Graphes. Judicaël Courant. Lycée La Martinière-Monplaisir. 12 décembre 2015

Transcription

1 Judicaël Courant Lycée La Martinière-Monplaisir 12 décembre 2015

2 1 Introduction 1.1 Les sept ponts de Königsberg Peut-on passer une et une seule fois par chaque pont? Judicaël Courant 2

3 Le génial Euler modélise le problème mathématiquement et le résout en 1735 : Judicaël Courant 3

4 Euler : 1. Donne des noms aux quatre régions ; 2. Introduit une notation pour modéliser un chemin. 3. Démontre que le problème n a pas de solution. Judicaël Courant 4

5 De façon moderne : Existe t-il un chemin eulérien dans ce graphe? (i.e. un chemin passant une et une seule fois par chaque arête) (ou mieux : un circuit eulérien?) Judicaël Courant 5

6 Graphes 1.2 Problèmes de graphes Trouver un chemin dans un réseau de transport : Impasse Mathieu Square Elie Vignal Plan lignes fortes Montessuy Fleming 4 Croix - Rousse 26 Croix - Paquet Tonkin Vaulx-en-Velin La Grappinière Vaulx les Grôlières Croix-Luizet Le Tonkin Lesire Charpennes Charles Hernu Vitton - Belges Foch Terreaux Mas du Taureau Muséum Parc Tête d Or Duquesne Louis Pradel INSA - Einstein Université Lyon 1 Rossellini Parc Tête d Or Pt Churchill Hôtel de Ville 5 2 République Gratte - Ciel Villeurbanne Flachet 26 Grand Vire Masséna 4 Hôtel de Ville - Campus Cusset 14 Cuzin - Stalingrad 17 Collège Bellecombe Bât d Argent 16 Brotteaux 6 Cordeliers Cordeliers Bourse Saxe Lafayette Astroballe Part-Dieu Jules Favre Garibaldi Lafayette 6 Molière Le Rhône Fourvière 14 La Saône 6 Bellecour E E Les Halles Paul Bocuse Ste-Geneviève Gare Part-Dieu Institut d Art Contemporain Place Guichard Liberté Bourse du Travail Guillotière Saxe Gambetta Charpennes - Charles Hernu Gare d Oullins 2 Gare Part-Dieu - Vivier Merle Rillieux S les 3 Gare Saint-Paul Vaulx- en-velin La Grappinière Hôtel de Ville - Louis Pradel Cuire Gare de Vaise Gare de Vénissieux Vieux Lyon - Cathédrale St-Jean Saint-Just Vieux Lyon - Cathédrale St-Jean Fourvière 4 Jean Macé Cité Internationale 5 Bellecour Rillieux S les - Vancia Château Bérard 6 Gare Part-Dieu - Vivier Merle Écully Le Pérollier 7 Gare Part-Dieu - Vivier Merle Hôpital Lyon Sud TRAMWAY Grange Blanche Vaulx- en-velin Résistance Bellecour - Antonin Poncet Hôpitaux Est Bellecour - Charité Saint-Genis Barolles Grange Blanche Montessuy Gutenberg Gare Part-Dieu - Villette Meyzieu Z.i. Meyzieu Les Panettes (en semaine) 14 Jean Macé Les Sources 15 Laurent Bonnevay - Astroballe Bachut - Mairie du 8e Hôpital Feyzin Vénissieux La Doua - Gaston Berger 16 Charpennes - Charles Hernu Surville Route de Vienne 17 Charpennes - Charles Hernu Laurent Bonnevay - Porte des Alpes Gare ferroviaire Toutes les stations de métro, tramway et trolleybus C1 C2 C3 sont accessibles à l exception de la station Croix-Paquet. Pour connaître la disponibilité des ascenseurs, appeler le ou tcl.fr rubrique accessibilité. Hôtel de Ville - Louis Pradel Croix-Rousse Nord 19 Perrache Francheville Taffignon 20 20E Gorge de Loup Perrache Perrache Grange Blanche 23 Cordeliers Parilly 24 24E Grange Blanche Cité Internationale - Transbordeur Meyzieu Gare Grange Blanche Ambroise Paré 8 26 Vinatier Bachut - Mairie du 8e Meyzieu Les Panettes Laennec Jean Macé Quai Claude Bernard Garibaldi Berthelot 