SÉRIES DE FOURIER JEAN-PAUL CALVI

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1 SÉRIES DE FOURIER JEAN-PAUL CALVI. Approximaion des foncions par des séries de Fourier.. Séries de Fourier d une foncion inégrable.... Définiion. Soi f : R C une foncion périodique inégrable sur [,] ie f(x) dx <. On noe f L([,]). On appelle série de Fourier de f la série de foncions rigonomériques a (f) + a n (f) cos(nx) + b n (f) sin(nx) (..) où a n (f) = n= f() cos(n) d e b n (f) = f() sin(n) d. (..) Ces coefficiens son appelés les coefficiens de Fourier de f. Puisque f L[,], ils son bien définis e par conséquen la série aussi. Pour un x donné, la série (..) peu ou non converger e lorsqu elle converge sa limie peu ou non êre égale à f(x). Le bu de ce cours es de donner, puis d appliquer, des résulas fondamenaux qui assuren la convergence de la série (..) vers f(x) lorsque f n es pas une foncion rop singulière. On noera S n (f,x) ou, s il n y a pas d ambiguïé sur la foncion considérée, S n (x), la n-ième somme parielle de la série (..), S n (x) = n a (f) + a k (f) cos(kx) + b k (f) sin(kx). (..3) k=... Observaions sur la définiion. () La héorie que nous allons développer a un pendan immédia pour les foncions de période l quelconque (non nul) dans R (voir plus loin les exemples de séries de Fourier). () Si f es paire alors { bn(f) = (n ) a n(f) = f() cos(n) d (n ) (3) Si f es impaire {an(f) = (n ) b n(f) = f() sin(n) d (n ). (4) De nombreux aueurs écriven la série de Fourier en faisan inervenir les foncions e inx pluô que les foncions cos nx e sin nx. La foncion S n(f,x) devien alors S n(f,x) = k=n k= n α k (f)e ikx (..4) Dae: 6 janvier 5. Préparaion au concours inerne de l agrégaion de mahémaique.

2 JEAN-PAUL CALVI où α k (f) = f(x)e ikx dx. (..5) On vérifie aisémen que les formules (..4) e (..3) coïnciden. La formule (..4) a l avanage d êre plus symérique...3. Formule de Dirichle. On appelle n-ième noyau de Dirichle la foncion de deux variables x e définie par K n (x,) = + n cos(nx) cos(n) + sin(nx) sin(n) (..6) k= = + n cos {n(x )}. (..7) k= En remplaçan les coefficiens de Fourier par leur expression inégrale dans S n (f,x) puis en permuan les signes e n k= on obien : Théorème (Formule inégrale pour S n (f)). S n (f,x) = Théorème (Expression du noyau de Dirichle). Corollaire 3. K n (x,) = Q.. Démonrer le héorème e son corollaire. K n (x,)f()d. (..8) sin { (n + )(x )} sin {. (..9) (x )} sin { (n + )} sin { d =. (..) } [Il s agi de calculer + n k= cos(nu). On pourra uiliser cos u = R(eiu ).] Théorème 4 (Formule du rese). On a S n (f,x) f(x) = [f(x + ) + f(x ) f(x)] sin { (n + )} sin d (..) Q.. Démonrer (..). On effecuera un changemen de variable dans (..8) dans laquelle on remplace K n (x,) par l expression (..9)...4. Foncion de Dini. Le héorème précéden laisse deviner l imporance que la foncion Φ = Φ f,x définie par Φ() = f(x + ) + f(x ) f(x) aura dans l éude de la convergence de S n (f,x). Nous appellerons cee foncion Φ la foncion de Dini de f pour x. Avec cee noaion la formule de rese ci-dessus devien S n (f,x) f(x) = Φ() sin { (n + )} sin d (..) Plus généralemen, s il s agi de démonrer la convergence de S n(f,x) vers S, on considèrera Φ S définie par Φ S () = f(x + ) + f(x ) S qui donne la formule de rese S n(f,x) S = Φ S () sin { (n + )} sin d (..3)

