1ère BI NM [J. GIOVENDO] MATHEMATIQUES NIVEAU MOYEN EPREUVE N 2 BAC BLANC, Février min CORRIGE. Nom : INSTRUCTIONS DESTINEES AUX CANDIDATS

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1 ère BI NM [J. GIOVENDO] MATHEMATIQUES NIVEAU MOYEN EPREUVE N 2 BAC BLANC, Février min Nom : CORRIGE INSTRUCTIONS DESTINEES AUX CANDIDATS Ecrivez votre nom dans la case ci-dessus. N ouvrez pas cette épreuve avant d y être autorisé(e). Une calculatrice graphique est nécessaire pour cette épreuve. Section A - Répondez à toutes les questions de la section A dans les espaces prévus à cet effet. Section B - Répondez à toutes les questions de la section B sur les feuilles qui vous ont été distribuées. Ecrivez votre nom sur chacune d elles et numérotez-les. Sauf indication contraire dans l intitulé de la question, toutes les réponses numériques devront être exactes ou correctes à trois chiffres significatifs près. Ce sujet comporte 0 pages

2 2 SECTION A [45 points] Le total des points ne sera pas nécessairement attribué pour une réponse correcte si le raisonnement n a pas été indiqué. Les réponses doivent être appuyées par un raisonnement et/ou des explications adéquat. Lorsque la réponse est fausse, certains points peuvent être attribués si la méthode utilisée est correcte, pour autant que le raisonnement soit indiqué par écrit. On vous recommande donc de montrer tout votre raisonnement. Si cela est nécessaire, vous pouvez poursuivre votre raisonnement en dessous des lignes.. [Note maximale : 6 points] Dans un repère orthonormé, on considère la parabole (P) d équation 2 et la droite (l) d équation 3. a. Trouver les coordonnées des points d intersection de (P) et (l). b. Trouver les solutions de l inéquation : 2 3. a. On peut utiliser soit la calculatrice soit faire un calcul. On résout : 2 3 qui admet pour solutions les couples ; 2 et ( ;4). Ces couples sont les coordonnées des points d intersection. b. L inéquation équivaut à, c'est-à-dire. 2. [Note maximale : 5 points] Résoudre l équation : cos 0.25, La touche cos - de la calculatrice donne la valeur de qui est entre 0 et 80. Entre 80 et 80, peut donc être égal à 04 ou -04 (avec 3 c.s.) 3. [Note maximale : 6 points] Soit la fonction. a. Déterminer le domaine de. b. La courbe de possède deux asymptotes : trouver leurs équations. a. On doit avoir 9 0, c'est-à-dire 3 3. b. Il faut utiliser la calculatrice graphique.

3 3 Les asymptotes verticales d équation 3 et 3 apparaissent facilement. 4. [Note maximale : 6 points] a. Représenter dans le cadre ci-dessous la fonction. b. Représenter dans le même cadre la fonction 2. c. La courbe de possède une asymptote horizontale : écrire son équation. On trace la courbe de 2 qui s obtient à partir de celle de par affinité parallèlement à l axe des et de rapport /2. On obtient courbe de à partir de celle de par translation de vecteur 0. Asymptote à la courbe de :

4 4 5. [Note maximale : 8 points] La figure ci-dessous montre un cercle de rayon 5 cm et de centre O. Les points A et B sont sur le cercle et l angle mesure 0.8 rad. Le point N est sur [OB] et tel que (AN) est perpendiculaire à (OB). Trouver l aire de la région hachurée. A 5 cm O 0.8 N B Aire du secteur circulaire Aire du triangle : sin Or cos 0.8 D où l aire du triangle : L aire cherchée est donc : 3.75 (avec 3 c.s.) 2 cos 0.8 sin

5 5 6. [Note maximale : 8 points] Un triangle a des côtés de 4, 5 et 7 unités. a. Trouver la mesure, au dixième de degré près, de son plus grand angle. [5 pt] b. Trouver l aire de ce triangle. a. D après la loi des cosinus, l angle formé par les côtés de longueurs 4 et 5 vérifie : cos Avec la calculatrice, on obtient pour la valeur 0.5, qui est la mesure d un angle obtus : c est nécessaire le plus grand angle du triangle. b. L aire vaut alors : 4 5 sin [Note maximale : 6 points] Pour, la courbe d équation sin coupe la droite d équation en deux points. Donner les abscisses de ces points d intersection en utilisant si besoin le réel. On sait que sin sin Les abscisses de A et B sont respectivement et

