Isométries d'un espace euclidien.

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1 Isométries d'un espace euclidien. Dans ce chapitre, le corps des scalaires est R et l'espace (E ; ) est un espace euclidien de dimension finie n. 1. Isométries vectorielles d'un espace euclidien...p.1 Définition d'une isométrie vectorielle. Caractérisation par la conservation du produit scalaire. caractérisation par l'image d'une base orthonormale. Symétrie orthogonale par rapport à un sous espace vectoriel. Réflexion. Groupe orthogonal. Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle. 2. Matrices orthogonales...p.6 Définition de l'orthogonalité pour une matrice. Groupe orthogonal d'ordre n. Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide des lignes ou des colonnes. Caractérisation des bases orthonormales à l'aide des matrices de passage. Caractérisation des isométries vectorielles à l'aide de leur matrice dans une base orthonormale. Déterminant d'une matrice orthogonale. Déterminant d'une isométrie vectorielle. Isométrie vectorielle positive, négative (directe, indirecte). Groupe spécial orthogonal. Groupe spécial orthogonal d'ordre n. 3. Classification en dimension 2 et 3...p.9 Description du groupe orthogonal en dimension 2 et 3. Classification à partir des éléments propres. Caractéristiques géométriques d'une isométrie vectorielle. 4. Matrices symétriques réelles...p.18 Orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle. Théorème spectral Isométries d'un espace vectoriel euclidien. Définition d'une isométrie vectorielle : soit (E ; ) un espace euclidien, la norme associée, et f L (E ). f est une isométrie vectorielle si et seulement si u E, f (u ) = u Illustration dans le plan vectoriel euclidien muni de la base orthonormale ( i ; j ) : Exemple et contre-exemple : Une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F {0 E } Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F... Isométries d'un espace euclidien 1/18 pycreach.free.fr - TSI2

2 Rappel : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. Pour n E {0 E } en notant s la réflexion par rapport à (vect (n)) on a u E, s (u )=u 2 u n n 2 n. Caractérisation d'une isométrie vectorielle par conservation du produit scalaire: soit (E ; ) un espace euclidien et f L (E ). f est une isométrie vectorielle si et seulement si (u; v ) E 2, f (u ) f (v ) = u v Démonstration : Si (u; v ) E 2, f (u ) f (v ) = u v alors f (u ) 2 = Si u E, f (u ) = u alors (u; v ) E 2, f (u+v ) 2 = Caractérisation d'une isométrie par l'image d'une base orthonormale : soit (E ; ) un espace euclidien, B=(e 1 ; ; e n ) une base orthonormale de E et f L (E ). f est une isométrie vectorielle si et seulement si la famille ( f (e 1 ); ; f (e n ) ) est une base orthonormale de E. Démonstration : ( f (e 1 ); ; f (e n ) ) est une base orthonormale de E (i ; j) [1; n ] 2 Si f est une isométrie vectorielle alors (i; j) [1; n ] 2, f (e i ) f (e j ) = e i e j or f (e i ) f (e j ) = { 1 si i= j 0 sinon B étant une base orthonormale, u= u e 1 e u e n e n et d'après le théorème de Pythagore : u 2 = Par ailleurs, par linéarité de f, f (u )= u e 1 f (e 1 )+ + u e n f (e n ) Si de plus la famille ( f (e 1 ); ; f (e n ) ) est une base orthonormale de E alors, d'après le théorème de Pythagore : f (u ) 2 = Donc f (u ) 2 = u 2 donc... Isométries d'un espace euclidien 2/18 pycreach.free.fr - TSI2

3 Exemples en dimension 2 : soit P un plan euclidien muni d'une base orthonormée ( i ; j ) : Soit f l'endomorphisme de P défini par : { f ( i )=0,6 i +0,8 j f ( j )= 0,8 i +0,6 j Soit g l'endomorphisme de P défini par : { g ( i )=0,6 i +0,8 j g ( j )=0,8 i 0,6 j Pour u = 2 i + j, on a f ( u )= Pour v =4 i +3 j, on a f ( v )= Pour u = 2 i + j, on a g ( u )= Pour v =4 i +3 j, on a g ( v )= Isométries d'un espace euclidien 3/18 pycreach.free.fr - TSI2

