4 Calcul d une énergie potentielle

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1 Feuille d exercices P13 Lycée Hoche BCPST1A A. Guillerand Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Exercices d application 1 Mouvement de glissement sans frottement On considère un objet ponctuel de masse glissant sans frottement à l intérieur d une portion circulaire (cf. figure 1) l approximation des petits angles pour déterminer cette vitesse? Donner son expression pour. 4 Calcul d une énergie potentielle On démontre que, pour tout point de masse, situé à l intérieur de la Terre, à la distance du centre de la Terre, l attraction terrestre est une force agissant sur ce point, dirigée vers le centre de la Terre et de valeur : Figure 1 À l aide du théorème de l énergie cinétique, déterminer la vitesse minimale qu il faut communiquer à la masse en pour qu elle puisse atteindre. : rayon de la Terre,, Données numériques :, On considère (figure suivante) un tunnel rectiligne, d axe ne passant pas par et traversant la Terre. On note la distance du tunnel au centre de la Terre. 2 Mouvement de glissement avec frottement On considère une masse glissant avec frottement sur un plan incliné d angle (cf. figure 2). Le coefficient de frottement dynamique noté vérifie la condition suivante :. Figure 2 À l aide du théorème de l énergie cinétique, déterminer la vitesse minimale qu il faut communiquer à la masse en pour qu elle puisse atteindre. 3 Pendule simple Figure 3 Un véhicule, assimilé à un point matériel (masse ), glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du point de la surface terrestre, sans vitesse initiale. On définit l énergie potentielle de gravitation. 1. Quelle est l expression de sachant que au point? (On prendra l origine des au point ) 2. Quelle est sa vitesse maximale au cours de son mouvement? Calculer sachant que Un pendule est constitué d un objet de masse au bout d un fil de longueur. Il est lâché sans vitesse initiale depuis un angle mesuré à partir de la verticale. Déterminer la vitesse de la masse lorsque le fil est incliné d un angle quelconque. Est-il nécessaire de faire Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 1

2 Feuille d exercices P13 Lycée Hoche BCPST1A A. Guillerand Chute libre On lance un objet de masse à la vitesse à, on choisit l origine du repère au niveau de la position de départ de l objet. Le vecteur unitaire est orienté verticalement vers le haut. À l aide du théorème de l énergie mécanique, déterminer la norme de vitesse en fonction de l altitude. 8 Graphe d énergie potentielle et régions accessibles Soit le graphe de l énergie potentielle de la figure 5. 6 Distance d arrêt Un objet de masse lâchée en, sans vitesse initiale, glisse sans frottement sur un plan incliné puis avec frottement sur un plan horizontal (cf. figure 4). Le coefficient de frottement dynamique noté vérifie la condition suivante :. Figure 5 : graphe de l énergie potentielle 1. En déduire l allure du graphe donnant la variation de la force en fonction de. 2. Quelle est la position d équilibre? Est-elle stable? Quelles sont les régions accessibles si et si? Figure 4 À l aide du théorème de l énergie mécanique, calculer la distance d arrêt. 7 Ressort vertical et pendule simple 1. Ressort vertical Un objet ponctuel de masse, lié à un ressort vertical de constante de raideur et de longueur à vide, est lâché sans vitesse initiale, le ressort étant étiré initialement : longueur. A l aide du théorème de l énergie mécanique, déterminer l équation différentielle du mouvement. (On ne résoudra pas l équation). 2. Pendule simple Un pendule est constitué d un objet de masse au bout d un fil de longueur. Il est lâché sans vitesse initiale depuis un angle mesuré à partir de la verticale. A l aide du théorème de l énergie mécanique, déterminer l équation différentielle du mouvement. (On ne résoudra pas l équation). Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 2

3 Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Exercices d entraînement 8 Jeu de foire Dans une foire, un jeu de force consiste à taper avec une masse sur un levier qui transmet une force verticale à un objet de masse. Le joueur gagne si l objet fait tinter (grâce au choc) une cloche située à la hauteur au dessus du levier. 1. Quelle doit être la vitesse initiale minimale transmise à l objet pour gagner, en l absence de frottement entre l objet et son guide vertical? 2. Le forain est un peu tricheur : il a placé sur le guide un matériau qui introduit une force de frottement opposée au mouvement et de norme constante. Calculer la nouvelle vitesse initiale à communiquer à la masse pour gagner 9 Cube On abandonne sans vitesse initiale un cube de masse sur un plan matériel incliné d un angle avec l horizontale. Le cube glisse sans frottement sur la ligne de plus grande pente sur une distance avant de butter sur un ressort de constante de raideur et de longueur à vide. 1. Déterminer par une analyse énergétique de combien se retrouve comprimé le ressort au maximum. 2. Quelle est la longueur du ressort quand la vitesse du cube est maximale? Figure 1 10 Amortissement Un objet de masse est lâché sans vitesse initiale depuis une altitude dans le champ de pesanteur. Figure 2 Afin d amortir sa chute, on place dessous un ressort de constante de raideur et de longueur à vide. Déterminer de quelle longueur est au maximum comprimé le ressort. 11 Modèle de Drude Le modèle de Drude (du nom du physicien Paul Drude) est une adaptation effectuée en 1900 de la théorie cinétique des gaz aux électrons des métaux (découverts 3 ans plus tôt, en 1897 par J.J. Thomson). Bien que se fondant sur des hypothèses démenties depuis (description purement classique du mouvement des électrons), la modèle permet de rendre compte de plusieurs propriétés des métaux, notamment leurs conductivités électrique et thermique. Les électrons libres du métal, qui contribuent à la conduction, sont uniformément répartis et sont animés d un mouvement d ensemble par des champs électriques ou magnétiques et freinés dans ce mouvement par des collisions. On note la masse d un électron, sa charge et la densité volumique, c est-à-dire le nombre d électrons par. Les électrons sont ici soumis à l action d un champ électrique uniforme et à une force de frottement traduisant les chocs dans le réseau cristallin où est la durée moyenne entre deux chocs et la vitesse d un électron dans le référentiel lié au métal, supposé galiléen et rapporté au repère ( ). Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 3

