R.O.C ( ) Suites. Exponentielle

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1 R.O.C (1-13) Suits Démotrr qu si (u ) t (v ) sot du suits tlls qu : o u st ifériur ou égl à v à prtir d u crti rg ; o u td vrs + qud td vrs + Alors v td vrs + qud td vrs + Soit (u ) t (v ) sot du suits tlls qu u v à prtir du rg t u = + + Soit A u suil rél, comm u = + il ist u rg 1 à prtir duqul o u A + Soit u tir supériur à t 1 lors o ur doc u v t 1 doc u A t isi v u A doc (v ) td bi vrs + qud td vrs + Démotrr qu si u suit st croisst t dmt pour it l, lors tous ls trms d l suit sot ifériurs ou égu à l Pr l bsurd : supposos qu il ist u rg tl qu u > l. Soit t b du réls tls qu : < l < b < u doc ]; b[ st u itrvll ouvrt cott l, u u > l doc il ist ps d rg à prtir duqul o it tous ls trms ds ]; b[ c qui cotrdit l fit qu u covrg vrs l. Doc o put voir d trm supériur strictmt à l. Démotrr qu l suit (q ), vc q > 1, pour it + Prérquis : o sit qu pour tout rél positif o pour tout : (1 + ) 1 + Soit q > 1, o pos = q 1 o doc > t doc pour tout : (1 + ) 1 + doc pour tout : q 1 + comm 1 + = + cr st positif doc pr téorèm d compriso + + q = + Démotrr qu u suit croisst o mjoré pour it + Soit (u ) u suit croisst o mjoré. Soit A u rél, (u ) étt o mjoré il ist u rg tl qu u > A. (u ) étt croisst, u u > A. Cci étt vlbl pour tout rél A l suit st pr défiitio u suit tdt vrs + qud tds vrs + Epotill Démotrr l uicité d u foctio dérivbl sur R, égl à s dérivé t qui vut 1 Soit f t g du foctios dérivbl sur R, égl à lur dérivé rspctiv t vlt 1 Prti 1 : motros qu f put s ulr. Soit () = g()g( ) lors st dérivbl t () = g ()g( ) g()g ( ) = g()g( ) g()g( ) cr g st égl à s dérivé doc () = doc st u foctio costt, or () = g()g( ) = 1 1 = 1 si il istit u ombr ult g lors il ulrit ussi c qui st impossibl doc g s ul jmis. Vu qu ll st cotiu t positiv t qu ll put s ulr ll sr strictmt positiv sur R Prti : motros qu f st costt. g E tt qu quotit d foctio dérivbl t o ulls f g st dérivbl t (f g ) = f g fg g² = fg fg g² D plus f() = 1 doc f st u foctio costt vlt 1 pour tout rél. doc f = g D où l uicité. g() 1 g =

2 Démotrr qu + = + t qu = Soit f l foctio défii sur R pr () =. O ur lors f () = 1 L foctio étt croisst f sr égtiv vt f () = 1 = t positiv près t doc f sr décroisst vt t croisst près. D plus f() = 1 doc sur R + f() > doc > or = + doc pr compriso + + = +. = + = 1 or { doc + = + 1 = + doc = doc = Démotrr qu = + t qu + = Soit f l foctio défii sur R pr () =. O ur lors f () = d près l démostrtio précédt o sit qu f st positiv sur R + doc f st croisst sur ct itrvll. D plus f() = 1 doc sur R + o ur f() > 1 doc + = 1 Itégrtio = + doc pr compriso + = + or { + doc = + = + > doc > doc > or = + doc 1 = doc = Pour ls du dmostrtios o s plcr ds l cott ou F défii sur [ ;b] pr F() = st défii qud f st positiv sur [; b] comm l ir tr l ds bscisss, l courb rprésttiv d f t ls vrticls d équtio coupt l ds bscisss t Démotrr l téorèm : «si u foctio f st cotiu t positiv sur [; b], l foctio F défii sur [ ;b] pr F() = st dérivbl sur [ ;b] t pour dérivé f» ds l cs ou f st croisst. Soit u foctio f st cotiu, positiv t croisst sur [; b], Soit [; b] t u rél o ul tl qu + [; b] ( put êtr positiv ou ps) F( + ) F( ) = + f(t) dt = + f(t) dt + = + ( + ) Si > lors < + b t vu qu f st croisst sur [; b] doc sur [ ; + ], o ur isi: f( ) f(t) f( + ) doc + f( ) dt + + f( + ) dt Doc f( )(( + ) ) + f( + )(( + ) ) + Doc f( ) + f( + ) doc f( ) f(t) Doc f( ) F( +) F( ) f( ( +) + ) dt f( + ) Or f( + + ) = f( F( + ) = f( ) doc +) F( ) = f( + ( +) ) Si < lors + < b t vu qu f st croisst sur [; b] doc sur [ + ; ] o ur isi : f( + ) f(t) f( ) doc f( + ) dt f( ) dt Doc f( + )( ( + )) Doc f( + )( ) doc f( + ) f( )( ( + )) f( )( ) doc f( + ) f( ) + f( )