4 Exemple en dimension 3 : soit E un espace euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormale ( i ; j ; k ) et f l'endomorphisme de E défini par { f ( i )=0,48 i +0,6 j +0,64 k f ( j )=0,8 i 0,6 k f ( k )= 0,36 i +0,8 j 0,48 k Pour u =7 i +5 j + k on a f ( u )= u = f ( u ) = Pour v =2 i 3 j + k on a : f ( v )= v = f ( v ) = u v = f ( u ) f ( v ) = Opérations sur les isométries vectorielles : soit (E ; ) un espace euclidien, la norme associée, f L (E ) et g L( E). Si f et g sont des isométries vectorielles de E alors g f est une isométrie vectorielle de E. Si f est une isométrie vectorielle alors f est une bijection de E dans E (i.e. f GL ( E) ) et f 1 est une isométrie vectorielle de E. Démonstration : soit u E alors g f (u ) = Soit v Ker f alors v = Donc f est une bijection de E dans E. Soit u E alors il existe v E tel que u= f ( v ) donc f 1 ( u) = f 1 ( f (v )) = v = u car... Remarque : si f est une isométrie vectorielle alors son spectre (réel) est inclus dans l'ensemble { 1; 1}. En effet si λ Sp et si u est un vecteur propre de f associé à λ alors u = f (u ) = λ u = λ u ainsi, puisque u 0 E,on a nécessairement λ =1. Définition du groupe orthogonal (O ( E); ) : soit (E ; ) un espace euclidien. L'ensemble des isométries vectorielles de E muni de l'opération est appelé groupe orthogonal noté (O ( E ); ). Isométries d'un espace euclidien 4/18 pycreach.free.fr - TSI2

5 Propriété de stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle : soit (E ; ) un espace euclidien, f O (E ) et F un sous-espace vectoriel de E. Si F est stable par f alors F est stable par f. Démonstration : Soit v F alors u F, u; v =0 De plus f O (E ) donc u F, f (u ) f (v ) = u ; v Ainsi u F, f (u ) f (v ) =0 Si F est stable par f alors la restriction de f à F f F : F F est une bijection de F dans F. Donc u' F, u F tel que u' = f (u ), ainsi u' F, u' f ( v ) = f (u ) f (v ) =0 donc f (v ) F. Ce raisonnement étant valide pour tout v F, F est stable par f Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale B=( i ; j ; k ; l ) et f {f ( i )=0,6 j +0,8 l l'endomorphisme de E défini par f ( j )=0,6 i +0,8 k et F=Vect ( i + j ; k + l ). f ( k )= 0,8 j +0,6 l f ( l )= 0,8 i +0,6 k f est une isométrie vectorielle car... Le sous-espace vectoriel F est stable par f car... or i j F et k l F car car... Ainsi F =Vect ( ; ) est stable par f. Conséquence sur la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base adaptée : soit (E ; ) un espace euclidien de dimension n, F un sous-espace vectoriel de E de dimension p, et B=(e 1 ; ; e p ; e p+1 ; ; e n ) une base de E telle que (e 1 ; e p ) soit une base de F et (e p+1 ; ;e n ) soit une base de F. Si f O (E ) et si F est stable par f A 0 alors il existe A M p (R) et B M n p (R) telles que =( M p, n p (R) 0 Mn p, p (R ) B ) Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale B=( i ; j ; k ; l ) et f {f ( i )=0,6 j +0,8 l l'endomorphisme de E défini par f ( j )=0,6 i +0,8 k en notant B' =( i + j ; k + l ; i j ; k l ) f ( k )= 0,8 j +0,6 l f ( l )= 0,8 i +0,6 k On a ' = En utilisant la formule de changement de base on a : ' = Isométries d'un espace euclidien 5/18 pycreach.free.fr - TSI2

6 2. Matrices orthogonales Définition de l'orthogonalité d'une matrice : Soit A M n (R ). A est orthogonale si et seulement si A T A=I n Exemple et contre-exemple : ( ) ( ) Opérations sur les matrices orthogonales : Soit A M n (R ) et B M n (R). Si A et B sont orthogonales alors A B est une matrice orthogonale. Si A est orthogonale alors A est inversible (i.e. A GL n (R) ) et A 1 =A T est une matrice orthogonale. Démonstration : Si A T A=I n et B T B=I n alors (AB ) T AB= Si A T A=I n alors si X Ker ( A ),... Donc A est inversible et A 1 =A T (A T ) T (A T )= Définition du groupe orthogonal d'ordre n : l'ensemble des matrices orthogonales de M n (R) muni de l'opération est le groupe orthogonal d'ordre n noté (O n (R) ; ). Remarque : on note aussi O ( n). Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide de leurs lignes ou de leurs colonnes : Soit A=( a 1,1 a 1, n a n,1 a n,n) M n (R) A est orthogonale si et seulement si (( la famille de ses n vecteurs colonnes a 1,1 a n,1) ; ; ( a 1, j j) ; ; ( a 1,n a n, a n,n)) est orthonormale dans M n,1 (R) si et seulement si la famille de ses n vecteurs lignes ((a 1,1 ; ; a 1,n ); ;(a i ;1 ; ; a i, n ); ;(a n, 1 ; ;a n,n )) est orthonormale dans M 1,n (R),1 a1, j a1, n Démonstration : Soit A=(a1 a n,1 a n, j a n,n) Alors A T A= a (a1,1 n,1 a 1, j a n, j a 1,n a n,n) (a1,1 a1, j a1,n a n,1 a n, j a n,n) Ainsi en notant C j= ( a 1, j j) M n,1 (R), on a A T A=((C i ) T C j ) 1 i 1 1 j 1 a n, Ainsi : A T A=I n (i, j ) 1; n 2, (C i ) T C j = { 1 si i= j 0 sinon Isométries d'un espace euclidien 6/18 pycreach.free.fr - TSI2

