Aspect expérimental et introduction historique

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1 I Aspect expérimental et introduction historique En 83, Faraday constate qu en approchant un aimant d une spire de cuivre, un courant électrique est généré dans la spire de cuivre, en l absence de tout générateur. Le courant, appelé courant induit, présente les caractéristiques suivantes : l intensité du courant croit avec la vitesse d approche de l aimant, l intensité croit avec la surface de la spire, le courant électrique induit crée en retour un champ magnétique qui tend à s opposer à la croissance du champ magnétique au niveau de la spire due au rapprochement de l aimant. Conformément au principe de relativité galiléenne, c est le déplacement relatif de l aimant et de la spire qui compte. La section suivante va nous aider à formaliser cette approche expérimentale. II Formalisation des lois de l induction Les règles évoquées ici doivent rendre compte du phénomène d induction. Notons que les formules évoquées ici se déduisent aujourd hui du formalisme général des équations de Maxwell qui décrivent le champ électromagnétique, et que vous verrez en deuxième année. II. Flux magnétique Le flux magnétique est le flux du champ magnétique. On considère un circuit électrique dans lequel le courant est orienté de manière arbitraire. La surface du circuit est représentée par le vecteur S, perpendiculaire à la surface, et dirigé dans le sens imposé par l orientation du courant. Si le circuit est plongé dans un champ magnétique B, alors on définit le flux magnétique φ à travers le circuit par φ = B d S En première année, on considère un champ magnétique uniforme, et on a donc une version simplifiée φ = B S L unité de flux magnétique est le Weber (Wb) dans les unités du système international. II.2 Loi de Faraday haut. La loi énoncée par Faraday l a été pour formaliser les observations expérimentales vues plus

2 PTSI Schuman 207 Phénomènes d induction Juin 208 On considère un circuit électrique filiforme orienté arbitrairement par le sens de i. La surface du circuit est représentée par le vecteur S, perpendiculaire à la surface, et dirigé dans le sens imposé par l orientation du courant. Le circuit est alors le siège d une force électromotrice induite e orientée dans le même sens que i (convention générateur) et telle que dφ e= où l unité SI de e est le Volt (V). II.3 Utilisation de la loi de Faraday Orienter le circuit en choisissant le sens de i En déduire le vecteur surface S en utilisant la règle de la main droite Calculer le flux magnétique à travers le circuit φ = B S. En déduire la force électromotrice e = dφ Dessiner le schéma électrique équivalent au circuit, dans lequel on reprend les éléments indiqués par l énoncé et le générateur correspondant à la fém induite e Résoudre les équations donnant l intensité dans le circuit à l aide des lois de Kirchoff II.4 Retour surmise l expérience initiale expérimentale lectromagnétique: en évidence u Même si le champ produit par l aimant n est pas uniforme, on peut néanmoins essayer de circuit dans un de champ uniforme prévoir le sens i avec la non formule de Faraday. Si on approche le pôle nord de l aimant, alors le flux augmente si on choisit la surface orientée dans le même sens que le champ magnétique. 2

3 Dans ce cas, la fém induite est donc négative. Si le circuit se comporte comme une résistance R, alors l intensité est donnée par i = e/r et est donc négative. Cette prévision est conforme à l expérience réalisée en début de chapitre. On peut aussi qualitativement vérifier que la vitesse d approche de l aimant joue un rôle dans la croissance du flux, via la dérivée par rapport au temps. On peut aussi très facilement vérifier la dépendance avec la surface de la spire. II.5 Loi de Lenz La loi de Lenz est une version qualitative de la loi de Faraday, qui est très utile pour vérifier rapidement la cohérence des résultats obtenus avec le comportement général du phénomène d induction. Le sens du courant induit est tel que, par ses effets, il tend à s opposer aux causes qui lui donnent naissance. III III. Circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps Inductance et auto-inductance On suppose 2 circuits filiformes C et C 2 parcourus par des courant i et i 2. On note B et B 2 les champs créés respectivement par les 2 circuits. Chaque champ crée un flux magnétique à travers chaque circuit. On utilise la notation suivante : Φ 2 est le flux de B à travers le circuit 2. Les flux Φ et Φ 2 2 sont appelés flux propres. On a donc Φ j k = Bj d S k C k D après la loi de Biot et savart, B j est proportionnel à i j, on peut donc définir les coefficients de proportionnalité Φ j j = L j i j Φ j k = M j k i j On peut montrer que M j k = M k j = M.. Nous verrons que c est grossièrement le cas dans la partie suivante et en calculant en deuxième année le champ magnétique produit par une spire. 3

