Première partie : activités numériques (12 points)

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1 revet blanc du troisième trimestre Mathématiques onsignes générales : hacune des trois parties sera rédigée sur une copie double (les figures géométriques demandées seront eécutées avec soin sur une feuille simple à part). La calculatrice est autorisée mais tout prêt est interdit. Le soin et la rigueur de l écriture mathématique seront pris en compte dans la note. (points) L usage du lanco est interdit. Première partie : activités numériques (1 points) Eercice 1 : Montrez que les nombres a, b, c, d sont des nombres entiers en faisant apparaître les étapes du calcul : 1 a = ( 1)( + 1) ( ) ; b = ; ( ) = 0 d = Eercice : 1.a) actoriser les epressions suivantes : E = ( +1) 16 b) Résoudre ( )( + ) = 0 puis = c ( ). ans cette question désigne un nombre positif. EG est un rectangle de 16 cm sur cm. est un carré de ( - ) cm de côté et KM un carré de cm de côté a) Eprimer, en fonction de, l aire 1 du carré KH et l aire de de KM H K cm G 16 cm M E b) Pour quelle valeur de, l aire 1 est-elle égale au quart de l aire de EG? c) Pour quelle valeur de, l aire 1 est-elle égale au huitième de l aire de EG? Eercice : Soit = 7 1) alculer pour = 7 ) Le nombre est-il solution de l inéquation : < ) Résoudre l inéquation < Représenter graphiquement les solutions sur une droite.

2 euième partie : activités géométriques (1 points) Eercices 1 : Soit un carré de cm de côtéet le symétrique de par rapport à. aire la figure puis tracer le point G image de dans la translation de vecteur et le point E image de dans la translation de vecteur. Tracer le point H tel que H = + 1) Quelle est la nature de? Pourquoi? ) émontrez que est le milieu de [E] Eercice : ans un repère orthonormal (O, I, J), avec le carreau comme unité, on considère les points ( ;), ( ;6), (7 ; ) et (, 1) 1) aire la figure ) alculer les coordonnées du vecteur et celle du vecteur. En déduire la nature du quadrilatère. ) alculer et. ) émontrer que est un rectangle. (On pourra utiliser les résultats obtenus en ) Troisième partie : questions enchaînées (1 points) La figure sera faite sur une feuille à part. Les questions sont indépendantes si on se sert des réponses données par l énoncé. 1) Reproduire, en vrai grandeur la figure ci-contre ne tenant compte des renseignements suivants : L unité de longueur est le centimètre. Les points, O,, sont alignés dans cet ordre. = 1 ; O = O = ; O = 6 Les droites (O) et () sont perpendiculaires. O On complètera la figure au fur et à mesure des questions.. Prouver que = et que = 6. a) émontrer que les droites () et () sont perpendiculaires. b) alculer la tangente de l angle, en déduire la valeur arrondie au degré de l angle. a. onstruire le cercle de diamètre [] qui recoupe la droite () en H. b. émontrer que le triangle H est rectangle. c. émontrer que les droites () et (H) sont parallèles. d. alculer et H. émontrer que le triangle est isocèle. 6. a. Tracer par la parallèle à la droite () elle coupe la droite (H) en G. b. émontrer que le quadrilatère G est un losange et en préciser son périmètre. 7. Montrer que le triangle O a la même aire que le losange G.

3 revet lanc orrection Première partie : Eercice 1 : Montrez que les nombres a, b, c, d sont des nombres entiers en faisant apparaître les étapes du calcul : a = = 1 = 1 1 = (1 point) ( )( ) 11 ( ) = b = = = = (1 point) ( 0) = = = 1 10 = = ( ) = ( 6 + ) = ( ) = c = (1 point) d (1 point) E = = [( + 1) ][( + 1) + ] = ( )( + (1point) b) Résoudre ( )( + ) = 0 (1point) Lorsqu un produit de facteurs est nul alors un des facteurs est nul = 0 ou + = 0 ette équation admet deu solutions et - = ou = Eercice : 1.a) actoriser les epressions suivantes : ( ) ) = = ( ) ette équation admet deu solutions + et (1point). ans cette question désigne un nombre positif. EG est un rectangle de 16 cm sur cm. est un carré de ( - ) cm de côté et KM un carré de cm de côté a) Eprimer, en fonction de, l aire 1 du carré KH et l aire de de KM b) Pour quelle valeur de, l aire 1 est-elle égale au quart de l aire de EG? c) Pour quelle valeur de, l aire est-elle égale au huitième de l aire de EG? a) 1 = ( +1) (0, point) = (0, point) G H K 16 cm M E cm ( + 1) ( + 1) = 16 après le 1) le ette équation admet deu 1 solutions + et - or est une distance donc est b) 1 = 16 = 16 donc 16 = 0 ( )( + ) = 0 positif donc Pour que l aire 1 soit égale au quart de l aire de EG, il faut que = cm (1 point) 1 c) = 16 = onc il faut résoudre ² = d après le 1) et en gardant la solution positive comme pour la question précédente : pour que l aire soit égale au huitième de l aire de EG il faut que = cm ( 1 point) 7 Eercice : Soit = 7 7 1) alculer pour = = = = = (1 point) 7 ) Le nombre est-il solution de l inéquation : < oui car < (0, point) ) Résoudre l inéquation < < < < (1 point) Représenter graphiquement les solutions sur une droite. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres plus petits strictement à - [ + (0, point)