7 Par ailleurs : A A T = (a1,1 a1 a i,1 a i a n,1 a n,n) (a1,1 ai,1 a n,1 a 1,n a i,n a n,n) Ainsi en notant L i =(a i,1 ; ;a i,n ) M 1 n (R ) on a A A T =( L i (L j ) T ) ( 1 i n 1 j n) Ainsi A T A=I n A est inversible et A 1 =A T A A T =I n (i, j ) 1; n 2, L i (L j ) T = { 1 si i= j 0 sinon Caractérisation des bases orthonormales de E : Soit B 0 une base orthonormale de E et B une base de E. B est orthonormale si et seulement si la matrice de passage de B 0 à B est orthogonale. Démonstration : La base B 0 étant orthonormale, (u; v ) E 2, u v =(0 (u )) T 0 (v ) donc : Les vecteurs u et v sont orthogonaux dans E si et seulement si 0 ( u) et 0 ( v ) sont orthogonale dans M n,1 (R) Or les colonnes de la matrice de passage P de la base B 0 à la base B=(e' 1 ; ;e' n ) sont pour j 1; n, 0 (e' j ) donc : B est une famille de E orthonormale (0 (e' j )) 1 j n est orthonormale dans M n,1 (R) P O n (R) Caractérisation des isométries vectorielles de E : Soit B 0 une base orthonormale de E et f L (E ). f est une isométrie vectorielle si et seulement si la matrice de f dans B 0, 0 est orthogonale. Démonstration : soit B 0 =(e 1 ; ;e n ). f est une isométrie vectorielle si et seulement si ( f (e 1 ); ; f (e n ) ) est une base orthonormale de E si et seulement si (0 ( f (e 1 )); ; 0 ( f (e n ))) est une base orthonormale de M n,1 (R) si et seulement si 0 est orthogonale. Remarque : on a un isomorphisme de groupe : (O ( E); ) (O n (R ) ; ) f 0 Exemples : si ( i ; j ) est une base orthonormale de E, les endomorphismes f et g définis par : { f ( i )=0,6 i +0,8 j, f ( j )= 0,8 i +0,6 j { g ( i )=0,6 i +0,8 j g ( j )=0,8 i 0,6 j Si ( i ; j ; k ) est une base orthonormale de E, l' endomorphisme f défini par : { f ( i )=0,48 i +0,6 j +0,64 k f ( j )=0,8 i 0,6 k f ( k )= 0,36 i +0,8 j 0,48 k Si ( i ; j ; k ; l ) est une base orthonormale de E, l' endomorphisme f défini par : {f ( i )=0,6 j +0,8 l f ( j )=0,6 i +0,8 k f ( k )= 0,8 j +0,6 l f ( l )= 0,8 i +0,6 k Déterminant d'une matrice orthogonale : Soit A M n (R ). Si A O n (R ) alors det (A ) { 1;1 } Démonstration : det (A T A )= det (A )=±1 est nécessaire si A O (n ) mais det (A )=±1 n'est pas suffisant pour assurer que A O (n ). Exemple : ( )... Isométries d'un espace euclidien 7/18 pycreach.free.fr - TSI2

8 Application à l'orientation d'un espace euclidien : soient (E ; ) un espace euclidien et B 0 une base orthonormale de E. L'espace euclidien E est dit orienté (par la donnée de la base B 0 ). Soit B une base orthonormale de E, B est dite directe si et seulement si le déterminant de la matrice de passage de la base B 0 à la base B est égal à 1. Exemples : Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté par la base orthonormale B 0 =( i ; j ; k ). La base B' =( k ; j ; i ) est La base B' '=( j ; k ; i ) est... Déterminant d'une isométrie vectorielle : Soit f L (E ). Si f O (E ) alors det { 1;1 } Démonstration : soit B 0 une base orthonormale de E alors det = Définition d'une isométrie vectorielle positive ou négative : soient (E ; ) un espace euclidien et f L (E ). f une isométrie vectorielle positive (ou directe) si et seulement si { f O ( E ) det =1 f une isométrie vectorielle négative (ou indirecte) si et seulement si { f O ( E ) det = 1 Exemples : soient ( i ; j ) une base orthonormale directe de E et les endomorphismes f et g définis par : { f ( i )=0,6 i +0,8 j, f ( j )= 0,8 i +0,6 j { g ( i )=0,6 i +0,8 j g ( j )=0,8 i 0,6 j Opérations sur les isométries vectorielles positives : soient (E ; ) un espace euclidien, f L (E ) et g L( E). Si { f O ( E) det =1 et g O (E) { det ( g )=1 alors g f O ( E) { det ( g f )=1 Si { f O ( E) det =1 alors f GL ( E) et { f 1 O ( E) det ( f 1 )=1 Démonstration : les propriétés du groupe orthogonal O(E) sont déjà démontrées. det ( g f )= det ( f 1 )= Définition du groupe spécial orthogonal : soit (E ; ) un espace euclidien. L'ensemble des isométries vectorielles de E positives muni de l'opération est appelé groupe spécial orthogonal de E noté (SO ( E ); ). L'ensemble des isométries vectorielles de E négatives n'est pas un sous-groupe car pour det = 1 et det ( g )= 1, det ( g f )= Définition du groupe spécial orthogonal d'ordre n : L'ensemble des matrices de O n (R ) de déterminant égal à 1 muni de l'opération est appelé groupe spécial orthogonal d'ordre n noté (SO n (R) ; ). Remarque : on note aussi SO (n). O (n )={A O (n ) det (A )= 1} n'est pas un sous-groupe. On a un isomorphisme de groupe : (SO ( E); ) (SO n (R) ; ) f 0 Isométries d'un espace euclidien 8/18 pycreach.free.fr - TSI2

