Géométrie. Exercices 15
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- Simon Lamothe
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1 MATH Géométrie Exercices 15 Géométrie du plan Exercice 1. Soient u et v deux vecteurs du plan. 1. Démontrer que u et v sont orthogonaux si, et seulement si, u + v = u v. 2. En déduire une CNS pour qu un parallélogramme ABCD soit un rectangle. Exercice 2. Soit ABC un triangle non plat du plan. 1. Démontrer que, pour tout point M du plan, on a MA BC + MB CA + MC AB = Soit H le point d intersection des hauteurs issues de B et C. Montrer que HA BC = 0 et en déduire que H appartient à la hauteur issue de A. Exercice. Formule d Al Kachi Soit ABC un triangle non plat du plan. Les mesures des angles non orientés du triangle sont notés Â, B, Ĉ ; et les longueurs des côtés sont notées a, b, c. Montrer que a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Exercice 4. On rapporte le plan au repère orthonormé direct (0; i, j). 1. Déterminer les éventuels points d intersection de la droite D : x + y 4 = 0 et de l ensemble des points M(x; y) vérifiant C k : x 2 + y 2 6y + k = 0 pour k = 4, k = 1/2 et k = Déterminer les éventuels points d intersection des ensembles de points dont les équations cartésiennes sont C : x 2 + y 2 6y + 4 = 0 et C 0 : x 2 + y 2 + x y = 0. Exercice 5. Agro 08 On considère un carré ABCD tel que ( AB; AD) = π 2 [2π]. Pour tout point M de la diagonale [AC], on note P (resp. Q) son projeté orthogonal sur [AB] (resp. [BC]). 1. On note I le milieu de [P Q]. Déterminer le lieu des points I lorsque M décrit [AC] et en donner une équation cartésienne dans le repère (A; AB, AD). 2. Donner une équation cartésienne de la médiatrice M M de [P Q] dans le repère (A; AB, AD) et montrer qu il existe un point par lequel passent toutes les droites M M, lorsque M décrit [AC]. Exercice 6. Agro 06 On note C le cercle unité de centre (0, 0). Pour tout couple (M, M 0 ) de points du plan, on note d(m, M 0 ) la distance entre M et M Montrer que pour tout point M extérieur à C, la distance entre M et C est d(m, M 0 ), où M 0 est le point d intersection du cercle avec la droite (OM). 2. Calculer cette distance en fonction des coordonnées (x, y) du point M.. Soit la droite d équation y = 2. Montrer que l ensemble des points M tels que d(m, C) = 2d(M, ) est la réunion des graphes de deux fonctions que l on déterminera. Exercice 7. Agro 09 Dans le plan rapporté à un repère (O; i, j), on considère les deux cercles C : x 2 + y 2 = 100 et C : x 2 + y 2 18x 24y = Donner une équation cartésienne de la droite D passant par les centres de deux cercles. 2. Montrer que ces deux cercles sont tangents et donner l équation de la tangente.. Montrer qu il existe d autres tangentes communes au 2 cercles, qui passent toutes par le point de coordonnées (18; 24). Défi : trouver une équation cartésienne de ces deux droites. 1 / 6
2 j.verliat.free.fr Géométrie de l espace Exercice 8. L espace E est rapporté à un repère orthonormal (0; i, j, k). Soient P : x y + z = 1 et P : x + 2y + z = 6 deux plans. Montrer que P P est une droite et déterminer un vecteur directeur de cette droite. Exercice 9. L espace E est rapporté à un repère orthonormal (0; i, j, k). 1. Soit P : x + 2y z + 9 = 0. En donner une représentation paramétrique Donner une équation cartésienne du plan passant par les points A 1, B 1 et C /2 5/2. Trouver une équation cartésienne du plan médiateur de [DE] où D 2/ et E 4/. 