12 Perrache Route de Vienne Boutasse - Camille Rousset 17 Jet d eau Mendès France Hôtel de Ville - Bron Mermoz - Pinel Suchet Les Alizés Lycée Lumière Parilly Professeur Beauvisage CISL Halle Tony Garnier 7 ENS Lyon Debourg 22 Parilly - Université Hippodrome Joliot Curie Marcel Sembat Musée des Confluences États-Unis Viviani Parc du Chêne Rebufer Hôtel de Région Montrochet Aéroport Lyon Saint Exupéry États-Unis Musée Tony Garnier 7 Lycée Jean-Paul Sartre De Tassigny Curial Place Jean Jaurès Sainte-Blandine Essarts - Iris Villon 12 Centre Berthelot Europe - Université Gare de Vénissieux La Borelle Eurexpo 25 Porte des Alpes Croizat - Paul Bert Stade de Gerland 17 Parc Technologique Marcel Houël Hôtel de Ville 12 Hauts de Feuilly Lycée Jacques Brel 12 Salvador Allende Herriot - Cagne 12 Alfred de Vigny Vénissy St-Priest - Hôtel de Ville Division Leclerc 7 25 Esplanade des Arts Maurice Thorez Gare d Oullins Jules Ferry Lénine - Corsière 25 Cordière Darnaise Gorge de Loup Grézieu Gym. E. Catalon / Craponne Val d Yzeron Gare Part-Dieu - Vivier Merle Saint-Priest Plaine de Saythe / Sogaris Promotrans Décines Centre 17 Décines Grand Large Monplaisir Lumière Jean XXIII - Maryse Bastié Bellecour Francheville Taffignon / Fort du Bruissin Meyzieu Z.i. Rue de l'université Bellecour - Antonin Poncet Hôpital Feyzin Vénissieux 18 Bel Air Les Brosses 26 9 Sans Souci 23 ne Desserte aéroport (tarification spéciale) Aéroport Gare de Villeurbanne ô Rh Parc relais TCL Vaulx-en-Velin Le SERVICES Canal de Jonage Bon Coin Bernaix Reconnaissance Balzac Saxe - Gambetta Laurent Bonnevay - Astroballe Debourg Hôtel de Région - Montrochet IUT - Feyssine Perrache Saint-Priest Bel-Air Grange Blanche Parc du Chêne Eurexpo (les jours de salon) Judicaël Courant 11 Grandclément Les jours de salon FUNICULAIRE Gare Part-Dieu - Vivier Merle Cuire Dauphiné Lacassagne Manufacture Montluc Garibaldi Lycée Colbert Ampère Victor Hugo L. Braille Montaland La Soie Saint-André LIGNES MAJEURES BUS Perrache Vaulx- en-velin La Soie Pont des Planches Léon Blum 8 Archives Départementales 23 MÉTRO Cyprian Léon Blum Poizat Villette 20 20E Blanqui Centre Mémoires et Société Gare Part-Dieu Part-Dieu Servient Vieux Lyon Cathédrale St-Jean Saint-Just Verlaine 9 Gabriel Péri Minimes Théâtres Romains Alsace Palais de Justice Mairie du 3e Saxe Préfecture Gorge de Loup Thiers Lafayette 3 Vivier Merle Valmy Lefèvre L. Bonnevay 6 Gare de Vaise 5 IUT - Feyssine La Doua Gaston Berger 26 3 Rillieux S les Cité Internationale Transbordeur Condorcet La Feuillée Espace Baudelaire George Sand Le Rhône Parc Tête d Or Stalingrad Interpol 13 Gare St-Paul Les Verchères Rillieux Les Alagniers Michelet St-Clair - Square Brosset 5 Musée d Art Contemporain Centre de Congrès (en correspondance avec métro / tramway) PERICA Mercières Leclerc Drevet Montée des Soldats Cité Internationale Centre de Congrès Funiculaire Ligne majeure de Bus Piscine du Loup Pendu Companet Caluire Chemin Petit Caluire Place Foch 13 Henon Tramway Leclerc Thimonnier Lycée Cuzin Montessuy Calmette Cuire Métro Hôpital Feyzin Vénissieux 12 St-Priest Bel Air 25 d un ALLÔ TCL (prix appel local) m.tcl.fr site mobile Appli mobile TCL septembre 2014 Pour les autres lignes de bus se référer aux plans détaillés 6

