Mécanismes d'interaction d'une pompe et d'un circuit Modèles théoriques

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1 Mécanismes d'inteaction d'une pompe et d'un cicuit Modèles théoiques B. Desmet Ecole nationale supéieue d'ats et méties, Lille F. Tephany EDF - DER, Chatou J.L. Tolle EDF - DER, Saint-Denis Des effets d'inteaction machine-cicuit sont mis en évidence et l'impotance de la ésonance hydaulique su ces effets est étudiée. Il est nécessaie, en vue de la pévision du compotement dynamique d'un ensemble machine-cicuit de caactéise la machine en tant que souce de fluctuations, ce qui nécessite de s'affanchi des effets d'inteaction los des essais. Les méthodes linéaies d'analyse théoique sont pésentées et citiquées. Le flux d'énegie des fluctuations est expimé et compaé à la notion classique d'intensité acoustique. Les méthodes théoiques pésentées sont utilisées en vue de donne une intepétation des cas ecensés.. Intoduction.. Mise en évidence d'effets d'inteaction Voici quelques exemples de phénomènes de ésonance hydaulique tels qu'on a pu les obseve su des installations industielles ou suscite leu manifestation su des boucles d'essais:... Cicuit de centale nucléaie Su un cicuit de centale themonucléaie schématisé su la figue, compotant 2 pompes en paallèle alimen tées pa une bâche, on a fait les constatations suivantes: au cous d'essais éalisés pa EDF/DTG pou lesquels l'une des 2 pompes fonctionnait à débit patiel, l'aute étant à l'aêt, on mesue à l'aspiation de la pompe qui fonctionne des fluctuations de pession oganisées à 7,25 Hz d'une amplitude globale cête à cête de 3,5 ba, et à l'aspiation de la pompe à l'aêt des fluctuations de pession à la même féquence ct d'un niveau beaucoup plus impotant, de l'ode de 4 ba (voi figue 2). Pa ailleus, losqu'on intevetit le ôle des 2 pompes, et bien que celles-ci soient situées su des banches de longueus difféentes, on obseve le même phénomène et à la même féquence, c'est à die qu'il y a symétie du mécanisme instationnaie en dépit de la dissymétie géométique et amplification d'une banche su l'aute esponsable d'une dépession impotante dans la banche en eau mote. De sucoît, on mesue des vibations excessives su la tuyauteie d'alimentation de la pompe o 2PO (l cm cête à cête) à la féquence de 4,5 Hz qui coespond justement à la pemièe féquence pope mécanique du tonçon empli d'cau mesuée los d'excitations pal' choc. Inteaction phenomena between a pump and a piping system. Theoetical models. Some machine/cicuit inteaction effects ae disclosed and the significance ofhydaulic esonance conceming these effects 'is examined. Consideing the anticipation of the dynamic behauiou of a machine/cicuit unit, it is essential to chaacteize the machine in so fa as it is the fluctuations souce, which equies that it be feed fom the inteaction effects duing these tests. The theoetical analysis linea methods ae pesented and citicaly examined. The enegy flux of the fluctuations is expessed and compaed to the conuentional notion of acoustic intensity. The theoetical methods pesented ae used to pouide an intepetation of ecoded cases. LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988 Aticle published by SHF and available at o

2 LI ~I P J ' 0' PO <5 Otnt:82,5mm e f:,4m. 5. AUTO SPEC CH.A db/ ba RMS -35~N--~ 40 db --t>~"'o-5,--;:hz::-t-:z=25;:-;,5:------=~-- 324,5 6. a féquence ( Hz ) ' 200 kl'00.'00.kl'200. Cicuit de centale nucléaie. 2. Fluctuations de pession obsevées à l'aspiation des pompes. 3. Cicuit d'essais de vannes. 3., '" 2 m ',5 m.' 4. Céléité des ondes à l'amont et à l'aval de la vanne cavitante. 5. Boucle d'essais de pompes. 6. Analyse en féquence de la pession à l'aspiation de la pompe (point Al). N = 2200 t/min. RAPPORT A (fl /B (fl PHASE Amont vanne cavitante 7. Boucle «SESAME» !---~ -:--- : : i!!! : ; x RAPPORT B (f) / A{fl PHASE Aval vanne cavitante._ ~, l, L.._ X Hz y ne. 7.

