Concours National Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs ou Assimilées

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1 ROYAUME DU MAROC Minisère de l Éducaion Naionale, de l Enseignemen Supérieur, de la Formaion des Cadres e de la Recherche Scienifique Présidence du Concours Naional Commun 26 École Mohammadia d Ingénieurs EMI Concours Naional Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs ou Assimilées Session 26 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Durée 4 heures Filière TSI Cee épreuve compore 4 pages au forma A4, en plus de cee page de garde L usage de la calcularice es inerdi

2 L énoncé de cee épreuve, pariculière aux candidas du concours TSI, compore 4 pages. L usage de la calcularice es inerdi. Les candidas son informés que la précision des raisonnemens ainsi que le soin apporé à la rédacion seron des élémens pris en compe dans la noaion. Les candidas pourron admere e uiliser le résula d une quesion non résolue s ils l indiquen clairemen sur la copie. Il convien en pariculier de rappeler avec précision les références des quesions abordées. Si, au cours de l épreuve, un candida repère ce qui peu lui sembler êre une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie e poursui sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu il es amené à prendre. EXERCICE. Soi h : R 2 R une foncion de classe C sur R 2 ; monrer que h = si e seulemen v s il exise une foncion h de classe C sur R elle que, pour ou couple (u, v) de R 2, h(u, v) = h (u). 2. Soi Φ : (u, v) (ue v, e v ) une foncion définie sur R 2. (a) Monrer que Φ es une foncion de classe C sur R 2, e qu elle réalise une bijecion de R 2 sur Ω = R ], + [. (b) Pour ou (x, y) Ω, exprimer Φ (x, y) e jusifier que Φ es de classe C sur Ω. 3. Soi f : Ω R une foncion de classe C sur Ω elle que x f f (x, y) y (x, y) =. On pose f = f Φ. (a) Jusifier que la foncion f es de classe C sur R 2 e calculer les dérivées parielles premières f f e u v de f. (b) En déduire la forme de la foncion f puis donner celle de f. 4. Soi f : Ω R une foncion de classe C sur Ω elle que x f f (x, y) y (x, y) = ax + by, où a e b son des réels. (a) Trouver une foncion g, linéaire de R 2 dans R, vérifian (x, y) R 2, x g g (x, y) y (x, y) = ax + by, (b) En déduire qu il exise une foncion F de classe C sur R elle que f(x, y) = F (xy) + ax by. Épreuve de Mahémaiques I / 4 Tournez la page S.V.P.

3 EXERCICE 2. On considère la foncion f : R R, paire, 2π-périodique e définie pour x [, π] par f(x) = x 2. (a) Déerminer les coefficiens de Fourier de f. (b) Déerminer, en énonçan le héorème uilisé, les sommes des série n n 4. (c) Déerminer, en énonçan le héorème uilisé, la somme de la série n ( ) n n 2 e n n (a) Monrer que la foncion l inervalle ], ]. ln( + ) possède une inégrale convergene sur (b) Monrer que, pour ou x [, ], la série ( ) n es convergene e préciser sa n + n somme. (c) Pour ou (n, x) N [, ], on pose u n (x) = + k=n+ u n (x) n + 2. (d) Jusifier que, pour ou n N, u n es coninue sur [, ] e que (e) En déduire que ln( + ) d = + n= xn xk ( ) k. Monrer que k + u n () d n + 2. ( ) n e donner la valeur de cee inégrale. (n + ) 2 PROBLÈME Définiions e noaions Dans ce problème, E désigne le R -espace vecoriel des applicaions coninues de R + dans R, e E 2 le sous ensemble de E formé des applicaions don le carré possède une inégrale convergene sur R +. À oue foncion f E on associe la foncion, noée ψ(f), définie sur R + par ψ(f)() = f() e x >, ψ(f)(x) = x f() d. Si Φ es un endomorphisme de E, on di que λ R es une valeur propre de Φ s il exise f E el que Φ(f) = λf e f ; dans ce cas, on di que f es un veceur propre de Φ associé à λ e Ker (Φ λid E ) s appelle alors le sous-espace propre de Φ associé à la valeur propre λ. Première parie. Soi f un élémen de E ; on noe g la foncion définie sur R + par x, g(x) = f() d. Jusifier que g es de classe C sur R + e que la foncion ψ(f) es un élémen de E. Épreuve de Mahémaiques I 2 / 4

4 2. Monrer que si f es posiive alors, ψ( f) ψ(f) ; dans quel cas y a -il égalié? 3. (a) Monrer que ψ es un endomorphisme de l espace vecoriel E. (b) Monrer que ψ es injecif. (c) Monrer que ψ n es pas surjecif. 4. Soi λ un réel non nul. (a) Déerminer les applicaions f de ], + [ dans R dérivables e vérifian x >, λxf (x) + (λ )f(x) =. (b) Pour quelles valeurs du réel λ ces applicaions son-elles prolongeables à droie en? 5. (a) Es-ce que es valeur propre de ψ? (b) Monrer que si f E es un veceur propre de ψ associé à une valeur propre µ alors f es une foncion dérivable sur ], + [. (c) Déerminer l ensemble des valeurs propres de ψ e préciser pour chacune d elles le sousespace propre associé. Deuxième Parie. (a) Monrer que si f e g son deux élémens de E 2, leur produi fg possède une inégrale absolumen convergene sur R +. (b) Monrer alors que E 2 es un sous-espace vecoriel de E. (c) Monrer que l applicaion (f, g) + f()g() d es un produi scalaire sur E 2. Dans la suie, ce produi scalaire se noera (..) e. désignera la norme associée. 2. Soi f un élémen de E 2 ; on noe oujours g la foncion définie sur R + par x, g(x) = f() d. (a) Calculer la limie en + de la foncion g2 (). (b) Monrer que, pour ou réel b >, la foncion g2 () 2 convergene sur ], b] e que possède une inégrale ψ(f) 2 () d = ( on pourra faire une inégraion par parie) (c) En déduire que, pour ou réel b >, g 2 () 2 d = bψ(f) 2 (b) + 2 ( ) ( ψ(f) 2 () d 2 f 2 2 b ) () d ψ(f) 2 2 () d. (d) Conclure que ψ(f) E 2 e que ψ(f) 2 f. 3. Soi f un élémen de E 2. f()ψ(f)() d. () Épreuve de Mahémaiques I 3 / 4 Tournez la page S.V.P.

5 (a) En uilisan la formule () monrer que la foncion x xψ(f) 2 (x) end vers lorsque x end vers +. (b) Monrer alors que (ψ(f) ψ(f)) = 2(f ψ(f)). 4. Soi f E 2 une foncion elle que ψ(f) 2 = 2 f 2. Calculer ψ(f) 2f 2 e monrer que f es la foncion nulle. 5. On considère la foncion f définie sur R + par f(x) =, x. x + (a) Calculer ψ(f)(x) pour ou x. (b) Vérifier que f E 2 e monrer que (f ψ(f)) = (c) Trouver une primiive de la foncion ln( + ) ( ln( + ) ln ) d. + + ln puis calculer ψ(f). + FIN DE L ÉPREUVE Épreuve de Mahémaiques I 4 / 4 FIN

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