7 Graphes Étudier les réseaux sociaux : Judicaël Courant 7

8 Effectuer des commandes dans un certain ordre : (typiquement 10 3 à 10 4 fichiers pour un projet informatique) Judicaël Courant 8

9 Planifier un projet industriel (programme de missiles Polaris) : Judicaël Courant 9

10 Refaire le réseau électrique de la Moldavie (arbre couvrant de poids minimal) : Judicaël Courant 10

11 Judicaël Courant 11

12 Colorier (une carte, les variables d un programme) Router des paquets (postaux, IP) Entrecroiser des réseaux (pb des trois maisons et trois services). Graphes de flots. Accessibilité dans un automate. Judicaël Courant 12

13 2 Vocabulaire 2.1 Graphes non-orientés Judicaël Courant 13

14 Ensemble des sommets (ou nœuds) : un ensemble S. Ensembles des arêtes un ensemble A de paires de sommets. Une arête a relie s à s : a = { s, s }. Graphe (non-orienté) : couple (S, A). Degré d(s) d un sommet s : le nombre d arêtes a telles que s a. NB : s relié à s si et seulement si s relié à s. Judicaël Courant 14

15 2.2 Graphes orientés Ensemble des sommets (ou nœuds) : un ensemble S. Ensembles des arcs un ensemble A de couples de sommets distincts 1. Un arc a relie s à s : a = (s, s ). Se note s s. 1. Au moins dans tout le programme de CPGE, pour éviter plein d ennuis. Judicaël Courant 15

16 Les successseurs d un sommet s : les s tels que s s. Arc sortant d un sommet s : arc de la forme (s, s ). Arc entrant d un sommet s : arc de la forme (s, s). Graphe (orienté) : couple (S, A). Degré entrant d (s) d un sommet s : nombre de ses arc entrants. Degré sortant d + (s) d un sommet s : nombre de ses arc sortants. NB : s s n implique pas s s ; on parlera souvent d arête au lieu d arc. Judicaël Courant 16

17 Graphe orienté canoniquement associé à un graphe non-orienté (S, A) : graphe (S, A ) où A contient un arc (s, s ) et un arc (s, s) pour chaque arête { s, s } de A : A = { (s, s ) { s, s } A } Graphes non orienté canoniquement associé à un graphe orienté (S, A) : Le graphe (S, A ) obtenu «en enlevant le bout des flèches» : A = { { s, s } (s, s ) A } Judicaël Courant 17

18 2.3 Graphes pondérés Définition 1. Étiqueter les arêtes d un graphe (S, A) (orienté ou non), c est se donner une fonction f : A V (où V est un ensemble de valeurs). On dit qu un graphe est pondéré si ses arêtes sont étiquetées par des nombres. On parlera alors du poids d une arête. Judicaël Courant 18

19 Judicaël Courant 19

20 Judicaël Courant 20

21 2.4 Vocabulaire général Définition 2. Une arête est dite incidente à chacun des sommets qu elle relie. Ces sommets sont les extrémités de l arête. Deux sommets reliés par une arête sont dit adjacents ou voisins. En anglais : Sommet se dit vertex (pluriel vertices). Arête se dit edge. Graphe orienté : directed graph ou digraph. Graphe non-orienté : undirected graph. Un graphe est donc en général noté (V, E). Judicaël Courant 21

22 Définition 3. Chemin dans un graphe : suite finie s 0,..., s n 1 de n sommets tels que pour tout i [[0, n 1[[, une arête relie s i à s i+1. On dit que ce chemin relie le sommet de départ s 0 au sommet de fin s n 1. Ses arêtes sont les arêtes { s i, s i+1 } (resp. (s i, s i+1 )) pour i [[0, n 1[[ dans le cas non-orienté (resp. orienté). Judicaël Courant 22