3 INTERACTION D'UNE POMPE ET D'UN CIRCUIT Essais d'une vanne papillon Au cous d'essais éalisés pa la DER su une vanne papillon fonctionnant successivement hos cavitation et en égime fotement cavitant, on a mis en évidence un phénomène de ésonance hydaulique potant su les potions situées en amont et en aval de la vanne jusqu'aux éléments de accodements de la boucle à une conduite de diamète supéieu (figue 3). La pésence de cavitation pou le 2" cas de fonctionnement dans la zone aval se taduit pa une vitesse de popagation des ondes beaucoup plus faible qu'en amont (figue 4), faisant appaaîte des féquences natuelles difféentes de pat et d'aute de la vanne...3. Essais d'une pompe centifuge On a pu excite les ésonances hydauliques su une petite boucle d'essais installée à l'ensam de Lille (figue 5), en faisant vaie la vitesse de otation de la pompe: les difféentes hamoniques sont exaltées au passage des féquences natuelles du cicuit, l'allue des fluctuations pouvant ête sensiblement modifiée selon l'ode de l'hamonique amplifié (figue 6 et éféences [], [2])..2. Caactéisation d'une machine en tant que souce de fluctuations La pincipale difficulté pou caactéise une machine en tant que souce de fluctuations, indépendamment de son cicuit d'implantation, est de s'affanchi des effets d'inteaction machine-cicuit. Deux statégies peuvent ête envisagées pou ésoude ce poblème. La pemièe consiste à place la machine dans un cicuit dont on sait modélise la zone expéimentale (conduites ectilignes) et en isolant la machine des autes souces de fluctuations (ésevois) comme dans le cas de la boucle «SESAME» de l'ensam-lille (figue 7) pa exemple. Le taitement des signaux s'appuie su le modèle théoique pou estitue l'infomation utile. Une aute possibilité est de faie dispaaîte les phénomènes d'ondes quasi-stationnaies pa l'emploi de teminaisons anéchoïques. 2. Modélisation et intepétation 2.. Méthodes d'analyse théoique des phénomènes 2... Examen citique des hypothèses classiques de la théoie de popagation en ondes planes Le modèle d'ondes planes (éf. [3] à [5]) est souvent utilisé pou l'étude des phénomènes d'inteaction machine-cicuit. Dans ce modèle, seule la composante de la vitesse suivant l'axe de la conduite est considéée et cette composante, ainsi que les autes caactéistiques de l'écoulement (pession, masse volumique du fluide...) sont supposées unifomes dans toute section doite à chaque instant. ir (phase =90 ) o phase { o 0,5 ~ Idp/dxl 8. Pofil des vitesses en fonction du paamète de féquence d'apès {6}. / R -0.5 v ~ w dp/dx 9. Evolution tempoelle du pofil des vitesses d'apès {6}. La figue 8 epoduit les distibutions des vitesses axiales V données pa Stecki et Davis (éf. [6]) pou un écoulement de fluide visqueux incompessible quand le gadient de pession dp/dx vaie dans le temps suivant une loi sinusoïdale de pulsation w. Le pofil des vitesses est caactéisé pa un paamète de féquence R(W/V)li2 analogue à un nombe de Reynolds. Pou les valeus assez gandes de ce paamète, une zone annulaie où la vitesse est maximale appaaît (effet Richadson). La figue 9 monte les évolutions de la vitesse en fonction du temps pou une valeu du paamète de féquence égale à 0. Le modèle unidimensionnel ne pemet pas de teni compte du pofil instationnaie des vitesses. En hydaulique, le paamète de féquence est généalement gand (R(W/V)'/2 = 250 pou l'eau pou une féquence égale à Hz dans une conduite de diamète 00 mm) et on peut pévoi un pofil assez plat des vitesses sauf au voisinage immédiat de la paoi. Fanelli (éf. [7]) étudie les composantes axiales Vx et adiale V de la vitesse pou une oscillation stationnaie de pulsation w dans une conduite cylindique infinie de section ciculaie. Le caactèe bidimensionnel des phénomènes appaaît nettement su la figue 0 (page suiv.) qui epésente qualitativement les tajectoies du fluide. Les nœuds de la vitesse longitudinale (Vx - 0) coïncident avec les ventes de la vitesse adiale V et de la pession p. LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

4 254 B. DESMET, F. TEPHANY, l.l. TROLLE 0. l "ottc 2Ul i~(j~ ; noeud: Vx vente: V h ven te : Vx noeud: V h i@([2. + noeud: Vx vente: V h L Jt , ::<2-w-=+ W_ PTT V~t -TT. o p: pession ~ : masse volumique V: vitesse 9 : accéléation de la pesanteu Tajectoies du fluide pou une oscillation stationnaie d'apès {7}.. Ecoulement pa tanches planes (notations). 2. Fonction de tansfet section / pession. 3. Etude énegétique (notations). 3. Dans le cade de l'hypothèse des ondes planes, les équations de continuité et de quantité de mouvement s'écivent espectivement (figue ) : a(pa) + a(pav) = 0 () at ax.!.ap + av + V av + gsina+~.!...!::j..j:=o (2) pax at ax D 2 où le teme de fottement (f..!d) ( V VI /2) est expimé comme en écoulement pemanent. Les effets capacitifs sont dus à la compessibilité X du fluide et au compotement dynamique de la conduite. X =.!.