Géométrie 1 GEOMETRIE ELEMENTAIRE DU PLAN

Transcription

1 Géométrie chap 1 1/7 Géométrie 1 GEOMETRIE ELEMENTAIRE DU PLAN On considère le plan orienté, noté, muni d une unité de longueur 1 VECTEURS DU PLAN 11 Définitions Définition 1 : Dans le plan, deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si les segments [AD] et [BC] ont même milieu Proposition 1 : La relation d équipollence est une relation d équivalence Définition : Les classes d équivalence de la relation d équipollence sont appelées vecteurs Le vecteur associé au bipoint (A, B) est noté AB ; de façon générale, un vecteur est noté u Le vecteur associé au bipoint (A, A) est appelé vecteur nul Il se note 0 On notera V l ensemble des vecteurs du plan Proposition : Un vecteur non nul u = AB est caractérisé par sa direction (toutes les droites parallèles à (AB)), son sens (sur la droite (AB) : «de A vers B» ; A s appelle l origine, B s appelle l extrémité), et sa norme (la longueur AB), notée u Le vecteur nul est caractérisé par une norme nulle Définition 3 : Un vecteur de norme 1 est dit unitaire Définition 4 : Deux vecteurs sont dits colinéaires si l un est nul ou s ils ont la même direction Deux vecteurs sont dits orthogonaux si l un est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires 1 Opérations 11 Loi interne On munit l ensemble V d une opération interne, notée +, appelée somme : Pour former la somme des vecteurs u et v, on considère les points A, B et C tels que u = AB et v = BC Le vecteur u + v est le vecteur AC Propriétés : Soient ( u; v; w) V 3, ( A; B) u + v = v + u u + ( v + w) = ( u + + w u + 0 = 0 + u = u Pour tout vecteur u de V il existe un unique vecteur s tel que : u + s = s + u = 0 ; on l appelle opposé du vecteur u, on le note u ; en particulier AB = BA

2 Géométrie chap 1 /7 1 Loi externe On munit l ensemble V d une opération externe sur R notée, appelée produit d un vecteur par un scalaire : Etant donnés un réel non nul λ et un vecteur non nul u, le vecteur λ u a la même direction que u, le même sens que u si λ > 0, le sens contraire si λ < 0, et a pour norme λ u Si λ = 0 ou u = 0, λ u = 0 1 Remarque : Si u 0, le vecteur u u est le vecteur unitaire de même direction et sens que u u v 1 u = u ; (-1) u = u λ ( µ u) = ( λµ ) u λ ( u + = λ u + λ v ( λ + µ ) u = λ u + µ u Propriétés : Soient ( ; ) λ ; µ R V et ( ) 13 Angles orientés de vecteurs Définition 5 : Soient u = OA et v = OB deux vecteurs unitaires (les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O), on associe les nombres de la forme l + kπ, k Z, où l est la longueur Au couple ( OA,OB) de l arc de cercle AB, parcouru de A vers B dans le sens direct Chacun de ces nombres est une mesure en radians de l angle orienté de vecteurs ( u, On note ( u, = l [ π ] Si u et v sont deux vecteurs non nuls, une mesure en de l angle orienté ( u, est une mesure u v de l angle, u v Deux mesures en radians du même angle orienté sont dites «égales à à π près» Proposition 3 : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires et de même sens (resp de u, v = 0 π u, v = π π ) sens contraire) si et seulement si ( ) [ ] Propriété: Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls u, v et w (resp ( ) [ ] : ( u, + ( v, w) = ( u, w) Corollaire : Pour tous vecteurs non nuls u et v : v, u u, v ; u, v u, v ; u = = + π, v = u, v + π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 Géométrie chap 1 3/7 REPERES 1 Repère cartésien Définition 6 : On appelle repère cartésien du plan tout triplet R = (O ; i ; j ) où O et i et j sont des vecteurs non colinéaires O est l origine du repère, ( i ; j ) est une base de V Le repère ( ou la base) est dit(e) orthogonal(e) si i et j sont orthogonaux Le repère (ou la base) est dit(e) orthonormé(e) si i et j sont orthogonaux et unitaires Théorème 1 : Etant donné un repère R = (O ; i ; j ) du plan, pour tout point M il existe un unique couple de réels (x ; y) tel que : OM = x i + y j Définition 7 : Le couple (x ; y) s appelle couple de coordonnées de M dans le repère R x s appelle l abscisse de M dans R, y s appelle l ordonnée de M dans R La droite (OI) telle que OI = i est appelée axe des abscisses La droite (OJ) telle que OJ = j est appelée axe des ordonnées Pour tout vecteur u = OM i ; j de coordonnées de M dans R, on appelle coordonnées de u dans la base ( ) le couple (x ; y) Remarque : Les coordonnées d un vecteur dans une base sont indépendantes de l origine choisie pour le repère du plan Proposition 4 : Dans un repère (O ; i ; j ), si A et B ont pour coordonnées (xa ; y A ) et (x B ; y B ) respectivement, alors AB i ; j a pour coordonnées (xb x A ; y B y A ) dans la base ( ) Proposition 5 : Si les vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ) dans une base de V, alors le vecteur u + v a pour coordonnées (x + x ; y + y ), et pour λ R, le vecteur λ u a pour coordonnées ( λ x ; λ y) Cosinus et sinus d angle de vecteurs Définition 8 : Soit (O ; i ; j ) un rond (repère orthonormé direct) du plan orienté Soit M le point situé sur le cercle trigonométrique de centre O On note θ une mesure en radian de l angle ( i;om) On appelle cosinus du réel θ l abscisse de M dans (O ; i ; j ) et sinus de ce réel l ordonnée de M, respectivement notés cos( ) et sin( ) Le cosinus (resp sinus) d un angle orienté ( u,, noté cos ( u, cosinus (resp sinus) de l une quelconque de ses mesures en radians Proposition 6 : Dans la base ( i ; j ), si u 0 (resp sin ( u, ( ) u u cos i; u i sin i; u j, on a : = ( ) + ( ) ), est le

