Optimisation technico-économique d un parc

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1 Stage de Master Recherche Energie Electrique et Développement Durable Optimisation technico-économique d un parc éolien Pascal MONJEAN Année Universitaire Encadrant : Jonathan SPROOTEN, Maître de Conférences, HEI, L2EP

2 Remerciements Je tiens à remercier toutes les personnes ayant participé à ce projet. Je remercie tout d abord M. Jonathan Sprooten qui m a assisté tout au long du projet en répondant à toutes mes questions et prenant le temps nécessaire à la bonne réalisation du projet. Je remercie aussi M. Benoît Robyns en tant que co-encadrant du projet et superviseur de l article écrit sur le sujet. Je tiens à remercier Arnaud Vergnol, doctorant à H.E.I. qui n a pas hésité à m aider quant il le pouvait. Finalement, je remercie toute l équipe de chercheurs travaillant à H.E.I. pour leur accueil au sein du laboratoire. i

3 Abstract This report presents the control of wind generators and storage(s) considering the congestions which can appear when the load is high. The optimization deals with storage(s) inserted into the grid which have two purposes. The first one is to get back the energy which is normally dissipated when there are congestions. The second one is making money considering the forecast of wind production, load demand and price market fluctuations during the next 24 hours. This problem of control optimal is solved by using Iterative Dynamic Programming, a method which suits to problem like Unit Commitment or any kind of energy resource problem. The method is applied to the case study where the impact of energy storages localization and proportioning are studied. In an other hand an economic study is achieved in order to show the effect of different electricity market scenarios. Simulation results show that firstly some storages well localized and well-proportioned can increase wind production recovery. Secondly, taking in account the price variation during the next day allow wind farm owner to earn some money. However, this forecast can bring producer to situations where it is more interesting to dissipate wind energy than sell it. Economic scenarios show the importance to have wind energy price higher than electricity market. Keywords : Wind production park/storage, Technico-economic optimization, Iterative Dynamic Programming, Network congestion, Optimal control. Résumé Ce rapport présente la commande d un parc de fermes éoliennes et d un ou plusieurs stockage(s) en prenant en compte les congestions qui peuvent survenir lorsque les charges sont élevées sur le réseau. L optimisation réalisée concerne le(s) stockage(s) inséré(s) sur le réseau avec deux buts distincts. Le premier étant de récupérer l énergie issue des éoliennes normalement dissipée lors des périodes de congestions. Le second objectif est de réaliser des profits financiers en considérant les prévisions de production éolienne, des charges et des fluctuations de prix de l électricité du marché tout au long des prochaines 24 heures. Ce problème de commande optimale est résolu par l utilisation de la Programmation Dynamique Itérative, une méthode qui convient pour de nombreux problèmes comme celui de l Unit Commitment ou d autres problèmes de gestions des ressources énergétiques. La méthode est appliquée au cas étudié et l impact de la localisation et du dimensionnement des stockages est observé. De plus une étude économique est réalisée pour démontrer les effets de différents marchés de l électricité. Les résultats des simulations montrent premièrement qu un ou plusieurs stockage(s) bien localisés et dimensionnés peuvent accroître la récupération de l énergie éolienne. De plus en prenant en compte les variations du prix durant les prochaines 24 heures, le propriétaire des fermes éoliennes peut gagner beaucoup d argent. Cependant ces prévisions peuvent amener à des situations où il est plus avantageux de dissiper l énergie éolienne que de la revendre sur le réseau. Les scénarios économiques montrent l importance d avoir un prix de rachat éolien plus important que le prix du marché. Mots-clés : Production-stockage énergie éolienne, Optimisation technico-économique, Programmation Dynamique Itérative, congestions de réseau, commande optimale. ii

4 Table des matières 1 Introduction Objectifs du sujet de Recherche Démarche Etude du travail précédemment réalisé Travail à effectuer Travail préliminaire : Optimal Power Flow Problème de Commande Optimale Problème d optimisation Commande Optimale analytique Programmation Dynamique Principe global Exemple Résolution du problème avec un stockage Enoncé Résolution numérique sans PDyn Programmation Dynamique analytique Programmation Dynamique numérique discrétisée PDyn φ 1 : Construction de L PDyn φ 2 : Reconstruction des solutions Load-flow final Programmation Dynamique Itérative Estimateurs de calculs Formules mathématiques Résultats Résolution avec deux stockages IDP avec deux commandes Principe et complexité Temps de calculs et simplifications Proposition de méthode IDP découplée Principe de la méthode Hypothèses de la méthode et problèmes Utilisation du programme Localisation et dimensionnement de(s) stockage(s) Localisation de(s) stockage(s) Répartition des stockages Dimensionnement des stockages Influence du marché de l électricité Problème écologique dû à la non-linéarité du réseau Scénarios économiques Conclusion 25 Références 26 Annexes 27 Annexe 1 : Preuves des équations des estimateurs iii

5 Table des figures 1 Réseau simulé sous Powerworld [DESM-07] Exemple de réseau modélisé pour le calcul de load-flow [DEBS-88] Profils utilisés pour le réseau Optimal Power Flow Illustration de la Programmation Dynamique Profil de prix utilisé pour l ensemble des simulations Commande optimale du problème simplifié sans PDyn Algorithme complet avec PDyn numérique Résultats de la simulation avec PDyn Plage de variation de la commande optimale pour k = 27, 100 itérations, γ = Algorithme Iterative Dynamic Programming Comparaison optimisation avec ou sans PDyn Estimateur erreur maximale sur la commande Estimateur gains Réseau avec deux stockages Simplification de l OPF Fonctionnement du programme en temps réel Répartition stockages Gains en fonction des E max et des P uissances Stratégies de commandes au nœud 3, P = 45 MW, E max = MW.min Situation Stockage normal et Stockage vert Liste des tableaux 1 Exemple de moyenne pour l IDP découplée Gains et énergie éolienne récupérée sur 24 heures selon l emplacement des stockages Pente des Gains en fonction de E max à P constant Gains financiers et Energie éolienne récupérée selon situations économiques iv

6 1 Introduction Dans le cadre du master E2D2 réalisé conjointement avec la dernière année d Ecole d ingénieur Centrale Lille, un stage de Recherche en laboratoire est réalisé. Le stage s est déroulé d avril à juillet 2009 au sein du L.2.E.P. (Laboratoire d Electrotechnique et d Electronique de Puissance) de Lille sous la direction de M. Jonathan Sprooten, enseignant à l Ecole d ingénieur H.E.I. (Hautes Etudes d Ingénieur) et chercheur au sein du laboratoire L.2.E.P. Les puissances éoliennes installées dans l Union Européenne tendent à augmenter suite aux récents objectifs européens en matière d énergies renouvelables. Ces puissances installées importantes sont concentrées dans des zones fortement ventées qui correspondent souvent à des zones où le réseau électrique est moins développé. Cette situation peut amener à limiter la production éolienne en période de vent important afin d éviter de surcharger ce réseau durant certains régimes de fonctionnement, induisant une perte financière pour les exploitants des centrales éoliennes, tout en ne contribuant pas à la limitation des émissions de CO2. Ce problème se pose pour la région Nord-Pas de Calais car l éolien est amené à se développer rapidement. A moyen terme, les fermes éoliennes devront donc être munies de moyens de réglage dynamique leur permettant de réagir rapidement en présence de contraintes sur le réseau. De plus, dans la situation actuelle, la production éolienne dispose d un tarif de rachat constant. Dans la perspective de l augmentation de ce type de production, celle-ci devra participer au marché de l électricité au même titre que les productions conventionnelles. Ainsi il paraît intéressant de chercher à optimiser les reventes d énergies sur le réseau en considérant les fluctuations de prix de rachat. La limitation de puissance pourrait être résolue en intégrant des systèmes de stockage dans les fermes éoliennes pour ainsi chercher à élaborer une stratégie de commande pour maximiser les profits des producteurs éoliens. Au sein du laboratoire, plusieurs études portent sur l intégration de systèmes de stockages en vue d améliorer la gestion des réseaux [COUR-08]. D autres études portant sur des méthodes innovantes sont en cours de recherche ou réalisées. On peut citer les plans d expériences, la logique floue et la gestion décentralisée intelligente. Plusieurs études ont déjà été réalisées sur le sujet proposé. On peut citer Magnus Korpaas et al. [KORP-03] qui résolvent un problème similaire au nôtre. En effet considérant une ferme éolienne et un stockage implantés au même endroit, ils cherchent à optimiser les gains du propriétaire du parc en considérant le prix de rachat variable de l énergie au réseau. Après une détermination statistique des profils de vent, une programmation dynamique est réalisée pour trouver la commande optimale de la ferme éolienne. Cependant, malgré la grande similarité avec notre étude, le réseau entre différents parcs éoliens n est pas pris en compte. Une autre étude menée par Adgardo Castronuovo [CAST-04] porte sur l association d un stockage à une éolienne et cherche là aussi à optimiser les gains financiers des producteurs éoliens. La méthode de résolution méthode du point intérieur est linéaire car le réseau n est pas pris en compte. Dans notre cas le problème n est pas linéaire, et l utilisation d une autre méthode de résolution se justifie alors. Le contexte et les objectifs du projet seront tout d abord exposés. Ensuite on s intéressera au problème de commande optimale qui constitue la nature de la problématique et on détaillera les méthodes choisies pour la résolution. Puis la méthode sera appliquée au problème exposé afin d étudier la localisation et le dimensionnement du ou des stockage(s) dans le réseau. Des scénarios économiques seront finalement observées afin de remarquer certaines situations complexes, et de chercher l implémentation optimale du ou des stockage(s). 1.1 Objectifs du sujet de Recherche L objectif du stage est de proposer une optimisation technico-économique de la production énergétique issue d un réseau constitué de plusieurs fermes éoliennes en considérant la possibilité de stockage de l énergie ainsi que la variation du prix de rachat de l électricité au cours du temps. Cela implique la prévision optimale des plans de production des différents acteurs de la centrale. Cet outil de supervision 1

