Mathématiques DM 3 À rendre le vendredi 7 décembre 2018

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1 Eercice : Dérivées Mahémaiques DM 3 À rendre le vendredi 7 décembre 08 Soi a R e n N Déerminer les domaines de définiions, les domaines de dérivaion e calculer les dérivées des foncions suivanes : f () = f 9 () = ln ( e ) f () = ( + ) 3 ( + a) n f 3 () = sin( + 3) sin() f 4 () = ( ) 5 + cos() f 5 () = e an() f 6 () = sin( + 3) f 7 () = cos ( ( + 3) ) f 8 () = ( cos( + 3) ) Réponse Domaine de définiion : ], [ ], + [ f 0 () = sin() + sin() f () = ( f () = + ) ( f 3 () = + ) sin() f 4 () = f 5 () = Arcsin() Inervalle(s) où la foncion es dérivable : ], [ e ], + [ Méhode pour dériver : foncion de la forme 3 u La dérivée es u3 u 4 Epression de la dérivée : f () = 3 ( + ) 4 Domaine de définiion : ], a[ ] a, + [ Inervalle(s) où la foncion es dérivable : ], a[ e ] a, + [ Méhode pour dériver : foncion de la forme n u La dérivée es un u n+ Epression de la dérivée : f n () = ( + a) n+ 3 Domaine de définiion : R Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R Méhode pour dériver : composée de foncions u v La dérivée es (u v) v Epression de la dérivée : f () = ( + ) cos( + 3) 4 Domaine de définiion : R Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R Méhode pour dériver : Quoien de foncions u v La dérivée es u v u v v Epression de la dérivée : f () = + 4 (sin()) + cos() (cos() + ) 6 { π } 5 Domaine de définiion : R \ + k π k Z Inervalle(s) où la foncion es dérivable : ] π + k π, π [ + k π où k Z Méhode pour dériver : composée de foncions u v La dérivée es (u v) v Page /3

2 6 Voir 4 Epression de la dérivée : f () = 7 Domaine de définiion : R (cos()) ean() Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R Méhode pour dériver : deu composées de foncions Epression de la dérivée : f () = ( + ) ( + 3) sin ( ( + 3) ) 8 Domaine de définiion : R Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R Méhode pour dériver : puissance d une composée de foncions Epression de la dérivée : f () = ( + ) cos( + 3) sin( + 3) 9 Domaine de définiion : R \ {0} Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R e R + Méhode pour dériver : produi e composée de foncions Pour gérer les valeurs absolues : on écri l epression de f sur R e R + sans valeurs absolues puis on dérive Epression de la dérivée : f () = ln(e ) + e e si > 0 e f () = ln( e ) + e e si < 0 On peu aussi écrire : f () = ln( e ) + e e 0 Domaine de définiion : R Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R Méhode pour dériver : quoien e composée de foncions Epression de la dérivée : f cos() (sin() + 4) () = (sin() + ) sin() + Aenion : Foncion de la forme u v, on passe sous forme eponenielle e v (ln u) pour l éudier Ici, f() = e ln() Domaine de définiion : R + Inervalle(s) où la foncion es dérivable : R + Méhode pour dériver : Foncion de la forme e ϕ, où ϕ es un produi de foncions La dérivée es ϕ e ϕ Epression de la dérivée : f () = (ln() + ) Aenion : Foncion de la forme u v, on passe sous forme eponenielle e v (ln u) pour l éudier Ici, f() = e ln(+ ) Domaine de définiion : ], [ ]0, + [ Inervalle(s) où la foncion es dérivable : ], [ e ]0, + [ Méhode pour dériver : Foncion de la forme e ϕ, où ϕ es un produi de composées de foncions La dérivée es ϕ e ϕ ( Epression de la dérivée : + + ) ( ( ln + ) ( + ln + ) ) 3 Aenion : Foncion de la forme u v, on passe sous forme eponenielle e v (ln u) pour l éudier Ici, f() = e sin() ln(+ ) Domaine de définiion : ], [ ]0, + [ Inervalle(s) où la foncion es dérivable : ], [ e ]0, + [ Méhode pour dériver : Foncion de la forme e ϕ, où ϕ es un produi de composées de foncions La dérivée es ϕ e ϕ Page /3

