Equations différentielles

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1 Lycée Jean Bart MPSI Année Equations différentielles L'objet de ce document est de vous présenter la notion d'équation diérentielle (d'utilisation fréquente en Physique) de manière un peu informelle, et de vous donner quelques outils pour résoudre les équations diérentielles basiques. 0. Préambule : qu'est-ce qu'une équation diérentielle? Premier point : il est clair que 2 est solution de l'équation : x 2 + x = 6. * Ceci signie que si l'on remplace dans l'équation l'inconnue x par 2, l'égalité est satisfaite : = 6. Deuxième point : prenons une fonction f qui vous est familière : la fonction exponentielle. Il est encore clair que f est égale à sa dérivée ; on a f = f. Dans ce contexte on dit que f est solution de l'équation diérentielle (E) : y (x) = y(x) (ou simplement y = y), car si on remplace y par f dans l'équation (E), on tombe sur une égalité qui est bien vériée. Remarque : il faudra cette année vous habituer à utiliser des notations diérentes pour les fonctions et les variables. L'équation diérentielle y = y sera plutôt notée df (t) = f (t), ou encore f = f en Physique. Mais la variable peut dt s'appeler t ou θ ou x suivant qu'elle désigne un temps, un angle, ou une abscisse. Troisième point : un autre exemple d'équation diérentielle. On considère la fonction f : x R x Dans ce cas, la dérivée de f est la fonction notée f : x R 2x et par exemple : x R, 3f (x) 2f(x) = 2x 2 + 6x 4 Cette égalité peut alors être traduite par la phrase : f est solution de l'équation diérentielle (E) : 3y 2y = 2x 2 + 6x 4 (ou, avec la notation Physique : 3 df dt (t) 2f(t) = 2t2 + 6t 4) car, encore une fois, en remplaçant dans (E) le y par un f (et donc le y par un f ), on obtient une égalité qui est en eet vraie. Quatrième point : et dernier exemple d'équation diérentielle. On considère la fonction f : x R cos (2x). Dans ce cas, on a la dérivée seconde f : x R 4 cos (2x) et donc : x R, f (x) + 4f(x) = 0 (puisque : x R, f (x) + 4f(x) = 4 cos (2x) + 4 cos (2x)) Cette égalité peut alors être traduite par la phrase : f est solution de l'équation diérentielle (E) : y + 4y = 0 (ou, avec la notation Physique : d2 f (t) + 4f(t) = 0) dt2 car, comme vous l'avez compris, en remplaçant dans (E) le y par un f (et donc le y par un f )... Synthèse : à la lumière de ces exemples, je vous prie d'accepter temporairement la dénition Ÿ suivante d'équation diérentielle : Définition Une équation diérentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (et plus un nombre). Un peu plus précisément, c'est une égalité faisant intervenir une fonction inconnue, sa dérivée, et éventuellement sa dérivée seconde. *. Rassurez-moi : c'est clair, non?. Que l'on notera dorénavant : f : x R e x.. La dérivée seconde d'une fonction est la dérivée de la dérivée. Ÿ. Peu rigoureuse, certes ; mais on perd ici en rigueur ce que l'on gagne en clarté, à mon avis.

2 2 Equations diérentielles Cinquième point : un peu de vocabulaire à présent. Une équation diérentielle est dite : d'ordre 1 si elle fait intervenir seulement une fonction y et sa dérivée y ; d'ordre 2 si elle fait intervenir une fonction y, (éventuellement) sa dérivée y et sa dérivée y. Exemples : les équations diérentielles y = y (2ème point de la page précédente) et 3y 2y = 2x 2 +6x 4 (3ème point) sont des équations diérentielles d'ordre 1. L'équation y + 4y = 0 est une équation diérentielle d'ordre 2. Continuons avec le vocabulaire. Une équation diérentielle d'ordre 1 est dite homogène ou sans second membre si elle ne fait intervenir que y et y ; et elle est dite avec second membre s'il apparaît une autre fonction à droite du signe égal. Dénitions analogues pour les équations diérentielles d'ordre 2. Exemples : l'équation diérentielle y = y, que l'on peut aussi écrire y y = 0 est une équation homogène (ou sans second membre). L'équation diérentielle 3y 2y = 2x 2 + 6x 4 est une équation avec second membre. Enn, l'équation diérentielle y + 4y = 0 est une équation diérentielle (d'ordre 2) sans second membre (ou homogène). Remarque : pour des raisons que Monsieur Lefebvre et moi-même vous expliquerons ultérieurement, les équations diérentielles précédentes sont dites linéaires. Nous n'étudierons que celles-ci dans un premier temps. Dans la suite de ces lignes, nous utiliserons donc l'abréviation EDL pour Equation Diérentielle Linéaire. Résumé de vocabulaire y y = 0 est une EDL d'ordre 1 sans second membre (ou homogène) ; 3y 2y = 2x 2 + 6x 4 est une EDL d'ordre 1 avec second membre ; y + 4y = 0 est une EDL d'ordre 2 sans second membre ; Cette présentation faite, il est temps de passer à la résolution explicite des équations diérentielles. 1. EDL d'ordre 1 à coecients constants (ay (t)+by(t) = g(t) avec a et b réels, et g une fonction) Définition Soient a et b deux réels non nuls, et g : I R une fonction dénie sur un intervalle I. Une fonction f : I R dérivable sur I est appelée solution de l'équation diérentielle linéaire d'ordre 1 (E) : ay + by = g(t) si la condition suivante est satisfaite : t I, af (t) + bf(t) = g(t) Résoudre sur I l'équation diérentielle (E), c'est déterminer l'ensemble des fonctions f : I R solutions de cette équation diérentielle. 1.1 Résolution des EDL d'ordre 1 à coecients constants homogènes (ay (t) + by(t) = 0 avec a et b réels) Directement à l'essentiel : Théorème 1 Soient a et b deux réels non nuls. Les solutions de l'edl d'ordre 1 homogène ay + by = 0 sont les fonctions f C : R R t R, f C (t) = Ce b a t (avec C R arbitraire).. Je rougis de vous donner une dénition aussi oue. Les fourmis de la honte me dévorent comme un vieux caramel mou.