~ p dp Dans l'équation de continuité () la section A doit ête considéée comme fonction de l'abscisse x et du temps t (A = A (x, t». En patique, on ne tient compte que du compotement statique local losqu'on admet la elation de popotionnalité ente la fluctuation de pession dans une tanche et la vaiation de section. Avec cette denièe hypothèse, la section ne dépend du temps t que pa l'intemédiaie de la pession: A = A(x,p) avec p = p(x, t) (4) La figue 2 monte la fonction de tansfet sectionpession d'une conduite cylindique mince pésentant une fluctuation de ayon unifome su toute sa longueu. Les écats pa appot au compotement statique appaaissent pou une pulsation nettement inféieue à la pulsation pope (pulsation éduite & = ). La féquence natuelle pou une conduite en acie de 250 mm de diamète est égale à 6,6 khz et les phénomènes dynamiques deviennent sensibles au ties de cette féquence envion. En patique, d'autes modes de défomation peuvent inteveni et des effets de dynamique de stuctue sont obsevés pou des féquences plus basses. En intoduisant la compessibilité X et en posant: +.. Xp.l- aa (x, p) XA ap (5) LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

5 INTERAclON D'UNE POMPE ET D'UN CIRCUIT 255 l'équation de continuité () devient: ôp + Vôp + pc2ôv + ~ VôA(x,p) = 0 (6) ôl ÔX ÔX A ÔX La quantité c définie pa la elation (5) peut ête identifiée à la céléité des ondes dans la conduite. La déivée ôa (x, p)/ôp dépend des conditions de liaison de la conduite. Dans le cas paticulie des conduites minces, on aboutit à la fomule:..l XP D (7) CI XE e où CI = pou une conduite libe sans epise d'effet de fond (état plan de containtes dans le plan pependiculaie à l'axe de la conduite). CI = - v/2 pou une conduite libe avec epise d'effet de fond (état de containtes pseudo plan) CI = - v pou une conduite immobilisée su toute sa longueu (état plan de défomations). E epésente le module d'élasticité longitudinal et v le coefficient de Poisson du matéiau constituant la paoi d'épaisseu e. En hydaulique, la pession est le plus souvent expimée en hauteu de fluide (h = plpg). Les équations de l'écoulement sont tansfomées en considéant chaque vaiable comme la somme d'une valeu moyenne (indice 0) et d'une quantité fluctuante h = ho + h V= V o + V où on considèe que les valeus fluctuantes sont faibles devant les gandeus moyennes. Enfin, en admettant des vaiations spatiales lentes pa appot aux vaiations tempoelles, il vient en intoduisant le débit volume qu: ôh + ~ ÔX gao ôl gao c (8) + (! -..!..dao).!/.!d!...qu = 0 (9) D Ao dx ga5 La suppession de. temes Va ôh/ôx et Va ôqu/ôx espectivement devant ôh/ôl et ôqu/ôl est convenable si le nombe de Mach de l'écoulement moyen èste petit ce qui est le. cas pou les applications en hydaulique sauf, peut-ête, en pésence de cavitation pace que la céléité c peut deveni faible. En l'absence d'écoulement moyen, les équations pécédentes estent convenables à l'exception du teme de fottement ca, dans ce cas, les vitesses s'invesent et la linéaisation effectuée n'est plus valable. Le teme - (l/ao) (dao/dx) (quo/ga6) qu de l'équation (9), dû à la vaiation de la vitesse moyenne ésultant de l'évolution de section joue le ôle d'un fottement négatif dans le cas d'une conduite divegente et ce teme est pépondéant devant la quantité (À./IJ) (quo/g A6) qu dûe au fottement Analyse énegétique des fluctuations de pesswn La caactéisation du buit aéien des installations pa intensimétie acoustique s'est lagement développée au cous de ces denièes années. Plusieus définitions de l'intensité acoustique, en pésence d'écoulement, ont été poposées (éf. [8] à []) mais il existe peu de éféences dans le domaine de l'hydaulique (éf. [2]). L'exegie Ex et l'anegie An d'un volume quelconque (Q) pis dans un milieu fluide en écoulement (figue 3) epésentent espectivement la pat d'énegie du système qui peut ête estituée sous fome d'énegie mécanique quand on amène ce système jusqu'à un état de éféence et la pat de cette énegie qui ne peut plus ête estituée sous fome d'énegie mécanique. Ex = Sn p ex d Q An = Sn p an d Q Les quantités massiques ex et an sont définies pa ex = u - Ua - Tu (s - Sa) + an = Ta (s - Sa) où l'indice a se appote à l'état de éféence. (u: énegie intene massique, s: entopie massique, T: tempéatue) Pa application du pemie pincipe de la themodynamique au volume (Q) : Sn [ô p (ex ô 7an) - p (g. V)] dq V 2 + J; [p(ex + an) + p] (v. n) do = 0 (0) Pou des évolutions isentopiques, l'énegie massique este constante et, compte tenu de l'équation de continuité, la elation (l0) se éduit à : + i (p ex + p) (u. n) do = 0 () L'intégale de suface de la elation () définit le flux d'énegie à taves la suface (:) limitant le volume (Q). Pou la section doite d'un écoulement unidimensionnel, le flux d'énegie pa unité de suface E s'expime sous la fome: avec E = (p ex + p) V = E p + E c 2 (2) E p = p V[u - Ua - Ta(s - Sa)] + pv (3) E c = Vl p - (4) 2 Pou des fluctuations p et V de la pession et de la vitesse autou des conditions moyennes (indice 0), en penant des développements limités du deuxième ode, les expessions (3) et (4) s'écivent: LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

