TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations

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1 TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations Applications de cours Thermodynamique Application 1 : échelles de température Le physicien allemand D.G. Fahrenheit établit en 1724 son échelle de température, encore utilisée aujourd'hui, notamment aux États-Unis. Cette échelle se base sur : - une température basse : t = 0 F ; la température la plus basse mesurée à Dantzig (et qu'il parvient ensuite à reproduire par un mélange réfrigérant NH 4 Cl/eau), - une température haute : t = 100 F ; la température du sang de cheval. Quelques modifications eurent ensuite lieu. En 1742, le Suédois A. Celsius établit son échelle de température, se basant elle sur les températures de changement de l'eau. 1. A l'aide du thermomètre ci-contre, établir la formule de conversion entre température en degrés Fahrenheit t( F) et température en degrés Celsius (θ( C)) sous la forme : t ( F )= A.θ( C)+B. (A est une fraction simple et B un entier) 2. Le roman de science-fiction Fahrenheit 451 (Ray Bradbury, 1953) fait référence à la température d'auto-inflammation du papier. En utilisant la formule précédente, déterminer cette température en degrés Celsius puis en Kelvin. 3. Un corps passe de T 1 = 289 K à T 2 = 81 C. Convertir T 1 en C et T 2 en K, puis calculer la variation de température en degrés Celsius et en Kelvin. Application 2 : la pression 1. Une presse à diamant synthétique est un dispositif exerçant une force équivalente à m = 60 g sur un carré de côté a = 10 µm. Déterminer la pression équivalente. 2. Estimer la surface de contact entre une voiture et le sol, par le biais de ses pneus. Sciences physiques TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations 1/6

2 Application 3 : quantité de matière et nombre d'entités Il y a N = 84 milliards de milliards d'atomes de cuivre dans un volume V = 1,0 mm 3 cuivre. Déterminer la quantité de matière n correspondante. du métal Application 4 : utiliser l'équation d'état des gaz parfaits Un pneu de voiture est gonflé à la température de 20,0 C sous la pression de 2,10 bar indiquée par un manomètre différentiel. Son volume intérieur, supposé constant, est de 30 L. 1. Quelle quantité de matière d'air contient-il? 2. Après avoir roulé un certain temps, une vérification de la pression est effectuée : la pression est alors de 2,30 bar. Quelle est alors la température de l'air enfermé dans le pneu? Exprimer le résultat dans l'échelle de température usuelle. Le diagramme ci-contre PV = f(p) (ou diagramme d'amagat) est celui du gaz diazote (réel) pour différentes températures. 1. A température fixée, quelle serait l'allure de la courbe PV=f(P) pour un gaz parfait? Application 5 : limites du modèle du gaz parfait 2. Entourer la zone du diagramme pour laquelle le diazote respecte le modèle du gaz parfait, commenter. Sciences physiques TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations 2/6

3 Application 6 : mélange idéal de gaz parfaits Un litre de dioxygène (M(O 2 )= 32,0 g.mol -1 ) à 20 C et sous P 1 = 3,00 atm, et trois litres de dioxyde de carbone (M(CO 2 ) = 44,0 g.mol -1 ) à 50 C et sous P 2 = 2,00 atm, sont mélangés dans un récipient de volume V = 5,00 L. La température du mélange idéal obtenu est 40 C. 1. Calculer la pression du mélange idéal obtenu. 2. Calculer les pressions partielles en dioxygène p O2 et en dioxyde de carbone p CO2. Application 7 : représentation d'un cycle en diagramme de Clapeyron Le piston d'un moteur à explosion effectue des allers-retours. Le cycle d'un moteur 4 temps classique (essence ou diesel) peut être modélisé par une succession de transformations simples subies par un même gaz parfait, que l'on supposera toutes mécaniquement réversibles : - ADMISSION isobare 0 1 (sous l'effet de la dépression crée par la descente du piston) - COMPRESSION isotherme 1 2 (le piston remonte) - EXPLOSION : allumage isochore 2 3 puis détente isotherme ECHAPPEMENT : détente isochore 3 4 (la soupape s'ouvre) puis isobare 1 0 Sciences physiques TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations 3/6

