Mécanique des sols I. Chapitre I Propriétés physiques des sols. Chapitre II Hydraulique des sols. Chapitre III Déformations des sols

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1 Mécanique des sols I Chapitre I Propriétés physiques des sols Chapitre II Hydraulique des sols Chapitre III Déformations des sols Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols

2 Chapitre III Déformations des sols 1- Contraintes dans les sols 2- Calcul des contraintes dues aux surcharges 3- Compressibilité des sols 4- Calcul du tassement méthode des couches 5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich 6- Durée des tassements 7- Consolidation secondaire 8- Dispositions constructives tassements admissibles 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles

3 Qu'est-ce qu'un tassement? Chargement d'un sol Surplus de contrainte Déformation verticale tassements Conséquences des tassements sur les structures Types de tassements uniformes - affectent peu la structure - problèmes de raccordement remblai ouvrage d'art canalisation bâtiment différentiels - peuvent entraîner des désordres importants - structure hyperstatique tassement entre 2 appuis

4 Ordre de grandeur des tassements admissibles Exemple d'une poutre de 10 mètres tassement total : 5 à 10 cm tassement différentiel : à L 2.5 à 4 cm

5 A quoi sont dus les tassements? Phénomène de compressibilité des sols diminution de volume La compressibilité résulte de : la déformation des grains de sol négligeable la compression de l'air et de l'eau contenus dans les vides négligeable instantannée l'expulsion de l'eau contenue dans les vides eau chassée des vides : tassement consolidation primaire Remarque : importance du temps et de la perméabilité des sols S i S p la compression du squelette solide réarrangement des particules consolidation secondaire S s

6 Composantes du tassement Tassement total (S t ) S t = S i + S p + S s tassement immédiat tassement de consolidation primaire tassement de consolidation secondaire S i S p S s tassement log temps - le plus important dépend fortement du temps - souvent peu important négligeable - très consolidation (surtout long terme pour les sols fins saturés) - fluage phénomène du squelette de réduction solide progressive évalué par la théorie de l'élasticité du volume en fonction du temps d'une couche de sol saturé sous l'action d'une contrainte constante

7 Méthode d'obtention des tassements Si les lois de comportement étaient connues charges appliquées lois de comportement contraintes sur les particules solides + déformations somme des déformations tassements Principe de calcul du tassement total (a) charges charges appliquées contraintes à la profondeur où on veut calculer le tassement (b) déformations étude expérimentale du sol calcul du tassement à partir des contraintes déterminées en (a) Prise en compte du temps de tassement : consolidation

8 Démarche de ce chapitre Calcul des contraintes 1- Contraintes dans les sols 2- Calcul des contraintes dues aux surcharges Calcul du tassement total 3- Compressibilité des sols sans considérer l'évolution du tassement dans le temps 4- Calcul du tassement méthode des couches Calcul du temps de consolidation 5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich 6- Durée des tassements fonction de la perméabilité du sol - sols fins - sols pulvérulents

9 1- Contraintes dans les sols 1.1 Contrainte totale 1.2 Contrainte effective postulat de Terzaghi 1.3 Contrainte réelle principe de superposition 1.4 Contrainte naturelle ou géostatique : σ v Sol homogène à surface horizontale Sol homogène à surface inclinée Sol stratifié à surface horizontale Sol inondé à surface horizontale 1.5 Contrainte due aux surcharges : Δσ z 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement

10 1.1 Contrainte totale Comment se répartissent les contraintes dans un sol, sachant que ce dernier est multiphasique? Sol global - milieu continu, sans distinction entre les phases solide et liquide - complètement saturé les contraintes exercées en un point sur une facette donnée Phases prises séparément - lois de comportement différentes - répartition des contraintes entre le solide et l'eau eau contraintes totales responsable squelette solide - des déformations - de la résistance au cisaillement - incompressible - aucune résistance au cisaillement Calcul des contraintes 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes

11 1.2 Contrainte effective postulat de Terzaghi Répartition des contraintes - contraintes transmises dans le squelette des grains solides du sol contraintes effectives σ', τ' - les seules contraintes pouvant exister dans l'eau sont des pressions τ' pression interstitielle contrainte normale, sans cisaillement Postulat de Terzaghi (autour de 1920) σ' = σ u = τ Remarques -sol sec - pas de mesure de - σ' = σ σ' u contrainte normale totale pression de l'eau contrainte effective responsable des tassements et de la résistance au cisaillement

12 Matrices de contraintes - contraintes sur les grains solides - pression interstitielle ( Σ ) s = σ τ τ x xy xz τ σ τ xy y yz τ τ xz yz σ z ( Σ) w = u u u Lorsque le sol est partiellement saturé

13 1.3 Contrainte réelle principe de superposition Principe de superposition dans le domaine élastique linéaire, l'effet produit par l'action simultanée de plusieurs forces est égal à la somme de ceux produits par chacune des forces agissant séparément σ = σ z v0 + Δσ z contrainte à la profondeur z contrainte due au poids des terres contraintes dues aux surcharges sol : milieu semi-infini élastique

14 1.4 Contrainte naturelle ou géostatique Contrainte naturelle σ v0 - contrainte dans le sol avant tout chargement supplémentaire - poids des terres Sol homogène à surface horizontale H σv = 0 γ dz σv0 0 = γh x z H σ v0 γ

15 1.4.2 Sol homogène à surface inclinée après application des équations d'équilibre σ τ y xy = γ y cosβ = = γ y sinβ = γ z cos β γ z sinβ cosβ 2 β y y z γ T n t x β y y et y x γ σ t n = z cosβ

16 1.4.3 Sol stratifié à surface horizontale σ z = σ v0 = n i= 1 γ i h i x y

17 1.4.4 Sol inondé à surface horizontale contrainte totale pression interstitielle contrainte effective σ y - u = σ y h w γ w γ sat γ w h w γ w h w y σ z γ w h w + γ sat y γ ( y) w h w + γ y σ z indépendant de h w

18 1.5 Contrainte due aux surcharges : Δσ z Surplus de charge qui va engendrer un déséquilibre du sol Δσ remblai pont Argile

19 2- Calcul des contraintes dues aux surcharges 2.1 Détermination des surcharges 2.2 Charge concentrée : Q relation de Boussinesq 2.3 Charge répartie : q Principe de calcul Charge uniforme circulaire Charge uniforme rectangulaire Charge uniforme répartie sur une surface quelconque Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai) Charge triangulaire de longueur b (talus) Distribution simplifiée 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement

20 2.1 Détermination des surcharges Cas particulier : surface uniformément chargée sol soumis à un chargement uniforme q sur une surface importante Δσ = q z transmission directe des contraintes Autres cas Δσ z q dissipation des contraintes avec la profondeur Pour le calcul de Δσz - le sol est un milieu semi-infini - le sol est élastique et non pesant

21 2.2 Charge concentrée : Q relation de Boussinesq Répartition des contraintes sous une charge ponctuelle - distribution suivant des plans horizontaux

22 - bulbe de contraintes

23 Calcul de en fonction de la profondeur z Δσ z Formule de Boussinesq (1885) ( ) θ π = + π = Δσ cos z Q z r z Q z ( ) z r r z Q z + π = Δσ N z Q z = σ Δ 2 ou ou avec N = f (r/z) abaque

24

25 2.3 Charge répartie : q Principe de calcul - Intégration de d( Δσz ) - formule de Boussinesq - principe de superposition - différentes distributions de charges - milieux semi-infinis et non pesants - Cas usuels de chargement (fondations, remblais ) - formules pour les cas simples - abaques - Principe de calcul Δσ z = I q Δσ z q I contrainte sur une facette horizontale charge verticale uniformément répartie coefficient d'influence (<1), qui dépend de -z - écartement par rapport à la zone chargée - forme et dimension de la surcharge

26 2.3.2 Charge uniforme circulaire

27 2.3.3 Charge uniforme rectangulaire Abaque de Steinbrenner - calcul sous un angle de l'aire chargée - I en fonction de L/z et B/z - L et B interchangeables