3 Epression de la dérivée : ( f () = ( + ) + ) sin() ( ( cos() ln + ) ( + cos() ln + ) ) sin() 4 Domaine de définiion : R Inervalle(s) où la foncion es dérivable : ], [, ], [ e ], + [ Méhode pour dériver : Composée de foncions, on dérive sur chaque inervalle en enlevan les valeurs absolues convenablemen Epression de la dérivée : f () = si > e f () = si < 5 Domaine de définiion : ], [ Inervalle(s) où la foncion es dérivable :], [ Méhode pour dériver : Produi de foncions Epression de la dérivée : f () = Arcsin() + Eercice : Primiives Déerminer une primiive des foncions suivanes : f () = 4 f () = f 3 () = + 6 ( ) 3 ln() f 4 () = f 5 () = ( ln() ) 3 f 6 () = f 7 () = ln() + f 8 () = f 9 () = 4 ( + + ) f 0 () = cos(3 ) e f () = cos() 4 sin( ) f () = + i f 3 () = Arccos() f 4 () = Arcsin() f 5 () = sh() cos(3 ) ( ) e Arcan ln() f 6 () = ( + ( ln() ) ) f 7 () = an() f 8 () = an() 3 f 9 () = an() 4 f 0 () = ( + an() ) Réponse Inervalle(s) où f es coninue : ], [ e ], + [ Méhode pour déerminer une primiive : foncion de la forme a Ici, on + b + c fai une décomposiion en élémen simple (car le dénominaeur s annule fois sur R) Epression d une primiive : F () = ( ) 4 ln + Inervalle(s) où f es coninue : R Méhode pour déerminer une primiive : foncion de la forme a Ici, on + b + c me le dénominaeur sous forme canonique (car le dénominaeur ne s annule pars sur R) Epression d une primiive : F () = ( ) 3 Arcan 3 Page 3/3

4 3 Inervalle(s) où f es coninue : ], 3[, ] 3, [ e ], + [ Méhode pour déerminer une primiive : foncion de la forme a Ici, on + b + c fai une décomposiion en élémen simple (car le dénominaeur s annule fois sur R) Epression d une primiive : F () = ( ) 5 ln Inervalle(s) où f es coninue : ]0, + [ Méhode pour déerminer une primiive : foncion de la forme u u 3 Une primiive es de la forme 4 u4 Epression d une primiive : F () = 4 (ln())4 5 Inervalle(s) où f es coninue : ]0, [ e ], + [ Méhode pour déerminer une primiive : foncion de la forme u Une primiive es de la forme u3 u Epression d une primiive : F () = (ln()) 6 Inervalle(s) où f es coninue : ]0, [ e ], + [ Méhode pour déerminer une primiive : foncion de la forme u Une primiive es de la forme u ln u Epression d une primiive : F () = ln( ln() ) 7 Inervalle(s) où f es coninue : R Méhode pour déerminer une primiive : On remarque que f() = + Epression d une primiive : F () = Arcan() 8 Inervalle(s) où f es coninue : R Méhode pour déerminer une primiive : On remarque que f() = La foncion es donc la somme d une foncion de la forme u u e de la forme a + b + c (le dénominaeur de s annule pas sur R ici) Epression d une primiive : F () = ln( + + ) + ( ) + Arcan Inervalle où f es coninue : ]0, + [ Méhode pour déerminer une primiive : On remarque que f() = e une primiive de α sur ]0, + [ quand α es α+ α + Epression d une primiive : F () = Inervalle où f es coninue : R Méhode pour déerminer une primiive : passer par les complees On a f() = Re ( e ( +3 i) ) On cherche une primiive de e ( +3 i) e on en prend la parie réelle (On peu aussi procéder par inégraion par paries) Epression d une primiive : F () = e Inervalle où f es coninue : R 3 ( 3 sin(3 ) cos(3 ) ) Méhode pour déerminer une primiive : produi de foncions cos e sin, donc on linéarise Page 4/3