4 Pour un circuit filiforme, on définit le coefficient d auto-inductance, grandeur positive dépendant de la géométrie du circuit, par la relation Φ j j = L j i j L unité de L est le Henry (H). Pour un circuit filiforme, on définit le coefficient d inductance mutuelle, qui dépend de la géométrie de l ensemble des deux circuits, par les relations Φ j k = Mi j Φ k j = Mi k L unité de M est le Henry (H) et son signe dépend des orientations relatives des deux circuits. Le flux dans le circuit du champ magnétique total est donc donné par Φ = L i + Mi 2 Compte tenu de la loi de Faraday, on peut donc exprimer la fém induite dans le circuit par l effet de l inductance propre et de l inductance mutuelle e = dφ di = L M di 2 si L et M sont des constantes, ce qui revient à dire que leur forme ne change pas : on parle de circuit indéformable. III.2 Énergie magnétique On considère 2 circuits fixes indéformables couplés par inductance mutuelle 4

5 On écrit la loi des mailles dans chaque circuit, ce qui donne les équations couplées E L di M di 2 R i = 0 E 2 L 2 di 2 M di R 2i 2 = 0 Pour écrire le bilan énergétique, il faut multiplier ces deux équations par les intensités respectives dans chacun des circuits, puis faire la somme, ce qui donne E i + E 2 i }{{} générateurs = R i 2 + R 2 i 2 di 2 + L }{{} i + L di 2 2i 2 + Mi di 2 + Mi 2 Effet Joule di } {{ } Champ magnétique Le terme de gauche est le terme explicitant la puissance fournie par les générateurs, les deux premiers termes à droite sont les termes correspondant à la puissance dissipée par effet Joule dans les résistances. Il reste le terme di L i + L di 2 2i 2 + Mi di 2 + Mi di 2 = d ( 2 L i 2 + ) 2 L 2i Mi i 2 qui représente la puissance utilisée pour fait varier le champ magnétique. Comme ce terme est la dérivée par rapport au temps d une expression, on peut alors écrire l énergie potentielle magnétique de deux circuits : E p = 2 L i L 2i Mi i 2 (III.) IV Application : Transformateur Pour des raisons pratiques (voir chapitre suivant), le courant produit par les centrales électriques est un courant sinusoïdal dont la valeur efficace n est pas la même partout sur le réseau : V dans les lignes hautes tension, V dans une ligne moyenne tension et 220 V aux bornes d une prise de courant (là encore pour des raisons pratiques : transporter une grande puissance est plus efficace à haute tension, donc à basse intensité, en raison de l effet Joule). Le but du transformateur électrique est de convertir une tension alternative en une tension alternative de même fréquence mais de valeur efficace différente. Le principe du transformateur repose sur le couplage par inductance mutuelle de 2 circuits. IV. Constitution du transformateur électrique Quelques métaux, dont le fer, ont la propriété de canaliser les lignes de champ magnétique. Ces matériaux sont dits ferromagnétiques. 5

6 Un transformateur électrique est un quadrupôle composé de deux enroulements de fil autour d un tore de matériau ferromagnétique. L enroulement de gauche, constitué de N spires, est appelé enroulement primaire. L enroulement de droite, constitué de N 2 spires, est appelé enroulement secondaire. En canalisant les lignes de champ magnétique, le matériau ferromagnétique assure un couplage presque parfait entre les deux enroulements. On peut trouver deux type de schéma conventionnels du transformateur électrique. Nous utiliserons dans la suite le schéma (b). IV.2 Modèle du transformateur parfait Un transformateur est dit parfait ou idéal si : le couplage magnétique entre les deux enroulements est parfait la puissance électrique reçue par le primaire est intégralement transférée au secondaire : il n y a pas de pertes dans le transformateur. Ce modèle permet des calculs simples et une compréhension du comportement du transformateur électrique. Le champ magnétique étant parfaitement canalisé, le flux φ a la même valeur à travers toute 6

7 section du tore. On l appelle flux commun. On peut alors exprimer le flux à travers chacun des enroulements φ = N φ et φ 2 = N 2 φ ce qui permet d exprimer les fém induite dans les deux enroulements en fonction de φ e = dφ = N dφ et e 2 = dφ 2 = N dφ 2 et donc de relier les fém entre elles e e 2 = N N 2 En fonction des conventions utilisées pour repérer les tensions aux bornes des deux parties du transformateur, on trouve U U 2 = ± N N 2 Par ailleurs, comme la puissance électrique est intégralement transmise U i = U 2 i 2 donc le rapport de transformation en intensité vaut i i 2 = ± N 2 N 7