7 de centrale sera testé sur un simulateur temporel du fonctionnement du réseau électrique (Matlab). Ce simulateur a été développé lors d un précédent stage de master. 1.2 Démarche Une étude bibliographique, préliminaire au stage, a permis de comprendre le problème posé et les solutions déjà apportées par le précédent stagiaire sur le sujet. L etude a permis de choisir une méthode permettant la réalisation de la commande optimale : la Programmation Dynamique. Elle a ensuite été implantée sous MatLab lors du projet IMPACT avec Centrale Lille. Ce projet était le lien entre l étude bibliographique et le stage de Master. 1.3 Etude du travail précédemment réalisé En , Vincent Desmidt, étudiant en master E2D2 à Lille, a réalisé son stage au sein du L2EP sous la direction de M. Sprooten [DESM-07]. Son sujet était basé sur le même problème mais considérait un prix de rachat constant de l énergie. On considère donc un réseau électrique à quatre nœuds connecté à trois fermes éoliennes. Le quatrième nœud étant le réseau supposé infini. (Figure 1) Figure 1 Réseau simulé sous Powerworld [DESM-07] Le but du précédent stage était d augmenter la puissance éolienne injectée sur le réseau lors d un fonctionnement normal et aussi lorsque les lignes électriques sont saturées (courant trop importants dans les lignes). Pour cela il fallait optimiser la production éolienne en tenant compte des contraintes du réseau. En effet, il fallait adapter la production éolienne en la diminuant si nécessaire de manière à éviter la déconnexion de l éolienne en cas de congestion des lignes électriques. L installation d un système de stockage sur le réseau de manière à soulager les lignes électriques lors de congestion a été étudiée. On suppose connu l état de la production d énergie éolienne et des charges sur le réseau tout au long d une journée de 24h. A partir de cela il faut donc optimiser les puissances fournies par les éoliennes en considérant les intensités maximales des lignes. La simulation du réseau se fait par une succession d états permanents. A chaque point de fonctionnement on lance l algorithme d optimisation reposant sur plusieurs load-flow avec prise en compte des congestions du réseau. Le load-flow [DEBS-88] est une méthode qui permet de déterminer les valeurs des tensions et des amplitudes à chaque nœud du réseau. Les nœuds peuvent être classés en 3 catégories : les nœuds où se trouve une charge et où on connaît donc les puissances actives P et réactives Q. Les nœuds où l on trouve en plus d une charge, un générateur (P g et Q g connus) et enfin le nœud slack qui est un nœud permettant d effectuer le bilan de puissances du réseau. Aux deux premiers types de nœuds, on peut écrire 2 équations (équations 1 et 2) pour trouver les deux inconnues V et δ, et au nœud slack on réalise le bilan de puissance avec V et δ connus. Les équations principales du load-flow donnant les puissances injectées au nœud l sont à partir de la figure 2 : P l = Vl 2 (G Slm + G lm ) V l V m (G lm cos(δ 1 δ m ) + B lm sin(δ 1 δ m )) (1) Q l = V 2 l (B Sl + B Slm + B lm ) V l V m (G lm sin(δ 1 δ m ) B lm cos(δ 1 δ m )) (2) où G Slm et G lm sont les conductances des lignes [Siemens], et B lm, B Slm, B Sl sont les susceptances des lignes [Siemens]. L algorithme Matlab chargé d effectuer ce calcul provient du logiciel Matpower [ZIMM-07]. Après avoir récupéré les valeurs de la tension à chaque nœud, on peut calculer la valeur des courants dans les lignes 2

8 Figure 2 Exemple de réseau modélisé pour le calcul de load-flow [DEBS-88] de transmissions. Par exemple le courant I lm circulant dans la ligne l m est définit comme suit : I lm = (V le jθ l V m e jθ m ) Z lm Avec V l l amplitude de la tension au nœud l et V m l amplitude de la tension au nœud m. θ l la phase de la tension au nœud l et θ m la phase de la tension au nœud m. Z lm l impédance de la ligne de transmission entre le nœud l et le nœud m. (a) Profil de la puissance active des éoliennes (b) Profil des charges Figure 3 Profils utilisés pour le réseau Après la prise en compte des congestions de lignes, on peut alors chercher à optimiser les puissances fournies par les éoliennes. Pour le profil de puissance active des éoliennes ainsi que les profils de charge du réseau donnés figure 3, on cherche les intensités dans les lignes de transmission et on en déduit en recalculant les variables d état du réseau les puissances maximales fournissables par les éoliennes. On peut alors améliorer la production de puissances en stockant la puissance lorsqu elle n est pas délivrable au réseau. Puis on déstocke l énergie lorsque que l état du réseau le permet. Plusieurs simulations ont été réalisées dans ce sens et il est apparu qu un élément de stockage placé au nœud 2 était le plus intéressant car il permettait, sous réserve de bon dimensionnement, de restituer toute la puissance perdue due aux congestions. Une interrogation reste néanmoins sur le prix du dimensionnement de stockage qui selon l énergie totale accumulable et la puissance restituable va varier. De plus les courbes représentant l énergie injectée au réseau en fonction de la puissance maximale de stockage ne sont pas des droites : il peut être plus intéressant de stocker moins à moindre coût, que stocker toute l énergie à fort coût. Les perspectives de ce travail étaient donc de chercher à améliorer la gestion du stockage sur le réseau en précisant le meilleur emplacement, ainsi que le dimensionnement du stockage. Les temps de simulations étant élevés, l utilisation du DC load-flow ou de l optimal power flow [DEBS-88] pourrait s avérer intéressant. L optimal power flow consiste à optimiser les puissances de différents générateurs sur le réseau en 3

