Cellules photovoltaïques On étudie quelques aspects électriques caractéristiques d une cellule photovoltaïque.

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1 PCSI 1, 2 et 3 Devoir Maison n o Exercice I Signaux électriques Cellules photovoltaïques On étudie quelques aspects électriques caractéristiques d une cellule photovoltaïque. Caractéristique d une cellule unique La figure ci-dessous représente la caractéristique courant-tension d une cellule photovoltaïque élémentaire, éclairée par un rayonnement dont la puissance par unité de surface E est fixée. I p (E) I p U (E) I cc Uco U.1 Quelle est la convention utilisée pour étudier cette cellule photovoltaïque?.2 Quelles sont les significations physiques de U co et I cc? À partir de quels instruments de mesures peut-on avoir accès à ces grandeurs?.3 Mettre en évidence en le justifiant la portion de la caractéristique correspondant à un fonctionnement en générateur électrique c est-à-dire lorsque la puissance électrique fournie par le dipôle est positive. Dans la suite du problème on ne considérera que cette partie de la caractéristique..4 On propose une expression de la caractéristique courant-tension de la photodiode en fonctionnement générateur : I p = ge I S (exp( U ) ) 1 V T où : E désigne l éclairement reçu par la cellule, exprimé en watt par mètre carré ; g est un coefficient qui rend compte de l effet photovoltaïque : g = W 1.m 2 ; V T = 0, 025 V est un paramètre homogène à une tension ; I s = désigne l intensité de fuite dans l obscurité..4.1 Comment s exprime l intensité de court-circuit I cc en fonction de l éclairement E? Faire l application numérique pour E 1 = 100 W.m 2 et E 2 = 700 W.m Exprimer la tension à vide U co en fonction de l éclairement E, lorsque celui-ci varie entre E 1 et E 2..5 On branche la cellule sur un dipôle extérieur assimilable à une source de tension U = 0, 45 V. Comment évolue l intensité qui circule dans le circuit lorsque l éclairement E varie?.6 Déterminer pour E = 400 W.m 2, la puissance électrique cédée par la cellule au circuit extérieur..7 La puissance lumineuse reçue étant P r = 400 mw, définir et calculer le rendement de la cellule photovoltaïque. ssociation de cellules Dans cette partie, on considèrera dans les graphiques que la tension de circuit ouvert est constante et égale à U 0 = 0, 5 V..1 On associe deux cellules en série, représenter la caractéristique courant-tension de l association et préciser les nouvelles valeurs de l intensité de court-circuit et de la tension à vide..2 Reprendre la question précédente pour une association de deux cellules en parallèle..3 Un panneau solaire comprend quatre blocs associés en parallèle, chacun composé de 36 cellules identiques placées en série. Quelle est la tension à vide de l ensemble? Quel est l intérêt d employer quatre blocs en parallèle? 1

2 Exercice II Étude d un défibrillateur Le défibrillateur cardiaque est un appareil utilisé en médecine d urgence. Il permet d appliquer un choc électrique sur le thorax d un patient, dont les fibres musculaires du cœur se contractent de façon désordonnée (fibrillation). En 1947, le Dr Claude eck invente dans l Hôpital Universitaire de Cleveland le défibrillateur fonctionnant avec le courant alternatif du secteur, avec une tension utile de l ordre de 1500 volts. Dans les années 1960, une amélioration notable est de permettre l utilisation ambulatoire d un défibrillateur à alimentation autonome à courant continu. On stocke de l énergie dans des condensateurs, puis cette énergie est libérée pendant un intervalle de temps très court. Le défibrillateur peut être représenté de façon simplifiée par le schéma électrique suivant : Le générateur délivre une tension E=1500 V et la capacité du condensateur est C = 470 µf. Le thorax du patient sera assimilé à un conducteur ohmique de résistance R = 50 Ω. L objectif de ce problème est d étudier les deux phases d utilisation du défibrillateur : la charge et la décharge du condensateur. Charge d une batterie de condensateurs l instant t = 0 pris pour origine des temps on ferme l interrupteur K 1 alors que les interrupteurs K 1 et K 2 étaient ouverts depuis longtemps et que le condensateur était déchargé..1 Déterminer les valeurs de u(t = 0 ) et i(t = 0 ) juste avant de fermer l interrupteur K 1..2 Déterminer en vous appuyant sur des arguments physiques les grandeurs suivantes i(0 + ), u(0 + ), i( ) et u( )..3 Établir l équation différentielle vérifiée par la tension u(t) aux bornes du condensateur en faisant intervenir la constante τ = RC. Déterminer la dimension de τ..4 Résoudre cette équation différentielle..5 L évolution de la tension du condensateur en fonction du temps est représenté sur l oscillogramme ci-dessous. Le nombre de volts par division et la sensibilité temporelle sont indiqués sous l oscillogramme. En déduire la valeur de la résistance R. u(t) CH1 250 V/div 500 ms/div.6 En réalité la résistance mesurée à la question précédente ne correspond pas à la résistance introduite entre l alimentation et le condensateur puisque, l alimentation ne peut pas être considérée comme une source idéale de tension. On doit alors prendre en compte la résistance de sortie de l alimentation : R g. Déterminer alors R g en considérant que R = 1, 2 kω..7 Calculer l énergie électrique emmagasinée à la fin de la charge. 2