9 3. Classification en dimension 2 et 3 Spectre (réel) d'une isométrie vectorielle : soit (E ; ) un espace euclidien et f L (E ). Si f O (E ) alors sp { 1; 1} Démonstration : soit un réel λ Sp et v une vecteur propre de f associé à la valeur propre λ : { v 0 E f ( v )=λ v. Si f O (E ) alors f (v ) = v donc λ v = v donc v ( λ 1)=0 Or v 0 donc λ =1 ainsi... Classification des isométries vectorielles en dimension 2 : soit (E ; ) un espace euclidien de dimension 2 et f L (E ). Si f O (E ) alors : ou bien sp={1} : dans ce cas f SO (E ) et f =Id E ou bien sp={ 1 } : dans ce cas f SO (E ) et f = Id E ou bien sp={ 1;1 } : dans ce cas f SO (E ) et f est une réflexion par rapport à E 1 ou bien sp= : dans ce cas f SO (E ) et f est une rotation d'angle θ 0 [π ] : u v ) soit une base orthonormale directe de E, u E {0 E }, en notant v l'unique vecteur tel que ( 1 u u ; 1 f (u )=cos (θ )u+sin (θ) v Démonstration : Soit χ f (X ) le polynôme caractéristique de f et f O (E ). Si χ f (X ) est scindé dans R [X ] alors f est trigonalisable dans E et 3 cas de figures sont possibles : 1) Si χ f (X )=(X 1) (X 1) alors sp={1}, det =1 2 =1 et 1 dim(e 1 ) 2. Supposons par l'absurde que dim (E 1 )=1 alors dim ((E 1 ) )=1 car E=E 1 (E 1 ) et puisque E 1 est stable par f (comme tout sous-espace propre), son orthogonal (E 1 ) est aussi stable par f. Ainsi en choisissant { e' 1 E 1 {0 E } e' 2 (E 1 ) {0 E }, B' =(e' ; e' 1 2) est une base de E et λ R tel que ' = ( λ). Donc det =λ, or det =1 donc λ=1 d'où dim (E 1 )=2 ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ. Ainsi dim (E 1 )=2 donc E 1 =E d'où : f =Id E. 2) Si χ f (X )=(X+1)(X+1) alors sp={ 1 }, det = 1 1= 1 et 1 dim(e 1 ) 2. On démontre par l'absurde que dim (E 1 )=1 est impossible. Donc dim (E 1 )=2 ainsi E 1 =E d'où : f = Id E. 3) Si χ f (X )=(X 1) (X+1 ) alors sp={ 1;1 }, det = 1 1 donc f SO (E ) et f est diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé et à racines simples. dim (E 1 )=1 alors dim ((E 1 ) )=1 car E=E 1 (E 1 ) et puisque E 1 est stable par f (comme tout sousespace propre), son orthogonal (E 1 ) est aussi stable par f. Soit { e' 1 E 1 {0 E } e' 2 (E 1 ) {0 E }, B' =(e' ; e' 1 2) est une base de E et λ R tel que ' = ( λ). Donc λ= 1 et (E 1 ) =E 1. Ainsi f est une réflexion de E. Si χ f (X ) est n'est pas scindé dans R [X ] alors il existe z C tel que: χ f (X )=(X z) (X z ) Ainsi det =z z= z 2 donc det =1. Soit B=(e 1 ;e 2 ) une base orthonormale de E alors =A= ( a b c d), A SO (2 ) {a 2 +c 2 =1 b 2 +d 2 =1 ab+cd =0 ad bc=1 (θ 1 ; θ 2 ) R 2 tel que Or { cos (θ 1 )cos (θ 2 )+sin (θ 1 )sin (θ 2 )=cos (θ 1 θ 2 ) cos (θ 1 )sin (θ 2 ) sin (θ 1 ) cos (θ 2 )=sin (θ 2 θ 1 ) A SO (2 ) (θ 1 ; θ 2 ) R 2 tel que donc θ 1 θ 2 = π 2 {( a; c )=(cos (θ 1 ); sin (θ 1 )) (b;d )=(cos (θ 2 ); sin (θ 2 )) cos (θ 1 θ 2 )=0 sin (θ 2 θ 1)=1 {( a; c )=(cos (θ 1 ); sin (θ 1 )) (b;d )=(cos (θ 2 ); sin (θ 2 )) cos (θ 1 )cos (θ 2 )+sin (θ 1 )sin (θ 2 )=0 cos (θ 1 )sin (θ 2) sin (θ 1) cos (θ 2)=1 [ π ] (θ 1 ; θ 2 ) R 2 tel que {( a; c )=(cos (θ1 ); sin (θ1 )) (b;d )=(cos (θ 2 ); sin (θ 2 )) θ 1 θ 2 = π 2 [π ] θ 2 θ 1 = π 2 [ 2π] Isométries d'un espace euclidien 9/18 pycreach.free.fr - TSI2

