PSR : état de l art. Algorithmes exponentiels pour les problèmes de jeux dans les graphes
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- Amélie Tassé
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1 PSR : état de l art Algorithmes exponentiels pour les problèmes de jeux dans les graphes Romain Letourneur Université d Orléans 14 mai 2012
2 2/34 Ma thématique Algorithmique exponentielle ; Problèmes de jeux combinatoires ; Structures de graphes.
3 3/34 Sommaire 1 Différentes approches algorithmiques 2 Complexité 3 Quelques problèmes
4 4/34 Sommaire 1 Différentes approches algorithmiques 2 Complexité 3 Quelques problèmes "We don t stop playing because we grow old; we grow old because we stop playing." George Bernard Shaw
5 5/34 3 étapes Diviser pour régner Diviser le problème en instances plus petites ; Régner appel récursif sur ces sous-problèmes ; Combiner les solutions des sous-problèmes, puis la retourner. problème
6 5/34 3 étapes Diviser pour régner Diviser le problème en instances plus petites ; Régner appel récursif sur ces sous-problèmes ; Combiner les solutions des sous-problèmes, puis la retourner. problème Algo( ) sous-problème sous-problème sous-problème
7 5/34 3 étapes Diviser pour régner Diviser le problème en instances plus petites ; Régner appel récursif sur ces sous-problèmes ; Combiner les solutions des sous-problèmes, puis la retourner. problème Algo( ) Algo( sous-problème ) Algo( sous-problème ) Algo( sous-problème )
8 5/34 Diviser pour régner 3 étapes Diviser le problème en instances plus petites ; Régner appel récursif sur ces sous-problèmes ; Combiner les solutions des sous-problèmes, puis la retourner. Algo( problème ) solution Algo( sous-problème ) Algo( sous-problème ) Algo( sous-problème ) sous solution sous solution sous solution
9 6/34 Deux types de règles Brancher et réduire Réduction simplifier l instance, ou stopper l algorithme ; Branchement appel récursif de l instance. problème Algo( )
10 6/34 Deux types de règles Brancher et réduire Réduction simplifier l instance, ou stopper l algorithme ; Branchement appel récursif de l instance. problème Algo( ) Réduction 1 Réduction 2...
11 6/34 Deux types de règles Brancher et réduire Réduction simplifier l instance, ou stopper l algorithme ; Branchement appel récursif de l instance. problème Algo( ) Réduction 1 Réduction 2... sous-problème sous-problème sous-problème
12 6/34 Brancher et réduire Deux types de règles Réduction simplifier l instance, ou stopper l algorithme ; Branchement appel récursif de l instance. problème Algo( ) Réduction 1 Réduction 2... Réduction 1 Réduction 1 Réduction 1 Algo( sous-problème ) Réduction 2 Algo( sous-problème ) Réduction 2 Algo( sous-problème ) Réduction
13 6/34 Brancher et réduire Deux types de règles Réduction simplifier l instance, ou stopper l algorithme ; Branchement appel récursif de l instance. problème Algo( ) Réduction 1 Réduction 2... Réduction 1 Réduction 1 Réduction 1 Algo( sous-problème ) Réduction 2 Algo( sous-problème ) Réduction 2 Algo( sous-problème ) Réduction
14 6/34 Brancher et réduire Deux types de règles Réduction simplifier l instance, ou stopper l algorithme ; Branchement appel récursif de l instance. problème Algo( ) Réduction 1 Réduction 2 solution... Réduction 1 Réduction 1 Réduction 1 Algo( sous-problème ) Réduction 2 Algo( sous-problème ) Réduction 2 Algo( sous-problème ) Réduction 2 sous sous sous solution solution solution
15 7/34 Programmation Dynamique On ne résout chaque instance qu une fois. On conserve dans une structure de donnée ce qu on calcule. 3 étapes : Définir récursivement la valeur d une solution optimale ; Calculer la valeur d une solution optimale de manière ascendante ; Construire une solution optimale à partir des informations calculées. gain de vitesse, mais augmentation de l espace nécéssaire! pas applicable pour tout problème.