3 Doc f( + ) F( +) F( ) ( +) f( ) Or f( + ) = f( ) = f( ) doc Aisi : + F( +) F( ) ( +) = F( +) F( ) ( +) = f( ) F( +) F( ) ( +) = f( ) doc F st dérivbl t F ( ) = f( ) Démotrr l téorèm : «si u foctio f st cotiu sur u itrvll I lors ll dmt ds primitivs» ds l cs où I st frmé t boré t f dmt u miimum. O vit d prouvr qu F() = étit u primitiv d f qud f st positiv ds u itrvll [; b] cott. O v motrr qu f ps bsoi d êtr positiv pour voir u itégrl. O s plcr tout fois cor ds u cs prticulir : f st cotiu sur u itrvll I = [; b] t ll dmt u miimum m sur ct itrvll. Sous ss potèss, o défiit l foctio g qui pour tout d I vut g() = f() m doc O sit qu sur I o f() m doc f() m doc l foctio g st positiv, d plus vu qu f st cotiu ll l sr ussi t doc ll dmt u primitiv sur I : G() = g(t) dt E post F() = G() + m o sur I F () = G () + m = g() + m = f() Doc F st u primitiv d f sur I Géométri ds l pc Démotrr l téorèm du toit : «Si u droit d' st prllèl à du pls sécts P1 t P, lors ll st prllèl à lur droit d'itrsctio d.» ou cor «Ou si o du droits prllèls d1 t d, u pl P1 cott d1, u pl P cott d t P1 t P sécts suivt u droit d lors l'itrsctio d ds du pls st prllèl u droits d1 t d.» Pr l bsurd : Supposos qu ls pls sécts t P psst pr ls droits prllèls d1 t d s coupt slo u droit d o prllèl à d1 t d. d t d1 sot du droits du pl P1 t sot ps prllèls doc lls s coupt u poit oté A. C poit étt sur l droit d itrsctio ds du pls P 1 t P il sr ussi sur P. Aisi d 1 st u droit psst pr u poit d P t prllèl à d u droit d c mêm pl, doc ll doit ll ussi êtr sur P doc d 1 st l droit d itrsctio t doc ll st cofodu vc d c qui cotrdit otr suppositio : d st ps prllèl à d 1. Ctt suppositio put doc qu êtr fuss. Coclusio : l droit d itrsctio st prllèl à d 1 t d Svoir crctérisr ls poits d u pl d l spc pr u rltio + b + cz + d = vc, b t c trois réls o tous uls. Mtod d crctéristio : Si o cois ls coordoés d trois poits o ligés, o put déduir ls coordoés d du vcturs o coliéirs du pls. A l id d cs coordoés t d cll d u poit o put = A + u t + v t déduir u sstèm d équtios prmétriqus crctérist l pl.{ = A + u t + v t z = z A + z u t + z v t E trvillt sur du ligs il fut isolr t t t, puis ds l troisièm lig il fut substitur à t t t ls prssios trouvés. O boutit à u u équtios cott plus ls du prmètrs : c st u équtio crtési. Démotrr qu u droit st ortogol tout droit d u pl si t sulmt si ll st ortogol à du droits sécts d c pl.

