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1 1 DM1 Sciences Physiques MP Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le Problème n o 1 Capteurs de proximité E3A PSI 2013 Les capteurs de proximité sont caractérisés par l absence de liaison mécanique entre le dispositif de mesure et l objet constituant la cible. L interaction entre eux est réalisée par l intermédiaire d un champ électrique, d un champ magnétique ou d un champ électromagnétique. On donne les relations : Informations sur l amplificateur opérationnel : 2sinasinb = cos(a b) cos(ab) et cosa = 1 tan2 a/2 1tan 2 a/2 i = 0 ε = 0 V i = 0 V i s 0 u s Figure 1 Amplificateur opérationnel idéal utilisé en régime linéaire L amplificateur opérationnel est un amplificateur différentiel. Il est alimenté en ±15 V par rapport à la masse. Cette alimentation est à l origine de l énergie demandée au niveau de la sortie. L amplificateur opérationnel idéal présente de très fortes impédances d entrée, les courants en entrée que le circuit multiplieur : ils sont extrêmement faibles. On considère que i = i = 0. L amplificateur opérationnel présente deux types de fonctionnement : le régime linéaire où la tension de sortie est reliée à la tension différentielle d entrée ε par le loi donnée cidessous et le régime non linéaire où la tension de sortie sature comme pour le multiplieur au niveau des tensions ±15V = ±V sat. C est cette alimentation qui permet de fournir de la puissance en sortie en assurant un courant d intensité i s pouvant aller à des ordres de grandeurs de dizaines de milliampères. La relation entrée différentielle sortie du domaine linéaire est modélisée par une fonction passebas d ordre 1 : u s = µε = µ 0 1j ω ω 0 ε avec µ et ω rad s 1. Ainsi en considérant, dans le cadre du modèle d amplificateur opérationnel idéal, que le gain µ 0, on n obtient une sortie bornée que si ε = 0. En fonctionnement non linéaire, on a u s = V sat lorsque ε > 0 et u s = V sat lorsque ε < 0. Capteur capacitif A. Association de condensateurs La tête de mesure de ce capteur est formée d un conducteur cylindrique (A) et d une enveloppe métallique coaxiale () réalisant un condensateur de capacité fixe C e, voir le schéma de la figure 2. Lorsque la cible métallique s approche de l extrémité des conducteurs (A) et (), ceuxci constituent avec elle deux autres condensateurs. L un de capacité C(z) a pour armatures le disque externe du conducteur central cylindrique (A) de diamètre 2r, z est la distance qui le sépare de la cible. L autre est un condensateur parasite, de capacité C p (z), formé par l enveloppeextérieure() du capteur et la cible. La capacitéd un condensateurplan de surface S et d épaisseur d est donnée par : C plan = ε 0S d La capacité d un condensateur cylindrique de rayons r 1 et r 2 > r 1 et de hauteur l est :

2 Sciences Physiques MP DM1 2 C cyl = 2πε 0l ln(r 2 /r 1 ) cible métallique z C(z) C e armature interne (A) 2r C p (z) e l armature externe () A C(z) C p (z) C e A Figure 2 Modélisation du capteur capacitif 1. Exprimer C(z) en fonction de r, z et ε 0 puis C e en considérant que e r ce qui permet de faire un développement limité au premier ordre en e/r. Déterminer la capacité équivalente C A en fonction de C p (z), C(z) et C e. 2. Si on considère que C p (z), comment évolue l expression de C A? Proposer une opération technique simple permettant de s affranchir de la capacité parasite C p (z) (ce qui sera le cas dans la suite du problème : C p (z) ). 3. Montrer que la capacité C A peut s écrire sous la forme : ( C A = 1k z ) [ r avec = πε 0 r 2l ] z 0 z 0 e et k = 1 1 2lz 0 re 4. Déterminer numériquement et k sachant que r = l = 10mm, e = 1mm, z 0 = 2mm et ε 0 = 8, F m 1.. Conditionnement du capteur À la tension électrique v(t) = V 0 cos(ωt φ) peut être associée en notation complexe, le signal analytique v(t) = V 0 expjωt où V 0 = V 0 expjφ désigne l amplitude complexe du signal et j le complexe tel que j 2 = 1. Les amplificateurs opérationnels(ao) sont supposés idéaux et en fonctionnement linéaire. Le capteur de capacité C A est inséré dans un circuit de mesure comportant deux blocs : un bloc amplificateur et un bloc de filtrage, voir le schéma de la figure v 2 v 1 amplification v 3 C A C filtrage v 4 Figure 3 AmplificationFiltrage 5. Exprimer les fonctions de transfert (ou transmittances) en boucle ouverte H 1 = V 2 (jω)/v 1 (jω) et H 2 = V 4 (jω)/v 3 (jω) en supposant chacun des blocs alimenté par une tension sinusoïdale. Préciser la nature du filtre de fonction de transfert H 2 (jω). La borne de sortie de l amplificateur est reliée à l entrée du filtre et la borne de sortie du filtre est reliée à la borne non inverseuse de l AO, de sorte que v 1 = v 4 et v 2 = v 3 = v s. 6. Quelle est l expression de la fonction de transfert H(jω) = H 1 (jω) H 2 (jω) en régime sinusoïdal? En déduire l équation différentielle à laquelle obéit la tension v s (t) pour un régime quelconque. Pour quelle valeur