6 256 B. DESMET, F. TEPHANY, J.L. TROLLE Ep = Po Vo exo + Po Vo Vo exo - po Vo - poco p + po exo V + --z p e5 + po V + Vo P + P V + exo p V C5 La matice de tansfet d'un élément à caactéisti ques linéiques constantes satisfait à l'équation fonctionnelle: M(x + y) = M(x). M(y) dont la solution généale est de la fome: M(x) = exp (x K) + po - V- + po VO -Z --zp --p poco P5e5 où K est une matice caée d'ode 2 véifiant l'équation maticielle: Ee =.!. po Vil 2 Vo 2 po c6 ~- + Z P 2 Co + ~ po ~o if + ~~ -p if 2 2 e5 (5) (6) Ce qui pemet de calcule les coefficients de K pa identification du système difféentiel décivant l'écoulement. La quantité (plpc)z + (qls)z est invaiante tout le long d'une conduite doite cylindique. Le pincipe d'assemblage des matices associées aux difféents composants d'un cicuit est le suivant: Les quantités Epo = Po Vo exo + Po Vo et Eeo = Po V o/2 coespondent au flux d'énegie de l'écoulement moyen et les temes du pemie ode ont une valeu moyenne nulle. Le flux d'énegie moyen E dû aux fluctuations est donc égal à la valeu moyenne des temes du second ode: ;;:; :::=- ( exo E po) p = p V + -z + --z Co po Co Calcul de la matice de tansfet de 2 éléments associés en séie (figue 4) : Il y a équilibe des pessions au nœud 2 et consevation du débit: E e ~ M Z Pif +.!. M 3 pz + ~ po Vo VZ (8) 2 4 poco 2 Une évaluation numéique des temes des elations (7) et (8) monte que le flux d'énegie pa unité de suface moyen peut ête confondu avec l'intensité : E=Ep+Ee~pV=I L'intensité étant un flux d'énegie pa unité de suface s'expime en Wlm z dans le système intenational Méthode des matices de tansfet (9) On epésente le cicuit hydaulique comme une suite de composants élémentaies auxquels on cheche à associe un modèle de compotement indépendant du este du cicuit (éf. [4], [5], [3]). En admettant que les petubations des 2 vaiables pession-débit desciptives de l'écoulement sont faibles devant les gandeus moyennes coespondantes, alos pou chaque pulsation, l'amplitude complexe des fluctuations à la sotie du composant s'expime linéaiement en fonction de l'amplitude des fluctuations d'entée. On peut démonte les popiétés suivantes: La matice de tansfet d'un composant possédant un plan de symétie othogonal à son axe a un déteminant valant un et des coefficients diagonaux égaux. D'où: (20) La matice T des 2 éléments assemblés est égale au poduit des matices de chacun des éléments. Calcul de la matice de tansfet de 2 éléments associés en paallèle (figue 5): Il y a équilibe des pessions aux nœuds et 2 et consevation du débit: m H(+I = HI m= H~+l = Hz QI Qi + Q(+I Qz = Q~ + Q~+I D'où: avec: [ T [~:] ll lz ] TZ I Tzz [~:] LA HOUILLE BLANCHEIN 3/4-988

7 INTERACTION D'UNE POMPE ET D'UN CIRCUIT 257 CD (i) 0PO '!- CDC (i) ( i' ) =>0--'. 4. Association d'éléments en séie. 5. Association d'éléments en paallèle. 6. Cds : caactéistiques du cicuit. Til A Il B I 2 + A 2B Il A I 2 + B l 2 T 2 (A 2 B 2) (A2 + B2) (Ail - B ll ) (A 22 - B22) T2 2 = A 2 B 22 + A 22 B 2 A I2 + B 2 A 2 + B I2 A I2 B I2 A I 2 + B I 2 (2) Le tableau des matices de tansfet assoclees aux pincipaux composants des cicuits hydauliques est donné en annexe. On distingue la matice d'une conduite de section constante, celle d'une conduite de section vaiable, celle associée aux petes de chage singulièe, et les quelques modèles classiques utilisées pou les pompes. On mentionne également le cas de l'accumulateu Intepétation des cas ecensés Les quelques cas mentionnés dans l'intoduction où l'on a obsevé le phénomène de ésonance hydaulique ont fait l'objet d'une analyse pa la méthode des matices de tansfet. Voici les pincipaux ésultats obtenus su chacun. Cas : Le modèle employé néglige l'ensemble des singulaités de la ligne (coudes, piquages, vannes, bifucations) et ne pend en compte finalement que les longueus et les sections des tuyauteies considéées comme des éléments de tonçon doit. Ses caactéistiques sont epésentées su la figue 6. La céléité des ondes est supposée constante dans toute la ligne et pise égale à : c = 30 n/s. Dans le e cas, la pompe 02PO est à l'aêt, et l'on impose une condition de fond plein Q2 = 0 au nœud 2. On impose une condition de éflexion totale à la bâche P4 = 0 au nœud 4. On écit l'équilibe des pessions et la continuité au point de bifucation, à savoi: PI = P2 = P3 et en écivant les elations aux nœuds pa la méthode des matices de tansfet, il vient: [ ql + q2 = q3 En posant a ol c au nœud 3 oll c PI ]=[,o,.~, - j ~~,in n, ] QI -] - sm a cos al pc P2=['O'"' - j~:,in n,j Q2 -] ~sina2 cos a2 pc P3 q3.pc. cos a -]- sm a s.8. - ]-sm a cos a pc PI] ql P2j q2 P4 [ q4 LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

