Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015

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1 1 TESTS DE RANDOMISATION Cours VII. Tests de radomisatio - Tests de cotigece P. Couillard 2015 Das ue majorité de cas e biologie o cosidèrera certaies hyothèses comme des alteratives à l hyothèse ulle. E réalité, l hyothèse étudiée évoue ue structure ayat tedace à aaraitre das les doées disoibles, alors ue l hyothèse ulle ous dit ue si cette structure est résete c est seulemet le fruit du ur hasard de l échatilloage. Les tests de radomisatio sot articulièremet utiles lorsue l o a à comarer des échatillos e vérifiat as la ormalité de leurs distributios et/ou u ils sot etits. Test de ermutatio Comaraiso de 2 distributios. H0: D1 = D2 ; H1: D1 D2 Les tests de radomisatio sot ue maière de décider si l hyothèse ulle est accetable e de telles situatios. Ue statistiue S est choisie our évaluer das uelle mesure les doées résetet la structure e uestio. L estimatio s de S obteue à artir des doées est alors comarée avec la distributio de S obteue e réordoat au hasard (ermutatios) les doées. L idée est simlemet ue si l hyothèse ulle est vraie, alors toutes les combiaisos ossibles des doées sot éuirobables. Les doées observées sot alors seulemet l ue des réalisatios armi toutes celles égalemet ossibles et s est ue valeur tyiue de la distributio aléatoire de S. Si tel est as le cas (s est sigificativemet différete), l hyothèse H 0 est rejetée et H 1 cosidérée comme lus vraisemblable. Le iveau de sigificatio de s est simlemet la roortio (%) de valeurs trouvées das la distributio obteue ar ermutatio ui sot aussi extrêmes ou lus extrêmes ue cette valeur. Avec R, les foctios utiles our réaliser u test de ermutatio sot : 1) D <- samle (C, legth(c), relace = FALSE), où C est la cocatéatio des deux échatillos, (C <-c(a,b)), et «relace» est mis à FALSE, ce ui imose ue tous les élémets sot tirés sas remise. Le ombre de tirages différets est factorial(legth(c)). Soit u échatillo de taille 5, le ombre de tirage ossible est alors de 5! = 5x4x3x2=120. Si A cotiet 1 doées et B 2 doées, o costitue deux ouveaux échatillos de tailles resectives 1 et 2 à artir de D : 2) A.radom = D[1 : legth(a)] 3) B.radom = D[(legth(A) + 1) : legth(c)] 4) O calcule esuite la différece des moyees et o les stocke das u tableau : diff.radom[i] = mea(a.radom) - mea(b.radom) Les oératios 1 à 4 sot réétées 1000 fois au mois. Il reste maiteat à comarer ces différeces avec celle mesurées sur les doées iitiales : = sum(abs(diff.radom)>= abs(diff.observe))/1000, Ce ui est la -value.