23 Définition 4. Chemin fermé : dont le sommet de départ et d arrivée sont les mêmes. Chemin élémentaire : n empruntant que des arêtes distinctes. Chemin simple : chemin tels que les n 2 sommets intermédiaires s i, pour i [[1, n 1[[ soient deux à deux distincts et tous distincts du sommet de départ s 0 et du sommet d arrivée s n 1 et tels que ce chemin n est pas de la forme a, b, a dans le cas non-orienté. Judicaël Courant 23

24 Vrai ou faux : tout chemin simple est élémentaire? A Vrai B Faux Vrai ou faux : tout chemin élémentaire est simple? A Vrai B Faux Judicaël Courant 24

25 Définition 5. Longueur d un chemin : nombre de ses arêtes. Poids d un chemin (dans le cas pondéré) : somme des poids de ses arêtes. Judicaël Courant 25

26 Vrai ou faux : il existe des chemins simples de longueur nulle? Vrai ou faux : il existe des chemins de longueur nulle? Vrai ou faux : il existe des chemins fermés de longueur non-nulle? Vrai ou faux : il existe des chemins simples fermés de longueur nonnulle? Judicaël Courant 26

27 Définition 6. Circuit dans un graphe : chemin fermé de longueur non nulle. Cycle dans un graphe : circuit élémentaire (chemin fermé de longueur non nulle dont toutes les arêtes sont distinctes). Cycle simple : comme son nom l indique, chemin fermé et simple de longueur non nulle. Chemin (resp. cycle) eulérien : contenant une et une seule fois toutes les arêtes du graphe. Graphe eulérien : contenant un circuit eulérien. Graphe acyclique : ne contenant aucun cycle. Judicaël Courant 27

28 Vrai ou faux : Si deux sommets s et s sont reliés par un chemin de longueur non-nulle c, alors ils sont reliés par un chemin simple de longueur non-nulle c? Vrai ou faux : même chose en enlevant «non-nulle»? Vrai ou faux : Tout graphe comportant un cycle comporte également un cycle simple? Vrai ou faux : Si s est un sommet apparaissant dans un cycle d un graphe G alors G comporte un cycle simple contenant s? Vrai ou faux : si a est une arête apparaissant dans un cycle d un graphe G alors G comporte un cycle simple contenant a? Judicaël Courant 28

29 Danger La terminologie est fluctuante : Sur un point mineur Selon les auteurs, un chemin est une suite de sommets ou une suite d arêtes adjacentes, voire le couple des deux. Tant qu il y a au plus une arête entre deux sommets, ce n est pas essentiel. Sur des points plus importants Pour certains auteurs, un chemin élémentaire est ce que nous avons appelé un chemin simple et réciproquement. Pour d autres, un cycle est ce que nous avons appelé un cycle simple. Judicaël Courant 29

30 Pour certains auteurs, acyclique veut donc en fait dire «sans cycle simple». Si on appelle E l ensemble des graphes acycliques pour eux et N l ensemble des graphes acycliques pour nous, on peut dire : A E N et N E B E N. C N E. D E = N. Judicaël Courant 30

31 2.5 Connexité (cas non-orienté) Définition 7. Soit G = (S, A) un graphe non-orienté. On dit que deux sommets s et s sont connectés s il existe un chemin reliant s à s. Judicaël Courant 31

32 On peut dire de cette relation qu il s agit d une relation : A Réflexive, antisymétrique, transitive B Non-nécessairement réflexive, symétrique, transitive C Non-nécessairement réflexive, symétrique, non-nécessairementtransitive D Aucun des trois précédents. Judicaël Courant 32

33 Sur le graphe suivant, on a a, b, c et d sont deux à deux connectés mais c et f ne le sont pas. Judicaël Courant 33

34 Définition 8. On dit qu un graphe non-orienté est connexe si et seulement si pour tout couple de sommets (a, b), il existe un chemin reliant a à b. Le graphe suivant n est pas connexe : Judicaël Courant 34