8 258 B. DESMET, F. TEPHANY. l.l. TROLLE I!~ :: :I~ I!~ :' : " " ( il! "I, " ; t : n /: ;' i ' :. i/ ~ /: : : : : : l ' /: :, l ', : fi ~, ),,, ~ "-,/ ~,,-", G.in RtCtplivlté. AmpliiC.ition. d:l Il: Il: /: " : : ~ : ' : I! : /, I~ ~ i J' " '... / " "-.::.--, - G.in - - Réceptivité AmpliFic.tion Cas : éponse du cicuit avec la pompe 02PO à l'aét. F;7n AMONT VANNE NON CAVITANTE X Hz y mo'2 _.._..--:-.._.. _~._.._.. ~.._..--:-.._...-:.., ", _.. _ _j I j- " " " "...:....._:._.._. ~.._-_":"_-----;- ;,Jl Ji i i i 0.0,,, l,,, f-.. -"!"-"-j'-"-"-"-"!"-"--j' l i i, i, i, i, --.- f j j. i i., i i i, l,,,,,, j _ -- " " l oaala i i " i i AAn AVAL VANNE NON CAVlTANTE X Hz Y mo' Autospectes des fluctuations de pession de la vanne non cavitante '2.4 3.&0 8. Cas : éponse du cicuit avec la pompe 0 lpo à l'aêt. AMONT VANNE CAVITANTE tl t ( _ +--Hj-~ -~--: i: i) : i : ~ i : : j----, ----ii"-----+",, l -----t---, , ; Iii :! f;! U i v-/ I! ~~0è:::ë.:~=::::::':'=:::::=-l-~~~~~~::":::"----':,oi-J il ---j';:;' ~~~x f'z AVAL VANNE CAV ITAN TE,,,,,,. " " I j >-"-"+'--'-i-, " ----T ï jl ',,,,,, !----,-----j t ji i i i i - -T ~~------T----- l,, l, X Hz y mo' Autospectes des fluctuations de pession de la vanne cavitante_ En tenant compte des conditions aux limites et des conditions de accodement, il vient: P S sin al S2 ] = [ cos al sm al tg a2 PI SI tgal SI QI = J... [s cos a cos a 2 _ SI sin (a + a 2)] P pc cos a2 tga --PI cos a2 Dès los, on peut faie appaaîte les quantités suivantes, appellées espectivement eceptivité et gain: cos a cos a 2 S ( + ) S S - sm a a 2 j -.. tga pc Ssmalcosa 2 + SI cos (al + (2) tga jpc...;~ _ S cos a cos a 2 _ SI sin (a + a 2) tga Et leu poduit, qu'on appelle amplification:... sin a cos a 2 + cos (a + a 2) SI tga LA HOUILLE BLANCHEIN 3/4-988

9 INTERACTION D'UNE POMPE ET D'U CIRCUIT 259 L'évolution de ces paamètes au cous d'un balayage en féquence su la gamme (0-20 Hz) avec une ésolution de 0.0 Hz met en évidence 2 zones d'amplification coespondant aux 2 pemièes ésonances du cicuit centées su les féquences w I = 7,0 Hz et w 2 = 4.50 Hz (figue 7). Dans le 2 e cas. losqu'on intevetit les ôles de chacune des pompes, la pompe 0 PO étant donc à l'aêt. on obseve encoe 2 zones étoites d'amplification coïncidant avec les 2 pemièes ésonances du cicuit. et centées su les féquences w I = 7.70 Hz et w 2 = 3,60 Hz (figue 8). Ces ésultats appellent les emaques suivantes: si le phénomène d'amplification d'une banche su l'aute est pésent dans chaque cas. en evanche la dissymétie géométique de la ligne d'aspiation se etouve au niveau des féquences de ésonance, qui ont glissé d'un cas à l'aute. Mais ce glissement est faible pace qu'il coespond à des ésonances potant su l'ensemble de la ligne d'aspiation qui compote un tonçon commun aux 2 pompes d'une longueu beaucoup plus impotante que celle des banches en paallèle. S'il semble douteux qu'un calcul intoduisant les matices de tansfet singulièes associées aux singulaités du cicuit puisse coige ce glissement et établi la symétie touvée expéimentalement, en evanche une modélisation du système fluide-stuctue couplant les modes tansveses de vibation de la ligne et la popagation en ondes planes est susceptible de estitue celle-ci. d'autant qu'il appaaît que le e mode de flexion de l'une des banches est extêmement voisin de la 2 e ésonance hydaulique calculée qui de plus coespond patiquement au e hamonique fondamental. Le couplage acoustique-mécanique doit ête tès sensible dans cette plage de féquences. Cas 2 : La méthode d'intensimétie hydo-acoustique a pemis d'évalue les puissances diectes et inveses popagées de pat et d'aute de la vanne étudiée. En paticulie elle a mis en évidence la dominance de la souce associée à cette vanne dans le cas du égime fotement cavitant et sa non dominance hos cavitation. Elle a également pemis d'estime la céléité des ondes pou chacun des deux égimes: 300 mis en amont et en aval de la vanne non cavitante, 300 mis en amont de la vanne cavitante, 473 mis en aval. Les aies qui appaaissent su les spectes de puissances acoustiques sont essentiellement liées à la otation de la pompe dans le cas non cavitant, auxquelles s'ajoutent des aies d'un niveau plus faible à et 85 Hz (figue 9) en amont de la vanne. et à 3, 20, et 85 Hz en aval de la vanne (figue 9). Dans le cas cavitant en evanche. seule la aie à 25 Hz coespondant à la