5 3 sin (8 ) + 6 sin (6 ) + 4 sin (4 ) 48 sin ( ) 0 Epression d une primiive : F () = 768 Inervalle où f es coninue : R car, pour ou R, + i 0 Méhode pour déerminer une primiive : Foncion à valeurs complees On l écri sous forme algébrique e on cherche une primiive de sa parie réelle e de sa parie imaginaire On rouve f() = + + i Epression d une primiive : F () = Arcan() ln( + ) i 3 Inervalle où f es coninue : [, ] Méhode pour déerminer une primiive : Inégraion par parie Epression d une primiive : F () = Arccos() 4 Inervalle où f es coninue : [, ] Méhode pour déerminer une primiive : Foncion de la forme u u Une primiive es u Epression d une primiive : F () = (Arcsin()) 5 Inervalle où f es coninue : R Méhode pour déerminer une primiive : On a : f() = cos(3 ) e cos(3 ) e Donc on passe par les complees (voir 0) Epression d une primiive : F () = 3 0 sin(3 ) e 3 0 sin(3 ) e + cos(3 ) 0 e + 0 cos(3 ) e 6 Inervalle où f es coninue : ]0, + [ Méhode pour déerminer une primiive : C es la dérivée d une composée de rois foncions Epression d une primiive : F () = e Arcan(ln()) 7 Inervalle où f es coninue : ] π + k π, π [ + k π où k Z Méhode pour déerminer une primiive : on a f() = + (an()) Epression d une primiive : F () = an() 8 Inervalle où f es coninue : ] π + k π, π [ + k π où k Z Méhode pour déerminer une primiive : on a f() = (an()) an() = ( + (an()) ) an() an() Epression d une primiive : F () = (an()) + ln( cos() ) 9 Inervalle où f es coninue : ] π + k π, π [ + k π où k Z Méhode pour déerminer une primiive : on a f() = (an()) (an()) = ( + (an()) ) an() an() + Epression d une primiive : F () = (an())3 an() Inervalle où f es coninue : ] π + k π, π [ + k π où k Z Méhode pour déerminer une primiive : Développer le carré Epression d une primiive : F () = an() ln( cos() ) Page 5/3

6 Eercice 3 : Inégrales Calculer les inégrales suivanes : I = I = I 3 = I 4 = 0 e π π e d sin ( ln() ) d (π π ) sin() d sin( ) e d I 5 = I 6 = I 7 = I 8 = 4 e π 4 0 d (u = ) ( ) n ln() d (u = ln(), n N ) e (3 + e ) e d (u = e, > 0) ( ) 3 sin() d ( = cos()) cos() Réponse Méhode de calcul : rois inégraions par paries successives (dériver la parie polynomiale en ) Résula : I = e Méhode de calcul : deu inégraions par paries successives pour reomber sur l inégrale à calculer (pour la première, écrire sin ( ln() ) = sin ( ln() ) e primiiver ) Résula : I = eπ + 3 Méhode de calcul : calculer les inégrales π 0 (π π ) sin() d e π π (π π ) sin() d en enlevan convenablemen les valeurs absolues Puis appliquer la relaion de Chasles Résula : I = π Méhode de calcul : Déerminer une primiive de sin( ) e = Im(e (+ i) ) en passan par les complees (ou faire deu inégraions par paries successives) Résula : I = e sin (4) e cos (4) Méhode de calcul : On a, du = d e Donc, Résula : I = d = ( ) d = ( u) du I = 4 6 Méhode de calcul : On a, du = d e ( u) du = ( u) du Donc, Résula : I = n + (ln()) n d = (ln()) n d = un du I = ln e ln u n du = 0 u n du Page 6/3