16 8/34 Sommaire 1 Différentes approches algorithmiques 2 Complexité 3 Quelques problèmes "If an ennemy is annoying you by playing well, consider adopting his strategy." Chinese proverb
17 9/34 Théorie de la complexité Problèmes pas tous égaux, en terme de complexité (en temps) ; Comparaison de la vitesse d exécution, indépendamment de la machine ; Exprimer le temps d exécution d un algorithme, en fonction de son entrée.
18 10/34 Machine de Turing : modèle de calcul de référence Une bande infinie ; Une tête de lecture/écriture ; Une table de transitions ; Ancêtre des ordinateurs actuels ; Formalise la notion de complexité.
19 11/34 Notations Représentation du temps d exécution d un algorithme, comme une fonction ; L entrée de la fonction : taille de l entrée ; Sortie de la fonction : temps d exécution. Problème Pas évident de trouver une fonction donnant le temps d exécution d un algorithme. Solution Borner asymptotiquement cette fonction : notions de bornes asymptotiques sur le temps d exécution.
20 11/34 Notations Représentation du temps d exécution d un algorithme, comme une fonction ; L entrée de la fonction : taille de l entrée ; Sortie de la fonction : temps d exécution. Problème Pas évident de trouver une fonction donnant le temps d exécution d un algorithme. Solution Borner asymptotiquement cette fonction : notions de bornes asymptotiques sur le temps d exécution.
21 11/34 Notations Représentation du temps d exécution d un algorithme, comme une fonction ; L entrée de la fonction : taille de l entrée ; Sortie de la fonction : temps d exécution. Problème Pas évident de trouver une fonction donnant le temps d exécution d un algorithme. Solution Borner asymptotiquement cette fonction : notions de bornes asymptotiques sur le temps d exécution.
22 Soit f (n) représentant le temps d exécution d un algorithme, en fonction de son entrée, de taille n 12/34
23 12/34 O f (n) = O(g(n)) c, n 0, f (n) c g(n), n n 0
24 12/34 O Ω f (n) = Ω(g(n)) c, n 0, f (n) c g(n), n n 0
25 12/34 O Θ Ω f (n) = Θ(g(n)) c 1, c 2, n 0, c 1 g(n) f (n) c 2 g(n), n n 0
26 13/34 Différentes classes de complexité P Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing déterministe. NP PSPACE EXPTIME P
27 13/34 Différentes classes de complexité P Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing déterministe. NP Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing non-déterministe. PSPACE EXPTIME NP P
28 13/34 Différentes classes de complexité P Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing déterministe. NP Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing non-déterministe. PSPACE Problèmes résolvables en espace polynomial sur une machine de Turing déterministe. EXPTIME PSPACE NP P
29 13/34 Différentes classes de complexité P Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing déterministe. NP Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing non-déterministe. PSPACE Problèmes résolvables en espace polynomial sur une machine de Turing déterministe. EXPTIME Problèmes résolvables en temps exponentiel sur une machine de Turing déterministe. EXPTIME PSPACE NP P
30 13/34 Différentes classes de complexité P Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing déterministe. NP Problèmes résolvables en temps polynomial, sur une machine de Turing non-déterministe. PSPACE Problèmes résolvables en espace polynomial sur une machine de Turing déterministe. EXPTIME Problèmes résolvables en temps exponentiel sur une machine de Turing déterministe. EXPTIME PSPACE NP P
31 14/34 Analyse de la complexité Nous devons pouvoir calculer, étant donné un algorithme, son temps d exécution en fonction de la taille de son entrée. Plusieurs méthodes existent : Description par récurrences ; Résolution du polynome caractéristique ; Mesurer pour conquérir.
