Fiche 11 - Systèmes linéaires et matrices

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1 Systèmes linéaires Fiche 11 - Systèmes linéaires et matrices Exercice 1 Résolution de systèmes linéaires Résoudre les systèmes suivants d inconnues réelles { 7x + 13y = x + 8y = 1 2y 2z + t = 1 x y + z + 2t = 1 2z t = 2 3x + 2y z = 5 x + 2y + 2z = 2 2x 5y + 3z = 4 x + 4y + 6z = 0 2x + y = 2 x + 2y = 1 x + y = 1 Exercice 2 Systèmes linéaires à paramètres Soit k un réel Résoudre les systèmes suivants d inconnues réelles { kx + y = 1 x + ky = 1 { kx + (k 2 ky = k (k + 1x ky = 5k y + z + t = 1 x + z + t = 0 x + y + t = 1 x + y + z = 2 u + w = 1 v + w = 0 u + v = 12 u + 3v = 0 x + y + z 3t = 1 3x + y + z + t = 1 x 3y + z + t = 1 x + y 3z + t = 1 x + y + z + t + u = 1 2x + 3y + z + 2t = 0 3x + 4y 2z + 2u = 1 4x + y z t = 0 2x + y + z = 3 x y + 3z = 8 x + y + 2z = k x + 2y + 2z = 3 Exercice 3 Compatibilité Soient a, b et c trois réels À quelles conditions les systèmes suivants sont-ils compatibles? x + 2y z = 3a 2x 3y + 3z = b x + y 2z = c 4z t = a 3x + y + z + 2t = b y 2z + t = c 2t = d 2x + y + z = a 2x + 13y 7z = b x y + z = c Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh

2 Systèmes linéaires associés à une matrice Exercice 4 Rang d une matrice Déterminer le rang des matrices suivantes Exercice 5 Éléments propres d une matrice Soit A la matrice suivante : A = Déterminer tous les réels λ tels qu il existe un vecteur X R 3 non nul vérifiant Trouver tous les vecteurs X R 3 tels que : (a AX = 0 (b AX = 2X (c AX = 4X Opérations sur les matrices Exercice 6 Somme et produit Soient les matrices suivantes : A = ( 0 2 ( 3, B = AX = λx, C = 3 2 et D = Préciser si les expressions suivantes ont un sens et, si oui, les calculer ( AB BA AD C BC + 4A (B + 2C B + 2C 7 (AB + 3I 2 (BC + 4A 8 (A 4I 2 (2A I 2 9 2A 2 9A + 4I 2 Exercice 7 Parties symétrique et antisymétrique Soit n N et soit M M n (R Montrer qu il existe une unique matrice symétrique S et une unique matrice antisymétrique A telles que M = S + A Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh

3 Exercice 8 Matrices de norme nulle Soit n un entier naturel non nul Soit A une matrice de M n (R Montrer que t AA = 0 A = 0 Calcul de puissances de matrices Exercice 9 Matrices triangulaires supérieures Soient a, b et c trois complexes Calculer la puissance n-ième de chacune des matrices suivantes a b c a b a b a b a Exercice 10 Des petits calculs de puissances Soit n un entier naturel Calculer la puissance n-ième de chacune des matrices suivantes ( Exercice 11 Un partout! Soit n un entier naturel On pose A = ( et J = ( Calculer J n En déduire A n Exercice12 Un polynôme de matrice Soit C = Calculer C 2 4C En déduire que C est inversible Montrer que pour tout entier naturel k, il existe deux réels a k et b k tels que C k = a k C + b k I 3 Lycée Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Kaïchouh

4 Exercice 13 Rotations et suites récurrentes couplées Soit θ un réel On pose Pour tout entier naturel k, calculer R k θ ( cos(θ sin(θ R θ = sin(θ cos(θ Considérons les suites (x n n N et (y n y N définies par : x 0 = 1 y 0 = 1 Expliciter les suites (x n n N et (y n n N n N, x n+1 = cos(θx n sin(θy n n N, y n+1 = sin(θx n + cos(θy n Exercice 14 Puissances d une combinaison linéaire On pose : A = 1 1 1, B = et C = Montrer qu il existe deux réels a et b tels que aa + bb = C Évaluer, pour tout entier naturel n, les matrices A n et B n En déduire la valeur de C n, pour tout entier naturel n Inversibilité Exercice 15 Déterminant Soit a un réel Évaluer le déterminant des matrices suivantes puis dire si elles sont inversibles Si oui, calculer leur inverse ( 0 2 A = ( 3 a B = Exercice 16 Calculs d inverses Déterminer, s il existe, l inverse des matrices suivantes Lycée Pierre-Gilles de Gennes 4 Adriane Kaïchouh

5 ( Exercice17 Avec moins de calcul Soit A = Calculer (A 2I 3 (A 3I 3 En déduire que A est inversible et déterminer son inverse Exercice 18 Condition d inversibilité Soit a un réel Posons 1 a 0 M = 1 1 a 2 1 a Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a pour que la matrice M soit inversible Exercice 19 Les miracles de la diagonalisation Soient A = 1 ( ( et P = Montrer que P est inversible et calculer la matrice B définie par B = P 1 AP Calculer A n, pour tout entier naturel n Exercice 20 Des vertus de la réduction Soient a, b et c des complexes Posons a b c A = b c a et P = c a b Montrer que P est inversible et calculer son inverse Calculer P 1 AP En déduire que si a + b + c = 0, la matrice A n est pas inversible Exercice 21 Matrices proches de l identité Soit n un entier naturel non nul Soit A une matrice carrée de taille n Montrer que, pour tout entier naturel p, on a : p 1 (I n A A k = I n A p Supposons que A n = 0 (on dit alors que A est nilpotente Montrer que la matrice I n A est inversible et déterminer son inverse k=0 Lycée Pierre-Gilles de Gennes 5 Adriane Kaïchouh