10 (θ 1 ; θ 2 ) R 2 tel que {( a; c )=(cos (θ1 ); sin (θ1 )) (b; d )=(cos (θ 2 ); sin (θ 2 )) θ 2 =θ 1 π 2 [π ] θ 2 =θ 1 + π 2 [2π ] θ R tel que A= ( cos (θ) sin (θ ) sin (θ) cos (θ ) ) Si θ=0 [2π ] alors A=Id 2 donc sp={1} ce qui est impossible par hypothèse. Si θ=π [2π ] alors A= Id 2 donc sp ={ 1 } ce qui est impossible par hypothèse. Soit u E, en notant (u )= ( x cos (θ ) sin (θ ) Soit v= y e 1 +x e 2 la famille ( 1 u u ; 1 u v ) P= 1 y y x ) on a :... x 2 + y 2 ( x y), on a Mat ( f (u ))= B ( sin (θ ) cos (θ) )( x y) =cos (θ ) ( x y) +sin (θ ) ( y v est unique car dim (vect ( u)) =1, 1 u v =1 et ( 1 u u ; 1 u v ) est une base orthonormale directe de E car en posant x ) base orthonormale indirecte de E. Remarques sur les rotations en dimension 2 : soit f une rotation d'angle θ 0 [π ] Quelle que soit la base B' =(e' 1 ; e' 2 ) orthonormale directe de E, f (e' 1 )=cos (θ)e' 1 +sin (θ )e' 2 De plus (e' 2 ; e' 1 ) est aussi une base orthonormale directe donc f (e' 2 )=cos (θ )e' 2 +sin (θ ) ( e' 1 ) Ainsi ' = Par ailleurs : u E, f (u )=cos (θ ) u +sin ( θ) v avec u et v orthogonaux donne : u f (u ) = Enfin en notant ' ( u)= ( x y) on a : det B' ( u, f ( u))= x x cos (θ) y sin ) y x sin (θ )+ y cos (θ) = x x cos ) y y cos (θ) + x y sin (θ ) y x sin (θ) = Remarques sur les réflexions : soit f une réflexion. u E, f (u+ f (u ))= donc u+ f ( u) E 1 f (u f (u ))= donc u f (u ) E 1 Isométries d'un espace euclidien 10/18 pycreach.free.fr - TSI2

11 Soient (E ; ) un espace euclidien de dimension 2 et f O (E ) Nature de f f =Id E ou rotation d'angle 0 [2π ] f = Id E ou rotation d'angle π f est la rotation d'angle θ 0 [π ] f est une réflexion par rapport à E 1 Spectre de f sp={1} sp={ 1 } sp= sp={ 1;1 } Déterminant de f Vecteurs invariants det =1 det =1 det =1 det = 1 E {0 E } {0 E } E 1 Droites stables Toutes les droites vectorielles de E Toutes les droites vectorielles de E E 1 et E 1 Matrice dans une base orthonormale Pour toute base B de E : = ( ) Pour toute base B de E : = ( ) Pour toute base B orthonormale directe de E : = ( cos (θ) sin (θ ) sin (θ) cos (θ ) ) Il existe une base B orthonormale de E telle que : = ( ) Trace Tr =2 Tr = 2 Tr =2cos (θ ) ] 2; 2[ Tr =0 Symétrie de la matrice dans une base orthonormale Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, n'est pas symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Représentation dans le plan vectoriel euclidien muni d'une base orthonormale directe ( i ; j ) Caractéristiqu es géométriques Remarque : u E, f (u )=u u E, f (u )= u u E, u f (u ) = u 2 cos (θ) Pour toute base orthonormale directe B de E : det B (u; f (u ))= u 2 sin (θ ) Si A M n (R ) est symétrique alors P O (n ), (P T A P) T =P T A T (P T ) T =P T A P donc P O (n ), P T A P est symétrique. u E, u+ f ( u) E 1 u f (u ) E 1 Si A M n (R ) est antisymétrique alors P O (n ), (P T A P) T =P T A T (P T ) T =P T ( A )P= P T A P donc P O (n ), P T A P est antisymétrique Isométries d'un espace euclidien 11/18 pycreach.free.fr - TSI2