9 prenant en compte des contraintes sur les lignes comme c est le cas ici. Cette optimisation réalise plusieurs load-flow pour trouver l optimum voulu. Le prix de l électricité est considéré comme fixe ici, alors qu en réalité il varie en fonction du temps : il serait intéressant de simuler avec un coût variable. En effet dès qu il y a possibilité de relâcher de l énergie dans ce cas, on la relâche. Ce ne serait pas le cas si le prix variait, car l on pourrait alors attendre une meilleure situation (prix de rachat plus élevé) pour déstocker l énergie. 1.4 Travail à effectuer L objectif principal du stage est la prise en compte d un coût variable pour l énergie produite et rachetée par EDF. Pour cela il faut optimiser la revente de l énergie en fonction du temps pour maximiser les gains du point de vue producteur éolien. On insère un ou plusieurs éléments de stockage sur le réseau, ces systèmes ayant un dimensionnement à optimiser (cependant le coût correspondant à la taille du stockage ne sera pas pris en compte dans cette étude). Cette optimisation nécessite une nouvelle forme de programmation qui considère les instants futurs et détermine l action à réaliser au temps présent. Ce problème est assimilé à un problème de commande optimale. La nature du problème sera tout d abord explicitée pour ensuite expliquer la méthode retenue et son application au cas étudié. 1.5 Travail préliminaire : Optimal Power Flow Avant de commencer le travail d implémentation de nouvelles méthodes, il m a été demandé de reprendre le travail précédent (optimisation des puissances avec prix constant) en utilisant un nouvel algorithme : l OPF (Optimal Power Flow) [ZIMM-07]. On voit figure 4 l algorithme général de la méthode appliquée au problème. Figure 4 Optimal Power Flow Cela allège la structure algorithmique initiale de Vincent Desmidt, en ne demandant plus qu un seul OPF à chaque instant k au lieu de deux load-flow. Le stockage est simulé par un générateur 5 relié à la ferme éolienne 2 et dont la puissance peut être négative comme positive. Une fonction-coût sur chaque nœud du réseau permet de définir quelle stratégie réaliser. Pour le stage précédent : l optimisation de la revente de l énergie des éoliennes avec stockage si congestion de ligne, et déstockage dès que possible. Les résultats obtenus avec cet algorithme sont les mêmes que ceux obtenus par Vincent Desmidt, avec un temps de calcul plus court et des fonctions MatLab simplifiées. 4

10 2 Problème de Commande Optimale 2.1 Problème d optimisation Le problème général de la détermination d une commande optimale d un processus peut se résumer comme suit [BORN-96] : un processus étant donné et défini par son modèle, trouver parmi les commandes admissibles celle qui permet à la fois : de vérifier des conditions initiales et finales données ; de satisfaire diverses contraintes imposées ; d optimiser un critère choisi. Le choix du modèle s avère donc primordial dans ce genre de problème, car il a une incidence directe sur le temps de calcul. Les contraintes pour l étude sont par exemple des contraintes d énergies stockables ou déstockables. En effet lors du stockage on ne peut emmagasiner qu une certaine quantité d énergie par unité de temps et de même on ne peut renvoyer cette énergie sur le réseau que sous une certaine puissance. Le critère à maximiser sera ici les gains en euros de l énergie revendue : en effet plus les producteurs éoliens revendent de l énergie et ce au prix le plus élevé possible, plus les gains sont importants. L objectif est donc de trouver la commande qui maximisera la fonction-objectif à chaque instant t. La période d essai du programme est de 24 heures échantillonnée toutes les 10 minutes : on connaît l état des puissances fournies aux différents nœuds toutes les 10 minutes. Ce problème est connu sous le nom d Unit Commitment [DEBS-88] avec pour différence la prise en compte d un réseau électrique, de congestions de lignes, et d un prix de l électricité variable. Des méthodes de résolution existent pour résoudre un problème d optimisation discret et la Programmation Dynamique Itérative est celle qui a été retenue pour la résolution du problème. Elle va être détaillée par la suite. 2.2 Commande Optimale analytique La forme la plus générale d un problème de commande optimale est la suivante : min x(t) R u(t) R J(x, u) = t1 t 0 g ( x(t), u(t), t ) dt (3) sous ẋ = f ( x(t), u(t), t ), x(t 0 ) = x 0, avec x l état du système, u la commande du système, et f et g les équations du système. On note que x(t 1 ) n est pas fixé, on parle de valeur finale libre. Ce problème peut alors être résolu avec différentes méthodes comme les multiplicateurs de Lagrange [CULI-94]. Cependant les équations du système au cours du temps ne sont pas accessibles dans notre cas, et une discrétisation du temps est obligatoire pour résoudre notre problème. La Programmation Dynamique est une méthode de résolution avec discrétisation temporelle. D autres méthodes existent mais n ont pas été retenue pour l étude (cf Etude Bibliographique). Nous allons présenter la Programmation Dynamique dans le prochain paragraphe. 2.3 Programmation Dynamique Erigée par Bellman dans les années 50 en méthode de programmation, la Programmation Dynamique (PDyn) constitue l une des méthodes d optimisation les plus générales. Cette méthode est applicable à de nombreux problèmes dont celui d optimisation discrète. Elle est souvent privilégiée dans le domaine de la commande optimale car elle constitue une méthode de base fondamentale pour la détermination des solutions de commande en boucle fermée. Cependant la PDyn ne se prête pas aux problèmes de grandes dimensions. En effet sa mise en œuvre est de nature numérique et bien souvent énumérative, ce qui lui confère une complexité algorithmique exponentielle Principe global On considère une nouvelle formulation simplifiée d un problème d optimisation [CALV-04] : min J(u) (4) u Ω 5

11 dans lequel le vecteur u = (u(k)) regroupe l ensemble des variables de décision u(k) et Ω désigne l ensemble des décisions admissibles. La méthode de Programmation Dynamique peut être divisée en deux phases de calcul : φ 1 : Décomposition paramétrique du problème d optimisation φ 2 : Reconstruction des solutions par substitution Assumons le fait que J(u) s écrive sous la forme (discrétisation temporelle) : J(u) = N 1 k=0 (L [ x(k), u(k) ]) où L est la fonction coût associée à la variable d état x et à la variable de décision u. N est la taille de l échantillonnage. La première phase de calcul φ 1 se réalise alors comme suit : Etape N : Etape k, pour k allant de N 1 à 0 : A chaque k on aura u(k) = f(x(k 1)) Après on réalise φ 2 la reconstruction des solutions : Etape 0 : on fixe x(0) = constante Etape k, pour k allant de 0 à N 1 : Exemple J N (x(n)) = min[l(x(n), u(n))] u(n) J k (x(k)) = min u(k) [L(x(k), u(k)) + J k+1(x(k + 1))] Calcul de u(k) Pour expliquer cette méthode concrètement on peut considérer un exemple simple (figure 5). On recherche le chemin le moins cher du point A à H en considérant qu un déplacement d un point à un autre a un certain coût (pour aller de A à B le coût est de 5). Une première approche préconiserait de calculer l ensemble des chemins possibles et de retenir le meilleur. Or ici avec cette configuration, on a déjà 30 chemins possibles. Si le nombre de points augmente la complexité du problème aussi et ce exponentiellement. Une autre méthode consiste à diviser le problème en sous-problèmes plus simples et à optimiser chaque problème pour trouver l optimum global : c est la Programmation Dynamique. Il est important de noter que cet exemple diffère de la méthode globale présentée auparavant dans le fait que les états et les commandes sont discrétisées dans l exemple. Cette discrétisation est nécessaire pour expliquer la démarche, mais supprime alors la phase de reconstruction des solutions. Cet exemple n a pour but que d expliquer le principe et non pas d appliquer la méthode au problème. Figure 5 Illustration de la Programmation Dynamique 6

12 On part du point final et on parcourt le problème dans le sens inverse. A chaque point on cherche le chemin optimal entre les points X et Y avec un coût x : XY(x). On change alors de point et on recherche les chemins possibles entre ce point et les points proches. Chaque point proche a été traité auparavant, on connaît donc les chemins optimaux empruntables. Il faut juste comparer les différentes possibilités au point et retenir la meilleure. Point F : chemin FGH(5) ou FH(6) choix du chemin FGH(5) Point G : choix du chemin GH(2) Point E : chemin EGH(7) ou chemin ED... (D pas encore traité) Point D : chemin DFGH(6) ou chemin DEGH(10) choix du chemin DFGH(6) Point E bis : chemin EDFGH(7) deux choix possibles : EDFGH(7) ou EGH(7) Point C : chemin CDFGH(7) ou chemin CEGH(9) ou chemin CB... (B pas encore traité) Point B : chemin BDFGH(14) ou chemin BEFGH(12) ou chemin BCDFGH(13) choix du chemin BEGH(13) Point C bis : chemin CBEFGH(14) choix du chemin CDFGH(7) Point A : chemin ACDFGH(18) ou chemin ABEGH(17) choix du chemin ABEGH(17) On a donc trouvé le chemin optimal en résolvant 8 sous-problèmes et en calculant 13 chemins possibles contre 30 dans la méthode globale. On voit l intérêt de cette méthode diminuant la complexité algorithmique du problème. Dans notre cas, si on discrétise les commandes et les états cela pourrait donner : 145 états temporels, 100 commandes et 100 états de stockages, ce qui correspondrait à trouver le chemin optimal entre points avec plus de chemins différents! La PDyn permettrait alors de réduire la complexité à chemins possibles. Le choix initial a été de résoudre le problème par Programmation Dynamique en s inspirant des algorithmes décrits par [ZHAO-08], [BIWU-02] et [CALV-04]. Pour une meilleure compréhension de la démarche, on expliquera tout d abord notre problème, puis la méthode sera appliquée au problème. 7