3 Décharge du condensateur Dès que le condensateur C est chargé le manipulateur peut envoyer le choc électrique en connectant le condensateur aux électrodes posées sur le thorax du patient. Il choisit alors le niveau d énergie du choc électrique qui sera administré au patient. la date initiale t = 0, le manipulateur ferme l interrupteur K 2 (K 1 ouvert) ce qui provoque la décharge partielle du condensateur. La décharge est automatiquement arrêtée dès que l énergie choisie à été délivrée par un dispositif non représenté sur la modélisation électrique précédente..1 Déterminer l expression de u(t = 0 + ) et de i (t = 0 + ) en fonction de E et R..2 On représente sur la figure ci-dessous la trajectoire de phase (représentation graphique de u en fonction de u) de la décharge du condensateur. u (kv.s 1 ) u (V) À partir de la trajectoire de phase, déterminer la tension aux bornes du condensateur une fois que l énergie à été délivrée au patient..2.2 Quelle énergie a été délivrée au patient?.2.3 Comment à partir de cette courbe peut-on retrouver la valeur de R qui modélise le thorax du patient?.2.4 Retrouver l équation différentielle vérifiée par u(t ). On pourra faire intervenir les grandeurs R, C et E..2.5 Résoudre cette équation différentielle et tracer l évolution de u en fonction de t..2.6 Exprimer analytiquement le temps nécessaire à la transmission de l énergie au patient lors de l utilisation du défibrillateur puis faire l application numérique. Exercice III Fonctionnement de l oreille humaine Depuis l expérience de Wever et ray (1930) qui permit de mettre en évidence les phénomènes électriques de l oreille interne, la compréhension du fonctionnement physique de l oreille suscite de nombreux travaux de recherche. Parmi ces travaux, les expériences de Shaw (1974) généralisées par Pickles (1988) montrent l amplification sélective des sens selon la fréquence par les différents constituants de l oreille. L étude qui suit permet de rendre compte qualitativement des mesures expérimentales à l aide de modélisations élémentaires. L oreille est composée typiquement de trois parties représentées sur la Figure ci-dessous : l oreille externe : le pavillon ouvert à l air libre collecte les sons vers le conduit auditif qui mène au tympan ; l oreille moyenne : c est une cavité remplie d air et qui contient trois osselets. Elle permet la transmission et l amplification des signaux mécaniques de l oreille externe vers l oreille interne ; 3