4 1. Établir l équation différentielle suivie par 2. Montrer que la vitesse de l électron tend, en régime permanent, vers une constante notée, que l on précisera. 3. Exprimer en régime permanent, la puissance de la force électrique, ainsi que celle de la force de frottement. Conclure. 12 Voiture réduite à un point matériel On considère un véhicule, assimilé à un point matériel de masse, en mouvement rectiligne horizontal. Sa position est repérée par son abscisse et on ne considérera que les composantes des forces colinéaires au vecteur base de l axe. Dans tout le problème, on se place dans un référentiel terrestre supposé galiléen. 1. L automobile n est soumise qu à l action de son moteur qui développe une puissance constante. Elle part du repos en. Les frottements sont négligés. Déterminer, en fonction du temps, les expressions de : 1.1. La vitesse 1.2. L accélération 1.3. L abscisse 2. Déterminer l expression de en fonction de la vitesse. 3. Au bout de quelle distance le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de? On donne : g et 4. La voiture est maintenant soumise, en plus de l action du moteur, à une force de résistance de l air, de norme, où est une constante positive En utilisant le théorème de l énergie cinétique, pendant une durée infinitésimale, établir l équation différentielle : 13 Barrière de potentiel On s intéresse au dispositif suivant dans lequel un ressort de raideur, de longeueur au repos et de masse négligeable, est relié par l une des extrémités au point fixe et autre à un anneau de masse, coulissant sans frottement sur un axe horizontal. Figure 3 : Système étudié 1. Montrer que l énergie mécanique du système se conserve. 2. Exprimer l énergie potentielle du système. 3. Déterminer la (les) position(s) d équilibre du point matériel. Montrer que le comportement du système est différent pour et pour. 4. Identifier alors les profils d énergie potentielle proposés sur la figure suivante En intégrant cette équation différentielle, exprimer en fonction de, sachant que et Montrer qu il existe une vitesse limite Donner en fonction de et de. 2. On donne 2.1. Calculer la valeur de 2.2. Au bout de quelle distance, le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de Figure 4 : Courbes d énergie potentielle 5. Dans le cas du profil, on lance l anneau à partir d une position d équilibre stable avec une vitesse. Déterminer les différents mouvements possibles en fonction de. Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 4

5 14 Oscillateur harmonique Un objet ponctuel, de masse, fixé à un ressort (raidur, longueur à vide ) peut coulisser sans frottement,, le long d une tige inclinée d un angle par rapport à la verticale. L axe est choisi dans la direction de cette tige. 5. Tracer sur un même graphe les courbes et pour. 6. Quel est l écart relatif entre ces deux potentiels? Faire l application numérique pour. Visualiser l écart sur le dessin précédent. Calculer en degrés. Commenter la pertinence de l approximation faite. 7. Donner l expression de l énergie mécanique approchée de l objet en fonction du seul paramètre variable. 8. Dériver l énergie mécanique approchée par rapport au temps. En déduire la période des oscillations. 16 Modélisation de la vibration moléculaire Une molécule diatomique est en permanente vibration : la distance interatomique oscille dans le temps. L interaction entre les atomes est modélisée par le potentiel de Morse : Figure 5 : Système étudié 1. Exprimer l énergie potentielle de en fonction de. 2. En déduire la position d équilibre. 3. On déplace légèrement la masse de sa position d équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Etablir l équation différentielle du mouvement et la période des oscillations. 15 Oscillateur harmonique approché On analyse un pendule simple constitué d un fil inextensible de longueur et d un objet de masse. Le fil fait un angle par rapport à la verticale. 1. Rappeler sans démonstration l expression de la période du pendule déterminée par la deuxième loi de Newton et dans l approximation des petits angles. On se propose par la suite de retrouver ce résultat par une analyse de type oscillateur des petits angles. 2. La masse constitue-t-elle un système conservatif? Justifier. 3. Donner l expression de l énergie potentielle de la masse en fonction de l angle. On choisira une énergie potentielle nulle lorsque la masse passe par sa position d équilibre. 4. Donner le développement limité au deuxième ordre de cette énergie potentielle, qu on notera. Comment s appelle un potentiel ayant cette forme? où, et sont des constantes positives. On néglige l attraction gravitationnelle entre atomes face aux autres forces du système. 1. Déterminer la position d équilibre du système 2. Déterminer le caractère stable ou instable de cette position d équilibre 3. Tracer l allure de la courbe d énergie potentielle, appelée courbe de Morse. 4. Déterminer l équation de la parabole passant au plus près de la courbe de Morse au voisinage de l équilibre. Tracer l allure de cette courbe sur le graphe précédent. Qu appelle-t-on constante de raideur k de ce potentiel harmonique? 5. On admet que la deuxième loi de Newton peut s appliquer à l atome dans le référentiel lié à l atome à condition de remplacer la masse de par la masse réduite. Déterminer la fréquence angulaire fréquence. des petites oscillations ainsi que sa 6. Application numérique : Déterminer le paramètre empirique permettant de modéliser la fréquence mesurée expérimentalement à Données : - Energie de la liaison, - Masses molaires, - Constante d Avogadro Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 5