3 SÉRIES DE FOURIER 3.. Convergence.... Lemme de Riemann-Lebesgue. Théorème 5. Soi f L([a,b]). On a b lim λ a f()e iλ d =. En pariculier les coefficiens de Fourier a n (f) e b n (f) d une foncion f -périodique inégrable enden vers lorsque n end vers. Q. 3. Démonrer le héorème. On commencera par le cas où f es une foncion consane par morceaux puis on uilisera (en l admean) la densié de ces foncions dans L([a,b])... Théorème de Dini. Sous les hypohèses (sur f) e avec les noaions précédenes, on a : Théorème 6 (Dini). S il exise δ > el que Φ() soi inégrable sur [,δ] alors S n (f,x) converge vers f(x). Plus généralemen, posan Φ S () = f(x + ) + f(x ) S, la suie S n (f,x) converge vers S dès lors que ΦS () es inégrable sur un inervalle [,δ] avec δ ],[. Q. 4. Démonrer le héorème de Dini. On parira de la formule d erreur dans laquelle on découpera l inervalle en deux sous inervalles [,δ] e [δ,] e sur chacun de ces deux sous-inervalles on appliquera convenablemen le lemme de Riemann- Lebesgue. Corollaire 7. Si f vérifie une condiion de Lipschiz d ordre α > au voisinage de x alors S n (f,x) converge vers f(x). Q. 5. Démonrer le corollaire. Rappel. Dire que f vérifie une condiion de Lipschiz d ordre α > au voisinage de x signifie qu il exise η > el que pour ou (, ) [x η,x+η] on a f() f( ) K. α. Corollaire 8. Si ΦS () es bornée au voisinage de alors S n (f,x) converge vers S...3. Le crière de Dirichle. On noe, lorsque les limies exisen, f(x ) = lim f(x) e f(x + x x ) = lim f(x).,x<x x x,x>x Lorsque ces limies exisen mais son différenes on di que f a une disconinuié de première espèce en x. On di ensuie que f adme des dérivées généralisées à gauche (f g (x )) e à droie (f d(x + )) en x lorsque les limies suivanes exisen e f g (x ) = lim f(x + h) f(x ) f(x = lim ) f(x h) h,h< h h,h> h f d (x + ) = lim h,h> f(x + h) f(x + ). h Corollaire 9 (Crière de Dirichle). Si f adme des dérivées généralisées à droie e à gauche en x alors S n (f,x ) converge vers (f(x+ ) + f(x )).. Cela signifie que quels que soien f L[a,b] e ɛ >, il exise une foncion consane par morceaux g elle que b a f() g() d ɛ.

4 4 JEAN-PAUL CALVI Q. 6. (Exemples) Eablir les formules suivanes en appliquan le héorème de Dirichle à des foncions correcemen choisies. () Pour x [,], En déduire la valeur de n= () Pour x ],[ e a R on a ( x ) = n cos(nx). e ax = ea { Que dire pour x =? (3) Pour x ],[ e a R on a e ax = ea a + n= n. a + n= n= n= } a cos nx n sin nx. a + n {( ) n e a a cos nx } a + n. Que dire pour x =? (4) Pour x ],[ e a R on a e ax = { ( ) n e a n sin nx } a + n. Que dire pour x =? (5) On uilise la noaion [x] pour désigner la parie enière du réel x. Monrer que pour ou x non enier on a [x] x + = n= sin nx. n. Applicaion au problème de Dirichle.. Enoncé du problème. On rappelle que C(,) (respecivemen, D(,)) désigne le cercle unié (respecivemen, le disque unié) dans R C i.e. C(,) = {z C : z = } = {(x,y) R : x + y = } (..) e D(,) = {z C : z < } = {(x,y) R : x + y < }. (..) Ean donnée une foncion coninue f sur C(,), le problème consise à rouver une foncion f coninue sur le disque fermé D(,) elle que { f x + f y = sur D(,) f = f sur C(,) (Problème de Dirichle) La première équaion di que la foncion f doi êre harmonique sur le disque ouver. Nous admerons que le problème de Dirichle adme oujours une soluion unique... Soluion du problème de Dirichle. On défini F : R R, -périodique coninue elle que F (θ) = f (e iθ ), θ R. Théorème. Si F es développable en série de Fourier i.e. F (θ) = a (F ) + a n (F ) cos(nθ) + b n (F ) sin(nθ) (θ R) avec n= ( a n (F ) + b n (F ) ) < (..) n=

