n F 1 p q m F 2 C X 1 + DX 2

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1 Représentation matricielle des applications linéaires I MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES II CHANGEMENTS DE BASES, ÉQUIVALENCE, SIMILITUDE III INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES MATRICES PAR BLOCS On a vu qu une matrice M pouvait s écrire par bloc M = A C E E 2 p q B D n F m F 2 M n+m,p+q (K) Si u L (E,F ) est représenté par M dans des bases B et C, alors on peut séparer B de taille p + q en deux sous-familles : les p premiers vecteurs engendrant un sous-espace E de E les q derniers vecteurs engendrant un sous-espace E 2 Alors E et E 2 sont supplémentaires de E (E E 2 = E) De même, on écrit F = F F 2 correspondant à la partition de la base C de taille n + m Alors, si x E, x et x 2 ses composantes sur E et E 2 (donc x = x + x 2 ), x est représenté dans B par X = X p où X et X 2 représentent x et x 2 X 2 q Alors u( x) est représenté dans C par AX = AX + B X 2 n C X + DX 2 représentant respectivement les composantes sur F et F 2 de u( x) Cela se généralise à un nombre quelconque de sous-espaces Le plus souvent, on utilise cette interprétation géométrique pour des endomorphismes m Exercice Montrer que tout projection peut être représentée par un matrice de la forme I r 0 et que toute symétrie peut être 0 0 REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page

2 LYCÉE CARNOT - DIJON H T T P://S U P3C A R N O TF R E EF R représentée par un matrice de la forme I r 0 0 I n r Soit E = F G et B une base adaptée à cette somme directe, u L (E), A C F est stable par u si et seulement si C = 0 G est stable par u si et seulement si B = 0 B = Mat B (u) D : Généralisation r Soit E = E i et B une base adaptée à cette somme directe, u L (E) i= A A = Mat B (u) est diagonale par blocs (A = ) si et seulement si chaque E i est stable par u A r On peut alors considérer l endomorphisme induit par u sur E i dont la matrice dans la base B i (issue de B) est A i Exemple Projections et symétries IV OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES ET SYSTÈMES LINÉAIRES Opérations élémentaires a Rappel On rappelle qu il existe 3 types d opérations élémentaires : Les permutations : L i L j ou C i C j Les transvections : L i L i + λl k avec k i ou C j C j + λc k avec k j Les dilations : L i λl i ou C j λc j avec λ 0 b Interprétation en termes de produit matriciel Les opérations élémentaires se traduisent par des multiplications à gauche (pour les lignes) ou à droite (pour les colonnes) par des matrices (carrées) inversibles dont la taille est égale aux nombre de lignes respectivement colonnes correspondantes REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page 2

3 Permutations : L i L j (resp C i C j ) se traduit par la multiplication à gauche (resp à droite) par la matrice de permutation : P 2 i,j = I n, P i,j inversible et P i,j = P i,j P i,j = 0 0 i e Transvections : L i L i + λl k (resp C j C j + λc k ) se traduit par la multiplication par une matrice de transvection T i,k (λ) à gauche (resp T k,j (λ) à droite) avec j e T i,j (λ) = λ i e = I n + λe i,j j e T i,j (λ)t i,j (µ) = T i,j (λ + µ) donc T i,j (λ) inversible et ( T i,j (λ) ) = Ti,j ( λ) Dilatation : L i λl i (resp C i λc i ) avec λ 0 se traduit par la multiplication par une matrice de dilatation D i (λ) à gauche (resp à droite) avec D i (λ) = λ i e D i (λ)d i (µ) = D i (λµ) donc D i (λ) inversible et (D i (λ)) = D i ( λ ) REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page 3

4 LYCÉE CARNOT - DIJON H T T P://S U P3C A R N O TF R E EF R c s des opérations élémentaires (i) Une opération élémentaire sur ses lignes ne change pas le noyau d une matrice (ii) Une opération élémentaire sur ses colonnes ne change pas l image d une matrice (iii) Une opération élémentaire ne change pas le rang d une matrice d Matrices échelonnées Définition Une matrice M M n,p (K) est dite echelonnée en lignes (respectivement en colonnes) si chaque ligne (respectivement colonne) débute par un nombre strictement croissant de 0 jusqu à ce qu elles soient éventuellement nulles Remarques R Si elle est carrée, elle est nécessairement triangulaire supérieure (resp inférieure) R 2 Si une ligne (resp colonne) est nulle, les suivantes le sont aussi Exemples E A = est échelonnée en lignes 2,3, 4,6 sont appelés pivots E 2 B = 0 0 est échelonnée en colonnes, sont les pivots E 3 C = n est pas échelonnée en lignes (même si elle est triangulaire) REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page 4