35 Définition 9. Soit G = (S, A) un graphe non-orienté. Soit s S. La composante connexe de G contenant s est la classe d équivalence S de s pour la relation de connexité. NB : S est l ensemble des sommets s reliés à s dans le graphe G. On identifiera souvent la composante connexe S et le graphe (S, A ) où A est l ensemble des arêtes dont les deux extrémités sont dans S. En ce sens, une composante connexe est un graphe connexe. Judicaël Courant 35

36 Sur le graphe suivant, on a 2 composantes connexes : celle de a, b, c et d d une part et celle de e et f d autre part. Judicaël Courant 36

37 Proposition 1. Deux composantes connexes d un même graphe sont égales ou disjointes (et leurs ensembles d arêtes associés sont alors respectivement égaux ou disjoints). Démonstration. Les ensembles de sommets sont deux classes d équivalences dont sont égaux ou disjoints. S ils sont égaux, par définition des composantes connexes, il ont même ensemble d arêtes associé. S ils sont disjoints, toute arête associé à une composante connexe a ses deux extrémités dans cette même composante connexe donc ne peut les avoir dans l autre. Judicaël Courant 37

38 Lemme 1 (Suppression d arêtes et connexité). Soit G = (S, A) un graphe et { s 1, s 2 } une arête de ce graphe. Posons G = (S, A \ { s 1, s 2 }). Notons C la composante connexe de s 1 et s 2 dans G et C i celle de s i dans G, pour i = 1, 2. Alors : 1. S il existe dans G un cycle comportant l arête { s 1, s 2 } alors C 1 = C 2 = C. 2. Dans le cas contraire, C 1 C 2 = et C 1 C 2 = C. Les autres composantes connexes de G et de G sont les mêmes, au sens où, en notant C G l ensemble des composantes connexes de G et C G celles de G, on a C G \ { C } = C G \ { C 1, C 2 }. Judicaël Courant 38

39 Démonstration. Tout chemin dans G est un chemin dans G, donc on a clairement C 1 C 2 C. On a de plus C C 1 C 2. En effet, soit s C. Alors il existe un chemin élémentaire et simple de s à s 2 dans G. Si ce chemin ne comporte pas l arête { s 1, s 2 }, il s agit aussi d un chemin dans G et s C 2. Sinon, le chemin étant simple, cette arête ne peut apparaître qu en dernière position dans le chemin. En enlevant cette dernière arête, on obtient un chemin élémentaire et simple de s à s 1 dans G ne comportant pas l arête { s 1, s 2 }. C est donc aussi un chemin dans G, donc s C 1. Donc C 1 C 2 = C. Or C 1 et C 2 sont des composantes connexes et sont donc soit disjointes si s 1 et s 2 ne sont pas reliés dans G, soit égales (et donc égales à C) dans le cas contraire. Judicaël Courant 39

40 Montrons que le second cas se produit si et seulement l arête { s 1, s 2 } fait partie d un cycle. S il existe dans G un cycle comportant l arête { s 1, s 2 }, alors il en existe également un qui soit simple. Quitte à effectuer une permutation circulaire de la séquence des points, on peut de plus supposer que ce cycle a pour second point s 2 et quitte à renverser l ordre de cette séquence, on peut supposer qu il commence avec s 1. On a donc un cycle simple s 1, s 2, s 3,..., s k, s 1. On en déduit donc qu on a le chemin élémentaire et simple s 2, s 3,..., s k, s 1 qui ne comporte pas l arête { s 1, s 2 }. s 1 et s 2 sont donc reliés dans G. Judicaël Courant 40

41 Réciproquement, si s 1 et s 2 sont reliés dans G, alors il existe un chemin élémentaire et simple s 2, s 3,..., s k, s 1 les reliant. Ce chemin ne peut pas comporter l arête { s 1, s 2 }. Donc le chemin s 1, s 2, s 3,..., s k, s 1 est un chemin élémentaire dans G (et de plus simple car s 1 s 2 ). Comme il est de plus fermé et de longueur non nulle, c est un cycle. Pour les autres composantes connexes, il est clair que deux sommets connectés de G n appartenant pas à C sont aussi connectés dans G. Réciproquement un chemin reliant deux sommets de G n appartenant pas à C ne peut comporter l arête { s 1, s 2 } (sinon ces sommets seraient dans C), donc est un chemin dans G. Judicaël Courant 41