7 7 Méhode de calcul : On a, du = e d e e e (3 + e ) e d = 3 + e e e d = 4 + ( e ) e e d = 4 + u du Donc, I = ( e Résula : I = Arcan ) Arcan e [ ( )] e 4 + u du = e Arcan e ( e 8 Méhode de calcul (avec le bon changemen de variable) : On a, d = sin() d e cos() sin() 3 cos() d = sin() sin() cos() d = ( cos() ) sin() cos() d = ( u4 ) du Donc, Résula : I = cos( π 4 ) I = cos(0) ) ( u 4 ) du 4 ( u 4 ) du Eercice 4 : Équaions différenielles linéaires d ordre Résoudre les équaion différenielles suivanes : y y = y + y = sh() 3 y 3 y = e 3 + e sin() y + an() y = ( cos() ) Résoudre les problèmes de Cauchy suivans : { y 8 + y = sh() y(0) = { y 9 + y = Arcan() y() = π 5 y + y = Arcan() 6 sin() y y cos() + = 0 7 y + + y = e Arcan() 0 { ( ) y + y = y ( ) = 3 Réponse On rappelle que K désigne R ou C Les équaions différenielles son appelées (E) dans la suie Remarque : les rois premières équaions son de la forme y + a y = b() où a es une consane Soluions de l équaion homogène (H) : y y = 0 R K S H = C e C K Recherche d une soluion pariculière de (E) : le second membre es polynomial en de degré On cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = a + b On injece f 0 dans l équaion pour rouver a e b On rouve a = b = Page 7/3

8 Conclusion : l ensemble des soluions es : R K S E = + C e C K Soluions de l équaion homogène (H) : y + y = 0 R K S H = C e C K Recherche d une soluion pariculière de (E) : on a, On applique le principe de superposiion : y + y = e e On cherche une soluion pariculière de : y + y = e On remarque que f : e es soluion de cee équaion différenielle sur R On cherche une soluion pariculière de : y + y = e Comme = 0, on cherche une soluion sous la forme f () = (a +b) e où (a, b) K On rouve a = ou b = 0 Une soluion pariculière de (E) es : f 0 () = f () f () Conclusion : l ensemble des soluions es : R K S E = 4 e e + C e C K 3 Soluions de l équaion homogène (H) : y 3 y = 0 R K S H = C e 3 C K Recherche d une soluion pariculière de (E) : on applique le principe de superposiion : On cherche une soluion pariculière de : y 3 y = e 3 On cherche une soluion sous la forme f () = (a + b) e 3 où (a, b) R On rouve a = ou b = 0 On cherche une soluion pariculière de : y 3 y = 5 On remarque que f : 5 es soluion pariculière de cee équaion différenielle 3 On cherche une soluion pariculière de : y 3 y = sin() e Il y a plusieurs sraégies : passer par les complees Comme ous les coefficiens de l équaion différenielle son réels, la parie réelle d une soluion de y 3 y = e (+i) sera soluion de y 3 y = sin() e chercher une soluion pariculière sous la forme f 3 () = (a cos() + b sin()) e où on déermine les coefficiens a e b en injecan f 3 dans l équaion uiliser la formule d Euler du sinus puis le principe de superposiion (à évier car engendre beaucoup de calculs) On rouve par eemple f 3 : ( 5 sin() 5 ) cos() e Une soluion pariculière de (E) es : f 0 () = f () + f () + f 3 () Conclusion : l ensemble des soluions es : R K ( S E = e 3 5 sin() + ) 5 cos() e C e3 C K Page 8/3

9 Aenion! Dans les équaions différenielles suivanes, les coefficiens du membre de gauche ne son pas consans Pour rouver une soluion pariculière, soi on en devine une, soi on en cherche une par la méhode de la variaion de la consane 4 Inervalle(s) de résoluion : I = ] π + k π, π [ + k π où k Z Soluions de l équaion homogène (H) : y + an() y = 0 Une primiive de an() sur I es ln( cos() ) I K S H = C cos() C K Recherche d une soluion pariculière de (E) : on applique la méhode de variaion de la consane : on cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = K() cos() où K es à déerminer On injece f 0 dans (E) e on rouve K () = cos() Une primiive de K es la foncion sinus Une soluion pariculière de (E) es : f 0 () = K() cos() = sin() cos() Conclusion : l ensemble des soluions es : R K S E = sin() cos() + C cos() C K 5 On commence par normaliser l équaion différenielle : y + y = Arcan() Inervalle(s) de résoluion : I =], 0[ ou I =]0, + [ Soluions de l équaion homogène (H) : y + y = 0 Une primiive de Donc, I K S H = C C K sur I es ln( ) Recherche d une soluion pariculière de (E) : on applique la méhode de variaion de la consane : on cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = K() où K es à déerminer On injece f 0 dans (E) e on rouve K () = Arcan() Après inégraion par paries, une primiive de K es : Arcan() ln( + ) Une soluion pariculière de (E) es : f 0 () = K() = Arcan() ln( + ) Conclusion : l ensemble des soluions es : R K S E = Arcan() ln( + ) + C C K 6 On commence par normaliser l équaion différenielle : y + cos() sin() y = sin() Inervalle(s) de résoluion : I = ]k π, (k + ) π[ où k Z Soluions de l équaion homogène (H) : y + cos() y = 0 Une primiive de cos() sin() sin() I es ln( sin() ) Donc, I K S H = C sin() C K sur Page 9/3

