FONCTION DU SECOND DEGRE

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1 FONCTION DU SECOND DEGRE I) Les fonctions du second degré 1. Définition Définition : Les fonctions du second degré sont les fonctions définies sur par : f : x ax² + bx + c avec a, b et c. Exemples : Les fonctions suivantes sont-elles des polynômes du second degré et si oui donner les valeurs de a, b et c 1. f(x) = x² 2. f(x) = 4x² + 5x 7 3. f(x) = 4(x 2)² f(x) = 2(x + 1)(x 3) 5. f(x) = (x + 1) 3 x 3 6. f(x) = x x² Ex p Les différentes formes Propriétés : Les fonctions polynômes du second degré peuvent avoir plusieurs formes Forme développer : f(x) = ax² + bx + c Forme factoriser (pas toujours possible) : f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Forme canonique : f(x) = a(x α)² + β Démonstration : f(x) = ax² + bx + c = a x² + b a x + c a car a 0 = a b² 4a² + c a = a x + b b 4ac 4a = a (x α)² + β en posant α = b b 4ac et β = 4a f(x) = a (x α) β = a (x 2 αx + α²) β = a x 2αa x + a α β = a x² + bx +c en posant b = 2αa et c = aα β f(x) = ax² + bx + c = a b² 4a² + c a = a b 4ac = a Page 1 sur 5

2 = a ² si 0 = a x + b x + b + = a (x x 1 )(x x 2 ) en posant x 1 = b + et x 2 = b f(x) = a (x x 1 )(x x 2 ) = a x (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 en posant b = x 1 + x 2 et c = x 1 x 2 Exemples : 1. Déterminer la forme canonique à partir de la forme développée : f(x) = 2x 2x + 2 a. Méthode de la démonstration f(x) = 2 (x x + 1) = = 2 2 ² = 2 x 1 2 ² b. Méthode d identification avec la forme que l on souhaite f(x) = 2x 2x + 2 Or on veut que f(x) = 2( x α)² + β = 2 x 4α x + 2α² + β après développement Donc 4α = 2 2α² + β = 2 donc α = 1 2 β = 2 2α² = = 3 2 c. En utilisant la formule f(x) = a f(x) = 2x 2x + 2 donc a = 2, b = - 2 et c = 2 Or = b 4ac = 12, b = 2 4 = 1 2 et 4a² =16 Donc f(x) = 2 2 ² = 2 2 ² = 2 x 1 2 ² Déterminer la forme factorisée à partir de la forme canonique f(x) = 2(x 1) 4 = 2 [(x 1) 2 ] = 2 ( x 1 2 )( x ) 3. Déterminer la forme factorisée à partir de la forme développée : Passer par la forme canonique f(x) = 2x 4x 2 = 2(x 1) 4 = 2 ( x 1 2 )( x ) Ex : 31 à 34 p Page 2 sur 5

3 II) Variation et courbe représentative Voir le cours de 2 nde Ex : p 35 III) Equations et inéquations du second degré Définition : On appelle racine du polynôme f, les réels vérifiant l équation : f(x) = 0 1. Racines d un polynôme Activité TICE 1 paraboles et équations Odysée p 35 f(x) = ax² + bx + c = a b 4ac = a en posant = b 4ac Trois cas possibles Si = 0 alors f(x) = a x + b ² est déjà factorisée Donc résoudre f(x) = 0 a x + b ² = 0 x + b ² = 0 car a 0 x = b Si > 0 alors f(x) = a x + b x + b + d après la démonstration des différentes formes f(x) = 0 a x + b x + b + = 0 x + b = 0 ou x + b + = 0 car a 0 x = b + ou x = b Si < 0 f(x) = 0 a = 0 Impossible car ² = 4a² < 0 et un carré ne peut pas être négatif. 4a² car a 0 Page 3 sur 5

4 Théorème : On note f(x) = ax² + bx +c un polynôme du second degré et = b 4ac son discriminant Si = 0 alors le polynôme admet une unique racine x 0 = b et f(x) = a (x x 0 )² Si > 0 alors le polynôme admet deux racines réelles distinctes x 1 = b Si < 0 alors le polynôme n admet pas de racines réelles ou x 2 = b + et f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Ex : 35 à à 47 p 36 Ex : 66 p 39 (logique) Algorithme : exo p Tableau de signes Soit f(x) = ax² + bx +c et = b 4ac Trois cas de figure Si = 0 alors f(x) = a x + b ² Or x x + b ² 0 sur donc le signe de f(x) ne dépend que du signe de a b f(x) Signe de a 0 Signe de a + Si > 0 alors f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) avec x 1 < x 2 x x 1 x 2 + (x x 1 ) (x x 2 ) 0 + a Signe de a Signe de a Signe de a f(x) Signe de a 0 Signe opposé de a 0 Signe de a Si < 0 alors f(x) = a est du signe de a et ne s annule pas sur. Page 4 sur 5

5 Théorème : On note f(x) = ax² + bx + c un polynôme du second degré et = b 4ac. Si = 0 alors f(x) s annule en b et est du signe de a Si > 0 alors f(x) est du signe de a à l extérieur des racines et du signe de a à l intérieur Si < 0 alors f(x) est du signe de a Ex 48 à à 56 p 37 Ex 67 p 39 (logique) 3. Equations se ramenant à trouver les racines d un polynôme du second degré. Résoudre dans l équation 2x 4 + 2x 24 = 0 Cette équation est de la forme ax 4 + bx² + c = 0 est appelé équation bicarrée Posons t = x² Résoudre dans l équation 1 x² + 4 x 5 = 0 Posons t = 1 x Posons t = x Résoudre sur + l équation x x 12 = 0 Ex : 96 à 98 p 42 Ex : p TICE : ex 62 p 38 ALGO: ex 65 p 39 DM : ex 101 p 42 (TICE) et 104 p 43 Page 5 sur 5