otation est pésente à la fois en amont et en aval. Les aies dominantes en amont sont en l'occuence , 25 et 60 Hz. et en aval: Hz (figue 20). On voit que ces féquences sont tès difféentes de pat et d'aute de la vanne. La vanne est située su une ligne de diamète 0 00 accodée pa un convegent à une ligne de diamète 0200 situé à.5 m en amont et pa un divegent à une ligne de diamète 0200 situé à 2 m en aval. Ces éléments éflecteus sont à l'oigine de ésonances locales avec la vanne. comme le confime l'analyse du appot des ondes invese et diecte. dont le module founit le coefficient de éflexion et dont l'évolution linéaie de la phase en fonction de la féquence pemet de localise le lieu de éflexion. Les féquences de ésonance en demi-longueu d'onde ( = (k c)/(2 L); k =, ) valent à l'amont et 7 Hz (à compae à 45, 5 et 60 Hz su les spectes). à l'aval Hz (à compae à et 50 Hz). En éalité. c'est l'ensemble du cicuit qui paticipe à la ésonance hydaulique. même si cetaines paties sont beaucoup plus sensibles que d'autes à cetaines féquences. De plus les coefficients de éflexion des singu laités du cicuit peuvent vaie avec la féquence. ce qui complique l'analyse en demi-longueu d'onde pou laquelle on choisissait fofaitaiement un coefficient de éflexion égal à l'unité. La mise en œuve de la méthode des matices de tansfet pou l'ensemble du cicuit pemet d'obteni les féquences pou lesquelles l'énegie acoustique émise pa la vanne pésente une amplification maximum (figues 2, 22, page suiv.). Dans le cas non cavitant. on obseve en entée et en sotie de vanne sensiblement les mêmes pics aux féquences 22, , 80. une aie tès impotante à 86 Hz. de l'énegie épatie à 35 et 45 Hz. à nouveau des pics au-delà de 80 Hz. Pa appot aux ésultats expéimentaux. on etouve bien 22, 33 et 85 Hz dont on peut affime qu'il s'agit bien de féquences popes de cicuit. Il est pobable également que l'énegie disponible. juste en-dessous de la féquence de passage des aubes (50 Hz) contibue à amplifie cette aie. d'autant que l'on emaque su cetains autospectes de pession la pésence d'un pic au flanc gauche du 50 Hz. Dans le cas cavitant (qui au plan de la méthode mise en œuve ne se distingue du pécédent que pa la pise en compte du changement de céléité des ondes au passage de la vanne). on elève en entée les aies énegétiques suivantes: , Hz et quelques féquences encoe au-delà. En sotie on etouve exactement ces mêmes féquences. ce qui semble ête en contadiction avec le ésultat expéimental. En fait. c'est que la méthode de calcul employée ne patage pas le cicuit en deux paties «étanches» au niveau de la vanne. comme c'est le cas en éalité. de sote que les féquences d'entée, filtées en sotie (et écipoquement). se etouvent de fait de pat et d'aute dans le calcul. On popose alos de compae 40, 22 et 62 Hz à 45, 5-25 et 60 Hz pou l'amont; 3, 25 et 65 à et 50 pou l'aval mais il faut bien admette que la epésentation adoptée pou la vanne cavitante s'avèe insuffisante pou ende compte des phénomènes mesués. Cas 3: Dans le toisième exemple mentionné en intoduction, l'analyse théoique monte que les féquences de ésonance hydaulique dépendent de l'ensemble des éléments du cicuit et que l'effet capacitif dû aux défomations du cops de pompe est un teme qu'il impote de pende en compte. Les aticles des éféences [] et [2] founissent les pincipaux éléments de l'étude. LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

10 260 B. DESMET, F. TEPHA Y, J.L. TROLLE, UANNE NON CAU. - ENTREE - R +'25E+0f AMPLITUDE ' ""' UANNE NON CAU. - SORTIE - Rll AMPLITUDE ::.:.:-..::-=-...::.= ,!.L/S..H--A.L"===' '~J==:~~'-,.~~~~ UANNE NON CAU. - ENTREE - R2 AMPLITUDE +.50E :-::.::..~:.=-=---- UANNE NON CAU. - SORTIE - R2 AMPLITUDE +.50E i lâ Al i ljvl Al- 2. Vanne non cauitante : ésultats théoiques. UANNE CAVIT. - ENTREE - Rll.. '''.,~ AMPLITUDE VANNE CAVIT - SORTIE - Rll +.0E+0 AMPLITUDE VANNE CAVIT. - ENTREE - R2.."'.,~ AMPLITUDE VANNE CAVIT. - SORTIE- R2 AMPLITUDE +.20E+0~ i 22. Vanne cauitante : ésultats théoiques. On etienda notamment que plus le teme capacitif intoduit dans les coefficients de la matice de tansfet de la pompe est impotant, plus les féquences natuelles du cicuit diminuent et plus des écats impotants appaaissent ente l'aspiation et le efoulement de la pompe. Si le calcul pemet de pédie coectement les 2 pemièes féquences natuelles, en evanche un glissement appaaît pou les féquences plus élevées. LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