4 Tracer le cycle en diagramme de Clapeyron. Exercices de TD 0 Salle hermétique Combien de temps pourrions-nous survivre, dans notre salle de cours devenue subitement hermétique? 00 Nombre d'avogadro On étale une mole de grains de sable sur toute la surface de la France. Quelle serait la hauteur de sable de l'étalement? 000 Masse de l'atmosphère En considérant la pression atmosphérique, estimer la masse totale de l'atmosphère. 1 Un récipient contient un gaz dont la pression est de 1, Pa et la température de 50 C. Le gaz est refroidi à volume constant jusqu à la température de 10 C. 1. Quelle est alors la pression du gaz? 2. Quelle est la quantité de matière du gaz si son volume est V = 1,0 L? 2 En plongée Le volume d'une bouteille d'air utilisée pour la plongée sous-marine est égal à V 0 = 15,0 L. La pression de l'air qu'elle contient est égale à p 0 = 200 bars. Le volume des poumons est supposé invariable. On considère que, lors d'une plongée, un homme inhale 1,00 L d'air à chaque inspiration, à raison de 17 inspirations par minute. La pression de l'air dans les poumons est égale à 2,00 bars à une profondeur de 10 m et à 4,00 bars à une profondeur de 30 m. La bouteille est munie d'un détendeur, qui permet d'abaisser la pression de l'air à l'intérieur de la bouteille jusqu'à celle des poumons du plongeur. Calculer l'autonomie en air du plongeur à une profondeur de 10 m, puis à 30 m. 3 Aérosol Une bombe aérosol contient 50 ml de gaz (considéré parfait) à une pression de 1, Pa et à une température de 20 C. 1. Calculer la quantité de matière de ce gaz. 2. En déduire son volume molaire dans ces conditions. 3. Calculer le volume de gaz que cette bombe est susceptible de dégager dans l air à 20 C et à la pression atmosphérique. Sciences physiques TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations 4/6