12 Applications : soient ( i ; j ) une base orthonormale directe de E et les endomorphismes f et g définis par : { f ( i )=0,6 i +0,8 j, f ( j )= 0,8 i +0,6 j { g ( i )=0,6 i +0,8 j. Déterminer la nature de f et de g. g ( j )=0,8 i 0,6 j from sympy import * def nature(m): if M.equals(eye(2)): pprint(m) print(" est la matrice de l'identité dans n'importe quelle base.") elif M.equals(-eye(2)): pprint(m) print(" est la matrice de l'homothétie de rapport -1 dans n'importe quelle base.") else : Z=M*(M.transpose())-eye(2) if trace(z.transpose()*z)>10**-12: pprint(m) print(" n'est pas la matrice, dans une base orthonormale, d'une isométrie vectorielle. ") else : if abs(det(m)-1)<10**-12: if asin(m[1,0])>0: a=acos(m[0,0]) else : a=-acos(m[0,0]) pprint(m) print(" est la matrice, dans n'importe quelle base orthonormale directe, de la rotation d'angle "+str(a)) else : V=(M-eye(2)).nullspace() pprint(m) print(" est la matrice, dans une base orthonormale B, de la réflexion par rapport à ") print("la droite vectorielle dirigée par le vecteur dont les coordonnées dans la base B sont ") pprint(v) A=Matrix([[0.6,-0.8],[0.8,0.6]]) B=Matrix([[0.6,0.8],[0.8,-0.6]]) nature(a) nature(b) Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 2 : Soit r θ la rotation vectorielle d'angle θ : quel que soit le vecteur v : r θ ( v )=cos (θ ) v +sin (θ )r π ( v ) 2 Soit n un vecteur non nul et s ( vect ( n )) la réflexion par rapport à la droite vectorielle (vect ( n )), quel que soit le v n vecteur v : s ( vect ( n )) ( v )= v 2 n n 2 Isométries d'un espace euclidien 12/18 pycreach.free.fr - TSI2

13 Théorème de classification du groupe orthogonal en dimension 3 : soit (E ; ) un espace euclidien de dimension 3 et f O (E ). Si f SO (E ) alors 1 sp, il existe un )=( réel θ et une base B orthonormale directe de E telle que : ) ( f 0 cos (θ) sin (θ ) 0 sin (θ) cos (θ ) Si f O (E) alors 1 sp, il existe un )=( réel θ et une base B orthonormale directe de E telle que : ) ( f 0 cos (θ ) sin (θ) 0 sin (θ ) cos (θ ) Remarque : pour f O (E ) avec E de dimension 3, sp. Démonstration :Le polynôme caractéristique de f, χ f (X ) R 3 [X ] et χ f (X )=X 3 +Q ( X ) avec Q (X ) R 2 [X ] donc lim P f ( x )= et lim P f ( x )= x + x De plus toute fonction polynomiale étant continue sur R, l'équation χ f (x )=0 admet au moins une solution réelle α. Les racines de χ f (X ) sont les valeurs propres de f. Ainsi, f étant un endomorphisme orthogonal, on a : α=±1. Si χ f (X ) est scindé dans R [X] alors, ou bien χ f (X )=(X 1) 3 donc det = ou bien χ f (X )=(X 1) 2 ( X+1) donc det = ou bien χ f (X )=(X 1) (X+1 ) 2 donc det = ou bien χ f (X )=(X+1) 3 donc det = Si χ f (X ) n'est pas scindé dans R [X], soit β C R tel que χ f (β)=0 alors χ f (β)=0 or χ f (X ) R[ X ] donc χ f (β)=0 donc χ f (X )=(X α) (X β)(x β) donc det =α β 2, ainsi det est du signe de α. Ainsi, si f SO (E ), alors 1 sp or E 1 est stable par f donc (E 1 ) est stable par f. Soit e 1 un vecteur unitaire de E 1 et (e 2 ; e 3 ) une base orthonormée de (E 1 ) alors quitte éventuellement à )=( 1 0 d) 0 échanger e 2 et e 3, la famille (e 1 ;e 2 ;e 3 ) est une base orthonormale directe de E et ( f 0 a b 0 c Or la restriction de f à (E 1 ), f (E1 ) : (E ( f 1 )) (E 1 ) est une isométrie vectorielle sur un espace vectoriel de dimension 2 donc ( a b O ( 2). c d) De plus det = a b 0 c d = a b c d et comme det =1, a b c d =1 d'où ( a b Donc, il existe θ R tel que ( a b c d) = cos (θ ) sin (θ) ( sin (θ ) cos (θ ) ). c d) SO ( E) De façon analogue, si f O ( E) alors 1 sp or E 1 est stable par f donc (E 1 ) est stable par f. Soit e 1 un vecteur unitaire de E 1 et (e 2 ; e 3 ) une base orthonormée de (E 1 ) alors quitte éventuellement à )=( 1 0 d) 0 échanger e 2 et e 3, la famille (e 1 ;e 2 ;e 3 ) est une base orthonormale de E et ( f 0 a b 0 c Or la restriction de f à (E 1 ), f (E 1 ) : (E ( f 1 )) (E 1 ) est une isométrie vectorielle sur un espace vectoriel de dimension 2 donc ( a b O ( 2). c d) De plus det = a b 0 c d = a b c d et comme det = 1, a b c d =1 d'où ( a b c d) SO ( E) Donc, il existe θ R tel que ( a b c d) = cos (θ ) sin (θ) ( sin (θ ) cos (θ ) ). )=( Remarque : dans les deux cas en notant B=(e 1, e 2 ;e 3 ) pour tout u E en notant (u x z) y, on a : det B (e 1 ; u; f (u ))= 1 x ±x 0 y ycos (θ ) z sin (θ ) 0 z y sin (θ )+ z cos (θ) = y y cos (θ ) z z cos (θ) + y z sin (θ) z ysin (θ ) =( y 2 +z 2 )sin (θ) Isométries d'un espace euclidien 13/18 pycreach.free.fr - TSI2