28 2.3.3 Charge uniforme rectangulaire Exemples 1 2 A I A = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 4 B 3 I B = I 1 + I 2 -I 3 -I 4

29 2.3.4 Charge uniforme répartie sur une surface quelconque Abaque de Newmark 1 carreau = 0,005 longueur ab profondeur z du point sous lequel on cherche la contrainte ouvrage dessiné à partir de cette échelle ab centre de l'abaque : point sous lequel on cherche la contrainte contrainte proportionnelle au nombre de carreaux dans la surface chargée Δσ = I q = 0, 005 z n q

30 AB = 1,5 x OQ environ 8 carreaux Δσ = I q = 0, 02 z n q Δσ Δσ z =, z = 40 kpa 250 kpa Pour une autre profondeur, nouveau dessin avec nouvelle échelle

31 2.3.5 Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai) Abaque d'österberg

32 2.3.6 Charge triangulaire de longueur b (talus) Abaque de Fadum

33 2.3.7 Distribution simplifiée - méthode la plus simple - valeur approximative des contraintes diffusion uniforme des contraintes avec la profondeur limitée par des droites faisant une pente 2:1 (vertical:horizontal) q z 2 même charge totale mais sur une surface plus grande 1 Δσ z Δσ z = 0 M P

34 3- Compressibilité des sols 3.1 Sols pulvérulents et sols fins 3.2 L œdomètre 3.3 Courbe de compressibilité 3.4 Phénomène de la consolidation primaire 3.5 Caractéristiques de la compressibilité Pression de préconsolidation Indice de compression Indice de gonflement Module œdométrique 3.6 Classification des sols vis à vis de la compressibilité Sol normalement consolidé Sol surconsolidé Sol sous-consolidé 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement

35 3.1 Sols pulvérulents et sols fins Matériau granulaire soumis à une compression unidimensionnelle - courbe contraintes / déformations (sable en compression) -déformation indice des vides - rotation du système d'axes e = f (σ)

36 - début de chargement déformations importantes - par la suite ralentissement (déformation des grains) - cycle de décharge comportement non réversible - importance de l'indice de densité I D e e max = faible : sol lâche compressible max e e min élevé : sol serré très peu compressible

37 Matériau granulaire soumis à une compression unidimensionnelle - compression en fonction du temps atteinte rapidement évacuation rapide de l'eau compressibilité tassement instantanné - seulement due à la compression du squelette solide - au moment de l'application des charges - souvent pendant la construction - identique sur sol sec, humide ou saturé

38 3.1 Sols pulvérulents et sols fins Tassement des sols fins différent pcq l'eau s'évacue moins vite - application d'une surcharge : transmission à l'eau - évacuation de l'eau : transmission au grains solides Approche phénoménologique : analogie du ressort

39 consolidation primaire

40 3.2 L'œdomètre (étude expérimentale de la compressibilité des sols) Description de l'appareillage

41 photo de l'oed

42 Procédure d'essai application d'une contrainte verticale uniforme sur l'échantillon mesure du tassement correspondant au cours du temps Δh Δh 1 Δu = 0 1 essai à 1 charge donnée log t Temps Pression interstitielle Contrainte effective Contrainte totale Tassement t = 0 u = σ σ' = 0 σ 0 fin de l'essai 1 u = 0 σ' = σ σ Δh 1

43 L'essai œdométrique fournit deux types de courbes courbe de consolidation Δh tassement de l'échantillon en fonction du temps pour une contrainte constante Δh 1 essai répété pour plusieurs contraintes croissantes sur le même échantillon log t courbe de compressibilité tassement en fonction de la contrainte appliquée

44 3.3 Courbe de compressibilité

45 3.3 Courbe de compressibilité 0 1 e 0 e H H i i + Δ = Δ i e i e e Δ = 0 Obtention de la courbe Description de la courbe t t V V H H Δ = Δ 0 s v v V V V + Δ = s s v s v V V V V V + Δ = 1 e 0 e + Δ =