4 Ss dirct : Si ll st ortogol à touts ls droits du pl ll l sr forcémt pour du d tr lls. Réciproqumt : supposos qu d vctur dirctur st ortogol à du droits d 1 t d du pl d vcturs dircturs rspctifs : u 1 t u. Soit d u droit du pl d vctur dirctur u, lors il ist u uiqu coupl d réls t b tls qu u = u 1 + bu. O ur doc. u =. (u 1 + bu ) =. u 1 + b. u Doc. u = + b cr st ortogol à u 1 t u doc. u = doc st ortogol à d. Coclusio st bi ortogol à tout droit du pl. Probbilités Démotrr qu si du évémts A t B sot idépdts, lors il st d mêm pour A t B. Supposos qu A t B sot idépdts. P(A B) = P(B) P(A B) formul d probbilité ( A t A rélist u prtitio d l uivrs) P(A B) = P(B) P(A)P(B) cr A t B sot idépdts P(A B) = P(B)(1 P(A)) = P(B)P(A ) doc A t B sot idépdts. Démotrr qu l spérc d u loi potill d prmètr λ st 1 λ. Soit X u vribl létoir suivt u loi potill d prmètr λ lors : + E(X) = λ λ t d = d t + λ λ Prmièr prti : gérr l itégrl Vrsio 1 : O put réglr ç rpidmt vc u Itégrtio pr prti sélctiot u() = t v () = λ λ Vrsio : L itégrtio pr prti st ps u progrmm doc voici u métod à l oi qui st bi ds l cdr du progrmm : commt itégrr g() = ( + 1)λ λ? comm o sit ps fir, o put ssr d comprdr c qui s pss qud o dériv, ç ous dor ds idés pour itégrr : g () = λ λ λ λ = (λ λ ) λ doc qud o dériv o cor l mêm form : u foctio ffi multiplié pr λ o put doc supposr qu u primitiv d g sr : G() = ( + b) λ dérivos : G () = λ ( + b)λ λ = ( + λb λ) λ G () + λb = = g() { λ = 1 {b = = 1 λ λ { b = 1 λ = 1 λ isi G() = ( λ + 1 λ ) λ = 1 (1 λ λ) λ st u primitiv d g t doc E(X) = [ 1 (1 λ) + λ λ ] = [ 1 (1 λ) t + λ λ ] Prti : gérr l it E(X) = ( 1 (1 tλ) t + λ λt 1 (1 λ) λ λ ) = ( λt t + λ = ( λt 1 tλ + 1 ) t + λ λ λt λ λt = t + { = doc pr compositio λt = λ t + λ λt = + t + + { doc pr compositio = + t + λt Doc E(X) = ( λt 1 tλ + 1 ) = t + λ λ λt λ λ λt λt tλ + 1 ) λ λ = + doc pr ivrs t produit t 1 t + λ tλ λt = Démotr qu α ]; 1[,! u α >, P( u α X u α ) = 1 α lorsqu X suit l loi orml N(; 1)

5 Pr smétri d l courb d f : u P( u X u) = P( X u) = f()d = G(u) où G st l primitiv d f sur R qui s ul. G st cotiu t strictmt croisst (cr f>) sur ]; + [. D plus G(u) = 1 cr cl corrspod à l ir sous l courb d f sur [; + [ u + D où l tblu d vritio ci-cotr d G. Pour tour rél α d ]; 1[, 1 α sr ussi ds ]; 1[ doc d près l coséquc du téorèm ds vlurs itrmédiirs, il ist u uiqu u α > tl qu : G(u α ) = 1 α doc tl qu c st-à-dir : P( u α X u α ) = 1 α Démotrr qu si l vribl létoir X suit l loi B(; p) lors α ]; 1[,o : P + (X I p(1 p) p(1 p) ) = 1 α vc I = [p u α, p u α ] O sit qu si Z suit u loi N(; 1) pour tout ombr α compris tr t 1 il ist u uiqu ombr u α tl qu : P( u α Z u α ) = 1 α Et doc d près l téorèm d Moivr Lplc o sit qu P ( u α X p p(1 p) P( u α Z u α ) crcos mitt l itrvll d fluctutio cdrt F = X u α) covrg vrs P ( u α X p p(1 p) u α) = P( u α p(1 p) X p u α p(1 p)) = P( u α p(1 p) + p X u α p(1 p) + p) = P ( p u α p(1 p) X p+u α p(1 p) ) = P (p u α p(1 p) F p + u α p(1 p) ) Aisi P (p u α p(1 p) F p + u α p(1 p) ) covrg vrs P( u α Z u α ) = 1 α Estimtio Avc X suit l loi B(; p) o pos F = X pour ssz grd P (p [F 1 ; F + 1 ]),95 O sit qu si 3, p 5 t (1 p) 5 utrmt dit à prtir d u tir lors F = X dmttr comm itrvll d fluctutio u suil d 95% : [p 1,96 p(1 p) ] Soit f l foctio défii sur ]; 1[ pr f(p) = 1,96 p(1 p) o ur doc f (p) = 1,96(1 p) p(1 p) O déduit qu l foctio st croisst jusqu à ½ t décroisst près doc ll culmi ½ pour lqul ll prd l vlur 1,96 qui st plus ptit qu 1 doc p ]; 1[ 1,96 p(1 p) < 1 t doc 1,96 p(1 p) < 1 1 t < 1,96 p(1 p) t doc [p 1,96 p(1 p) ] [p 1 ; p + 1 ] doc,95 P (F [p 1,96 p(1 p) ]) < P (F [p 1 ; p + 1 ]) (iéglité strict cr l iclusio st strict) Coclusio pour, P (F [p 1 ; p + 1 ]) >,95

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