2 2 La méthode des ermutatios est arfois utilisée e hylogéie moléculaire (Archie (1989 ; Faith et Crasto 1991) e l aliuat sur les coloes des séueces aligées. Le but est de réodre à la uestio s il existe ou o (H0) u lie hylogéétiue etre les séueces étudiées. Algorithme du bootstraig Le roblème est de coaitre les aramètres d ue statistiue : esérace, moyee, écart-tye, voire des itervalles de cofiace à artir d u etit échatillo sas iformatio comlémetaire autre ue celles disoibles à artir de l échatillo. O utilise ue techiue de ré-échatilloage. Soit u échatillo x costitué de observatios (X1, X2, X) et u aramètre (médiae, moyee ) à estimer. Toutefois la distributio F des observatios est icoue. O a doc à estimer =T(F), où T est ue foctioelle. Pour la moyee :T F = xdf(x) et la variace : T F = (x μ) 2 df(x) O e fait aucue hyothèse sur F ui est icoue. Pour cette raiso o effectuera u bootstra o aramétriue ui cosiste simlemet e u ré-échatilloage avec remise das l échatillo iitial. Soit u échatillo de 5 élémets, le ombre de tirages ossibles avec remise est alors de 5 5 =3125. Par exemle, si l o disose de valeurs iitiales, o tirera valeurs armi ces valeurs avec remise arès chacu des tirages. E coséuece, l ue des valeurs de l échatillo iitial eut être tirée lusieurs fois et certaies valeurs de celui-ci être absetes de ce ouvel échatillo. O disose doc maiteat de deux échatillos : l iitial (issu d ue exérimetatio) et celui du bootstra. E réalité, 2 échatillos e sot as suffisats. O va réitérer cette oératio u grad ombre de fois our être assuré de la covergece des estimatios ue l o va faire à artir de l esemble des échatillos aisi costitués. Soit B ce ombre (grad : e gééral 1000 est coseillé). Algorithme our l estimatio de la variace de la loi (sa récisio) : Boucle : our b allat de 1 à B : o Tirer u échatillo bootstra: X1, X2,,X selo F et de taille. o Calculer la moyee emiriue à artir de l'échatillo bootstra : θ = 1 (X1 + X2 + + X) La variace de l'estimateur de l'esérace est arochée ar la variace emiriue de la oulatio bootstra des Bθ estimés, soit : s B 2 = 1 B B b=1 2 θ b θ avec θ = 1 B B b=1 θ b Pour le calcul d u itervalle de cofiace autour de la moyee des B échatillos, il suffira de calculer les ourcetiles à 2.5% et à 97.5% ui ous doeros les bores iférieures et suérieures de l itervalle autour de la moyee. Avec R l échatillo bootstra est obteu aisi : library(boot) B <- boot(data, foctio, R = 999, stye = "f") où «stye» idiue la ature du secod argumet de la foctio (i = idice, f = freuece, w = weight) ui calcule le aramètre cherché (moyee, écart-tye, médiae, etc ), so remier argumet état les doées. «R» idiue le ombre de rélicats du tirage.

3 3 Alicatios : 1). Voir le scrit R (UE10) : Bootstra (R) 2). Test de robustesse de recostructio des arbres hylogéétiues (Felsestei, 1985). Elle est idéedate de la méthode de costructio (distace géétiue (UPGMA ou Neighbor-Joiig), arcimoie, vraisemblace (ML) ) Iterrétatio des valeurs b de bootstra = robabilité ue la logueur de la brache soit > 0. La brache est réutée sigificative si b > 95% (mais cela déed des auteurs). Cette valeur e dit rie à roos de la logueur de la brache ui déed de la méthode de costructio de l arbre. Tirage aléatoire avec remise des coloes iitiales des séueces aligées. Doées iitiales Arès ré échatilloage Taxa CGAGTACT 1 AGATACTG 2 GTAGTACT 2 AGATACTT 3 ACAATACC 3 AAACACTC 4 ACAACACT 4 AAATACCC 5 GCGGCATT 5 AGATGTCC U total de 100 jeux (au mois), 100 arbres costruits dot : 90 résetet le clade (1,2) 95 résetet le clade (3,4) Proortio d arbres résetat ce œud = iveau de cofiace 5 Trout = truite, Loach = loche (oissos maris de divers geres), Xeous = Xéoe = «greouilles» troicales, Fiback whale = Rorual commu. TABLES DE CONTINGENCE a. Le tableau de cotigece est u tableau à double etrée où l o ote das chaue cellule le ombre d idividus ayat à la fois le caractère 1 (lige) et le caractère 2 (coloe). Chaue caractère eut avoir lusieurs modalités. Soit 2 caractères L et C, variat sur = = 3 modalités, le tableau se résetera aisi :

