 3 Total ,5 5,, Justfcatons des calculs : 3 3 Card D Card D Card D Card 3 3 D E D 3 D après la trosème lgne du tableau, on a,5 V D et donc D D après la quatrème lgne du tableau, on a,,5,,5, S on répète cette expérence de nombreuses fos, les résultats seront majortarement comprs entre,8 (,5, ) et, (,5, ), sot ou bulletns Calculons P D F : l s agt du trage de 3 bulletns, dont deux «fémnns» et aucun de drote, ce qu est mpossble, pusqu une femme est de drote Donc, card D F D autre part, PD PF d après les questons précédentes 5 On vot que P D F P D P F : les événements ( D ) et ( F ) ne sont pas ndépendants, et les deux varables D et F non plus S-3 Varables Aléatores - 6 -