10 Recherche d une soluion pariculière de (E) : on remarque que cos() es soluion de (E) Conclusion : l ensemble des soluions es : R K S E = cos() + C sin() C K 7 Inervalle(s) de résoluion : I =], 0[ ou I =]0, + [ Soluions de l équaion homogène (H) : y + y = 0 Une primiive de sur I es + + Arcan I K S H = C e Arcan() C K Recherche d une soluion pariculière de (E) : on applique la méhode de variaion de la consane : on cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = K() e Arcan() où K es à déerminer On injece f 0 dans (E) e on rouve K () = Une primiive de K sur I es e Arcan() Une soluion pariculière de (E) es : f 0 () = K() e Arcan() = Conclusion : l ensemble des soluions es : R K S E = e Arcan() + C e Arcan() C K 8 La foncion sh es coninue sur R D après le héorème de Cauchy-Lipschiz, on sai alors qu il eise une unique soluion g définie sur R à ce problème de Cauchy D après la quesion, on sai que, pour ou R, g() = 4 e e + C e où C K On résou alors l équaion g(0) = + C = Ainsi, pour ou R, 4 9 On normalise l équaion différenielle ; g() = 4 e e e y + y = Arcan() y() = π Les foncions Arcan() e son coninues sur ]0, + [ e ]0, + [ D après le héorème de Cauchy-Lipschiz, on sai alors qu il eise une unique soluion g définie sur ]0, + [ à ce problème de Cauchy D après la quesion, on sai que, pour ou R, g() = Arcan() ln( + ) où C K On résou alors l équaion g() = π 4 ln() g() = Arcan() ln( + ) + + C + C = π Ainsi, pour ou R, ( 3 4 π + ln() ) 0 On normalise l équaion différenielle y + y = ( ) y = 3 Page 0/3

11 La foncion es coninue sur ], [ e ], [ Donc, d après le héorème de Cauchy- Lipschiz, ce problème de Cauchy possède une unique soluion g définie sur ], [ Après résoluion, on rouve, pour ou ], [, ( ( g() = ln ) ) ( 6 + ln ) + 6 Eercice 5 : Équaions différenielles linéaires d ordre Résoudre les équaion différenielles suivanes (on donnera les soluions à valeurs complees, puis les soluions à valeurs réelles) : y 5 y + 6 y = + y y + y = e Résoudre les problèmes de Cauchy suivans : y + 4 y + 4 y = e 5 y(0) = y (0) = 0 3 y + y 6 y = ( + ) e 3 4 y 4 y + 4 y = sin() + e 6 y y = cos( ) y(π) = y (π) = π Réponse Soluions de l équaion homogène (H) : y 5 y +6 y = 0 L équaion caracérisique r 5 r+6 = 0 possède deu racines réelles disinces : e 3 Donc, R C S H,C = α e + β e 3 (α, β) C e, S H,R = { R R α e + β e 3 } (α, β) R, Recherche d une soluion pariculière de (E) : le second membre es une epression polynomiale en de degré, donc on cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = a + b + c On injece f 0 dans (E) e on rouve a = 6, b = 5 37 e c = 8 08 Conclusion : l ensemble des soluions dans C es : R C S E,C = α e + β e 3 (α, β) C, e, dans R, l ensemble des soluions es : R R S E,R = α e + β e 3 (α, β) R Soluions de l équaion homogène (H) : y y + y = 0 L équaion caracérisique r r + = 0 possède un racine réelle double : Donc, R C S H,C = (α + β ) e (α, β) C e, S H,R = { R R (α + β ) e } (α, β) R, Page /3