46 3.4 Phénomène de la consolidation primaire déjà abordé en 3.1

47 3.5 Caractéristiques de la compressibilité Pression de préconsolidation e A B Schématisation de la courbe de compressibilité Pression de préconsolidation - entre A et B σ' p faible tassement contraintes auxquelles le sol a déjà été soumis à un moment ou à un autre de son histoire géologique, le sol a été soumis à une pression σ' p (exemple : poids des terres) σ' p C log σ' - entre B et C forte compressibilité le sol ne peut pas supporter plus que σ' p sans se déformer de façon importante le sol est soumis à des contraintes supérieures à toutes celles qu'il a déjà connues courbe vierge de compressibilité les sols sont donc des matériaux à mémoire

48 3.5.2 Indice de compression (c c ) e A B pente de la courbe vierge de compressibilité c c = Δ Δe ( logσ ) c s c c C Sables Kaolinites Illites Montmorillonites 0,01 < c c < 0,1 0,1 < c c < 0,25 0,25 < c c < 0,8 0,8 < c c < 2,5 σ' p log σ' incompressible très peu compressible peu compressible lorsque " " c c < 0,02 0,02 < c c < 0,05 0,05 < c c < 0,10 Sables moyennement compressible " 0,10 < c c < 0,20 Kaolinites assez fortement compressible " 0,20 < c c < 0,30 très compressible " Illites 0,30 < c c < 0,50 extrêmement compressible " 0,50 < c c Montmorillonites relation empirique c c = L ( w 10)

49 3.5.3 Indice de gonflement (C s ) pente d'un cycle de déchargement-rechargement Module œdométrique relie les déformations aux contraintes ΔH Δσ = E oed H E oed Δσ = = ΔH H Δσ ( + e ) 1 0 Δe = 1+ e c c Δσ Δσ log 1 + σ - non constant - dépend de l'état de contrainte initiale considérée σ' et de l'intervalle de contrainte Δσ'

50 3.6 Classification des sols selon la compressibilité Prélèvement d'un échantillon de sol à une profondeur donnée - contrainte effective à laquelle était soumis le sol : σ' v0 - essai œdométrique : σ' p Sol normalement consolidé Si σ v 0 σ p le sol est normalement consolidé (NC) e Δσ application d'une surcharge au sol tassement suivant courbe vierge σ' p log σ' dans le passé ce sol a tassé uniquement sous son propre poids

51 3.6.2 Sol surconsolidé Si σ v 0 < σ Δσ p le sol est surconsolidé (SC) e σ v0 à un moment antérieur de son histoire ce sol a été soumis à une contrainte supérieure au poids des terres actuel Ex : érosion, excavation, changement de niveau de la nappe phréatique σ' p log σ' Sol sous-consolidé consolidation primaire pas terminée le sol n'a pas encore été soumis à une contrainte aussi élevée que σ' v0 (poids des terres actuel) e σ v0 Δσ Ex : remblai récent, mal compacté σ' p log σ'

52 Bilan - Intérêt de la classification e - fondations sur sol surconsolidé σ v + Δσ < σ faibles tassements, 0 p voire négligeables - fondations sur sol normalement consolidé toute surcharge entraîne un tassement, dépendant de c c - sol sous-consolidé inconstructibles sans traitement particulier déformations même sans surcharge σ v0 Δσ e Δσ e Δσ σ v0 σ' p log σ' σ' p log σ' σ' p log σ'

53 4- Calcul du tassement méthode des couches Δ e et Sol normalement consolidé Δe c = c Δ( logσ ) ( ) σ = c log c 1+ ΔH H Δe = 1+ e 0 log log 1+ Δσ σ v0 σ + Δσ log Δσ σ ΔH = H e cc + e σ' p Δσ Δ( logσ ) log + Δe σ σ + Δσ Δσ σ v log σ' 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement

54 Sol surconsolidé e σ v 0 < σ p Δσ σ v0 σ' p σ v0 + Δσ log σ' log σ σ p log v0 ( σ v 0 ) log p log + Δσ σ Δ cs 1+ e σ log σ v H cc 1+ e σ log p v0 H = H Δσ σ p