11 INTERACTION D'UNE POMPE ET D'UN CIRCUIT Conclusion La méthode des matices de tansfet conduit à des ésultats convenables pou l'étude des inteactions machine-cicuit dans le domaine des basses féquences. Des modèles théoiques de matices de tansfet sont disponibles pou les éléments hydauliques simples mais les ésultats expéimentaux estent indispensables pou caactéise les éléments complexes (vannes, pompes...). Pou ces élémentscomplexes la validité de la epésentation pa une matice de tansfet et un vecteu d'excitation n'est pas cetaine ca il est possible que les fluctuations qui s'établissent et qui dépendent du cicuit aient une action su la souce. L'analyse de la linéaité du compotement des éléments complexes peut ête envisagée en utilisant des techniques écentes du taitement du signal (tansfomée de Hilbet pa exemple). Bibliogaphie [] DE5MET B. - Pessue Fluctuations Analysis at the Inlet of a Small Centifugai Pump, IAHR Wok Coup on the Behaviou of Hydaulic Machiney Unde Steady Oscillatoy Conditions, 2nd Meeting, Mexico, 8-20 Septembe 986, 0/-0/2. [2] DEsMET B., BARRAND J.P. - Analyse des fluctuations de pession à l'aspiation et au efoulement d'une pompe centifuge, IAHR, 3< Symposium, Montéal (CAN.), 2-5 Septembe 986, Vol. l, 8/-8/4...[3] JAEGER C. - Fluid Tansients in Hydo-Electic Engineeing Pactice, Blackie, 977. [4] WILIE E.B., STREETER V.L_ - Fluid Tansients, Mc Gaw-Hill, 978. [5] CHAUDHRY M.H. - Applied Hydaulic Tansients, Van Nostand Reinhold Compagny, 979. [6] STECKI J.S., DAVIS D.C. - Fluid Tansmission lines distibuted paamete models. Pat : a eview of the state of the at. Poceedings of the Institution of Mechanical Enginees, Vol. 200, no A4, 986, [7] FANELLI M. - Nota sulla fonnula della celeità pe onde di molto vaio in condotte defonnabili, non publié, 978. [8] CANTRELL R.H., HART R.W. - Inteaction between Sound and Flow in Acoustic Cavities: Mass, Momentum and Enegy Consideations, Jounal of the Acoustical Society of Ameica, 6 (4), Avil 964, [9] MORFEY C.L. - Acoustic Enegy in Non Unifom Flows, Jounal of Sound and Vibations, 4 (2), 97, [0] MUNDRO D.H., INGARD K.U. - On Acoustic Intensity Measuements in the Pesence of Mean Flow, Jounal of the Acoustical Society of Ameica, 65 (6), Juin 979, [] JACOBSEN F. - Measuement of Sound Intensity in the Pesence of Ai Flow, 2< Congès Intenational su l'in tensimétie Acoustique, CETIM, SENLIS (Fance), Septembe 985, [2] BADIE-CASSAGNET A., BOCKOFF, LAMBRET J.M. - Application de l'intensimétie acoustique à l'identification des souces de pulsation de pession dans des cicuits, Jounée d'etude «Hydaulique et Buit», SHF - CALF, Pais, 5 décembe 98, [3] DORDAN J.J., MARCHETTI M. - Matices de tansfet. de systèmes hydauliques. Etude théoique et expéimentale, La Recheche Aéospatiale, no 974-, Janv. Fév., Monsieu B. Desmet ENSAM 8, bld Louis XIV Lille Cedex Tél. : :00 Adesses des auteus Monsieu F. Tephany EDF-DER 6, quai Watie Chatou Tél. : Monsieu J.L. Tolle EDF-DER 25, allée Pivée Saint-Denis Tél. : LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988

12 ANNEXE: Tableau des matices de tansfet usuelles N 0 N <bd ~ (section AI ~ o L 0 A. -qv _8 L= i. j R=~ if v 9QA2" g;;;: 9 A (= -c- HA) = chll Zc Shllll)[HB] ( 0A li- shllll chllll OB.J ~ ~8 S [::]=[: S?)l::) Mod~lisation d~ ~ pompe La pompe est généalement epésentée comme un élément de tansmission auquel on supepose un généateu de fluctuations HI] [Pli P 2 ] [H 2 ] [II H I J [ QI P P 2 22 Q2 + liqi ;> ::t o C m c:l ;> Z ") ::t m "- ~... "- f" "'" avec 2 =iw({iwl<rl i Zc =- CW Matice de tansfet d'une conduite de section constante. D : diamète intéieu A = n D2 / 4 : section l longueu ~ : débit moyen g gavité ~ : coefficient de pete de chage unitaie coefficient de pete de chage singulièe Matice de i 2 =- ) NOTATIONS Matice de tansfet d'une pete de chage singulièe. H : pession (en hauteu de fluide) Q : débit-volume w 2 n f : pulsation (f : féquence) c : céléité du son R : ésistance L : inductance C : capacité Zc: impédance caactéistique [::] -l-;:: :][::J tansfet d'un accumulateu à bulle Pa invesion de où [~:J = HI QI p Il [ P 2 IIH 2 cette elation on obtient P I2 ]-I[H I ] + [/lh 2 ] P 22 QI bq2 dét [PJ ( - P 22 li H I + P I2 l.qi) IQ2 = dét [PJ (P 2 t. H I - PlI lqi) Le modèle de matice de tansfet le plus simple employé pou la pompe consiste à epésente la tubomachine pa une longueu équivalente de conduite (SANa). On peut complique le modèle en intoduisant les effets capacitifs dûs à la compessibilité du fluide et aux défomations du cops de pompe (FANELLI). Alos: wc Zp I-(iw)4--- w C Zp I+(iw)4--- (iw) C w C Zp I+(iw)--z;- Zp w C Zp +(iwj--z,-- w C Zp I-(iw) --4- w C Zp +(iw)-, ~ H 2 Q2 ~ o m Vl ~.~ :n -l m "C ::t ;> Z.-< '-0 -l i'" o m V o Po n NOTATlONS volume de la masse M de gaz empisonné pession moyenne du gaz exposant de la tansfomation P' lytopique Où ~= ~g et Zp = dh/dqv est la pente de la caacéistique au point de fonctionnement de la machine. Le teme capacitif s'expime pa: C = V/K + dv/dp où V est le volume du cops de pompe et K le coefficient de compessibilité volumique du fluide.