4 euième partie : activités géométriques (1 points) Eercices 1 : Soit un carré de cm de côtéet le symétrique de par rapport à. aire la figure puis tracer le point G image de dans la translation de vecteur et le point E image de dans la translation de vecteur. Tracer le point H tel que H = + 1) Quelle est la nature de? Pourquoi? ) émontrez que est le milieu de [E] H 1) est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de [] et = G est un carré donc = donc = et est un parallélogramme. ) E est l image de dans la translation de vecteur donc E =E et E est un parallélogramme donc = E de plus = donc = E et est le milieu de [E] Eercice : ans un repère orthonormal (O, I, J), avec le carreau comme unité, on considère les points ( ;), ( ;6), (7 ; ) et (, 1) 1) aire la figure ) alculer les coordonnées du vecteur et celle du vecteur. En déduire la nature du quadrilatère. ) alculer et. ) émontrer que est un rectangle. (On pourra utiliser les résultats obtenus en ) y ( ; y y) ( ; 6 ) ( ; ) O y ( ; y y) ( 7 ; 1) ( ; ) et ont même coordonnées ils sont donc égau = donc est un parallélogramme. ( c-) + ( yc-y ) = ( 7 ) + ( ) = + 1 = 6 = ( - ) + ( y-y ) = ( ) + ( 1 6) = 1+ = 6 = et ont même longueur. Lorsqu un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c est un rectangle. onc est un rectangle.

5 Troisième partie : questions enchaînées (1 points) ) Reproduire, en vrai grandeur la figure ci-contre ne enant compte des renseignements suivants : L unité de longueur est le centimètre. Les points, O,, sont alignés dans cet ordre. = 1 ; O = O = ; O = 6 Les droites (O) et () sont perpendiculaires. On complètera la figure au fur et à mesure des uestions.. Prouver que = et que = 6 G ppliquons le théorème de Pythagore dans le riangle O rectangle en O O = -O=1-=1 ppliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ² = O² + O² ² = 6² + ² = = O rectangle en O = = 9 = ² = O² + O² ² = 6² + 1² = = = = 6 = 6. a) émontrer que les droites () et () sont perpendiculaires., en déduire la valeur arrondie au degré de l angle b) alculer la tangente de l angle a) ²= ²= ² = ² + ² = += onc ²+²=² après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en et () et () sont perpendiculaires b) ans le triangle rectangle en : côté opposé tan ˆ = ˆ tan = = = 0, donc 7 valeur arrondie au degré côté adjacent 6. a. onstruire le cercle de diamètre [] qui recoupe la droite () en H. b. émontrer que le triangle H est rectangle. c. émontrer que les droites () et (H) sont parallèles. d. alculer et H b) H appartient au cercle de diamètre [] Lorsqu un triangle H est inscrit dans le cercle de diamètre [H] alors il est rectangle en H. H est rectangle en H c) H est rectangle en H donc (H) et () sont perpendiculaires est rectangle en donc () et () sont perpendiculaires Lorsque deu droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. () et (H) sont parallèles d) = - = 1-6= 9 cm, H, sont alignés et,, sont alignés, (H) et () sont parallèles : H H Le théorème appliqué au triangles H et affirme que : = = H 6 = 1 9 = H 1 H = 9 6 O 9 6 H = = 1 H 1 1. émontrez que le triangle est isocèle.. émontrez que le triangle est isocèle. O est le milieu de [] et (O) et () sont perpendiculaires donc (O) est la droite perpendiculaire à [] qui passe en son milieu : (O) est la médiatrice de []. appartient à la médiatrice de [] donc est équidistant de et de : est un triangle isocèle. 6. a. Tracer par la parallèle à la droite () elle coupe la droite (H) en G. b. émontrez que le quadrilatère G est un losange et en préciser son périmètre. (H) et () sont parallèles donc (G) et () sont parallèles. () et (G) sont parallèles sont parallèles.

6 Lorsqu un quadrilatère a ses côtés parallèles deu à deu alors c est un parallèlogramme. e plus = Lorsqu un parallèlogramme a deu côtés consécutifs de même longueur alors c est un losange. G est un losange Périmètre= = = 1 cm 7. Montrez que le triangle O a la même aire que le losange G. O O 6 1 O O ire ( O) = = = 6cm² aire ( G) = aire( O) = = 6 = 6cm² Les deu aires sont égales.