55 Méthode des couches sol découpé en n couches de hauteur H i calcul du tassement de chacune des couches - 1 essai oedométrique par couche -c c et σ ' p par couche - σ ' v0 et Δσ ' par couche s = n i= 1 Δ H i Δσ'

56 5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich 5.1 Hypothèses 5.2 Équation de la consolidation 5.3 Solution de l équation de Terzaghi 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles

57 Degré de consolidation Calcul précédent tassement total d'un sol fin - surpressions interstitielles évacuées - surcharges reprises par les grains solides Pour un sol très fin quelques mois à plusieurs années - où en est la consolidation primaire? - combien de temps pour avoir le tassement total? Utilisation de la théorie de Terzaghi et Frohlich - degré de consolidation moyen d'une couche compressible st U = tassement de la couche au temps t s tassement final de la couche en %

58 Sachant que - le tassement est fonction de la diminution de la surpression interstitielle plus l'eau s'évacue plus les grains solides reprennent la surcharge Δσ ' plus le tassement progresse On peut montrer que U = s s t Δu = 1 surpression interstitielle au temps t Δ u i surpression interstitielle initiale - à l'instant initial (t=0) Δu = Δu U = 0 - à la fin de la consolidation Δu = 0 U = 1 i

59 5.1 Théorie de la consolidation - Hypothèses Description du problème - couche compressible d'épaisseur constante 2h - entre 2 couches de matériaux perméables (sable ou gravier) - surcharge uniformément répartie Hypothèses 1- étude de la consolidation primaire 2- sol de la couche compressible homogène 3- grains + fluide incompressible 4- sol saturé 5- loi de Darcy applicable 6- k constant sur 2h 7- squelette élasticité linéaire (E oed constant) Δσ 2h couche perméable couche compressible couche perméable

60 5.2 Équation de la consolidation On démontre que la consolidation U au temps t (en %) : U = 1 Δu Δ u i = 1 2h 0 Δ u (z, t) 2h Δσ Δσ dz Δσ Δu - aire sous isochrone t i - surpression interstitielle en un point z, au temps t - aire sous isochrone initiale (t=0) - surpression interstitielle initiale (=Δσ) 2h t f t 4 t=0 t 3 t 2 t 1 Δu(z, t) isochrones z

61 Degré de consolidation il suffit de déterminer Δu(z, t) pour trouver le degré de consolidation U = 1 2h 0 Δu (z, t) 2h Δσ dz la façon dont se répartie la surpression interstitielle sur la couche compressible en fonction du temps Équation de la diffusion Δu(z, t) peut être représenté par l'équation de la diffusion de l'eau ou de la chaleur Δu t = c v 2 Δu 2 z c v = coefficient de consolidation verticale c v k E γ oed = (m 2 /s) w

62 5.3 Solution de l équation de Terzaghi Résolution d'une équation différentielle du second degré solution à partir d'une série de Fourier Conditions limites Δu Δu ( 0, t) = 0 ( 2h, t) = 0 surpressions interstitielles nulles aux frontières de la couche si t = 0 Δu = Δui = Δσ Solution de l'équation Δ u z, t) = Δσ f 1 (Z) f (T) ( 2 Z et T sont des paramètres sans dimension

63 Paramètres sans dimension Z : paramètre géométrique T : facteur temps Retour au degré de consolidation U = 1 U = 1 2h 0 8 π Δu 2 2h (z, t) Δσ dz 1 n exp n 2 π 4 2 T v en remplaçant Δu(z, t) on obtient : indépendant des caractéristiques géométriques (h) ou mécaniques U = f (T ) U ne dépend que de T V v T v cv k E = t = 2 2 d d γ oed t c v : coefficient de consolidation (k, E oed ) du problème ces caractéristiques ne sont utilisées que pour le calcul de T v w d : distance de drainage t : temps