13 INTERACTION D'UNE POMPE ET D'UN CIRCUIT 263 Discussion Pésident: M. G. CAILLOT M. le Pésident. - Meci M. DESMET pou cet intéessant exposé. J'ai la question suivante à vous pose: dans tout cicuit hydaulique, il y a des coudes. Quel est vote avis su la validité de la théoie des ondes planes dans ces zones coudées? M. DESMET. - Question intéessante à laquelle il est difficile de éponde. Dans ce cas le champ des vitesses moyennes n'est plus du tout unidimensionnel. Le poblème est de savoi si pou les fluctuations ce caactèe fotement tidimensionnel s'obseve également... On ne dispose pas pou l'instant de mesues qui pemettent de éponde ni dans un sens ni dans l'aute. Mais si l'on intoduit une singulaité faible ou mème une singulaité elativement impotante, telle qu'une vanne - et les ésultats donnés pa les essais éalisés su la boucle d'edf le confiment - on a une matice de tansfet pou le tonçon epésenté qui diffèe tès peu de la matice de tansfet pou une conduite ectiligne. Il semble que l'influence de cette singulaité, au moins dans le domaine des basses féquences, este elativement peu impotante. M. FABRI. - Je ne suis pas hydaulicien, je suis mécanicien des fluides; j'auais aimé éponde à la question de M. CAILLOT de façon un peu difféente. Il est cetain que dans le coude popement dit, l'écoulement n'est pas unidimensionnel. Mais si l'on emaque que l'étendue longitudinale d'un coude est petite devant celle des tonçons ectilignes du cicuit, à faible distance en amont et en aval du coude l'écoulement edevient quasi-unidimensionnel, et la théoie des ondes planes este valable avec l'hypothèse d'un coude epésenté pa une discontinuité des paamètes hydauliques. M. DESMET. - C'est ce que confiment les ésultats expéimentaux. M. ORDONNEAU. - Je n'ai pas fait d'expéiences su les systèmes hydauliques, mais j'auais voulu connaîte les types de débit-mètes que vous employez pou détemine les matices de tansfet. M. DESMET. - En généal il n'y a pas de mesues de débit instantané éalisées. On fait des mesues de pession à l'amont et à l'aval de l'élément à étudie, et à pati de ces mesues on est capable de econstitue la loi de pession, et en utilisant un modèle undimensionnel on peut eveni aux fluctuations de vitesse: c'est en généal la technique adoptée. Il en va de mème pou les mesues de vitesse de popagation. On considèe que la demi-somme des fonctions de tansfet coespond à une fonction éelle qui doit ête une sinusoïde; et la péiode de cette sinusoïde dépend de la vitesse de popagation, ce qui fait qu'on peut emonte à la vitesse de popagation. M. LEFEBVRE. - Etes-vous pleinement satisfait de la boucle Sésame? Quelles seaient les amélioations possibles? M. DESMET. - Pou l'instant, on n'a pas touvé de défauts qui la emettent en cause; mais on notea qu'on est en milieu fotement évebéant, ce qui peut pou des mesues d'énegie des fluctuations pose cetains poblèmes. Dans cetains cas, il seait intéessant de éduie le taux d'ondes stationnaies pa utilisation de teminaisons anéchoïques, pou évite qu'il y ait top de évebéation. Si l'on a un coefficient de éflexion égal à, on peut avoi des niveaux de fluctuations impotants, entetenus avec une énegie quasiment nulle. M. TOURRET. - Quelle modélisation peut-on faie d'une pompe centifuge dans le système de matices de tansfet? Quelles sont les conditions d'extémités que vous avez pises pou les deux pompes centifuges? M. DESMET. - Dans le modèle, les pompes n'inteviennent pas pace qu'elles sont en dehos du système étudié. La pompe n'est pas epésentée dans le modèle. M. TOURRET. - Et si vous deviez la epésente? M. DESMET. - Dans la matice de tansfet d'une pompe, une chose intevient déjà: c'est la pente de la caactéistique de la pompe au point de fonctionnement. Avec des modèles un peu évolués on peut faie inteveni les effets capacitifs de la pompe teme av/ap ainsi que le teme en av/aq. Mais ce qui manque encoe, ce sont les confimations expéimentales de ces modèles, On pouait aussi envisage de epésente la pompe pa des matices de tansfet élémentaies, avoi un modèle pou epésente la zone d'aspiation, un aute modèle pou epésente la oue, un aute modèle encoe pou epésente le diffuseu, et pogessivement de poche en poche, on epésenteait ainsi l'ensemble de la machine. M. TOURRET. - M. BERNARD a fait au CETIM des expéiences su les coefficients de éflexion des coudes et de convegents ou divegents pemettant des accodements de sections. Il appaaît qu'un coude de tès gand ayon possède un coefficient de éflexion beaucoup plus faible dans le domaine «moyennes et basses féquences» que les valeus obtenùes pou un étécissement de section extêmement pogessif pou lequel la éflexion est tès impotante. D'ailleus, ente un étécissement busque et un étécissement pogessif, la difféence est patiquement nulle dans les basses féquences. M. le Pésident. - Meci Messieus. LA HOUILLE BLANCHE/N 3/4-988