12 Recherche d une soluion pariculière de (E) : le second membre es du ype P () e λ où λ = e P () = es une epression polynomiale en de degré 0 Comme λ es racine double de l équaion caracérisique, on cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = (a + b + c) e On injece f 0 dans (E) e on rouve a =, b = c = 0 Conclusion : l ensemble des soluions dans C es : R C S E,C = e + (α + β ) e (α, β) C, e, dans R, l ensemble des soluions es : R R S E,R = e + (α + β ) e (α, β) R 3 Soluions de l équaion homogène (H) : y + y 6 y = 0 L équaion caracérisique r + r 6 = 0 possède deu racines réelles : e -3 Donc, R C S H,C = α e + β e 3 (α, β) C e, S H,R = { R R α e + β e 3 } (α, β) R, Recherche d une soluion pariculière de (E) : le second membre es du ype P () e λ où λ = 3 e P () = + es une epression polynomiale en de degré Comme λ es racine simple de l équaion caracérisique, on cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = (a + b + c) e On injece f 0 dans (E) e on rouve a = 0, b e c = 5 5 Conclusion : l ensemble des soluions dans C es : R C S E,C = ( e, dans R, l ensemble des soluions es : R R S E,R = ( ) e 3 + α e + β e 3 ) e 3 + α e + β e 3 (α, β) C, (α, β) R 4 Soluions de l équaion homogène (H) : y 4 y +4 y = 0 L équaion caracérisique r 4 r+4 = 0 possède une racine double : Donc, R C S H,C = (α + β ) e (α, β) C e, S H,R = { R R (α + β ) e } (α, β) R, Recherche d une soluion pariculière de (E) : On applique le principe de superposiion (penser à uiliser sin() = Im(e i )) Conclusion : l ensemble des soluions dans C es : R C S E,C = 3 sin() + 4 cos() + e 5 5 e, dans R, l ensemble des soluions es : R R S E,R = 3 sin() + 4 cos() e + (α + β ) e + (α + β ) e (α, β) C, (α, β) R Page /3

13 5 Soluions de l équaion homogène (H) : y +4 y +4 y = 0 L équaion caracérisique r +4 r+4 = 0 possède une racine double : - Donc, R C S H,C = (α + β ) e (α, β) C e, S H,R = { R R (α + β ) e } (α, β) R, Recherche d une soluion pariculière de (E) : On cherche une soluion pariculière sous la forme f 0 () = a e où a es à déerminer On rouve a = Conclusion : l ensemble des soluions dans C es : R C S E,C = e + (α + β ) e (α, β) C, e, dans R, l ensemble des soluions es : R R S E,R = e + (α + β ) e (α, β) R D après les cours, le problème de Cauchy possède une unique soluion noée f On sai qu il eise (α, β) R el que, pour ou R, f() = e + (α + β ) e Donc, en uilisan les condiions iniiales données dans l énoncé, on obien les équaions : f(0) = = + α e f (0) = 0 = α + β Donc α = 0 e β = L unique soluion du problème de Cauchy es : R R e + e 6 La soluion es R R cos ( ) 5 + (5 π + 6) e π 0 (5 π 6) eπ 0 Eercice 6 On considère l équaion différenielle : a y + b y + c y = 0 (E) avec (a, b, c) R R R Peu-on résoudre (E) avec les héorèmes du cours? Soi f :]0, + [ R On pose, pour ou R, g() = f(e ) (a) Monrer que f es deu fois dérivables sur ]0, + [ si, e seulemen si, g es deu fois dérivables sur R (b) Monrer que f es soluion de (E) sur ]0, + [ si, e seulemen si, g es es soluions d une équaions différenielles linéaires à coefficiens consans d ordre On noe (E ) cee équaion différenielle (c) Résoudre (E ) 3 En déduire l ensemble des soluions de (E) lorsque a =, b = 0 e c = Page 3/3

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