32 15/34 Description par récurrence Utilisées pour les algorithmes de branchement ; Temps d exécution exprimé en tant que récurrence, en fonction de la taille de l entrée ; L analyse de cette récurrence permet d établir des bornes asymptotiques sur la complexité. La récurrence sera de la forme : T (n) T (n n 1) + T (n n 2) + + f (n) T (n n i ) le coût du branchement n i, f (n) le coût de la branche courante (le "calcul" sur l instance de taille n)
33 16/34 Description par récurrence : analyse Nous avons maintenant besoin d outils, afin d analyser ces récurrences. Principalement 2 méthodes : Méthode de substitution ; Méthode de l arbre récursif.
34 17/34 Méthode de substitution Conjecture de l allure de la solution ; On trouve les constantes, et la solution (via une récurrence mathématique).
35 18/34 Méthode de l arbre récursif Utile pour trouver une bonne conjecture ; On utilise ensuite la méthode de substitution ; Analyse de l arbre des appels récursifs de l algorithmes ; On totalise l ensemble des coûts de chaque sous-problèmes.
36 19/34 Polynome caractéristique Soit une récurrence de la forme : T (n) = T (n 1) + T (n 2) + T (n 3) En posant T (k) = C k, on obtient : C n = C n 1 + C n 2 + C n 3 On divise chaque terme de cet équation par C n 3. On obtient donc : C 3 = C 2 + C + 1 On cherche la valeur de C solution de ce polynôme. (ici, C ). On en conclut que la complexité du problème auquel cette récurrence est associée est O (C n ).
37 20/34 Racines du polynome Méthodes mathématiques Polynomes de bas degré. Polynomes de degré quelconque. méthode par discriminant (polynomes de degré 2) ; méthode de Cardan (polynomes de degré 3) ; méthode d Euler (polynomes de degré 4). méthode par analyse de la courbe ; méthode de Newton-Raphson ; méthodes alternatives, selon la forme du polynome. Outils informatiques Sage, logiciel sous licence GPL Maple, logiciel propriétaire
38 21/34 Mesurer pour conquérir Technique récente d analyse ; Idée : ajouter un système de "poids" aux instances du problème, dans l analyse de la récurrences ; Permet d analyser de manière plus précise le coût de l algorithme, et d en conclure une borne plus précise. Exemple : Ensemble Stable Maximum Calcul du temps d exécution d un algorithme simple, espace polynomial : Analyse classique : O ( n ) ; Via mesure and conquer : O ( n ).
39 21/34 Mesurer pour conquérir Technique récente d analyse ; Idée : ajouter un système de "poids" aux instances du problème, dans l analyse de la récurrences ; Permet d analyser de manière plus précise le coût de l algorithme, et d en conclure une borne plus précise. Exemple : Ensemble Stable Maximum Calcul du temps d exécution d un algorithme simple, espace polynomial : Analyse classique : O ( n ) ; Via mesure and conquer : O ( n ).
40 21/34 Mesurer pour conquérir Technique récente d analyse ; Idée : ajouter un système de "poids" aux instances du problème, dans l analyse de la récurrences ; Permet d analyser de manière plus précise le coût de l algorithme, et d en conclure une borne plus précise. Exemple : Ensemble Stable Maximum Calcul du temps d exécution d un algorithme simple, espace polynomial : Analyse classique : O ( n ) ; Via mesure and conquer : O ( n ). Le temps d exécution de l algorithme reste le même, seul change la borne sur ce temps.
41 22/34 Sommaire 1 Différentes approches algorithmiques 2 Complexité 3 Quelques problèmes "There s just one thing I ve got to know. Can you tell me please, who won?" Crosby, Stills and Nash in Wooden Ships
42 23/34 Jeux combinatoires On s intéresse aux jeux satisfaisant les conditions suivantes : Se joue à deux joueurs ; Nombre fini de configurations de jeu possibles ; Les joueurs jouent tour à tour ; Le dernier joueur à pouvoir jouer gagne ; Le jeu se termine après un nombre fini de mouvements.