14 Soient (E ; ) un espace euclidien de dimension 3 et f SO (E ) Nature de f f =Id E ou rotation d'angle 0 [2π ] f est un retournement (i.e. une rotation d'angle π [2 π] ) d'axe E 1 f est une rotation d'angle θ 0 [π ] et d'axe orienté par un vecteur unitaire e 1 Spectre et det de f sp={1} et det =1 sp={ 1;1 } et det =1 sp={1} et det =1 Vecteurs invariants E E 1 axe du retournement E 1 axe de la rotation Droites stables Toutes les droites vectorielles de E E 1 et toutes les droites vectorielles de E 1 E 1 Matrice dans une base orthonormale Pour toute )=( base B de E : ) ( f Si B=(e 1 ; e 2 ; e 3 ) est une base orthonormale de E avec e 1 E 1 et (e 2 ;e 3 ) base de E 1 alors : )=( ( f ) Si B=(e 1 ; e 2 ; e 3 ) est une base orthonormale directe de E avec e 1 E 1 et (e 2 ;e 3 ) base de (E 1 ) : )=( ) ( f 0 cos (θ) sin (θ ) 0 sin (θ) cos (θ ) Trace Tr =3 Tr = 1 Tr =1+2cos (θ) ] 1; 3[ Symétrie de la matrice dans une base orthonormale Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, n' est pas symétrique. Représentation dans le plan vectoriel euclidien muni d'une base orthonormale directe ( i ; j ) Caractéristiques géométriques u E, f (u )=u u E, u+ f ( u) E 1 u E, u f (u ) E 1 u (E 1 ), u f (u ) = u 2 cos (θ) Dans toute base B orthonormale directe de E, u E, det B (e 1,u; f ( u)) est du signe de sin (θ ) Isométries d'un espace euclidien 14/18 pycreach.free.fr - TSI2

15 Soient (E ; ) un espace euclidien de dimension 3 et f O (E) Nature de f f = Id E f est une réflexion par rapport à E 1 f est la composée commutative d'une réflexion par rapport (vect (e 1 )) et d'une une rotation d'angle θ 0 [π ] et d'axe orienté par le vecteur unitaire e 1 Spectre et det de f sp={ 1 } et det = 1 sp={ 1;1 } et det = 1 sp={ 1 } et det = 1 Vecteurs invariants E 1 Droites stables Toutes les droites vectorielles de E E 1 et toutes les droites vectorielles de E 1 E 1 Matrice dans une base orthonormale Pour toute )=( base B de E : ( f ) Si B=(e 1 ;e 2 ; e 3 ) est une base orthonormale de E avec e 1 E 1 et (e 2 ; e 3 ) base de E 1 alors : )=( ) ( f Si B=(e 1 ; e 2 ; e 3 ) est une base orthonormale directe de E avec e 1 E 1 et (e 2 ;e 3 ) base de (E 1 ) alors : =( cos (θ ) sin (θ) 0 sin (θ ) cos (θ ) ) Trace Tr = 3 Tr =1 Tr = 1+2cos (θ ) ] 3;1[ Symétrie de la matrice Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, est symétrique. Pour toute base B orthonormale de E, n'est pas symétrique. Représentation dans le plan vectoriel euclidien muni d'une base orthonormale directe ( i ; j ) Caractéristiques géométriques u E, f (u )= u u E, u+ f (u) E 1 u E, u f (u ) E 1 u (E 1 ), u f (u ) = u 2 cos (θ) Dans toute base B orthonormale directe de E, u E, det B (e 1,u; f ( u)) est du signe de sin (θ ) Isométries d'un espace euclidien 15/18 pycreach.free.fr - TSI2