5 Toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée en lignes (resp colonnes) par des opérations élémentaires sur les lignes (resp colonnes) Démonstration On applique l algorithme du pivot de Gauss aux lignes (resp colonnes) de la matrice : Si la matrice est nulle, elle est échelonnée 2 Sinon, soit j 0 le numéro de la première colonne non nulle au moins un de ses cœfficients n est pas nul, disons a i0,j 0 = p 0, ce sera un pivot : le mettre dans la première ligne grâce à L L i0 3 On annule ensuite tous les cœfficients de la première colonne avec les opérations L i L i a i, p L On obtient une matrice de la forme : 0 0 p 0 A On recommence alors à l étape avec A, ce qui revient à agir sur les n dernière lignes Les opérations sur ces lignes ne changent pas la première Exemple A = en colonnes e Application au calcul du rang On ne change pas le rang par opérations élémentaires Quelle est le rang d une matrice échelonnée? Le rang d une matrice échelonnée en lignes (resp colonnes) est le nombre de lignes (resp colonnes) non nulles Remarques R En faisant des opérations sur les colonnes, on peut obtenir à la fois le rang, l image et le noyau! R 2 En appliquant ensuite un pivot de Gauss sur les lignes, on peut se ramener à J r REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page 5

6 LYCÉE CARNOT - DIJON H T T P://S U P3C A R N O TF R E EF R f Application à l inversion de matrice Par des opérations élémentaires sur des lignes (respectivement des colonnes), on peut transformer une matrice inversible de M n (K) en I n On en déduit la méthode d inversion de matrice par opérations exclusivement sur les lignes ou les colonnes de A : 2 Systèmes linéaires a Traductions d un système linéaire On considère un système linéaire de n équations à p inconnues dans K : a, x + a,2 x a,p x p = b (S) a n, x + a n,2 x a n,p x p = b n On rappelle que la matrice du système linéaire est définie par a, a,p A = M n,p(k) a n, a n,p et la matrice augmentée est Interprétations : Matricielle : si x = ( x x p ) et b = ( b b n a, a,p b M = a n, a n,p b n ), (S) A x = b Équation linéaire : si u est l application linéaire canoniquement associée à A, (S) u( x) = b x u ({ b }) Formes linéaires : Soit pour i,n ϕ i la forme linéaire de K p correspondant à la i e (canoniquement associée à la i e ligne de A) : ϕ i : K p K x a i, x + + a i,p x p alors (S) i,n, ϕ i ( x) = b i x i,n ϕ i ({b i }) REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page 6

7 b Espace des solutions Définition On appelle rang du système (S) le nombre r = rg(s) = rg A = rgu Remarque rg(s) min(n, p) L ensemble S H des solutions du système homogène (H) associé à (S) est un sous-espace vectoriel de K p de dimension dims H = p rgs L ensemble des solution S S est soit vide, soit de la forme S S = x 0 + S H où x 0 K p est une solution particulière, appelé sous-espace affine de K p de direction S H Lorsque S S =, le système est dit incompatible Sinon il est compatible (i) Le système est dit de Cramer lorsque n = p = rg(s) ie A inversible Alors pour tout b K n, il y a une unique solution (ii) Si rgs = n, le système a au moins une solution (iii) Si rgs = p, le système a au plus une solution L algorithme du pivot de Gauss appliqué aux systèmes a été présenté dans un chapitre de début de d année : appliqué aux lignes de la matrice augmentée pour la rendre échelonnée en lignes (à permutation éventuelle des inconnues près), il permet d obtenir un système équivalent p x i + = b p 2 x i2 + = b 2 où r = rg(s), i < < i r, p,, p r non nuls, les n r dernières équations sont les équations de compatibilité, elle permettent de savoir si S S = (S) p r x ir + = b r 0 = b r + 0 = b n On tire successivement x ir, puis x ir jusqu à x i en fonction des autres inconnues On retrouve la dimension n r REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES - page 7

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