4 4 Caractères : L/C ( coloes) i. = ( liges).j =.j =.j = i. = i. = Effectifs margiaux L effectif total du tableau est alors: = De lus, chaue élémet du tableau eut être vu comme ue fréuece uisue : f ij =, avec bie etedu : f ij = 1 Les raorts des effectifs margiaux au total sot itéressats. Aisi caractère i et.j u u idividu ossède le caractère j. i. est la robabilité u u idividu ait le De lus sot des robabilités coditioelles : i. et.j u u idividu ait le caractère j sachat u il ossède le caractère i, otée : i. = (C j L i ), c'est-à-dire, das le remier cas, la robabilité c'est-à-dire, la robabilité u u idividu ait le caractère «Coloe j» sachat u il a le caractère «Lige i». O a idetiuemet : (L j C i ). Avec ue etite maiulatio algébriue o retrouve la formule de Bayes: L j C i = i. i..j = C j L i (L i ) (C j ) Pour tester l existece d ue relatio etre les distributios L et C ou si au cotraire la réartitio des valeurs se fait idéedammet de celles-ci, o défiira u modèle ul uis o cherchera esuite si la réartitio observée diffère sigificativemet de ce modèle ul. b. Etablissemet du modèle ul. O costruit doc ue ouvelle table e suosat ue chaue cellule est calculable à artir des effectifs margiaux, c est-à-dire : = i. j. c. Test du ² de Pearso (toutes tailles de tables) R : chis.test(data) Le test cosiste à calculer la distace etre les doées et les valeurs calculées récédemmet : ( ) 2 Par défiitio, cette somme de carrés de variables cetrées réduites suit ue distributio du ². O cofrote doc cette valeur à celle de la loi du ² our (-1)(-1) degrés de libertés.

5 5 Il existe toutefois des limites d alicatio du test du ². O doe souvet ue limite cocerat les effectifs théoriues : ( > 5) ( = 0), i, j. O a alors recourt au test suivat. d. Test G (toutes tailles de tables) G-test.R (scrit écrit ar Pete Hurd, 2001) Si les coditios récédetes e sot as réalisées, o adote alors la statistiue suivate comme distace : G = 2 log E réalité, l exressio de G est u calcul de différece de Log(vraisemblace 1 ) etre les deux modèles (ul et observatios) et celle-ci suit ue loi du ². E coséuece, o cofrote de ouveau cette valeur à celle de la loi du ² our (-1)(-1) degrés de libertés. e. Test exact de Fisher ( tables 2 X 2 seulemet!) R: Fisher.test(data) E résece de etits échatillos et ou de valeurs = 0, O aliuera le test de Fisher (dit «exact»), our tester l idéedace des distributios (mais o eut l aliuer uelue soit la taille de l échatillo). So exactitude viet du fait ue l o calcule exactemet les robabilités lutôt u e les aroximat (comme avec le test du ²) au moye de la loi hyergéométriue. Par exemle, si l o tire simultaémet boules (tirage sas remise) das ue ure coteat boules gagates et boules erdates (avec = 1 -, soit u ombre total de boules valat + = A). O comte alors le ombre de boules gagates extraites et o aelle X la variable aléatoire doat ce ombre. O tire boules. La robabilité d avoir tiré k boules gagates armi et (-k) armi les erdates est alors est alors : Das le cas simle d u tableau 2 2 tel ue : P X = k = k k A La robabilité P d avoir cette réartitio est alors : A/B B1 B2 Totaux A1 a b a+b A2 c d c+d Totaux a+c b+d P = a c a+b c+d = a+c a + b! c + d! a + c! b + d! a! b! c! d!! Le test cosiste alors à calculer our chacue des tables ossibles (ermutatios!), à artir des doées, aussi ou lus éloigées de l idéedace (modèle ul) uis de les ajouter ce ui doe la -value. U roblème ceedat : our des échatillos imortats, le ombre de ermutatios exlose, le calcul des factorielles aussi O a alors recours à des aroximatios, ce ui dimiue la fiabilité du test 1 O raelle ue la vraisemblace d u aramètre d ue loi de robabilité au vu des observatios (x 1, x 2,, x ) le ombre L(x 1, x 2,, x ) = f(xi; θ), où f est la loi de desité de robabilité de X : biomiale, oisso (voir le cours IV, à roos du glm).

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