13 3 Résolution du problème avec un stockage 3.1 Enoncé On considère le problème à 3 parcs éoliens et un stockage de type centrale hydraulique de pompage. On a pour données : u i : Commande en puissance du stockage au nœud i [MW] e i : Etat en énergie du stockage au nœud i [MW.min] η : Rendement du stockage (η = 0.92) k : Discrétisation du temps, k [1..T ] t : Pas de discrétisation du temps [min] ( t = 10) T : Temps maximal (T = 144 car T t = 24 heures) π(k) : Prix du MW à l instant k [AC/MWh] P eol (k) : Puissance éolienne cumulée des fermes à l instant k [MW], P eoli ferme éolienne au nœud i P load (k) : Puissance des charges aux différents nœuds à k [MW] E max : Niveau d énergie maximal pour le stockage considéré [MW.min] I lm (k) : Courant dans la ligne l m à l instant k [A] représente le puissance de la On cherche à résoudre : max u i T k=0 ( ) π(k) [P eol (u i (k), k) + u i (k)] avec e i (k) = e i (k 1) η(k) u i (k) t (6) (5) avec η(k) = 1 η si u i(k) > 0, sinon η(k) = η (7) avec [ ] ( I lm (k), P eol (k) = f OP F ui (k), P load (k) ) (8) Sous contraintes : pour k : u i min u i (k) u i max pour k : 0 e i (k) e i max pour k et pour toutes les lignes du réseau : I lm (k) I lmmax (k) u i représentant la commande de stockage et de déstockage de l énergie, elle peut être négative ou positive. f OP F correspond à la fonction de l OPF qui relie les paramètres du réseau pour connaître l intensité dans les lignes I lm et les puissances des fermes éoliennes P eol. Condition initiale : e i (0) = 0 par exemple. (Stockage vide au départ) Le stockage a un rendement de 0.92 car généralement on considère un rendement de 0.85 pour un barrage, et ici le rendement prend uniquement en compte la conversion au pompage ou au lâcher d eau. On a donc = Figure 6 Profil de prix utilisé pour l ensemble des simulations reste du temps il est à 50 AC/MWh. Le profil de prix utilisé pour l ensemble des simulations est représenté figure 6. Il représente un profil comme Powernext en fournit tout au long de l année. Powernext [POWE-09] est la bourse européenne des échanges énergétiques. D autres marchés de l électricité existent [CREF-09] mais nous nous sommes intéressés à des prix à haute volatilité. Le prix est faible (20 AC/MWh) de 0 à 4 heures. Il est élevé (100 AC/MWh) lors des pics de demande (6h à 10h et 18h à 22h). Le 8

14 3.2 Résolution numérique sans PDyn Pour prouver l intérêt de la PDyn, on a cherché à approximer la solution sous MatLab en n utilisant pas cette méthode. On insert un unique stockage au nœud 2. On donne alors toutes les contraintes sur la commande et le stockage. Ici on cherche juste à démontrer la non-viabilité de cette méthode et on imagine donc que les contraintes sont données. Ce qui en fait n est pas le cas pour la commande dans le problème complet, car on a besoin de load-flow. On laisse alors le logiciel chercher les valeurs de u 2 (k) à chaque instant k qui optimisent : min u 1 T k=0 1 (π(k) [P eol (k) + u 2 (k)]) La fonction de Matlab permettant l optimisation d un facteur sous certaines contraintes s appelle fmincon. Sur des exemples simples (k 10) la méthode fonctionne très bien. On cherche alors à appliquer cette méthode sur un exemple plus proche du nôtre. On utilise les données des puissances éoliennes sur 145 états ( minutes = 24 heures). Dans ce cas cette méthode fonctionne en partie car l optimum trouvé n est pas l optimum global (graphiquement on voit des solutions meilleures, figure 7). En effet fmincon arrête de chercher l optimum dès qu il est sur un minima local, situation qui arrive souvent si k est grand : plus le nombre de chemins est grand, plus il est difficile de trouver le chemin optimal. Par conséquent un grand nombre d itérations de cette fonction est nécessaire pour éviter ces minimas et ne garder que la meilleure solution, encore éloignée de la solution réelle. Une dernière méthode est nécessaire pour obtenir une meilleure convergence : on donne un point de départ avant optimisation à la commande optimale proportionnel au prix. Par exemple si le prix est fort, u 1 sera proche de u max et inversement ; cela signifie qu on favorise le stockage lors d un prix faible et le déstockage lors d un prix élevé. On voit figure 7 que l on stocke au départ quand le Power [MW] Price/5 [Euros] u_min u Time [min/10] u_max Price Time [min/10] prix est faible, et que l on déstocke quand le prix est élevé avec u proche de u max. Cependant cette méthode ne peut être utilisée dans notre cas, car la solution est trop approchée et la convergence n est pas assurée : u est plus ou moins proche de la solution optimale. Or on veut un algorithme fiable donnant une solution unique à chaque instant. De plus la commande varie énormément d un point à un autre et il est impossible d interdire ses changements d états parfois inutiles. Finalement cette méthode ne prend pas en compte la non linéarité du réseau. Nous reviendrons sur ce point ultérieurement. Figure 7 Commande optimale du problème simplifié sans PDyn D où l intérêt de la Programmation Dynamique qui va établir un optimum à chaque instant sans besoin d utiliser une fonction d approximation. 3.3 Programmation Dynamique analytique On cherche à appliquer l algorithme de PDyn [CALV-04] sous MatLab. Cet algorithme résout une équation à chaque état. Chaque solution dépendante des états du stockage est alors réintégrée dans l équation suivante (substituer e(k) par e(k 1) u(k) t). Cela signifie que les équations se compliquent très vite plus k augmente. Dans [CALV-04] il est dit que Maple sature dès que k = 4. On a voulu vérifier sous MatLab si cet algorithme était en effet trop complexe. Il s est avéré que si k 4, le programme ne fonctionne plus. En effet les équations deviennent trop conséquentes et impossible à résoudre. La méthode est cependant la bonne et donne l optimum exact. Calvet donne alors d autres algorithmes mieux adaptés pour résoudre le problème de Programmation Dynamique : la résolution numérique par discrétisation des états et des commandes. 9

15 3.4 Programmation Dynamique numérique discrétisée La PDyn numérique a été implémentée sur le problème en considérant un seul stockage au nœud 2 pour commencer. En s inspirant de l algorithme de Calvet [CALV-04], on peut définir la structure de résolution du problème, figure 8. Figure 8 Algorithme complet avec PDyn numérique PDyn φ 1 : Construction de L La première phase de la PDyn donne la matrice des chemins possibles pour la commande. On décide, après des tests sur différents cas de figures possibles, de prendre une dicrétisation dépendante entre la commande et l énergie stockée. En effet la discrétisation de u engendre la discrétisation de e. Plusieurs simulations ont permis de se rendre compte de cette nécessité, sans quoi la commande variait trop fortement. Si u = 10, e = u dt = 100. La matrice L contient les chemins optimaux pour la commande u. Elle se construit avec en ordonnée b, les différents états de stockages e possibles à l instant k, et en abscisse a, avec les différentes commandes ( ) ) possibles à l instant k. On a alors L(a, b) = π(k) (P eol u(k), k + u(k). L = u(1) u(2)... e(1) L(1, 1) L(1, 2)... e(2) L(2, 1) L(2, 2) Les puissances éoliennes à un instant k dépendent de la commande testée. Un algorithme basé sur des load-flow et des Optimal Power Flow est nécessaire à chaque test pour connaître l état du réseau et si il y a des congestions. Pour chaque commande testée : 1. On réalise un load-flow pour vérifier la présence ou non de congestions. Si il n y en a pas, les puissances éoliennes sont donc inchangées, et la commande valide. 2. Si il y a une ou plusieurs congestions dans le réseau, on réalise alors un Optimal Power Flow qui va dégrader les puissances éoliennes au mieux pour réduire les congestions. 3. Si après l OPF il reste des congestions, on invalide alors la commande en assignant L(a, b) = ; si les congestions ont disparues, on garde les puissances éoliennes dégradées correspondantes. On remarque que e n intervient pas dans le calcul de L(a, b). e intervient si la commande amène à un niveau de stockage impossible. Imaginons que e(k) = 1000 et u(k) = 45, dans ce cas e(k + 1) = Et si E max = 1400 on a un état impossible qu on simule en prenant L(a, b) =. A ce point là on a les gains réalisables à k. On ajoute alors à chaque L(a,b) la valeur maximale qu il pourrait atteindre au prochain état : ) L(k)(a, b) = L(k)(a, b) + max d (L(k + 1)(c, d) où c correspond à l état de stockage e(k + 1) et d à la commande u(k + 1). 10

