Sup PCSI2 Quelques exercices corrigés sur les fonctions. 2x xlnx

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1 Sup PCSI Quelques eercices corrigés sur les foncions Eercice : énoncé On noe f : lnd Q Jusifiez l eisence de l applicaion f Q Quelle es la classe de coninuié de f? Q Quelle es la classe de coninuié de la resricion de f à l inervalle ],+ [? Q4 Quel es le sens de variaion de f? Q5 Monrez que f réalise une bijecion de [, + [ sur un inervalle J que vous préciserez Q6 Pour J, jusifiez l inégalié f + Q7 Énoncez puis démonrez la formule d inégraion par paries Q8 Au moyen d une inégraion par paries soigneusemen jusifiée, monrez que ln f + Q9 Donnez un équivalen simple de f lorsque end vers par valeurs supérieures, bien enendu Eercice : corrigé Q L applicaion ϕ : ln es définie e coninue sur l inervalle [,+ [ À ce ire, elle possède des primiives sur ce inervalle ; f es celle qui s annule en Q En an que primiive d une foncion coninue sur l inervalle [, + [, f es dérivable e même de classe C sur ce inervalle ϕ n es pas dérivable à droie de ; en effe, avec l équivalen classique ln : ϕ ϕ ln ln = >+ >+ + + Par suie, f es de classe C sans plus sur l inervalle [,+ [ Q La resricion de ϕ à l inervalle ],+ [ es de classe C ; il en es donc de même de la resricion de f à ce inervalle Q4 g : ln es sricemen croissane sur [,+ [ car g = +ln es sricemen posiif sur ce inervalle Dans ces condiions, f es sricemen croissane en an que composée de g e de u u Q5 f, coninue e sricemen croissane sur [,+ [, réalise une bijecion de ce inervalle sur [ f, lim + f[, soi R + Q6 On sai que ln pour ; à plus fore raison, ln Donc, pour, on aura ln d où y y [ ] y ln puis par inégraion fy = ln d d = = y On en dédui y fy+ pour y Soien J e y = f ; on a bien y, donc f f f + = + soi f + Q7 Ceci es une quesion de cours Ne pas oublier que la formule s applique avec deu foncions de classe C!

2 Q8 Noons g : e f fe = lnd Soien u : e e v : e ln ; u e v e son de classe C sur l inervalle [e,+ [ ce qui perme d effecuer une inégraion par paries : g = ln d = u v d = [ uv ] e uv d e e e [ ] = ln e e ln d = e e ln e ln d [ ] On noe alors que e implique ln, donc d d = e ln e = e e e On consae que ln d es négligeable devan ln lorsque + Il en es clairemen de même des consanes e e e ln +, ce qui s écri aussi : f + e fe, ce qui perme de conclure : f = ln Q9 Effecuons le changemen de variable u = : f = ln + o lorsque ln d = + u ln + u du Or ln + u ũ u, donc + u ln + u ũ u ce qui nous amène à éablir en oue rigueur : f + [ u u ] / u du = = Pour ce faire, fions ε > Comme + u ln + u ũ u, il eise α > el que u α implique + u ln + u u ε u Soi alors [, + α] ; en inégran la majoraion précédene, on aura : + u ln + u u du + u ln + u u du ε u du = ε / Mais, par ailleurs : / + u ln + u u du = + u ln + u du u du = f Concluons : pour ou ε >, il eise α > el que [, + α] / ceci revien à dire que f + f / ε / ; Eercice : énoncé Noons f : + arcan + Q Epliciez l ensemble de définiion D f de f, sous forme de réunion d inervalles disjoins Q Déerminez la limie de f en chacune des bornes de chacun de ces inervalles Q Monrez que f es dérivable sur son ensemble de définiion, e epliciez f Q4 Dressez le ableau des variaions de f Q5 Donnez l allure de la courbe représenaive de f Q6 Décrivez l image de f sous forme de réunion d inervalles disjoins Q7 Calculez f + Q8 Résolvez l équaion f = + π Q9 Epliciez le DL de f