4 l oreille interne : sa structure est complexe : elle transforme les signaux mécaniques en signaux électriques vers le nerf auditif. Dans la suite de cet exercice on développera une modélisation très élémentaire de l oreille externe et moyenne. Étude mécanique de l oreille externe Le tympan est modélisé par une membrane plane de masse m = 15 mg vibrant parallèlement à elle-même selon l axe horizontal Ox de vecteur unitaire u #» x. Ce modèle est schématisé sur la figure ci-dessous. Son déplacement par rapport à sa position d équilibre est noté x(t). Le tympan est soumis à une force de rappel F #» l = εkx u #» x où ε est une constante telle que ε = 1, et k = 3, N.m 1 est la constante de raideur, ainsi qu à une force de frottement fluide F #» frott = h #» v, où h = 0, 10 Nsm 1 est une constante et #» v = dx u #» x la vitesse du tympan. dt.1 Expliquer si ε vaut +1 où 1..2 Exprimer la fréquence f 0 d oscillation du tympan dans le cas non amorti (h = 0)..3 Calculer f 0, puis commenter sachant que l oreille humaine est sensibles aux sons de fréquences comprises entre 20 Hz et 20 khz..4 Écrire l équation différentielle décrivant l évolution du tympan, en prenant en compte cette fois l amortissement..5 Montrer que le régime associé à l évolution du tympan est pseudo-périodique..6 Donner alors la forme de la solution et l exprimer sous la forme x(t) = Ke αt cos(ωt + ϕ) où on explicitera α et ω en fonction des données (K et ϕ sont des constantes qu on ne cherchera pas à déterminer)..7 Calculer la pseudo-période T 0 et la pseudo-fréquence f 0 ainsi que la durée typique de décroissance τ 0. Commenter ces résultats..8 Tracer l allure de la solution sachant que x(0) = x 0 et dx dt (0) = 0 où x 0 est une constante positive..9 Tracer l allure de la trajectoire de phase associée. nalogie électrique Un son se traduit physiquement par une modification de pression. insi le tympan est soumis en plus à une force de pression F #» pression = F u #» x, liée au son perçus..1 On considère le circuit représenté sur la figure ci-dessous, comportant un résistor de résistance R 1, une bobine d inductance L 1 et un condensateur de capacité C 1 en série, le tout alimenté par une source de tension idéale de force électromotrice e. Établir l équation différentielle vérifiée par la charge q. R 1 L 1 e q C 1 4

5 .2 Montrer qu il existe une analogie entre la situation du tympan soumis à la force de pression et celle du circuit. Les équivalents des grandeurs électriques R 1, L 1, C 1 et e seront clairement donnés. En supposant que la fréquence propre du tympan est la même que celle du circuit électrique équivalent, exprimer f 0 (voir la question.2) en fonction de L 1 et C 1..3 On donne L 1 = 15 mh. En déduire la valeur numérique de C 1. Il est admis que la présence du conduit auditif avant le tympan change ce circuit électrique équivalent en un circuit donné sur la figure ci-dessous, avec une inductance L 2 supplémentaire et un condensateur de capacité C 2 qui correspond à l association du condensateur de capacité C 1 avec un condensateur supplémentaire. Cette modélisation simple fournit des résultats qualitativement corrects, mais ne peut pas être comparée quantitativement avec le fonctionnement réel de l oreille externe. L 2 L 1 R 1 e u C 2.4 Le régime est sinusoïdal forcé, de pulsation ω. À toute fonction sinusoïdale de la forme g(t) = g 0 cos(ωt + ϕ), on associe sa représentation complexe : g = g 0 exp[j(ωt + ϕ)]. Rappeler les intérêts de la notation complexe pour la résolution d équations différentielles linéaires à coefficients constants..5 Définir l impédance complexe d un dipôle et rappeler les impédances complexes d un résistor de résistance R, d une bobine idéale d inductance L et d un condensateur idéal de capacité C..6 Exprimer l impédance complexe équivalente Z eq du groupement série {L 1, R 1, C 2 }..7 Déterminer l expression de la tension complexe u en fonction de e et des données du problème..8 On définit la fonction de transfert H = u e. Exprimer H..9 Exprimer le module de la fonction de transfert H, puis le calculer pour les fréquences f = 3, 0 khz et f = 5, 0 khz sachant que L 2 = 5, 0 mh, C 2 = 0, 15 µf et R 1 = 100 Ω..10 On donne sur la figure ci-dessous l allure du module de H en fonction de la fréquence sur une échelle logarithmique. Les valeurs obtenues à la question précédentes sont-elles cohérentes? Retrouver qualitativement les limites du module de la fonction de transfert en basses et hautes fréquences. 1.6 Gain en fonction de la fréquence H fréquence (Hz).11 Sachant que la tension u correspond à la «sortie» du conduit auditif, quel est l effet du conduit auditif sur les basses et hautes fréquences? 5