16 3.4.2 PDyn φ 2 : Reconstruction des solutions Lors de la deuxième phase de la PDyn, on cherche la commande maximisant ( les profits. A partir de l état initial e(1) = 0, on cherche la meilleure commande : u(1) = max d L(1) [ e(1), d ]) Load-flow final La commande générée est alors insérée dans un load-flow en considérant que le nœud 5 (stockage) génère la commande. On obtient alors les puissances de tous les générateurs du réseau (Figure 9) ainsi que les courants dans les lignes. (a) Puissances après optimisation (b) Energie au stockage Figure 9 Résultats de la simulation avec PDyn Ce load-flow n a finalement pour but que de démontrer la viabilité de la solution, et si les puissances éoliennes n ont pas été dégradées. Malgré des résultats probants sur cet exemple, durant certaines simulations, la commande variait fortement. De plus la précision sur la commande était supérieure au MW car en deçà de cette limite, la discrétisation devenait trop importante. C est là le défaut de cette méthode : si u est trop faible alors le nombre de valeurs pour e est trop grand et le programme sature. On ne peut alors pas discrétiser assez la commande u. Une autre forme de la PDyn a paru alors intéressante car mieux adaptée aux problèmes de grande taille : la Programmation Dynamique Itérative, plus connue sous le nom anglophone Iterative Dynamic Programming ou IDP. Cette méthode fait l objet du paragraphe suivant. 3.5 Programmation Dynamique Itérative L IDP a été implémentée pour la première fois par Reein LUUS [LUUS-00] en Elle a été depuis utilisé dans beaucoup de problèmes comme des problèmes chimiques [WEBB-97]. Cette méthode reposant sur l itération de plusieurs PDyn numérique, permets de diminuer considérablement la taille des matrices d états utilisées, et donc le temps de calcul. De plus la précision peut aussi être fortement augmentée. Principe L IDP a la même trame de construction que la PDyn classique mais sur beaucoup moins d états de commande possible à chaque itération. On a par exemple 3 commandes possibles pour la première PDyn uniformément réparties sur la plage de variation de u : plage u (k) = [u min, 0, u max ]. Cela signifie que sur la première PDyn les commandes n auront que trois choix possibles. A la PDyn suivante on contracte la plage des valeurs de u d un facteur γ centré sur la commande optimale trouvée précédemment : si u = 0 était optimal, les valeurs atteignables pour u deviennent [u min γ, 0, u max γ]. Il en va ainsi pour les PDyn suivantes. On conçoit alors une notion de contraction autour de la commande optimale au cours des itérations. On peut visualiser cette contraction sur la figure

17 Plage de variation de u [MW] u_min u_max Number of Iterations Figure 10 Plage de variation de la commande optimale pour k = 27, 100 itérations, γ = 0.9 Le problème de discrétisation de e est diminué car les valeurs admissibles par e diminuent selon la plage de variation de u. Ainsi après un certain nombre d itérations on obtient donc la commande optimale. L algorithme global utilisé pour notre problème est représenté figure 11. Figure 11 Algorithme Iterative Dynamic Programming On peut alors comparer la commande issue de cette méthode à celle issue de l optimisation réalisée lors du précédent stage sans PDyn. (Figure 12) Cette comparaison porte sur un stockage inséré au nœud 2 avec une énergie maximale de MW.min et de puissance 45 MW. Il y a plusieurs différences entre les deux simulations. Sans contrôle optimal, le stockage stocke uniquement l énergie quand le parc éolien ne peut pas fournir son énergie à travers la ligne 1-2 (heures 5 à 11). Donc le stockage récupère l énergie qui était perdue sans stockage et quand la congestion est finie (heure 15), le stockage relâche l énergie sur le réseau. Dans la seconde simulation on peut voir que le stockage stocke et déstocke l énergie avant les congestions à cause de la fluctuation des prix. Toute l énergie stockée par la suite est alors déstockée à l heure 18 quand le prix est au plus haut au lieu du plus rapidement possible. La limitation de taille du stockage (10000 MW.min ici) explique que l on ne peut pas stocker tout le temps et déstocker quand on veut. On cherche alors les gains qu apporte la PDyn, on les définit comme tels : Gains = T k=0 ( ) π(k) [P eol1 (k) + P eol2 (k) + P eol3 (k) + u 2 (k)] Sans stockage les gains financiers sont de AC. Sans PDyn, mais avec optimisation des puissances, c est à dire stockage si congestion et déstockage dès que possible, les gains s élèvent à AC, soit déjà 12

18 (a) Commande du stockage sans optimisation (b) Commande du stockage avec PDyn Figure 12 Comparaison optimisation avec ou sans PDyn près de 4000 AC gagnés par jour. Tandis qu avec la PDyn les gains s élèvent à AC. La PDyn permettrait de gagner AC en 24 heures avec ce scénario. Cependant, le stockage permettant ces gains est d une taille conséquente : 100 MW.h et une puissance de 45 MW. Ce type de stockage correspondrait à un barrage car d autres stockages type volant d inertie n existent pas avec ces grandeurs sur le marché pour le moment. 3.6 Estimateurs de calculs Formules mathématiques Il paraissait intéressant de chercher à quantifier les erreurs de calculs, et pour cela créer des estimateurs. Soient : plage ui (j)(k) : plage de variation de u i à la PDyn j, à l instant k P l : taille plage ui(1) initiale (P l = P stockage max P stockage min ) [MW] γ : coefficient de contraction (par exemple γ = 0.85) j : indice de l itération J : itération finale Gains : Gains financiers réalisés entre deux itérations [AC] Estimateur erreur locale sur u à l itération j et à l instant k : δu i (j, k) P l (γ) j 1 (9) Par souci de clarté, les preuves mathématiques de toutes les équations présentées ici sont décrites en Annexe 1. Estimateur erreur locale sur e à l itération j et à instant k : k 1 δe i (j, k) t (δu i (j, a)) (10) Estimateur erreur maximale sur u entre l itération j et l itération finale J : ( J 1 (P l u i (j) min P l, 2 (γ)a 1)) (11) Estimateur gains sur la prochaine itération : Gains u i(j) t 2 60 a=1 a=j 13 T 2 [ π high π low ] (12)

19 avec π high la moyenne du profil de prix supérieur à la moyenne du profil complet du prix sur une période T/2. Inversement pour π low Résultats On peut tout d abord observer l erreur maximale commise sur la commande u entre la première itération et l itération finale (Equation 11) pour un stockage de 45 MW, le niveau d énergie maximal étant E max = MW.min, γ = 0.9 et sur 100 PDyn. (Figure 13) Theorical error Error compared to optimum at the end Theorical error Error compared to optimum at the end Maximal error [MW] Maximal error [MW] Iterations (a) Estimation sur 100 PDyn Iterations (b) Zoom sur les PDyn finales Figure 13 Estimateur erreur maximale sur la commande L erreur théorique est en rouge sur la figure. On voit que l estimateur est assez proche de la réalité. Sachant que l on réalise des OPF à 0.1 près, on peut se demander si la recherche de u à 0.01 près est cohérente. On pourrait alors choisir un critère d arrêt sur la précision de la commande Estimateur gains positifs Estimateur gains négatifs Gains réels 3 2 Estimateur gains positifs Estimateur gains négatifs Gains réels Delta_Gains [Euros] Delta_Gains [Euros] Iterations (a) Estimation sur 70 PDyn Iterations (b) Zoom sur les PDyn finales Figure 14 Estimateur gains On peut observer figure 14 l estimation des gains futurs réalisables (Equation 12) au cours des itérations pour un stockage de 45 MW, E max = MW.min, γ = En rouge on observe les gains réellement réalisés. Le zoom démontre qu à partir d un certains nombre d itérations, les gains financiers ne seront plus très importants. Le fait qu il y ait des itérations où l on gagne moins d argent que l itération précédente s explique par le fait des erreurs de discrétisations. D où la nécessité de réaliser un certain nombre d itérations et d assurer une plage minimale de variation pour les gains. L arrêt du programme pourrait se faire sur ce critère. En dessous d une estimation de gains de 1 AC, on arrête les itérations. 14