5 4 Mélange entre deux compartiments Deux récipients sont reliés par un tube de volume négligeable muni d un robinet. Les 2 récipients contiennent un gaz parfait. La température de 27 C ne varie pas pendant l expérience. La pression P 1 et le volume V 1 (récipient 1) sont respectivement : 2, Pa et 2,0 L. La pression P 2 et le volume V 2 (récipient 2) sont respectivement : 1, Pa et 5,0 L. 1. Calculer les quantités de matière n 1 et n 2 de gaz dans chaque récipient. 2. On ouvre le robinet. En déduire le volume total V t occupé par le gaz. 3. Déterminer P t, la pression du gaz lorsque le robinet est ouvert. 5 Bouteille emplie d'air Une bouteille en verre, de contenance égale à 1,50 L, contient de l'air à t = 20 C et à la pression atmosphérique P = 1, Pa. On considérera que l'air est un gaz parfait composé de 80% de diazote et 20% dioxygène en volume. 1. Calculer la quantité de matière n d'air contenu dans la bouteille. 2. Calculer les quantités de matière de diazote et de dioxygène contenues dans la bouteille. En déduire les masses de diazote et de dioxygène correspondantes. 3. On chauffe à t' = 100 C l'air contenu dans la bouteille fermée. Quelle grandeur physique se trouve également changée? Calculer sa nouvelle valeur. 4. On renouvelle l'expérience, cette fois avec la bouteille ouverte. Calculer la quantité de matière de gaz n' dans la bouteille. Quelles sont alors les masses de diazote et de dioxygène contenues dans la bouteille? 6 Gonflage 1. Un pneu sans chambre (de volume supposé constant) est gonflé à froid (θ i = 20 C) sous une pression de 2,0 atm. Après avoir roulé un certain temps, le pneu affiche désormais une pression de 2,2 atm. Déterminer la température finale. 2. Une bouteille d acier munie d un détendeur contient dans un volume V i = 60 L, de l air comprimé sous P i = 15 atm. En ouvrant le détendeur à la pression atmosphérique, quel volume d air peut-on extraire à température constante? 3. Un pneu de volume V 1 = 50 L est gonflé au moyen d air comprimé contenu dans une bouteille de volume V 0 = 80 L sous P 0 = 15 atm. Si la pression initiale dans le pneu est nulle et la pression finale P 1 = 2,6 atm est donnée, déterminer la pression P dans la bouteille à la fin du gonflage d un pneu, puis le nombre de pneus que l on peut ainsi gonfler, l opération se passant à température constante. 7 Dissociation du dibrome Le dibrome Br 2 est, à température ambiante, un gaz supposé parfait (M(Br) = 80,0 g.mol -1 ). 1. Calculer en litre le volume V 0 théoriquement occupé par une masse m = 1,00 g de dibrome à la température t 0 = 1600 C et sous la pression atmosphérique P 0 = 1,00 atm. La mesure expérimentale de ce volume est V 0 = 1,195L. La différence entre cette mesure et la valeur théorique est due a la dissociation d une partie des molécules de dibrome, suivant l équation de réaction Br 2(g) =2 Br (g). 2. Expliquer en quoi cette réaction est la cause de la différence constatée. 3. Déterminer l expression puis la valeur du coefficient de dissociation α, défini comme le rapport entre la quantité de dibrome dissociée et la quantité initiale de dibrome. 8 Coefficients thermoélastiques Les corps peu compressibles et peu dilatables peuvent être décrits par une équation d'état de la forme : V =V 0 (1+α(T T 0 ) χ T (P P 0 )), où (P 0, V 0, T 0 ) correspond à un état de référence connu et (P,V,T ) à un état quelconque. Les coefficients α et χ T sont respectivement le coefficient de dilatation isobare et le coefficient de compressibilité isotherme du corps, qu'on peut considérer constants dans un certain domaine de pression et de température. 1. Surpression dans un thermomètre à alcool : Un thermomètre à alcool est à une température telle que son réservoir et sa hauteur sont complètement remplis de liquide. Connaissant les coefficients thermoélastiques α = 11, K 1 et χ T = 3, atm 1, montrer qu une simple variation de température de 0,5 C suffit à créer une surpression considérable. Sciences physiques TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations 5/6

6 2. Compressibilité d un solide : Un morceau de métal est considéré à 20 C sous une pression de 1 atmosphère. Déterminer la pression qu il faut exercer sur ce morceau de métal pour que son volume reste constant lorsque sa température passe à la valeur 30 C. On donne α = K 1 et χ T = Pa Compressibilité de l'eau : une masse m = 1,00 kg d'eau liquide est caractérisée dans un domaine de température et de pression autour de l'état 0 où P 0 = 1,00 bar, T 0 = 293 K et V 0 = 1,00 L, par un coefficient de dilatation isobare α = K -1 et par un coefficient de compressibilité isotherme χ T = Pa -1 constants. a. Calculer, en considérant que l'équation d'état est valable, son volume massique sous P = bars à T = 277 K, commenter. b. Un kilogramme d'eau liquide prise à l'état 0 est enfermée dans une bouteille métallique de volume V constant (parois indéformables) ; la bouteille métallique ne contenant que de l'eau liquide et étant fermée hermétiquement. La température passe de T 0 = 293 K à T = 586 K. Calculer la nouvelle pression de l'eau liquide et commenter. c. Quelle serait la pression finale si le récipient était rempli d'un gaz parfait, les conditions initiales étant celles de l'état 0? 9 Le problème du piston Un cylindre vertical fermé aux deux bouts est séparé en deux compartiments égaux par un piston étanche de forme cylindrique dont la masse par unité de surface est σ = 136 g.cm -2. Les deux compartiments, de hauteur h = 0,50 m, contiennent un gaz parfait à T = 273 K. La pression qui règne dans le compartiment inférieur est P = 1,5 bar. On chauffe le système à T' = 100 C. Quel est le déplacement d du piston? Sciences physiques TD 4 : Systèmes, paramètres d'état et transformations 6/6