3 3 DM1 Sciences Physiques MP de 2, fonction de 1, C et C A, des oscillations sinusoïdales stables peuventelles s établir? Quelle est alors la pulsation ω 0 de ces oscillations? Fixons C = et = 1 = 100kΩ et supposons que z = Déterminer les valeurs de la résistance 2 et de la pulsation ω 0 de l oscillateur. Dès que la tête du capteur se déplace par rapport à la cible, la capacité C A varie. La résistance 2 garde la valeur obtenue dans la question précédente et C est fixée à. 8. éécrire, pour un faible déplacement de la cible ( z/z 0 1), l équation différentielle vérifiée par v s (t) en faisant apparaître les paramètres k,, et z/z 0. Comment évolue alors v s (t) pour un faible déplacement z positif ou négatif de la cible? La condition d oscillationn est plus vérifiée à chaqueinstant par une résistance 2 fixe carcette condition s écrit en fonction de la capacité C A variable. La résistance 2 est remplacée par un montage approprié assurant les oscillations. Ce montage ne sera pas étudié ici. 9. Pour une valeur adaptée de 2, quelle est l expression de la pulsation ω osc des oscillations obtenues en fonction de ω 0, k et z/z 0? C. Conditionnement du signal La tension v 2 (t) = V 0 sinωt est injectée dans une série de trois montages élémentaires A, et C ne comportant que des composants idéaux, voir le schéma de la figure 4. A C X 3 3 E Z Y XY Z v 6 4 C 4 v SC v 2 3 C 3 v 5 Figure 4 Conditionnement du signal du capteur capacitif 10. Déterminer la transmittance T A (jω) = V 5 (jω)/v 2 (jω). Comparer les amplitudes V 5 et V 2 puis exprimer le déphasage ϕ de v 5 par rapport à v 2. Préciser la fonction de cet étage. E représente une tension continue délivrée par un générateur. 11. Préciser le rôle joué par le bloc. Exprimer la tension instantanée v 6 (t) en sorti de ce bloc, en fonction de l amplitude V 0, du déphasage ϕ, de la tension E, de la pulsation ω et de t. 12. Déterminer la fonction de transfert T C (jω) = V SC (jω)/v 6 (jω). En déduire le rôle de l étage C ainsi que sa pulsation caractéristiqueω C. Montrer que, par un choix judicieux de ω C, la tension de sortie v SC est continue et image de cosϕ. 13. Choisir la valeur particulière du produit 3 C 3 pour que la tension de sortie V SC du montage soit continue et proportionnelle à la variation z de la distance entre la tête de mesure et la cible (au premier ordre non nul en z/z 0 ). Donner son expression, notée V SC (car indépendante du temps), en fonction de E, k, V 0 et du rapport z/z Proposer une définition de la sensibilité S de ce capteur. L exprimer en fonction de k, V 0, E et z 0, puis la calculer sachant que V 0 = 5,0V et E = 0,5V. 15. Citer les avantages et les inconvénients à l utilisation de ce capteur capacitif.