4 Géométrie chap 1 4/7 Définition 9 : Soient (O ; i ; j ) un rond du plan, et M un point distinct de O On appelle coordonnées polaires du point M un couple (, ) OM = ρ cos θ i + sin θ j ( ) ( ) Exemple : M a pour coordonnées polaires OM, ( i,om) ρ θ de réels tels que : ( + π) et OM, ( i,om) 3 PRODUIT SCALAIRE Définition 10 : Soient u et v deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u v défini par : u v cos ( u, v ) si u et v sont non nuls uv = 0 sinon Proposition 7 : Pour tous les vecteurs u et v on a : u v 1 = ( u + v u v ) Proposition 8 : Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ) dans une bond (base orthonormée directe), alors : u v = xx + yy Remarque : Dans un repère orthonormé, soient A et B des points de coordonnées (x A ; y A ) et AB = ABAB = x x + y y (x B ; y B ) respectivement Alors AB = ( ) ( ) B A B A Propriétés : Soient u et v deux vecteurs du plan, a et b des réels u v = v u (symétrie) au + bv w = a uw + b vw ( ) ( ) ( ) (bilinéarité) Proposition 9 : Soient u et v deux vecteurs du plan u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0 Remarque : Soit (a ; b) C avec a = x + iy et b = x + iy Alors : Re( a b) = xx + yy 4 PRODUIT MIXTE (ou DETERMINANT) Définition 11 : Soient u et v deux vecteurs du plan On appelle produit mixte (ou déterminant) de u et v le réel noté u, v (ou det( u, v )) défini par : u v sin ( u, v ) si u et v sont non nuls u, v = 0 sinon