6 6 SECTION B [45 points] Veuillez répondre à chaque question sur une nouvelle page. Le total des points ne sera pas nécessairement attribué pour une réponse correcte si le raisonnement n a pas été indiqué. Les réponses doivent être appuyées par un raisonnement et/ou des explications. Lorsque la réponse est fausse, certains points peuvent être attribués si la méthode utilisée est correcte, pour autant que le raisonnement soit indiqué par écrit. On vous recommande donc démontrer tout votre raisonnement. 8. [ Note maximum : 5 ] Le diagramme ci-dessous montre les quatre premiers carrés d une suite de carrés dont les dimensions sont à chaque fois divisées par 2. L aire du carré A, dans le diagramme, est. A A B Diagram Diagram 2 A A B B C C Diagram 3 Diagram 4 (i) (a) Trouver l aire des carrés B et C. Aire de A = ; Aire de B = ; Aire de C = Remarque : lorsque les dimensions d une figure dont multipliées par, son aire est multipliée par. (b) Montrer que l aire des carrés A, B et C sont en progression géométrique. Aire de B Aire de C Aire de A Aire de B progression géométrique : cela prouve que les aires des carrés A, B et C sont en

7 7 (c) Ecrire la raison de cette suite. La raison de cette suite est (ii) (a) Trouver l aire totale coloriée sur le diagramme 3. Il suffit de calculer : (b) Trouver l aire totale qui serait coloriée sur le 8 e diagramme de cette suite. Donner la réponse avec 6 chiffres significatifs. Il suffit de calculer : (iii) On continue ce processus de division et de coloriage indéfiniment. Trouver l aire totale coloriée. Cette some infinie vaut, puisque : 4 3 4

8 8 9. [Note maximum : 20 points] Dans le repère orthonormé ci-dessous, B a pour coordonnées (2 ;2) ; le point A est sur la droite d équation 5 et son ordonnée est notée. (i) (a) Calculer la distance OB (b) Ecrire une équation de la droite (OB). La pente de la droite (OB) est et elle passe par O : son équation est. (c) Trouver les coordonnées du point d intersection de (OB) avec la droite d équation 5. On résout : 5 Ce système admet pour solution 5; 5. (ii) (a) Exprimer en fonction de les distances BA et OA =25

9 9 (b) Prouver que cos =. D après la loi des cosinus : cos = (c) En déduire la valeur de tel que OBA est un triangle rectangle en B. Le triangle OBA est rectangle en B lorsque cos =90, et donc lorsque : cos = 0, c'est-à-dire. Remarque : Ne pas hésiter à faire un dessin pour vérifier. (iii) On pose. (a) En utilisant des arguments géométriques, expliquer pourquoi l équation possède une solution. Dire que, c est dire que cos et que donc 80. Ainsi, : on obtient lorsque A est aligné avec O et B. (b) Trouver la valeur exacte de cette solution. On a vu que l intersection de (OB) avec la droite d équation 5 avait pour ordonnée 5. La solution cherchée est donc 5.

10 0 0. [Note maximale : 0 points] Le diagramme ci-dessous montre un triangle ABC dans lequel AC =, BC = 6 et 45. Le point D est sur la droite (AB), entre A et B, de sorte que sin. (i) Utiliser le fait que sin45 pour prouver que sin. D après la loi des sinus, sin sin 45 Et donc : sin sin (ii) (a) Ecrire la valeur de L angle est obtus et donc la touche sin - ne donne pas la valeur de cet angle, mais de l angle aigu qui a le même sinus. Ainsi, 80 sin 2 et 66. (b) Calculer l angle (c) Trouver la valeur de la longueur BD. D après la loi des sinus : sin 2 sin 4 D où,69. Remarque : cette exercice traitait de la loi des sinus et du cas ambigu.