42 Proposition 2. Un graphe (S, A) possédant n sommets et p arêtes possède au moins n p composantes connexes. Il est de plus acyclique si et seulement si ce nombre est exactement n p. Judicaël Courant 42

43 Démonstration. Supposons le contraire par l absurde et considérons un contre-exemple G = (S, A) acyclique ayant n sommets et un nombre d arêtes p minimal. Le résultat est trivialement vrai lorsque p = 0 puisqu on a alors un graphe acyclique avec n composantes connexes. On a donc p > 0 donc A n est pas vide. Judicaël Courant 43

44 Supposons que G comporte un cycle. Alors, on peut choisir une arête appartenant à un cycle et la retirer de G. Le graphe G alors obtenu comporte les même composantes connexes que G. Or G comporte n sommets, p 1 arêtes et par minimalité de p, doit donc comporter au moins n (p 1) = n p + 1 composantes connexes. Donc G comporte strictement plus de n p composantes connexe, donc n est pas un contre-exemple. C est absurde. Judicaël Courant 44

45 Donc G est acyclique. Alors en retirant une arête de G, on obtient un graphe G comportant une composante connexe de plus que G. G est de plus acyclique (car tout cycle de G serait un cycle de G), comporte n sommets, p 1 arêtes et par minimalité de p doit donc comporter exactement n (p 1) = n p + 1 composantes connexes. Donc G possède exactement n p composantes connexes et n est donc pas un contre-exemple. C est donc absurde, d où le résultat. Judicaël Courant 45

46 2.6 Arbres Définition 10. On appelle arbre tout graphe non-orienté connexe acyclique. Judicaël Courant 46

47 Judicaël Courant 47

48 Remarque : Considérons un graphe G non-orienté acyclique possédant k composantes connexe. Chacune de ces composantes est un arbre. On dira donc que G est une forêt de k arbres. Judicaël Courant 48

49 Proposition 3. Soit G = (S, A) un graphe non-orienté fini à n sommets. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. G est un arbre ; 2. G est un graphe connexe d ensemble d arêtes minimal (i.e. si on lui enlève une arête quelconque, il n est plus connexe) ; 3. G est un graphe acyclique d ensemble d arêtes maximal (i.e. si on lui ajoute une arête quelconque, on crée un cycle) ; 4. G est un graphe connexe ayant n 1 arêtes. 5. G est un graphe acyclique ayant n 1 arêtes. Judicaël Courant 49

50 Démonstration. Notons p le nombre d arêtes de G. (i) ((iv) et (v)) Si G est un arbre, il est acyclique donc possède exactement n p composantes connexes. Et comme il est alors connexe, on a n p = 1, donc p = n 1. Judicaël Courant 50

51 ((iv) ou (v)) (i) Si G est un graphe ayant n 1 arêtes, alors il possède exactement n (n 1) = 1 composantes connexes si et seulement s il est acyclique. En particulier s il est connexe ou acyclique, il s agit alors d un arbre. Judicaël Courant 51

52 (i) (ii) Si G est un arbre, alors il est connexe et sans cycle. Si on enlève une arête quelconque de G, celle-ci ne peut faire partie d un cycle, or on a vu qu on créait alors une nouvelle composante connexe. G est donc connexe d ensemble d arêtes minimal. Judicaël Courant 52

53 (ii) (i) Si G est connexe d ensemble d arêtes minimal, alors il ne peut posséder de cycle : sinon en enlevant une arête d un cycle, on obtient un graphe avec un ensemble d arête strictement plus petit et dont les composantes connexes sont les mêmes. Judicaël Courant 53

54 (i) (iii) Si G est un arbre, alors il est acyclique. Soit s et s deux sommets distincts quelconques de G tel que l arête { s, s } ne soit pas dans G. En ajoutant cette arête à G on obtient un graphe G. G étant connexe, G l est aussi. Si G était acyclique, alors ce serait un arbre, donc en particulier, il serait connexe d ensemble d arêtes minimal. Or en enlevant l arête { s, s } à G, on obtient G qui ne serait donc pas connexe, donc ne serait pas un arbre. Absurde. Donc G possède un cycle. Donc G est bien acyclique d ensemble d arêtes maximal. Judicaël Courant 54