2 0 Exercice 10. L espace E est rapporté à un repère orthonormal (0; i, j, 1 1 k). On pose A 2 et B Déterminer la distance du point A au plan P d équation 2x + y 4z = Calculer la distance du point B au plan Q représenté paramétriquement par x = 2 + λ + µ y = λ + 2µ z = 1 + 2λ + µ (λ, µ) R 2. Exercice 11. Agro 09 Dans l espace affine rapporté à un repère orthonormé, on considère le point A(1, 2, ) et la droite D dont une représentation paramétrique est x = 2t + 1 y = t 1, t R. z = t + 2 Soient également les plans P et Q d équations respectives x + y + z 1 = 0 et x + z + 4 = (a) Montrer que les plans P et Q sont sécants. (b) Montrer que le vecteur (; 2; 1) appartient aux deux plans. (c) Donner une équation paramétrique de P Q. 2. Donner une équation cartésienne du plan R passant par A et parallèle à Q.. Donner une représentation cartésienne de la droite passant par A, coupant D et parallèle à Q. Exercice 12. Agro 07 Soit un plan P m, où m est réel, dont une équation cartésienne est (m 1)x + (m + )y + (m 2 2m)z 7m 14 = Démontrer qu il existe un unique plan P m passant par l origine puis qu aucun plan ne passe par le point A de coordonnées ( 1, 1, 1). 2. Calculer l unique point d intersection de tous les plans. Exercice 1. Agro 02 Dans le repère orthonormé (O; i, j, k), on considère les points A a 0 0 B 0 b 0 C 0 0 c où a, b et c sont des réels strictement positifs. Soit H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). 1. Vérifier que x a + y b + z = 1 est une équation du plan (ABC). c 2. Montrer que H correspond à l orthocentre du triangle ABC. 2 / 6
3 Géométrie Barycentres Exercice 14. On considère un triangle (ABC), on note G le barycentre de (A; 2), (B; ), (C; 1). Après avoir placé le barycentre de (A; 2), (B; ), représenter G sur une figure. Exercice 15. Montrer que l isobarycentre d un triangle coïncide avec le centre de gravité du triangle. Exercice 16. Soit ABC un triangle. Trois points I, J, G sont tels que AI = 2 AB, AJ = 4 AC et CG = 1 CI. 1. Exprimer I comme barycentre de A et B ; G comme barycentre de C et I ; G comme barycentre de A, B et C. 2. En déduire que (BG) et (AC) se coupent en J. Exercice 17. Soit p N. Soient A 1,...,A p des points du plan ou de l espace et α 1,...,α p des réels tels que α 1 + +α p = Montrer que le vecteur α 1 MA α p MA p est indépendant du choix du point M. 2. Que dire de la proposition donnant la définition vectorielle du barycentre dans ce cas? Exercice 18. Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. On définit l ensemble Γ des points M du plan tels que MA 2 MB + MC = MA 4 MB + MC 1. Montrer que le vecteur MA 2 MB + MC est indépendant du choix du point M. 2. On considère le point G, barycentre de (A; 1), (B; 4), (C; 1). (a) Donner une CNS sur la longueur GM pour que M appartienne à Γ. (b) En déduire la nature et la représentation graphique de Γ. Exercice 19. Soient ABCD un tétraèdre. Déterminer, en fonction de k R, la nature de l ensemble S k des points M de l espace tels que ( MA + MB + MC) MD = k. Indication : on rappelle que l ensemble des points de l espace situés à une même distance d un point C est une sphère de centre C / 6
