Les triangle ayant les mesures suivantes existent-t-ils? 5 ; 9 ; = 13 or 11 < 13 donc ce triangle existe

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1 I) Rappel sur l'inégalité triangulaire. Prop: Dans un triangle, la longueur 'un côté est inférieure à la somme es longueurs es eux autres côtés. En pratique, il suffit e vérifier cette inégalité seulement pour le plus gran es côtés. Exemple: Les triangle ayant les mesures suivantes existent-t-ils? 5 ; 9 ; = 13 or 11 < 13 onc ce triangle existe 7 ; 2 ; = 5 or 7 > 5 onc ce triangle n'existe pas. 8 ; 5 ; = 8 onc les trois points sont alignés. II) Distance 'un point à une roite. Df: La istance 'un point à une roite est la istance entre ce point et le pie e la perpeniculaire à passant par. est le pie e la perpeniculaire à passant par est la istance u point à la roite M ' Prop: La istance 'un point à une roite est la istance la plus courte entre le point et un point e la roite. 1

2 Démonstration: Soit le point ' symétrique u point par rapport à et M un point quelconque e la roite. lors = ' et M = M' D'après l'inégalité triangulaire, ans le triangle 'M, ' < M + 'M onc + ' < M + 'M onc + < M + M onc 2 < 2 M onc < M III) Tangente à un cercle. Df: Une tangente à un cercle est une roite ayant un seul point en commun avec ce cercle. Prop: La tangente à un cercle en un point est perpeniculaire au rayon u cercle en ce point. Exemple 'application: Soit un cercle ( ) e centre e rayon 5 cm. Soit un point e ( ), la tangente t à ( ) passant par et un point M e tel que M = 7 cm Quelle est la longueur M? ( ) 5 cm M 7 cm D est la tangente à ( ) passant par onc () onc M est un triangle rectangle en, et je peux appliquer le théorème e Pythagore: M² = ² + M² onc M² = 5² + 7² onc M² = onc M² = 74 onc M = 74 cm onc M 8, 6 cm 2

3 III) issectrices es angles 'un triangle. 1) Définition e la bissectrice 'un angle. Df: La bissectrice 'un angle est une roite qui passe par le sommet e l'angle et qui le partage en eux angles e même mesure. b () est la bissectrice e l'angle onc = 2) Propriété caractéristique e la bissectrice 'un angle. Prop: Si un point appartient à la bissectrice 'un angle, alors il est situé à égale istance es côtés e l'angle. Partie réciproque: Si un point est équiistant es côtés 'un angle, alotrs il est situé sur la bissectrice e cet angle. 3

4 3) Point e concours es bissectrices ans un triangle. Prop: Dans un triangle, les trois bissectrices es angles sont concourantes en un point qui est le centre u cercle inscrit ans ce triangle. I! Rq Pour construire le cercle circonscrit, on construit 'abor I le point e concours es bissectrices es angles u triangle. Le rayon u cercle est la istance entre le point I et un es côtés u triangle. Donc pour trouver le rayon u cercle, on trace une roite perpeniculaire à un es côtés passant par I, ette roite coupe le côté en un point qui appartient au cercle. IV) auteurs ans un triangle. Df: Dans un triangle, une hauteur est une roite passant par un sommet et perpeniculaire au côté opposé à ce sommet. Prop: Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point qui est appelé l'orthocentre u triangle.! Rq Si le triangle est "aplati", onc eux e ses hauteurs ne passent pas par l'intérieur u triangle, et l'orthocentre se trouve à l'extérieur u triangle. 4

5 E E F F Dans les eux cas e figure, ans le triangle, (E) est la hauteur issue e, ou encore, la hauteur relative à (). (F) est la hauteur issue e, ou encore, la hauteur relative à () () est la hauteur issue e, ou encore, la hauteur relative à () est l'orthocentre u triangle V) Méianes ans un triangle.( Rappel ) Df : Dans un triangle, une méiane est une roite qui passe par un sommet et par le milieu u côté opposé à ce sommet. Prop: Dans un triangle, les trois méianes sont concourantes en un point qui est appelé centre e gravité u triangle. Dans le triangle, ' (') est la méiane issue e ou encore, la méiane relative à [] ' (') est la méiane issue e ou encore, la méiane relative à [] ' (') est la méiane issue e ou encore, la méiane relative à [] 5