20 4 Résolution avec deux stockages 4.1 IDP avec deux commandes Après l implémentation d un stockage, on pouvait se demander si deux stockages plus petits mais répartis judicieusement ne pourraient pas apporter les mêmes gains financiers, voir des gains supérieurs. On considère donc le réseau représenté figure 15. Figure 15 Réseau avec deux stockages Les stockages sont répartis au nœud 2 et 3 pour l exemple. On reprend alors la méthode de Programmation Dynamique Itérative mais pour deux commandes Principe et complexité On se place à une itération j de la PDyn (exemple itération j = 27 sur J = 75). Les stockages sont aux nœuds 1 & 2. On construit alors pour k allant de T à 1 les matrices L(k) avec : Exemple : [u 1 (b), u 2 (b)] [e 1 (a), e 2 (b)] L(a, b) L(k) = L(k) = [u 1 = 10, u 2 = 10] [u 1 = 10, u 2 = 0] [u 1 = 10, u 2 = 10]... [e 1 = 0, e 2 = 0] L(1, 1) L(1, 2) L(1, 3)... [e 1 = 0, e 2 = 100] L(2, 1) L(2, 2) L(2, 3) La taille de la matrice L(k) à la PDyn j, est donc de taille :(plage u1(j)(k)) taille(plage u2(j)(k)) taille(plage e1 (j)(k)) taille(plage e2 (j)(k)). Par exemple si on teste 3 commandes, et que le pas de discrétisation de e donne 70 valeurs différentes on obtient une matrice L de taille = valeurs. La taille de L est assez importante car augmente considérablement le temps de calcul. La complexité du problème total est alors assimilable à : nombre stockages Complexité = discrétisation temporelle (discrétisation commandes discrétisation états) Si 2 stockages : complexité = 145 (3 50) 2 = 3e6 Si 3 stockages : complexité = 500e6 On voit que celle-ci augmente fortement plus le nombre de stockages augmente. D où l importance du choix des différentes discrétisations. 15

21 Le principe du chemin optimal est le même que pour la PDyn à une commande. (Voir Paragraphe 3.4.1) Temps de calculs et simplifications Après implémentation de la méthode sous MatLab, le premier test a abouti après 8 heures de calculs. Des améliorations quant au temps de calcul ont été apportées. L indexation logique et l algorithmique de haut niveau sous MatLab ont permis de réduire considérablement le temps le calcul des matrices L. De ce fait les load-flow et OPF représentaient le temps de calcul du programme entier. Simplifications load-flow et OPF Un OPF prend environ 6 secondes par test. Sachant que l on a 145 états, qu à chaque état on teste 9 couples de commandes possibles, et que pour 1 commande sur 3 en moyenne on calcule un OPF, cela représenterait = 2610 secondes (45 min) pour une itération! Plusieurs simplifications ont été proposées pour réduire ce temps de calcul. On peut par exemple stocker toutes les différentes situations possibles et ne pas refaire d OPF si celui-ci a déjà été réalisé. De plus on peut donner une précision sur les commandes à l entrée de l OPF pour réduire les possibilités différentes. On a remarqué qu avec une incertitude sur la commande de 0.1, les valeurs des puissances éoliennes étaient sensiblement proches à 0.1 près voir moins. Il semble alors important de ne pas réaliser de PDyn avec une incertitude plus faible sur la commande, ce qui serait inutile. Malgré ces améliorations, le temps de calcul était encore élevé : 20 min pour un point de calcul (toutes les itérations réalisées). Arnaud Vergnol, doctorant au L2EP dans l équipe réseau a remarqué durant son travail de thèse qu une linéarisation pouvait amener au même résultat qu un OPF à partir d un load-flow. A partir de l exemple figure 16 on illustre ce calcul. S [MW] Peol linéarisé Smax Peol Peol linérarisé S max S au départ S représente la puissance en MW passant dans une ligne. On part du point de départ S = 85 MW et S max = 50 MW. P eol (k) = 75 MW au départ. Si on linéarise on trouvera P eol linearise = 10 MW. Alors que l OPF donnerait 25 MW. En réalité les ordres de grandeurs ne sont pas si grands, et la linéarisation aboutit souvent au résultat de l OPF à + ou - 10 % Peol non linéarisé Peol [MW] Figure 16 Simplification de l OPF Pour assurer une marge d erreur minimale, on a ajouté un load-flow en sortie de l algorithme de simplification, qui calcule les marges sur S. Si la dégradation linéaire n a pas été suffisante, et qu il y a toujours une congestion, on lance alors une deuxième itération. On relance alors un load-flow pour vérifier la présence de congestions. Si ce n est toujours pas suffisant, on lance alors un OPF. Cette situation est très rare, et permet de dire que deux itérations de l algorithme de simplification sont suffisantes avec une marge d erreur inférieure à 1%. Avec toutes ces simplifications, le temps de calcul est de 10 minutes environ, soit du même ordre que la discrétisation temporelle ( t = 10 min). Une autre méthode a été développée dans le but de réduire la complexité du problème proportionnelle au nombre de stockages lorsque le nombre de stockage est supérieur à Proposition de méthode IDP découplée Une méthode de programmation a parue intéressante pour le problème : le découplage du problème en deux autres problèmes plus faciles à résoudre. Aucune publication ne traite ce cas ici et nous ne sommes pas arriver à démontrer la viabilité de la méthode. Cependant elle fonctionne sur les cas simulés car 16

22 elle donne les mêmes résultats que la méthode originale (mêmes gains à 1% près et profil de commande quasi-identique) Principe de la méthode On découple le problème complet en deux sous-problèmes plus simples. Au lieu d utiliser une matrice contenant en ordonnée tous les états possibles des deux stockages, on utilise deux matrices indépendantes avec chacune en ordonnée l état du stockage correspondant. L abscisse ne change pas et concerne les différentes commandes. On suppose donc que le problème est découplable, c est à dire que le choix de u 1 est indépendant de e 2 et inversement pour u 2. On reviendra sur ce point ultérieurement. Chaque matrice se remplit sur un principe similaire au problème original avec la seule différence que l on prend des valeurs moyennes à u i constants et non le max à chaque fois. Exemple : à un certain k, pour un certain niveau de stockage e 1 on a 3 possibilités pour u 1 : [-10 ;0 ;10] et pour u 2 : [-5 ;0 ;5]. On cherche alors la meilleure commande u 1 avec u 2 variant : on moyenne les éléments de la ligne L 1 (e 1, :) par trio sous u 2 variant. On obtient 3 valeurs et on garde la maximale. C est elle qui donnera la commande u 1 ayant le plus de chance de donner les gains maximaux avec u 2 quelconque. On fait de même pour L 2 afin de déterminer u 2. La complexité est alors de (disc = discrétisation) : Complexité = disc temporelle (disc commandes disc états) nombre stockages. Tandis que dans la méthode originale on a : Complexité = disc temporelle (disc commandes disc états) nombre stockages. Un amoindrissement non négligeable si le nombre de stockages venait à augmenter. Cependant une preuve du bon fonctionnement de la méthode est nécessaire pour s assurer de pouvoir donner les hypothèses de son bon fonctionnement Hypothèses de la méthode et problèmes Lors du calcul de L 1 les limites en e 2 ne sont pas prises en compte. Or il est possible qu elles aient un effet. Si le stockage 2 est plein par exemple, u 2 < 0 est impossible. Or lors du calcul moyenné, la valeur correspondante dans L 2 est prise en compte, faussant donc le calcul. Il n y a aucun moyen de connaître l état du stockage 2 lors de la création de L 1. Le couplage entre u 1 et e 2 semble donc être faible mais existant contrairement à la première hypothèse. Cette première erreur peut ne pas en être une sous certaines autres hypothèses. Si les variations de gains sont monotones et linéaires, alors prendre en compte 3 fois une valeur interdite sera masqué par la moyenne (ce qui est le but en soit). On traite un exemple simple pour expliquer ces suppositions en Table 1. u u Gains M oyenne(gains) Table 1 Exemple de moyenne pour l IDP découplée Dans cet exemple on voit qu il faut retenir la solution u 1 = 10 car Moyenne(Gains) est la plus élevée. Si u 2 = 10 est en fait impossible, la logique est conservée car les variations de Gains sont linéaires et monotones. On cherche alors à démontrer cette assertion en observant les Gains en fonction de u 1 et u 2. Malheureusement les variations ne sont pas toujours monotones et linéaires mais presque tout le temps. On peut alors conclure sur les raisons potentielles pour laquelle la méthode fonctionne : la monotonie est quasiment toujours vérifiée ainsi que la linéarité. Un réseau électrique est souvent linéaire et le fait d augmenter une commande a souvent la même incidence sur les gains. Par conséquent la probabilité de commettre une erreur tout au long de la programmation est faible car d une itération à l autre les échelles de commandes changent et les erreurs ne sont donc pas toujours commises. On pourrait peut-être quantifier le risque d erreur et démontrer sa faible probabilité. On s intéresse alors à l utilisation du programme avec la méthode initiale en temps réel. 4.3 Utilisation du programme Si on utilise ce simulateur en temps réel, on peut imaginer le schéma de fonctionnement suivant (figure 17) : 17