3 Eercice : corrigé Q f es défini sauf si =, donc D f = ], [ ],+ [ Q Lorsque end vers ou +, la fracion un peu plus précis : pour <, on a a <, donc f + π end vers, donc f end vers + π On peu êre 4 + π + ; de même, pour >, on 4 >, donc f Lorsque end vers, la fracion + end vers +, e par suie f end vers + π Lorsque end vers +, la fracion + end vers, e par suie f end vers π Q f es dérivable e même de classe C sur un chacun des deu inervalles qui consiuen son ensemble de définiion, en an que composée de foncions qui le son Noons u : u = +, donc : +, ainsi f = + arcan u puis f = u arcan u = f + = = = = u + u Or Q4 Le discriminan du rinôme ++ es = 4 = 8 = 7 <, donc ce rinôme garde un signe consan, à savoir sricemen posiif Par suie, f > pour ou : donc f es sricemen croissane sur chacun des deu inervalles qui consiuen son ensemble de définiion Nous en déduisons le ableau de variaion ci-conre + f n + π/4 ր + π/ π/ ր + π/4 Q5 La courbe a éé obenue avec la lianie Maple suivane : f := -> + arcan/+; ploseupps, plooupu = c5ps, ploopions = porrai,noborder,heigh=,widh=5 ; plof,=-55,discon=rue,y=-,labels=[, ]; Q6 La resricion de f à l inervalle I = ], [ es coninue e sricemen croissane, donc réalise une bijecion de I sur ] ] lim f, lim f[ = + π 4, + π [ De même, la resricion de f à l inervalle I = ],+ [ es coninue e sricemen croissane, donc réalise une bijecion de I sur ] ] lim f, lim f[ = π + +, + π [ 4 ] De ou ceci, nous déduisons que l image de f es l inervalle π, + π [, privé du poin + π 4 Q7 Nous aurons f = + arcan + + = + arcan + = + arcan = + π 6

4 Q8 + π apparien à l image de f, donc l équaion proposée possède une e une seule soluion Pour la déerminer, nous pouvons procéder par condiion nécessaire : f = + π + arcan = + π + π + = an + = = + = = = + + = + 6 = + 6 Conclusion : = Q9 f = ; d après Q, f = / Avec la formule de Taylor-Young, nous en déduisons : f = + + o Eercice : énoncé Noons f : ln + Q Calculez l = lim f Noons g le prolongemen par coninuié de f : g = f pour, e g = l Clairemen, g es coninue sur R g g Q Calculez lim ; g es-elle dérivable sur R enier? Q Noons u : > g Epliciez u, puis monrez que l équaion u = possède, dans l inervalle R +, une e une seule soluion, que nous noerons α Une calcularice nous donne α 98 e gα 8 Q4 Dressez alors le ableau des variaions de g, puis racez la courbe représenaive de cee foncion Noons G : R Q5 Pour >, noons H = g d Q6 Pour, jusifiez l encadremen H ln ln ln + d Jusifiez la relaion G = G + ln + H Si nous demandons à maple d évaluer G, ce ecellen logiciel se lance dans une longue réfleion, au erme de laquelle il nous propose la valeur π Nous allons éablir ce résula en oue rigueur, en nous appuyan 4 sur la relaion admise lim n k = π 6 k n Q7 Noons ϕ : > ln + Pour k e >, epliciez ϕ k Q8 Noons R n : g k n éablissez pour > la relaion suivane : k k En uilisan la formule de Taylor avec rese inégral, k R n = n d + n+ Q9 Jusifiez alors la majoraion Rn n+ pour > n + Q En déduire une majoraion de E = G k k k, oujours pour > Q Pour n, noons S n = Q Concluez! k n k Eprimez k n k p k k au moyen de deu ermes de la suie S n n 4

5 Eercice : corrigé ln + h Q Il es bien connu que lim = Alors f = ln + = ln + h h Donc l = g g Q En uilisan la même formule : = ln + Ceci nous monre que g es dérivable en, e que g = ; par ailleurs, g es dérivable en ou poin de R, en an que quoien de deu foncions qui le son, celle du dénominaeur ne s annulan pas Q Pour >, g = + ln + donc u = + ln + Écrivons ceci u = + ln + Alors u 4 = + + = + Sur l inervalle ],[ u es sricemen posiive, donc u croî sricemen ; comme u es coninue sur [,], la valeur u = monre que u > pour ou ], ] Sur l inervalle ],+ [ nous avons u < donc u décroî sricemen ; éan coninue, elle réalise une bijecion de ], + [ sur l inervalle ], ln[ puisque u = ln > e u Ceci perme d affirmer que l équaion u = possède une e une + seule soluion sur R + ; de plus, cee soluion α es sricemen supérieure à Les valeurs α = 989 e gα = on éé obenues avec le scrip maple suivan : g := proc; if = hen else ln+*/ fi end; gprime := proc; diffg, end; u := proc; **gprime end; alpha := fsolveu=,; galpha; Q4 Noons que g es impaire Sur l inervalle [, α[ g es sricemen posiive, donc g es croissane ; sur l inervalle ]α,+ [ g es négaive, e g es décroissane Pour le comporemen de g au voisinage de +, nous pouvons écrire : g = ln + = ln + ln + = ln + ln + + Donc la droie d équaion y = es asympoe à la courbe représenaive de g Voir en dernière page la courbe e les commenaires au suje de sa producion Q5 Reprenons la décomposiion uilisée dans la quesion précédene : G = g d = g d + = G + [ ln ] + g d = G + ln d + ln + d = G + ln + H Q6 Soi ; pour, nous avons cerainemen, donc ln + inégraion : H ln d = ln ln Q7 Nous obenons facilemen ϕ = + ; ϕ = + e ϕ = ϕ k = k k! + k au rang k ; alors : ϕ k+ = k k k! + k+ = k k! + k+ ce qui éabli l asserion au rang k + e, par récurrence, pour ou k ln + d ln D où par Supposons acquise la relaion + Q8 Appliquons la formule de Taylor avec rese inégral à la foncion ϕ, sur l inervalle [, ] : ln + = ϕ = k n ϕ k k + k! 5 n ϕ n+ d n!