5 Géométrie chap 1 5/7 Proposition 10 : Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ) dans une bond, alors : u, v = xy x y = x x ' y y ' Propriétés : Soient u et v deux vecteurs du plan, a et b des réels u, v = v,u (antisymétrie) ( au + bv ), w = a u, w + b v, w (bilinéarité) Remarques : u, v Soit (a ; b) = Aire(parallélogramme construit sur u et v ) C avec a = x + iy et b = x + iy Alors : Im( a b) = xy x y Proposition 11 : Soient u et v deux vecteurs, A, B et C trois points du plan Alors : u et v colinéaires u, v = 0 A, B et C sont alignés AB, AC = 0 5 DROITES DU PLAN 51 Caractérisation d une droite Une droite D est entièrement déterminée par la donnée : de deux points distincts A et B : D = (AB) = { M / AM, AB = 0 } d un point A et d un vecteur non nul u, appelé vecteur directeur : D = A + Vect ( u ) = { M / AM, u = 0 } Vect ( u ) désigne l ensemble des vecteurs colinéaires à u d un point A et d un vecteur n orthogonal à tous les vecteurs directeurs de D, appelé Vect n = { M / AM n= 0 } vecteur normal à D : D = A + ( ) Vect ( n ) désigne l ensemble des vecteurs orthogonaux à n : c est Vect ( ) un vecteur directeur de D 5 Equation cartésienne Proposition 1 : Dans le plan muni d un rond, soit D une droite 3 Alors : ( αβγ ; ; ) /( M(x;y) ) ( αx + βy + γ = 0) R D u où u est Définition 1 : L équation αx + βy + γ = 0 est appelée équation cartésienne de D

6 Géométrie chap 1 6/7 Techniques pour déterminer une équation cartésienne d une droite : Dans le plan muni d un rond, soient D une droite, et M(x ; y) un point de D Si D = (AB) : Une équation cartésienne de (AB) est donnée par : AB, AM = 0 Si D = A + Vect ( u ) : Une équation cartésienne de la droite D est donnée par : u,am = 0 Si u a pour coordonnées (a ; b) et A a pour coordonnées (x A ; y A ), D a pour équation : bx ay (bx A ay A ) = 0 Si D = A + Vect ( n ) : Une équation cartésienne de la droite D est donnée par : nam = 0 Si n a pour coordonnées (a ; b), et A a pour coordonnées (x A ; y A ), D a pour équation : ax + by (ax A + by A ) = 0 Remarque : Dans le plan muni d un rond, si D est la droite d équation αx + βy + γ = 0, u β; α alors ( ) est un vecteur directeur de D, et n ( α; β ) est un vecteur normal à D 53 Représentation paramétrique Proposition 13 : On se place dans le plan muni d un rond u α; β Soit D la droite passant par le point A(a ; b) et dirigée par ( ) x = a + λα M x; y D λ R / y = b + λβ Alors : ( ) x = a + λα Définition 13 : Le système y = b + λβ représentation paramétrique de D où λ est un paramètre réel est appelé UNE 54 Projeté orthogonal ; distance d un point à une droite Définition 14 : Soient M un point du plan, et D une droite de vecteur directeur u On appelle projeté orthogonal de M sur D le point H de D tel que MH et u sont orthogonaux On appelle distance de M à D le réel d(m ; D) = Inf { MA / A D } Proposition 14 : Soient M un point du plan, et D une droite Alors d(m ; D) = MH où H est le projeté orthogonal de M sur D

7 Géométrie chap 1 7/7 Proposition 15 : Dans le plan muni d un repère orthonormé direct (O ; i ; j ), soient D la droite d équation : ax + by + c = 0 et M le point de coordonnées (x 0 ; y 0 ) ax 0 + by0 + c Alors : d(m ; D) = a + b 6 CERCLES Soient A et B deux points distincts du plan, et r un réel non nul Proposition 16 : Le cercle C de diamètre [AB] est caractérisé par l équation : BM AM = 0 Proposition 17 : Dans le plan muni d un rond, soit C le cercle de centre A(a ; b) et de rayon r Alors : ( ) M x; y C (x a) + (y b) = r Définition 15 : L équation (x a) + (y b) = r est appelée équation cartésienne de C Proposition 18 : Soient C le cercle de centre A et de rayon r, D une droite, et H le projeté orthogonal de A sur D Si d(a ; D) > r, alors D C = Si d(a ; D) = r, alors D C = {H} On dit alors que la droite est tangente au cercle Si d(a ; D) < r, alors D et C s interceptent en deux points distincts