4 Sciences Physiques MP DM1 4 Capteur inductif Un capteur inductif permet de mesurer la distance qui le sépare d un ruban magnétique défilant. La distance séparant le ruban et le capteur est notée x = x 0 x où x 0 est la valeur de consigne à obtenir. La position du ruban modifie la valeur d une inductance L(x) d un bobinage. On note L 0 = L(x 0 ) la valeur de l inductance lorsque x = x 0. Pour un écart x de la position du ruban, l inductance s exprime selon : ( ) 1 L(x) = L 0 1A x où A = 50m 1 et L 0 = 0,3mH. D. Conditionnement du capteur Le circuit de conditionnement du capteur représenté sur le schéma de la figure 5 comporte l inductance variable L(x), un condensateuràcapacité variablec et deux résistancesfixes = 1kΩ. Il est alimenté par un générateur de tension d impédance interne négligeable, délivrant un signal sinusoïdal : v G (t) = V G cosω G t, de fréquence 1kHz et d amplitude V G = 5V. v G (t). L(x) A C = u mes (t) Figure 5 Conditionnement du capteur inductif 16.ÉcrirelesimpédancescomplexesZ C ducondensateurdecapacitéc,l impédancecomplexez L 0 delabobine pour une inductance L 0 et Z L(x) pour une inductance L(x). Exprimer l écart des impédances Z = Z L(x) Z L0 en fonction de A, x, L 0 et ω G. Considérons dans un premier temps que l inductance est celle associée à la distance de consigne x 0. Il convient alors de régler la valeur de la capacité du condensateur à afin que la différence de potentiel entre les points A et du circuit soit nulle. 17. Établir une relation entre Z, Z L0 et pour que la différence de potentiel entre A et soit nulle. En déduire l expression de la capacité C associée à la distance de consigne x 0 en fonction de L 0 et. Effectuer l application numérique. Pour une distance capteurruban x quelconque, l inductance du circuit vaut L(x). La capacité du condensateur reste fixée à. 18. Exprimer, en notation complexe, la différence de potentiel de mesure u mes = v A v en fonction de Z L0, Z L(x), et v G. En déduire u mes en fonction de, L 0, ω G, A, x et v G. Dans toute la suite du problème, on adopte l approximation L 0 ω G et pour les valeurs numériques L 0 ω G = 1,7Ω et = 1kΩ. La différence de potentiel de mesure s écrit u mes (t) = U mes cos(ω G t π/2) = U mes sinω G t. 19. Pour toute valeur du produit A x, exprimer l amplitude U mes de u mes (t) en fonction de L 0, ω G,, A, x et V G. Justifier le retard de phase de u mes (t) par rapport à la tension d alimentation v G (t). 20. Montrer que, dans le cas où A x 1, l expression approximée u mes,lin (t) de u mes (t) est linéaire par rapport à x. En déduire l erreur relative engendrée par l utilisation de u mes,lin (t) au lieu de u mes (t) : ε = u mes,lin(t) u mes (t) u mes (t) Commenter l application numérique effectuée pour x = 1, 0 mm.

5 5 DM1 Sciences Physiques MP E. Conditionnement du signal La partie précédente a montré que la tension de mesure ne pouvait donner de réponse linéaire par rapport à x que si A x 1. Pour que le dispositif puisse être utilisé avec des valeurs de x plus élevées, il est nécessaire de conditionner le signal à l aide du montage représenté sur le schéma de la figure 6. et sont les mêmes que pour la figure 5. Le circuit de traitement du signal ne devant pas perturber la mesure, les résistances adoptées sont telles que. v G (t) u mes (t) E(t) X 1 Z 1 Y 1 X 2 X 1 Y 1 Y 2 Z 1 v(t) X 2 Y 2 v s (t) Figure 6 Conditionnement du signal du capteur inductif 21. elier E(t) à v (t). Quelle est la fonction réalisée par l AO? Déterminer, en la justifiant, la tension sinusoïdale E(t) en fonction de, L 0, V G, ω G et du temps t. 22. Exprimerla tension de sortie v s (t) en fonction de E(t) et u mes (t). Développer son expression en fonction de L 0, ω G,, A, x, V G et du temps. Cette tension atelle un comportement linéaire par rapport à x. Comparer l expression de v s (t) à la tension linéarisée u mes,lin (t) obtenue précédemment. 23. Proposer une définition de la sensibilité S de ce capteur. L exprimer en fonction de A, L 0, V G, et ω G. En donner l ordre de grandeur. 24. Citer les avantages et les inconvénients inhérents à l utilisation de ce capteur inductif. Problème n o 2 Quelques aspects de la mesure du temps X MP 2011 Extraits de ce sujet. A. Horloge à quartz Lorsqu il est placé dans un champ électrique, un cristal de quartz convenablement taillé se déforme; réciproquement, si un cristal de quartz est soumis à des efforts mécaniques, une différence de potentiel apparaît entre deux de ses faces. Ce couplage électromécanique, dit piézoélectrique, est à la base des horloges à quartz. Dans le cadre d une application horlogère, l application d une tension variable aux bornes du composant va provoquer une vibration mécanique qui va conduire à l apparition de charges et donc d un courant. À une résonance mécanique du système est ainsi associée une résonance d intensité. Un diviseur de fréquence permet enfin d obtenir la fréquence de base de 1Hz. Un circuit électrique équivalent au cristal de quartz est représenté figure 7, Le condensateur est la capacité du composant et les éléments C 1,L 1 et 1 sont la représentation sous forme d une impédance électrique des effets piézoélectriques associés à la vibration du quartz. Les éléments et leurs valeurs sont notés de la même 1 manière, par exemple, la valeur de la capacité du condensateur est notée elle aussi. On pose ω s = L1 C 1 et Q = L 1ω s Adoptant les valeurs C 1 = 3, F, L 1 = 7, L, 1 = Ω, = 1, F, calculer ω s, ω p = 1 C 1 ω s et les fréquences associées f s et f p. Calculer Q. 2. Dans cette question seulement, la résistance 1 est nulle; l impédance complexe du circuit se met alors sous 1 1 x 2 la forme Z = j ω s xa 2 x 2, où x = ω et a = ω s Dans quels domaines de fréquences le quartz, dans ce modèle, se comportetil comme un condensateur? Comme une inductance? 1 C 1 ; tracer l allure de la réactance X(x) = I[Z(x)].