23 Figure 17 Fonctionnement du programme en temps réel L utilisateur démarre le programme 10 minutes avant l instant 0, à partir des données prévisionnelles pour les charges, les puissances éoliennes, le prix de l électricité,... sur les prochaines 24 heures. Puis les commandes issues du programme sont intégrées en temps réel. On peut alors réactualiser les données d entrée (charges légèrement différentes,...) et relancer l algorithme qui trouvera les commandes des stockages des instants 10 minutes à 24 heures + 10 minutes et ainsi de suite. On peut imaginer qu il n est peut-être pas nécessaire de relancer tous les calculs toutes les 10 min car les prévisions ne doivent pas être si éloignées de la réalité. On pourrait alors simplifier les calculs en diminuant par exemple la plage de variation de u. Le programme ainsi créé va permettre alors de rechercher l emplacement idéal pour stocker l énergie sur le réseau considéré. 18

24 5 Localisation et dimensionnement de(s) stockage(s) 5.1 Localisation de(s) stockage(s) Avant de dimensionner le ou les stockage(s), il est important de chercher à localiser les besoins du réseau. On remarque tout d abord que sans stockage les congestions sont en majorité situées sur la ligne 1-2. Ces congestions impliquent principalement des pertes éoliennes sur la ferme 2. A priori un stockage au nœud 2 permettrait de récupérer cette puissance perdue. De plus la charge IFA 2000 au nœud 1 est importante de 5h à 15h, et l énergie éolienne injectée au nœud 1 est faible durant cette période. Insérer un stockage au nœud 1 permettant de compenser cette demande paraît aussi bien adapté. Par conséquent insérer un stockage au nœud 3 n apparaît pas comme intéressant car il devrait récupérer la puissance éolienne du nœud 2, mais l énergie devrait passer par la ligne 2-3 ainsi que augmentant la congestion sur 1-2. Plusieurs simulations ont alors été réalisées en comparant les différents emplacements possibles. La comparaison porte sur les gains en euros sur 24 heures et sur l énergie éolienne récupérée avec P et E max constants. On compare avec une taille de stockage définie pour récupérer toute la puissance éolienne au nœud 2 c est-à-dire 91.3 MWh [DESM-07]. Le stockage qui permet de récupérer toute cette énergie a donc pour dimensions : P = 41 MW, E max = 5000 MW.min. Par conséquent si on place deux stockages, chacun d eux a pour dimensionnement (P, E max ) tandis que si il y a un seul stockage celui-ci a pour dimensionnement (2 P, 2 E max ). La notation S1 signifie Stockage au nœud 1. Les résultats des différents tests sont présentés Table 2. Le profil de prix reste le même (figure 6). Energie Eolienne Emplacement Dimensions Gains [AC] Energie Eolienne en % de la [MWh] production S1 2 P, 2 E max S2 2 P, 2 E max S3 2 P, 2 E max S4 2 P, 2 E max S1/S2 P, E max S1/S3 P, E max S1/S4 P, E max S2/S3 P, E max S2/S4 P, E max S3/S4 P, E max Table 2 Gains et énergie éolienne récupérée sur 24 heures selon l emplacement des stockages L énergie récupérée est la plus importante lorsque le stockage est au nœud 2. Si on mets deux stockages de chaque côté de la ligne 1-2, on récupère toute la puissance éolienne (100%) et les gains sont augmentés (7000 AC supplémentaires par rapport à S2 et 400 AC par rapport à S1). Cependant on voit que deux stockages en 1 et 3 permettraient de gagner le plus d argent. Mais cette localisation amène à perdre de l énergie éolienne. Une étude plus poussée au paragraphe suivant permettra de comprendre pourquoi. Ainsi placer deux stockages répartis de part et d autre de la ligne 1-2 permet d espérer gagner le plus d argent possible ainsi que récupérer un maximum d énergie éolienne. Cette ligne est la plus souvent congestionnée, et on peut imaginer que cette localisation serait valable pour d autres réseaux. Cependant, des simulations sur des réseaux différents constitue une perspective au projet (future thèse), et ne fait pas parti des objectifs du stage. Il faudrait en effet simulé de multiples points de fonctionnement pour de multiples réseaux avec des profils de vents/charges différents. L analyse serait alors une approche stochastique et nécessiterait plusieurs semaines de calculs informatiques. 5.2 Répartition des stockages On décide de placer deux stockages aux nœuds 1 et 2. On cherche alors la répartition adéquate des stockages de part et d autre de la ligne 1-2 pour maximiser les Gains financiers. Le dimensionnement concerne les puissances des stockages (P ) ainsi que leur niveau d énergie maximum (E max ). On a donc 4 paramètres : P S1, P S2, E maxs1 et E maxs2. Les plages de variations des paramètres ont été choisies pour 19

25 correspondre à un stockage de type moyenne hydraulique (barrage). On a donc tracé à E max constante les Gains en fonction des P variant inversement proportionnellement (figure 18 a). (a) Gains en fonction des P uissances à E max constantes (b) Gains en fonction des E max à Puissances constantes Figure 18 Répartition stockages On trace de même les Gains en fonction des E max à P constant (figure 18 b). On n utilise que des P et des E max suffisamment élevés pour pouvoir obtenir des courbes non stationnaires (voir paragraphe suivant). Toutes les simulations réalisées ne figurent pas sur les courbes présentées. Dans grand nombre de cas, deux stockages uniformément répartis de chaque côté de la ligne 1-2 permettent d espérer un maximum d argent. C est le cas pour E maxs1,s2 = 5000 MW.min et P S1,S2 = 22.5 MW. Cependant si P S1,S2 = 45 MW, la meilleure répartition est alors E maxs1 (7000 MW.min) plus important que E maxs2 (3000 MW.min). Donc même si le dimensionnement égal de chaque côté de la ligne est le meilleur dans la plupart des cas, parfois il peut être plus intéressant de mettre un stockage plus puissant à un nœud. 5.3 Dimensionnement des stockages La répartition établie, on cherche alors à dimensionner le stockage et à chercher à quantifier la variation des gains selon P et E max. On représente en 3D les Gains en euros en fonction de P et E max. On considère donc une répartition uniforme des deux côtés de la ligne avec E maxs1 = E maxs2 et P S1 = P S2. On obtient la figure 19. Figure 19 Gains en fonction des E max et des P uissances On voit que les variations des Gains en fonction de E max ou P ne sont pas toujours identiques. Mais il y a des tendances qui sont quantifiables. On donne dans la Table 3 les pentes entre deux états de E max, à P constant. Au départ lorsque E max = 1000 MW.min, on gagne 5400 AC. En fait on récupère principalement l énergie éolienne, et on la revend au bon moment. Le gain peut s exprimer en fonction du prix maximal de l énergie selon : Gains = π high energie vendue + ( ) π high π low energie vendue periode car 20