6 Noons que ϕ = e ϕk = k k! k ln + = k n = k n pour k Nous obenons ainsi : k k k k k k n n n! + d n! + n+ n + d + n+ Il ne rese plus qu à diviser les deu membres par pour obenir la formule de l énoncé Q9 La majoraion es claire pour = les deu membres son nuls Par raison de parié, il ne rese qu à éudier le cas > Noons que + n+ pour [, ] Alors : R n = n d + n+ n d = [ n+ ] = n+ n + n + = n+ n + Q Clairemen, E es paire e E = Il suffi donc d obenir une majoraion pour > Or : R n d = g k k d = G k k d k k Dans ces condiions : = G k n k n E = G [ k k ] k = G k n R n d k n k n k k k k k k = R n d n+ n + d = n+ n + Q Il suffi de mere en évidence un élescopage enre la somme proposée e S p : S p k p k k = k p k k p k k = k p Or k = + k es nul si k es impair, e vau si k es pair Donc : Ainsi k p k k S p k p = S p S p k k = k p k = k p Q Remplaçons par e n par p dans la majoraion de Q ; il vien : G k k p + ce qui monre clairemen que G = lim p k p k p k k = lim p k p = lim p S p 4 lim p S p = π π 4 = π 4 Le racé ci-dessous a éé obenu au moyen des incanaions suivanes : ploseupps,plooupu= d997ps, ploopions= porrai,noborder,heigh=469,widh=469 ; plog,-; k = S p k k k k = lim S p S p p Nous récupérons dans le fichier d997ps une descripion du racé en langage PosScrip ; celle-ci es incorporée au présen documen en vue de l impression Pas de colle, pas de ciseau 6

7 Eercice 4 : énoncé Noons f : > Q Déerminez la limie l de f à droie de Nous considérons désormais que f a éé prolongée par coninuié à droie de en définissan f = l Q Calculez f pour > f es-elle dérivable à droie de? racez sa courbe représenaive Éudiez rapidemen les variaions de f e Q Monrez que la resricion g de f à l inervalle J = ]/e,+ [ réalise une bijecion, de classe C, de ce inervalle sur un inervalle K que vous préciserez Q4 Noons h la bijecion réciproque de g Monrez que h es de classe C sur K, puis jusifiez la formule h h = h + ln Q5 Monrez que h es négligeable devan ln lorsque end vers + Q6 Donnez un équivalen simple de ln h lorsque end vers + Eercice 4 : corrigé Q ln +, donc = epln + Ainsi l = 7