6 Sciences Physiques MP DM1 6 C 1 L 1 1 Figure 7 Schéma électrique équivalent d un oscillateur à quartz. 3. Au début des calculs conduisant à l impédance complexe de la question 2., l on opère formellement la substitution L 1 L 1 1. Quel circuit électrique décriton ainsi? jω 4. Identifier et commenter les courbes de la figure 8, qui représentent les composantes de l impédance complexe au voisinage de la pulsation de résonance parallèle ω p. On admettra les relations Z(ω s ) = C 1 Q (C 1 )ω s 1 ( 1 ω s ) j C0 QC 1 et Z(ω p ) Figure 8 Parties réelle et imaginaire de l impédance électrique du quartz au voisinage de la résonance parallèle. ( Les ordonnées sont normalisées au maximum de la courbe en pointillés, soit à 327 MΩ; en abscisse, ω u = Q ω ) p = Q(x a). La longueur réelle du trait épais sur l axe des abscisses est 1 ω s ω s Q. ( ) Z(x) 5. La figure 9 représentelog Z(a). Pourquoi,pratiquement, opèretonà la fréquence f s? Justifier le choix de la valeur numérique f s = 32768Hz pour la fréquence de travail des cristaux de quartz dans les montres. Z(x) Z(a) Figure 9 Module de l impédance équivalente du cristal de quartz utilisé. 6. Au voisinage de la température T 0 = 300K, la fréquence de résonance du quartz utilisé, notée f 0, varie en fonction de la température selon la loi f 0 f 0 = (T T 0 ) 2. Calculer la dérive d une montre à quartz sur un an pour un écart T T 0 de température constant, égal à 10 C. La montre avanceratelleou retarderatelle?

7 7 DM1 Sciences Physiques MP Oscillateur non linéaire entretenu Le fonctionnement permanent d un oscillateur exige la mise en œuvre d une source d énergie qui, à chaque oscillation, compense les pertes. La figure 10 illustre un principe de l entretien électrique d un résonateur : ce résonateur est associé à une conductance non linéaire dont la relation couranttension est modélisée par la loi i = Gv βv 3, où G et β sont des constantes positives; on remarque que, lorsque la tension est suffisamment faible, la conductance est négative. Le but de cette partie est de montrer l établissement d un régime stable dans un tel système. v L C G 0 i = Gv βv 3 Figure 10 Entretien d un oscillateur par conductance négative et non linéarité. 7. Montrer qu avec l entrée en tension sinusoïdale v = V sinωt, i ( G 34 βv 2 ) v; on rappelle l identité sin3u = 3sinu 4sin 3 u. Pourquoi estil en général réaliste de négliger le terme à la pulsation 3ω? 8. En effectuant l analyse du système en régime sinusoïdal de pulsation ω, donner l expression de son admittance complexe Y = g 1 jx 1 en fonction de L, C, G 0, G, β et V. En déduire que, en régime d oscillation entretenue, la pulsation et l amplitude du régime sont fixées : ω = ω 0 = 1 4G G 0 4 g et V = V 0 = =, ce qui LC 3 β 3β définit g = G G Expliquer pourquoi, en régime de petits signaux, l oscillateur démarre. 10. Pour l analyse du régime transitoire, on pose v(t) = V(t)sinω 0 t, où l amplitude V(t) que l on supposera toujours positive, varie très lentement par rapport à sinω 0 t. Admettant les relations caractérisant le facteur de qualité Q = 1 C g 1 L = 4Cω 0 3β(V0 2 V2 ) et Q = 2π W(t) W(t 2π, où W(t) est l énergie accumulée à l instant ω 0 ) W(t) t, établir l équation différentielle (que l on ne cherchera pas à résoudre) : 1 dv V dt = 3 β 8C (V 0 2 V 2 ) etrouver ce résultat à partir de l expression de la valeur moyenne temporelle de l énergie accumulée dans le système LC et de la relation, que l on établira, dw = (G 0 G 3 dt 4 βv 2 )v On note V 1 la valeur initiale de V(t). Quel est le signe de dv dt? Montrer, sans intégrer l équation t=0 différentielle établie à la question 10. que lim V(t) = V 0. t

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