43 24/34 Nature des problèmes Problèmes PSPACE ; On recherche à déterminer une stratégie gagnante ; Se jouent généralement sur des graphes.
44 25/34 Le jeu de Kayles Se joue sur une structure de graphe ; Jeu à deux joueurs ; Un à un, chacun des deux joueurs vont choisir un sommet de ce graphe ; Qui n a jamais été choisi auparavant ; Dont aucun de ses voisins n ait été choisi ; Les joueurs construisent successivement le stable ; La partie s arrête lorsque le stable est devenu maximal ; Le dernier joueur qui a pu jouer gagne la partie.
45 26/34 Le jeu de Kayles Le graphe est initialement vide...
46 26/34 Le jeu de Kayles Le joueur 1 joue...
47 26/34 Le jeu de Kayles Le joueur 2 joue...
48 26/34 Le jeu de Kayles Le joueur 1 joue...
49 26/34 Le jeu de Kayles Le joueur 2 joue...
50 26/34 Le jeu de Kayles Le joueur 1 ne peut plus jouer ; le joueur 2 à gagné!
51 27/34 Sprague-Grundy theory Théorème A chaque position d un jeu à deux joueurs fini, déterministe, sans informations cachées, impartial, et avec une règle du type "le dernier joueur à pouvoir jouer gagne", il est possible d associer un entier positif, un "nimber" tel que : nimber=0 si aucun mouvement possible dans cette position ; nimber=mex(n), avec N l ensemble des nimbers des positions accessibles en un mouvement. Idée : étiqueter chaque instance du jeu par un nimber.
52 28/34 Le jeu de Kayles Exact algorithm for Kayles par Bodlaender et Kratsch Algorithme pour déterminer lequel des deux joueurs possède une stratégie gagnante à Kayles ; Utilisation des techniques de programmation dynamique et de brancher et réduire ; Utilisation de mesurer pour conquérir pour le calcul de la complexité. Autres résultats Résultats sur quelques cas particuliers : borne plus précise sur les arbres ; temps polynomial sur les graphes étoilés et d intervalles.
53 28/34 Le jeu de Kayles Exact algorithm for Kayles par Bodlaender et Kratsch Algorithme pour déterminer lequel des deux joueurs possède une stratégie gagnante à Kayles ; Utilisation des techniques de programmation dynamique et de brancher et réduire ; Utilisation de mesurer pour conquérir pour le calcul de la complexité. Autres résultats Résultats sur quelques cas particuliers : borne plus précise sur les arbres ; temps polynomial sur les graphes étoilés et d intervalles.
54 29/34 Competitive facility location problem En entrée du problème Un graphe G = (V, E) ; Une fonction de pondération w : V N ; Une borne k N. Choix autorisés Les deux joueurs choisissent un sommet : Jamais choisis auparavant ; Aucun de ses voisins n ait déjà été choisi. But du jeu Joueur 1 : Empêcher le joueur 2 de gagner ; Joueur 2 : La sommet des poids des sommets choisis k.
55 29/34 Competitive facility location problem En entrée du problème Un graphe G = (V, E) ; Une fonction de pondération w : V N ; Une borne k N. Choix autorisés Les deux joueurs choisissent un sommet : Jamais choisis auparavant ; Aucun de ses voisins n ait déjà été choisi. But du jeu Joueur 1 : Empêcher le joueur 2 de gagner ; Joueur 2 : La sommet des poids des sommets choisis k.
56 29/34 Competitive facility location problem En entrée du problème Un graphe G = (V, E) ; Une fonction de pondération w : V N ; Une borne k N. Choix autorisés Les deux joueurs choisissent un sommet : Jamais choisis auparavant ; Aucun de ses voisins n ait déjà été choisi. But du jeu Joueur 1 : Empêcher le joueur 2 de gagner ; Joueur 2 : La sommet des poids des sommets choisis k.