8 Q f = + ln = + ln f Uilisons l équivalen classique e u f f u ; il vien ũ = e ln n es pas dérivable à droie de La courbe représenaive possède une demi-angene vericale, dirigée vers le bas + ln, donc f + Sur R +, f s annule en changean de signe en /e Sur l inervalle ],/e[ f es sricemen négaive donc f décroî sricemen ; sur l inervalle ]/e,+ [ f es sricemen posiive donc f croî sricemen = e ln /e 7 ; f/e = e /e f 69 ; f + De plus = e ln + e +, ln + donc la courbe représenaive de f possède une direcion asympoique vericale Noons que f = f =, donc C f passe par le poin de coordonnées, e a pour angene en ce poin la droie d équaion y = Q g es de classe C en an que composée de J ln, e de la foncion eponenielle, oues deu de classe C g es coninue car] de classe C e sricemen [ croissane ; elle réalise donc une bijecion de J = ]/e,+ [ sur l inervalle K = g/e, lim g = ]e /e, + [ + Q4 La dérivée de g ne s annule pas, sur J ; comme g es de classe C, ceci perme d affirmer que sa bijecion réciproque h es elle-même de classe C sur K Pour K, on aura : h = g = g g = g h Mais g h = f h = + ln h f h = + ln h car f h = g g = Nous pouvons aussi écrire = g g = e h lnh donc ln = h ln h ; nous en déduisons lnh = ln h Finalemen h = + lnh = h + ln = h + ln h Q5 h ln = lnh puisque h Q6 De ln = h ln h nous déduisons lnln = ln h + ln ln h ; lnh + ln ln h es négligeable devan lnh e finalemen ln h + lnln +, donc Eercice 5 : énoncé Q Soi f CR, R ; soien u e v deu élémens de DR, R Jusifiez l eisence de la foncion g : R Jusifiez égalemen la dérivabilié de g v u fd 8

9 Dans oue la suie, nous prenons g : R + + d 4 Q Epliciez g Q En déduire le développemen limié à l ordre 5 de g au voisinage de Q4 Quelle es la parié de g? Q5 Pour, éablir g = g Q6 Pour, éablissez l encadremen Q7 En déduire, pour >, l encadremen arcan arcan g Q8 Soi H : R H arcan arcan d Epliciez H e calculez lim + ln Q9 Déduisez de l éude précédene un équivalen simple de G = Eercice 5 : corrigé g d lorsque end + Q f éan coninue sur R, l inégrale considérée a oujours un sens Soi F une primiive sur R de f On peu écrire : v u f d = [ F ] =v =u = F v F u = F v F u Ainsi g = F v F u ; les foncions F, u e v éan dérivables, il en es de même de g On aura g = v F v u F u = v f v u f u Q Il suffi d appliquer la formule précédene, avec u =, v = e f = g = Q On sai que, lorsque u end vers : + u α αα = + αu + u + ou Avec α =, on aura en pariculier : = + u / = + u u + 8 u + ou ; il vien On en dédui : g = o o 4 = 4 + o o 4 = o 4 Puis, par inégraion du DL 4 de g : g = g o 5 = o 5 Q4 Uilisons le changemen de variable u = : g = d + + = 4 E ce quel que soi le réel ; donc g es impaire du + u + u = 4 du + u + u 4 = g Q5 Uilisons cee fois le changemen de variable u = ; ceci es licie, car l inervalle d inégraion ne conien pas / g = + + d = du 4 + u + u 4 u = / u du = + u + u 4 u du = g u 4 + u + Q6 On a clairemen < = +, donc < puis en passan au inverses

10 Q7 Inégrons l encadremen précéden sur l inervalle [,], pour > : Mais [ ] = = d + d + = [arcan] = = = arcan arcan ; = + = Q8 Effecuons une inégraion par paries : H = d où l encadremen demandé arcan arcan d d + + d 4 d = [ arcan arcan ] = = + + d = arcan arcan d [ ln + 4 = arcan arcan ln + ] = 4 = = arcan arcan ln ln + 4 = g ; e d = Pour >, on a arcan + arcan = π ; ceci perme d écrire, pour > : π arcan arcan = arcan π arcan = arcan arcan On sai que arcanu = u+ou lorsque u end vers ; donc, lorsque end vers + : arcan = +o e arcan = + o d où arcan arcan = + o ; ainsi arcan arcan + Par ailleurs : ln + ln + 4 = ln + ln + ln + ln4 + ln 4 ln 4 Conclusion : H ln + = + ln + ln ln4 + 4 ln + Q9 Il convien d êre pruden : il es inerdi inégrer l encadremen obenu en Q6 sur l inervalle [, ]! Nous l inégrons donc sur l inervalle [, ] : On a déjà arcan arcan d d [ ln ] = = = ln D aure par : = arcan arcan d = On vien de voir que H end vers + On en dédui équivalens : g d + ln + arcan arcan d g d arcan arcan d + d arcan arcan d = H H ln H es une quanié fie, donc négligeable devan lorsque ln puis, avec le héorème des rois ln Il ne rese plus qu à écrire G = g d = g d + g d e à remarquer que la première inégrale du membre de droie es finie, donc négligeable devan la deuième, ln lorsque end vers + ; ce qui perme finalemen d affirmer que G + [EosFoncionsCorr] Composé le 6 décembre 7