5 SÉRIES DE FOURIER 5 alors l unique soluion du problème de Dirichle es la foncion f définie sur D(,) par f(r cos θ,r sin θ) = a (F ) + {a n (F ) cos(nθ) + b n (F ) sin(nθ)} r n. (..) n= L hypohèse (..) es fore puisqu elle implique que la série de Fourier de F es normalemen convergene. On rouvera dans la parie 4. des condiions raisonnables pour qu une foncion f la saisfasse. Q. 7. Soi f C (D(,)). On défini g sur Ω :=],[ R par g(r,θ) = f(r cos θ,r sin θ). Monrer que g C (Ω) e que pour D(,) (x,y ) = (r cos θ,r sin θ ) e on a f x (x,y ) + f y (x,y ) = (..3) r g r (r g,θ ) + r r (r,θ ) + g θ (r,θ ) = (..4) Q. 8. Vérifier que la série définie par le erme de droie dans (..) converge vers une foncion coninue sur D(,) e que sa limie es soluion du problème de Dirichle. 3. La héorie de Fejer 3.. Moyenne de Cesaro. Ean donnée une suie u = (u n ) de nombres complexes, on appelle moyenne de Cesaro de u, la suie v = (v n ) définie par v n = v + + v n (n N). n L élémen v n es donc la moyenne arihméique sandard des n premiers ermes (quand on commence à n = ) de la suie u. On démonre facilemen que lorsque u converge vers l alors v converge aussi vers l mais il peu arriver que v ai une limie sans que u soi convergene (rouver un exemple). On di alors que u converge au sens de Cesaro on di aussi que u converge C vers. On doi au mahémaicien hongrois Fejer le résula remarquable que pour oue foncion f coninue périodique, la suie S n (f,x) converge C vers f(x). On noera σ n (f,x) = S (f,x) + + S n (f,x) (n N, x R) (3..) n 3... Formule de FeFjer. On appelle n-ième noyau de Fejer la foncion de deux variables x e définie par F n (x,) = n K j (x,). (3..) n Il découle alors de (3..) e de la formule inégrale pour S j (f), voir (..8), que σ n (f,x) = j= Théorème (Expression du noyau de Fejer). F n (x,) = n F n (x,)f()d. (3..3) sin { n (x )} } (3..4) sin { x

6 6 JEAN-PAUL CALVI Q. 9. Démonrer le héorème. [Il s agi de calculer n k= sin{(k + )u}. On pourra uiliser sin u = I(eiu ).] Théorème (Inégrale du noyau de Fejer). sin ( ) n n sin ( d =. ) (n N) (3..5) Q.. Démonrer le héorème. [Se dédui immédiaemen de (..).] Théorème 3 (Formule du rese). On a σ n (f,x) f(x) = { } [f(x + ) + f(x ) f(x)] sin n n sin { } d (3..6) En employan la foncion Φ f,x de Dini, la formule de rese es Q.. Démonrer (3..6). σ n (f,x) f(x) = n { } Φ f,x () sin n sin { } d (3..7) 3.. Le héorème de Fejer. Il affirme que S n (f,x) converge C vers f(x) pour oue foncion coninue e que la convergence es uniforme. En d aures mos Théorème 4 (Fejer, 94). Soi f C(R), périodique. La suie de foncions σ n (f,.) converge uniformémen vers f sur R. Q.. (Démonsraion) Fixons ɛ >. Nous allons monrer qu il exise n = n (ɛ) N el que pour n n on a σ n (f,x) f(x) ɛ (x R) ce qui monrera la convergence uniforme annoncée. () Monrer qu il exise δ ],[ el que [,δ] Φ f,x () ɛ (x R). [On uilisera l uniforme coninuié de f.] () Nous ravaillons mainenan avec le δ rouvé dans la quesion précédene. Monrer que { } Φ f,x () sin n n δ sin { } d 4 sup f. [,] n sin (x R, n N). (δ/) (3) Conclure la démonsraion : prouver l exisence du n (ɛ). Q. 3. En adapan la démonsraion précédene démonrer le Théorème 5. Soi f définie sur R, périodique, inégrable sur [,]). Si f es coninue en x (respecivemen, adme une disconinuié de première espèce en x ) alors σ n(f,x ) converge vers f(x ) (respecivemen, vers {f(x+ ) + f(x )}).