16 Applications : Soient ( i ; j ; k ) une base orthonormale directe de E et l' endomorphisme f défini par : { f ( i )=0,48 i +0,6 j +0,64 k f ( j )=0,8 i 0,6 k f ( k )= 0,36 i +0,8 j 0,48 k Déterminer la nature de f et de f from sympy import * def supplementaire_orthogonal(c): if C[0]!=0 : C1=Matrix([[C[1]],[-C[0]],[0]]) elif C[1]!=0 : C1=Matrix([[0],[C[2]],-C[1]]) else : C2=Matrix([[1],[0],[0]]) C1=C1/sqrt(C1.dot(C1)) C2=C.cross(C1) return C1,C2 def angle(c,u,v): t=acos(u.dot(v)) if C.dot(U.cross(V))>=0: return t else: return -t def nature(m): pprint(m) if M.equals(eye(3)) : print(" est la matrice, dans n'importe quelle base, de l'identité.") elif M.equals(-eye(3)) : print(" est la matrice, dans n'importe quelle base, de l'homothétie de rapport -1.") else: Z=M*(M.transpose())-eye(3) if trace(z.transpose()*z)>10**-12: print("n'est pas la matrice, dans une base orthonormale, d'une isométrie vectorielle.") else : if det(m)==1 : C1=((M-eye(3)).nullspace())[0] C1=C1/sqrt(C1.dot(C1)) if M.equals(M.transpose()): print("est la matrice, dans une base orthonormale B, d'un retournement dont l'axe") print("est dirigé par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont:") pprint(c1) else : C2,C3=supplementaire_orthogonal(C1) a=angle(c1,c2,m*c2) print("est la matrice, dans une base orthonormale B, d'une rotation r d'angle"+str(a)+" radians ") print("selon l'axe orienté par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont:") pprint(c1) print("le plan globalement invariant par r est engendré par les deux vecteurs unitaires dont les coordonnées dans la base B sont:") pprint([c2,c3]) else : C1=((M+eye(3)).nullspace())[0] C1=C1/sqrt(C1.dot(C1)) C2,C3=supplementaire_orthogonal(C1) if M.equals(M.transpose()): print("est la matrice, dans une base orthonormée B, de la réflexion par rapport au plan") print("admettant pour base orthonormale les vecteurs dont les coordonnées dans la base B sont :") pprint([c2,c3]) else : a=angle(c1,c2,m*c2) print("est la matrice, dans une base orthonormale B, de la composée commutative de " ) print("la réflexion s et de la rotation r définies de la façon suivante.") print("la rotation r est d'angle "+str(a)+" radians selon l'axe orienté") print("par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont :") pprint(c1) print("la réflexion s est la réflexion par rapport au plan admettant pour base") print("orthonormale les vecteurs dont les coordonnées dans la base B sont :") pprint([c2,c3]) A=Matrix([[48,80,-36],[60,0,80],[64,-60,-48]])*1/100 nature(a) nature(-a) Isométries d'un espace euclidien 16/18 pycreach.free.fr - TSI2

17 Isométries d'un espace euclidien 17/18 pycreach.free.fr - TSI2

18 Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 3 : soit un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 et n un vecteur unitaire de E : Soit r θ, n la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur n : quel que soit le vecteur v, r θ, n ( v )= v n n +cos (θ )( v v n n )+sin (θ ) n v Soit s θ, n la composée de la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur n avec la réflexion par rapport à (vect ( n )) : quel que soit le vecteur v, s θ, n ( v )= v n n +cos (θ )( v v n n )+sin (θ ) n v Démonstration : v =( v n n ) +( v v n n ) vect ( n ) ( vect ( n )) Or n ( v v n n )= n v donc n v = n v v n n = v v n n 4. Matrices symétriques réelles Propriété d'orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle : Soit A M n (R ), et deux réels λ et μ. Si A est symétrique, {λ ; μ} sp (A ) et λ μ alors les sous-espaces propres E λ ( A ) et E μ ( A ) sont orthogonaux dans M n,1 (R) muni de son produit scalaire euclidien canonique. Démonstration : Si A est symétrique, alors (X ; X' ) M n,1 (R) : AX X' =(AX ) T X'=X T A T X' =X T A X'= X AX' Soit {λ ; μ} sp (A ) tel que λ μ X E λ ( A ) et X' E μ ( A ) alors : { AX=λ X AX' =μ X' Donc λ X X' = X μ X' (λ μ) X X' =0 X X' =0 car λ μ 0. Théorème spectral : Soit une matrice A M n (R ). Si A est symétrique alors il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P telle que D=P T A P Principe de la démonstration : on construit par récurrence une base orthonormale de vecteurs propres de A : chaque sousespace propre admet une base orthonormale (cf Gram-Schmidt) les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux. Exemples : Soit A=( 1 2 9) , deux matrices colonnes formant une famille libre sont clairement dans Ker ( A ) 3 6 0,1 0,1 0,7 Soit B=(0,7 0,1 0,7 0,7 0,1, B est à la fois symétrique et orthogonale donc... 0,1 0,7 0,7 0,1 0,7 0,1 0,1 0,7) Isométries d'un espace euclidien 18/18 pycreach.free.fr - TSI2

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