4 j.verliat.free.fr Solutions Solution de l ex On raisonne par équivalences successives : u + v = u v u + v 2 = u v 2 u 2 + v u v = u 2 + v 2 2 u v u v = 0 u v. 2. Un parallélogramme est un rectangle ssi ses diagonales sont de même longueur. Solution de l ex Avec la relation de Chasles : MA BC + MB CA + MC AB = MA BC + ( MA + AB) CA + ( MA + AC) AB = MA BC + MA CA + AB CA + MA AB + AC AB = ( MA BC + MA CA + MA AB) + ( AB CA + AB AC) = MA 0 + AB 0 = La relation trouvée à la question 1 est a fortiori valable pour le point H : HA BC + HB }{{ CA } + } HC {{ AB } = 0. =0 =0 On en déduit : HA BC = 0, donc H est sur la hauteur issue de A. Solution de l ex. On calcule : BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC BA AC. Or : ( BA AC = 2 BA AC cos BA, ) AC ; (  = π BA, ) AC. On en déduit BA AC = 2 BA AC cos  puis a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Solution de l ex D C 4 = {(1; 1); ( 2; 2)}. D C 1/2 = {( 1 2 ; 2)}. D C14 =. 2. C C 0 = D C 4 = {(1; 1); ( 2; 2)}. Solution de l ex I décrit le segment [EF ] où E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [BC]. Une équation cartésienne dans le repère (A; AB, AD) est y = x 1 2 avec x [ 1 2 ; 1]. 2. En notant M(x M ; x M ), on a M M : (1 x M )x + x M y 1 2 = 0. Le centre du carré K ( 1 2 ; 2) 1 appartient à toutes les droites M M. Solution de l ex En notant T la tangente à C en M 0, on a d(m; C) d(m, T ) = d(m; M 0 ). Or, M 0 C, donc d(m; C) d(m; M 0 ). D où : d(m; C) = d(m; M 0 ). 2. d(m; C) = x 2 + y d(m; ) = y + 2. Ainsi : d(m, C) = 2d(M, ) { x 2 + y 2 = (2y + 5) 2 si y 2 x 2 + y 2 = (2y + ) 2 sinon { y = x 2 si y 2 y = 6 9+x 2 sinon 4 / 6
5 Géométrie Solution de l ex C est le cercle de centre O(0; 0) et de rayon 10. C est le cercle de centre Ω(9; 12) et de rayon 5. Une équation cartésienne de D est y = 4 x. 2. La distance entre les deux centres est égale à la somme des rayons, donc les deux cercles sont tangents. OΩ est normal à la tangente commune en ce point, et celle-ci passe par I(6; 8) : une équation est x+4y = 50.. Il existe deux autres tangentes, comme on peut le voir sur le graphique ci-dessous. On trouve (th de Pythagore ( puis recherche) de ( l intersection de ) deux cercles) les deux points de tangence avec le gros cercle : ; et ; Il reste à trouver l équation de chaque droite, définie par deux points : y = x et y = x Solution de l ex 8. P a pour vecteur normal : n = (1; 1; 1). P a pour vecteur normal : n = (1; 2; ). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles : ils sont sécants selon une droite, donc un vecteur directeur est d = ( 5; 2; ). x = 9 2y +z Solution de l ex P : y = y. z = z 2. 2x + y + z =.. 6x + 2y + 6z = 5. Solution de l ex Solution de l ex (a) P et Q ne sont pas parallèles (car (1; 1; 1) et (1; 0; ) ne sont pas colinéaires) donc ils sont sécants. 5 / 6
6 j.verliat.free.fr (b) (; 2; 1) est orthogonal aux deux vecteurs précédents, donc il appartient aux deux plans. x = 4 +t (c) P Q : y = 2t z = t 2. R : x + z = 10. { x + z = 10. 2x + y z = 5. Solution de l ex m = ( 7 4 ; 21 4 ; 0). Solution de l ex A, B et C vérifient l équation HA BC = HO BC + OA BC = 0. Les deux autres calculs sont identiques. Solution de l ex 15. Notons I l isobarycentre d un triangle ABC, D le milieu de [AB]. Alors : I = Bar((A; 1); (B; 1); (C; 1)) = Bar((D; 2); (C; 1)). Donc I est sur (DC), c est-à-dire la médiane issue de C. Idem pour l autre (ou les deux autres...) calcul(s). Solution de l ex Relation de Chasles : α 1 MA α p MA p = α 1MO + + αpmo + α1oa1 + + α p OA p = α 1OA1 + + α p OA p. Ce vecteur est bien indépendant de M. 2. Ou bien ce vecteur est nul, auquel cas tout point convient dans la définition vectorielle du barycentre ; ou bien il n est pas nul, et aucun point ne convient. 6 / 6
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