57 30/34 Geography Principe Les deux joueurs vont choisir un nom de pays jamais choisi auparavant ; dont la première lettre du nom est la dernière lettre du pays précédent. Déroulement Le joueur 1 choisit un nom de pays... Le joueur 2 choisit un nom de pays conforme... Le joueur 1 choisit un nom de pays conforme Le joueur i ne peut plus joueur, le joueur ((i + 1)%2) + 1 gagne. France
58 30/34 Geography Principe Les deux joueurs vont choisir un nom de pays jamais choisi auparavant ; dont la première lettre du nom est la dernière lettre du pays précédent. Déroulement Le joueur 1 choisit un nom de pays... Le joueur 2 choisit un nom de pays conforme... Le joueur 1 choisit un nom de pays conforme Le joueur i ne peut plus joueur, le joueur ((i + 1)%2) + 1 gagne. France Equateur
59 30/34 Geography Principe Les deux joueurs vont choisir un nom de pays jamais choisi auparavant ; dont la première lettre du nom est la dernière lettre du pays précédent. Déroulement Le joueur 1 choisit un nom de pays... Le joueur 2 choisit un nom de pays conforme... Le joueur 1 choisit un nom de pays conforme Le joueur i ne peut plus joueur, le joueur ((i + 1)%2) + 1 gagne. France Equateur Rwanda
60 30/34 Geography Principe Les deux joueurs vont choisir un nom de pays jamais choisi auparavant ; dont la première lettre du nom est la dernière lettre du pays précédent. Déroulement Le joueur 1 choisit un nom de pays... Le joueur 2 choisit un nom de pays conforme... Le joueur 1 choisit un nom de pays conforme Le joueur i ne peut plus joueur, le joueur ((i + 1)%2) + 1 gagne. France Equateur Rwanda...
61 30/34 Geography Principe Les deux joueurs vont choisir un nom de pays jamais choisi auparavant ; dont la première lettre du nom est la dernière lettre du pays précédent. Déroulement Le joueur 1 choisit un nom de pays... Le joueur 2 choisit un nom de pays conforme... Le joueur 1 choisit un nom de pays conforme Le joueur i ne peut plus joueur, le joueur ((i + 1)%2) + 1 gagne. France Equateur Rwanda...
62 31/34 Geography : généralisation Généralisation sur les graphes orientés ; Il est possible de choisir un sommet v 2 si et seulement si l adversaire vient de choisir un sommet v 1, et (v 1, v 2) G ; But du jeu : amener l adversaire vers un sommet ne possédant aucun voisin. On n autorise généralement pas de pouvoir passer plusieurs fois par un sommet.
63 32/34 Conclusion Porte sur des jeux combinatoires : Jeux à deux joueurs ; Se joue sur des graphes ; Le dernier joueur à pouvoir jouer gagne. On cherche à trouver quel joueur possède une stratégie gagnante. Stratégie abordée dans Kayles Enumération des K-Sets (ensembles de sommets sur lesquels il est encore possible de jouer), via brancher et réduire ; Borne sur le nombre de K-Sets, via mesurer pour conquérir ; Calcul des nimbers associés à chaque K-Set, via la programmation dynamique.
64 33/34 Sujet du stage But du jeu Réutiliser la technique abordée dans le jeu de Kayles, afin de l appliquer à de nouveaux problèmes : Competitive Facility Location Problem ; Geography ; Jeux de colorations... Autres ouvertures Améliorer la borne sur le nombre de K-Sets dans un graphe ; Améliorer la borne sur le nombre de K-Sets dans certaines classe spéciales de graphes ; Trouver un algorithme utilisant un espace polynomial, tout en gardant un temps d exécution "raisonnable" pour Kayles.
65 34/34 Fin... Questions?
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