55 (iii) (i) Réciproquement, si G est acyclique d ensemble d arêtes maximal, alors soit s 1 et s 2 deux points distincts de G. Alors si l arête { s 1, s 2 } appartient à G, s 1 et s 2 sont connectés. Sinon, en ajoutant l arête { s 1, s 2 } à G on obtient un graphe G dont l ensemble des arêtes est un sur-ensemble strict de celui de G. Par maximalité de G, G possède un cycle comportant l arête { s 1, s 2 }. On sait alors que dans G privé de cette arête, c est-à-dire dans G, s 1 et s 2 ont même composante connexe, donc sont connectés. Judicaël Courant 55

56 2.7 Connexité (cas orienté) Pour les graphes orientés, la relation de connexité définie précédemment n est pas une relation d équivalence. Par exemple, sur le graphe suivant, on a un chemin de a à b mais pas b à a (ni d ailleurs de b à c). Judicaël Courant 56

57 Pour construire une relation d équivalence sur les sommets d un graphe G orienté, la première solution est de regarder le graphe non-orienté canoniquement associé à G. Définition 11. Deux sommets s et s d un graphe orienté G sont dit simplement connectés s ils sont connectés dans le graphe non-orienté canoniquement associé à G. Un graphe orienté est dit simplement connexe si et seulement si le graphe non-orienté canoniquement associé est simplement connexe. Proposition 4. La relation de simple connexité est une relation d équivalence. Judicaël Courant 57

58 Définition 12. Soit G un graphe orienté. Soit s un sommet de G. La composante simplement connexe de G contenant s est la composante connexe dans le graphe non-orienté canoniquement associé à S. Comme précédemment, on peut constater qu une composante simplement connexe est un graphe simplement connexe et que deux composantes simplement connexes sont égales ou disjointes. Judicaël Courant 58

59 Une deuxième solution est d introduire une nouvelle relation : celle de forte connexité. Définition 13. Soit G = (S, A) un graphe orienté. Alors deux sommets s et s sont dit fortement connecté si et seulement s il existe un chemin de s à s et un chemin de s à s. Proposition 5. La relation de forte connexité est une relation d équivalence. Définition 14. Un graphe G est dit fortement connexe si et seulement si tous les sommets sont deux à deux fortement connectés. Judicaël Courant 59

60 Attention : les deux chemins ne passent pas nécessairement par les mêmes sommets. Par exemple le graphe suivant est fortement connexe : Judicaël Courant 60

61 Proposition 6. Tout graphe fortement connexe est simplement connexe. La réciproque est fausse. Par exemple, le graphe suivant est simplement connexe mais non fortement connexe : Judicaël Courant 61

62 Définition 15. Soit G un graphe orienté. Soit s un sommet de S. La composante fortement connexe de G contenant s est la classe d équivalence de s pour la relation de connexité. NB : Toute composante fortement connexe est fortement connexe. Sur le graphe suivant, on a trois composantes fortement connexes : Judicaël Courant 62

63 Proposition 7. Deux composantes fortement connexes d un même graphe G sont égales ou disjointes. Judicaël Courant 63

64 Crédits Carte de Königsberg de Merian-Erben, domaine public (http: //ur1.ca/ikugj). Figure des ponts de Königsberg, tirée de Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1759), dans Mémoires de l Académie des sciences de Berlin ( Graphe modélisant le problème des ponts de Königsberg, par Chris Martin, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported ( Lignes fortes des Transports en Commun Lyonnais ( ca/ipjp9). Judicaël Courant 64

65 Connexions entre les utilisateurs de Twitter ayant utilisé le mot «bigdata» les 26 et 27 février 2012, Marc Smith, CC BY 2.0 (http: //ur1.ca/ipjpo). Exemple de diagramme PERT, par Gschmitt et Callyope sur fr.wikipedia, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license ( Judicaël Courant 65