7 SÉRIES DE FOURIER 7 4. Applicaion du héorème de Fejer 4.. Densié des polynômes rigonomériques. Noons C (R) l ensemble des foncions coninues sur R e -périodiques. C es un espace vecoriel, e lorsque on le muni de sa norme naurelle f := sup R f(x) il devien un espace de Banach On appelle polynôme rigonomérique de degré n oue foncion de la forme P (x) = n α j cos(jx) + β j sin(jx) j= où les coefficiens α j e β j son des nombres réels. L ensemble Π des polynômes rigonomériques es évidemmen un sous-espace vecoriel de C (R). Théorème 6. L espace Π es dense dans C (R). Auremen di, oue foncion coninue -périodique f es la limie d une suie uniformémen convergene (sur R) de polynômes rigonomériques. Q. 4. Démonrer le héorème. Q. 5. Soi f C (R). Monrer que pour ou ɛ >, il exise un polynôme rigonomérique p el que f p f + ɛ sur R. En d aures mos, oue foncion coninue peu êre uniformémen approchée "par valeurs supérieures" par un polynôme rigonomérique. 4.. Applicaions. Théorème 7. Soien f e g deux foncions dans C (R). Si ous les coefficiens de Fourier de f e de g coinciden alors f = g. Corollaire 8. Si la série de Fourier de f C (R) converge uniformémen sur R alors sa limie es forcémen égale à f. Corollaire 9. Si f C (R) es dérivable sur R e si sa dérivée f vérifie une condiion de Lipschiz d ordre α avec α > alors S n(f,x) converge uniformémen (e même normalemen) vers f sur R. Q. 6. Démonrer le héorème e ses corollaires. Pour le second corollaire, on monrera, en effecuan une inégraion par parie dans les formules donnan a n(f) e b n(f), que l hypohèse sur f implique que le erme général de la série de Fourier de f es dominé, en valeur absolue, par le erme général d une série de Riemann convergene. Précisémen, on commencera par éablir que puis que a n(f) = n f (x) sin(nx)dx a n(f) = + f (x + /n) sin(nx)dx. n Q. 7. Monrer que pour ou θ R e r < on a le développemen de Fourier r cos θ r cos θ + r = + r n cos(nθ). n=. On le démonre direcemen ou bien en remarquan que c es un sous-espace fermé de l espace de Banach des foncions coninues bornée sur R.

8 8 JEAN-PAUL CALVI 4.3. Applicaion à la démonsraion du héorème de Weirsrass. Théorème. Soi [a,b] un inervalle fermé borné de R. Toue foncion coninue sur [a,b] es la limie d une suie uniformémen convergene de polynômes. Q. 8. (Démonsraion) () Monrer qu il suffi de démonrer le héorème dans le cas où [a,b] = [,]. () Soi f C[,]. Consruire une suie de polynômes qui converge uniformémen vers f à parir d une suie de polynômes rigonomériques qui converge vers f cos C (R). 5. Théorie L des séries de Fourier 5.. L espace de Hilber L. L espace des foncions (réelles ou complexes) de carré inégrable sur [,] i.e. f(x) dx < es un espace de Hilber pour le produi scalaire (f,g) := f(x)g(x)dx. En réalié, les élémens de ce ensemble ne son pas des foncions mais des classes d équivalence de foncions produies par la relaion d équivalence R définie par frg si f g = sur [,] excepé sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. Toue foncion f de carré inégrable es inégrable sur [,], on peu donc considérer sa série de Fourier. 5.. Séries de Fourier comme projecions orhogonales. Une famille F (de veceurs non nuls) d un espace de Hilber H es orhogonale lorsque on a (f,g) = quels que soien f g dans F. On di qu un famille orhogonale es complèe lorsque l espace vecoriel V (F) engendré par la famille F es dense dans H. Q. 9. Monrer que la famille T := {x cos(nx), n N} {x sin(nx), n N } es un famille orhogonale complèe de L [,]. (Pour la compléude, on pourra uiliser (en l admean) que l espace des foncions coninues es dense dans L [,].) Q.. Soi f L [,]. () Monrer que S n (f) es la projecion orhogonale de f sur l espace Π n formé des polynômes rigonomériques de degré inférieur ou égal à n (de sore que f S n (f) = inf s Π n f s. () En déduire que lim n S n (f) = f dans L [,]. On prendra garde que cee convergence es bien différene d une convergence uniforme (ou même simple) d une suie de foncions. (3) En déduire l égalié de Parseval qui affirme que pour oue foncion f L [,] on a f(x) dx = a + (a n + b n). Q.. Soi δ ],[. () Monrer en considèran la foncion -périodique f définie par f(x) = si x δ e f(x) = si δ < x l idenié suivane n= n= sin(nδ) n n= = δ. () Déduire ensuie de l inégalié de Parseval sin (nδ) n = δ. δ

9 SÉRIES DE FOURIER 9 (3) Déduire enfin en faisan δ ( ) sin x dx = x. Laboraoire de Mahémaiques E. Picard, Universié Paul Sabaier 36 Toulouse Cedex FRANCE. address: calvi@picard.ups-lse.fr