26 E max P = P = P = P = Table 3 Pente des Gains en fonction de E max à P constant pour l un des deux stockages lorsqu on stocke de l énergie elle ne nous coûte rien. periode correspond au temps durant lequel le prix est élevé. Ici il y a deux périodes pour le profil, donc 4 périodes à considérer pour les 2 stockages. Le deuxième stockage joue sur la fluctuation des prix. Pour cet exemple : Gains = /60 + (100 20) 1000/60 3 = 5600 AC 5400 AC. Si la taille augmente on remarque une diminution des profits entre chaque test. A partir d une certaine taille, on a déjà récupéré la majeure partie de l énergie éolienne, et on ne joue plus que sur la fluctuation des prix du marché de l électricité. On assimile les Gains entre E max = 1000 MW.min et E max = 3000 MW.min à (π high π low periode ) nombre stockages energie vendue soit ((100 80) + (100 50)) /60 = 4330 AC). En fait les corrélations ne sont pas linéaires entre les variations de prix et les gains, car le temps et les congestions vont empêcher les stockages de profiter au maximum de ces fluctuations, et de plus le réseau n est pas linéaire. A puissance constante on arrivera toujours à une limite pour E max qui ne permet plus de gagner d argent. Cette limite correspond à la période où le prix est au dessus de la moyenne du profil. Cela suppose aussi que cette période permette de renvoyer toute l énergie disponible au stockage, c est-à-dire ici durant 4 heures à 100 AC/MWh. Dans l exemple E max lim s exprime : E max lim = temps π high P. Si P =45 MW, E max lim =10800 MW.min. Cette limite peut néanmoins être beaucoup plus complexe si il y a beaucoup de congestions. On peut faire de même avec E max constant et P variable mais les conclusions seront les mêmes. Ce calcul n est valable que pour des profils de prix et de vent particuliers, mais rend compte de limites en E max et P sur lesquelles il faut s attarder pour dimensionner les stockages. Les conclusions pour un bon dimensionnement sont : le stockage est utilisé en premier pour récupérer de l éolien et cela entraîne les profits les plus importants. Ensuite les fluctuations du marché de l électricité sont utilisées afin d acheter à bas prix et revendre au prix le plus haut. Les instants où le prix est le plus fort donnent une estimation de la taille de stockage maximale pour récupérer le maximum d argent. 21

27 6 Influence du marché de l électricité Lors des calculs réalisés précédemment, on considérait un prix de rachat de l éolien fluctuant de la même façon que le prix de rachat de l électricité issue du stockage. En réalité ce n est pas le cas (en 2009), car l éolien a un prix de rachat plus élevé pour promouvoir les énergies renouvelables [ENPC-05]. Par exemple en France le MWh est racheté par EDF 83.8 AC/MWh durant les 5 premières années. Ensuite ce prix diminue pour atteindre 44.2 AC/MWh après 15 ans. Durant les 3 dernières années, le prix de l électricité dans 3 pays de l UE (France, Danemark, Allemagne) a fluctué entre 40 AC/MWh et 70 AC/MWh [BILL-06]. Le prix de l éolien régresse de 3% en moyenne chaque année [ENPC-05], on peut alors imaginer différents scénarios économiques futurs où le prix de l éolien se calquerait sur le marché de l électricité, ou sur la moyenne du marché. Le scénario donnant les prix de rachat égaux pour le stockage et l éolien peut donner des situations non écologiques dû à la non-linéarité du réseau. 6.1 Problème écologique dû à la non-linéarité du réseau Considérons un stockage de 45 MW et de MW.min situé au nœud 3. Après lancement du programme on obtient la commande figure 20a. Par souci de simplicité seuls P eol2 (en anglais sur la figure), P eol2 init et u sont représentés car l éolienne 2 est la seule à avoir sa puissance dégradée dans ce cas. On ajoute aussi les fluctuations du prix au cours de la journée sur la figure. (a) Commande u avec prix unique pour l électricité (b) Commande u avec priorité à l éolien Figure 20 Stratégies de commandes au nœud 3, P = 45 MW, E max = MW.min On remarque qu au temps 8 heures, la puissance éolienne 2 est dégradée, car le stockage libère de la puissance. On a le bilan de puissance : 0 MW (P eol2 ) + 31 MW (Stockage) = 31 MW. Imaginons qu on veuille obliger les producteurs éoliens à récupérer le maximum de puissances éoliennes et de dégrader le moins possible celles-ci, on obtiendrait alors la courbe figure 20b. (Cette obligation peut se faire par le biais d une contrainte dans la programmation) Au temps 8 heures, on a le bilan de puissance : 8.25 MW (P eol2 ) + 8 MW (Stockage) = MW. Ici, la puissance éolienne 2 n est pas dégradée à l instant 8 heures. La raison de cette dégradation dans le premier cas est simple, le prix étant élevé et le réseau non linéaire, il est possible de faire passer 31 MW du stockage dans les lignes en dégradant 8 MW d éolien. La situation 1 est donc avantageuse niveau financier. On imagine que dans un contexte de politique d énergie renouvelable, si il devenait plus intéressant de ne pas produire de l éolien pour gagner plus d argent, cela ne serait pas vraiment écologique. Des solutions sont envisageables, et elles vont être démontrées à travers plusieurs scénarios économiques. 6.2 Scénarios économiques Plusieurs scénarios économiques sont comparés afin de déterminer l influence du marché sur la récupération de l énergie éolienne, et les gains occasionnés. On teste ces scénarios sur deux stockages localisés aux nœuds 1 & 3 avec P 1 = P 3 = 45 MW et E max S1 = E max S3 = MW.min. Ces paramètres ont 22

28 été choisis dans le but de démontrer certaines situations complexes ; les résultats suivants sont cependant aussi valables pour d autres situations comme la localisation 2-3. Le profil de prix est toujours le même. (Figure 6) On a π = 62 AC/MWh et l écart-type est de σ(π) = 30. Plusieurs scénarios ont été testés. π wind signifie Prix de l énergie éolienne et π signifie Prix de l énergie issue du stockage. Le scénario 1 considère que le prix de l électricité venant du stockage et de l éolien est le même. Le scénario 2 a les mêmes considérations que le 1 mais avec une priorité sur l énergie éolienne. Les scénarios 3, 4 et 5 considèrent un prix constant pour l énergie éolienne à partir de π. Les scénarios 6, 7 et 8 considèrent que π wind suit les variations de π avec un bonus en AC/MWh. Le scénario 9 considère que π + bonus est le même que 1, 5 π. Le dernier scénario considère un stockage vert avec le scénario de prix n 1. Le stockage vert consistant à autoriser uniquement le stockage de l énergie issue des éoliennes et pas celle du réseau. Dans ce cas un seul compteur électrique serait utilisé pour la revente de l énergie (figure 21). Figure 21 Situation Stockage normal et Stockage vert Les résultats des simulations sont donnés Table 4. Numéro de Gains [AC] Energie éolienne Energie éolienne Scénarios Scénario sans stockages avec stockages [MWh] % de la production 1 π wind = π π wind = π + Priorité à l éolien π wind = π π wind = 1, 05 π π wind = 1, 15 π π wind = π + 10 AC/MWh π wind = π + 20 AC/MWh Stockage Vert π wind = π Table 4 Gains financiers et Energie éolienne récupérée selon situations économiques Comparaison scénarios 1/2 : On remarque que la priorité à l éolien amène 23 MWh supplémentaires avec un profit diminué de 320 AC ce qui n est pas négligeable sur un an ( AC). Comparaison scénarios 1 à 5 : Quand π wind = π, cela n est pas suffisant pour recouvrir toute l énergie éolienne. Pour obtenir une priorité à l éolien sans ajouter de contraintes aux propriétaires, il faut nécessairement mettre un prix éolien au moins 1.15 fois supérieur (72 AC/MWh) à la moyenne du prix fluctuant du réseau. Comparaison scénarios 1/6/7 : Mettre un bonus sur l éolien par rapport au prix fluctuant permet aussi de récupérer plus d énergie éolienne. 20 AC/MWh donne π à 82 AC/MWh. 23