64 U = f (T ) fonction indépendante et unique v T v U (%) U = T 3 v 3 T v

65 6- Durée des tassements 6.1 Détermination de c v àl'œdomètre méthode de Casagrande 6.2 Temps nécessaire pour obtenir le tassement final 6.3 Consolidation d'un sol composé de plusieurs couches 6.4 Prise en compte du temps de chargement 6.5 Réduction du temps de consolidation Méthode des drains Méthode des surcharges 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles

66 6- Durée des tassements À partir de T v T v c c v : coefficient de consolidation v = t d 2 d : distance de drainage t : temps Pour U donné T v par U= f (T v ) t = d c 2 v T v

67 Exemple H = 1 m c v = 2 x 10-8 m 2 /s t = d c 2 v T v U = 50% T v = 0,197 U = 100% T v 2 t = 114 jours t = 1157 jours (3 ans et 2 mois) U = 50% U = 100% t = 28 jours t = 289 jours drainage par 2 faces temps divisé par 4

68 6.1 Détermination de c v à l'œdomètre méthode de Casagrande À partir de la courbe de consolidation tassement log t application de la relation cv Tv = t d 2 pour un degré de consolidation U de 50% c v = T v d t 2 T v = (pour U=50%) d = distance de drainage (demi épaisseur de l'échantillon dans l'oedomètre t = t 50 = temps nécessaire pour atteindre 50% de la consolidation primaire

69 Détermination de t 50

70 Ordre de grandeur de c v

71 6.2 Temps nécessaire pour obtenir le tassement final déjà abordé en 6.0

72 6.3 Consolidation - sol composé de plusieurs couches Couche équivalente unique homogène d'épaisseur H t c ve = i i h i hi c vi 2 2

73 6.4 Prise en compte du temps de chargement Théorie de Terzaghi et Frohlich chargement instantanné du sol Correction pour la prise en compte du temps de construction (t c ) Hypothèses - surcharge appliquée linéairement en fonction du temps - pour une surcharge donnée tassement au temps t = tassement au temps t/2 surcharge progressive surcharge instantannée

74 courbe théorique : charge appliquée instantanément à t 0 = 0 chargement linéaire entre t 0 et t 1 tassement réel à t 1 (B) = tassement observé si σ 1 avait été appliquée à t 1 /2 (A)

75 pour t > t 1, la courbe réelle translation AB de la courbe théorique pour t < t 1 tassement réel à t i = tassement à t i /2 mais pour σ i < σ 1 U' = degré de consolidation à t i /2 pour σ 1 U pour σ i : U σ i = U σ 1 tassement pour une contrainte σ 1

76 x

77 6.5 Réduction du temps de consolidation Accélération de la consolidation Deux principales méthodes Méthode des drains t T d c 2 v = pour diminuer t, il faut augmenter c v v c v k E γ oed = donc augmenter k w Principe favoriser la drainage de la couche compressible - forages verticaux perméables qui traversent la couche compressible -tramerégulière

78 Théorie de la consolidation de Terzaghi généralisée en 3D ( )( ) 1 U = 1 U 1 U v r - consolidation verticale - consolidation radiale U v cv cr Tv = t 2 Ur Tr = t 2 d D

79 - consolidation radiale U r cr Tr = 2 D t c r = coefficient de consolidation radiale c r = c v k k h v D = diamètre de la zone d'influence du drain D = 1.05 L D = 1.13 L

80 Exécution des drains

81 6.5.2 Méthode des surcharges ajout de charge sur le sol Δσ n'affecte pas la relation U = f (T v ) P 0 : charge de service de l'ouvrage à construire et sa courbe de consolidation Procédé : avant construction, appliquer une surcharge provisoire P 1 sa courbe de consolidation pour obtenir s (P 0 ) appliquer P 1 pendant t 1 puis enlever la surcharge en pratique, P 1 est laissée moins longtemps (t 2 < t 1 ) obtention de s u (s -s u sans dommage pour l'ouvrage) tassement final sous P 0 P 1 > P 0

82 7- Consolidation secondaire Fluage du squelette minéral solide 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles

83 8- Dispositions constructives tassements admissibles 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles

84

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