3 . C'est toujours plus facile à écrire qu'à faire... **. On gomme ce qui est à droite du signe égal. Equations diérentielles 3 Exercice d'application 1 : résoudre l'équation diérentielle 2y + 6y = 0. Corrigé : l'équation diérentielle à résoudre est de la forme ay + by = 0 avec a = 2 et b = 6. Les solutions sont donc données par le théorème 1. En observant puissamment que b/a = 3 dans le cas présent, le théorème 1 permet d'armer que : Les solutions de l'edl d'ordre 1 homogène 2y + 6y = 0 sont les fonctions f C : R R dénies sur R par : f C (t) = Ce 3 t (avec C R arbitraire). 1.2 Résolution des EDL d'ordre 1 à coecients constants avec second membre ( ay (t)+by(t) = g(t) avec a et b réels, g une fonction) Théorème 2 Soient a et b deux réels non nuls, et g : R R une fonction. Les solutions de l'edl d'ordre 1 avec second membre (E) : ay + by = g(t) sont les fonctions f C : R R où φ est une solution particulière de l'ed (E). f C (t) = φ (t) + Ce b a t (avec C R arbitraire). En clair : pour résoudre une EDL avec second membre, il sut d'en trouver une solution particulière (φ) et de lui ajouter la solution générale de l'équation sans second membre associée à (E). Exercice d'application 2 : résoudre l'équation diérentielle (E) : 2y + 6y = 12t 2. Corrigé : l'équation diérentielle à résoudre est de la forme ay + by = g(t) avec a = 2, b = 6 et g(t) = 12t 2. Les solutions sont donc données par le théorème 2. Celui-ci suggère de résoudre l'équation en deux temps : Première étape : résolution de l'équation sans second membre associée à (E). L'équation sans second membre associée à (E) est simplement ** 2y + 6y = 0. Cette équation a déjà été étudiée dans l'exercice d'application 1, et on peut donc conclure que : Conclusion ( ) : les solutions de l'équation sans second membre associée à (E) sont les fonctions g C : R R. g C (t) = Ce 3 t (avec C R arbitraire). Deuxième étape : détermination d'une solution de l'équation (E). Posons pour tout t réel : φ(t) = 2t 1. On peut vérier aisément que φ est une solution particulière de (E). En eet, pour tout réel t on a : 2φ (t) + 6φ(t) = (2t 1) = t 6 = 12t 2 Conclusion ( ) : une solution particulière de l'équation (E) est la fonction φ : R R dénie sur R par :. φ (t) = 2t 1 Conclusion globale. On utilise à présent le théorème 2, et les résultats ( ) et ( ) pour décrire toutes les solutions de (E). Conclusion : les solutions de l'équation (E) sont les fonctions f C : R R f C (t) = 2t 1 + Ce 3t (avec C R arbitraire).

4 . Voir Monsieur Lefebvre pour toute objection. 4 Equations diérentielles Exercice 1. A l'aide des indications et résultats donnés dans les pages précédentes, résoudre l'équation diérentielle : (E) 2y 4y = 0 Exercice 2. On considère l'équation diérentielle : (E) 2y + 3y = e t 1) Ecrire l'équation diérentielle sans second membre associée à (E). Puis résoudre cette équation sans second membre. 2) On considère la fonction φ dénie sur R par : φ(t) = e t. Vérier que φ est solution de (E). 3) Déduire des deux questions précédentes toutes les solutions de l'équation (E). Exercice 3 (décroissance radioactive). Dans un tissu radioactif, les lois de la Physique permettent d'armer que la vitesse de désintégration des atomes radioactifs à un instant t est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs N(t) présents dans le tissu à l'instant t. Il existe donc une constante strictement positive λ telle que pour tout réel positif t on ait : N (t) = λ N(t) On suppose que λ = 2, et qu'à l'instant t = 0, le nombre N 0 de noyaux est égale à 100. Déterminer l'expression N(t) du nombre de noyaux en fonction de t. 2. EDL d'ordre 2 à coecients constants (ay (t) + by (t) + cy(t) = g(t) avec a, b et c réels, et g une fonction) 2.1 Résolution des EDL d'ordre 2 à coecients constants homogènes (ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 avec a, b et c réels) Soient a, b et c trois réels. On considère l'équation homogène (H) : ay + by + cy = 0 Définition On appelle équation caractéristique associée à (H) l'équation (d'inconnue r) : (EC) : ar 2 + br + c = 0 Théorème Si l'équation caractéristique possède : deux racines réelles α et β ( > 0) : les solutions de (H) sont les fonctions f λ,µ : I R dénies par : f λ,µ = λe α t + µe β t une racine double α 0 ( = 0) : les solutions de (H) sont les fonctions f λ,µ : I R dénies par : f λ,µ = (λt + µ) e α 0 t deux racines complexes conjuguées α = u + iv et β = u iv ( < 0) : les solutions de (H) sont les fonctions f λ,µ : I R dénies par : f λ,µ = e ut (λ cos (vt) + µ sin (vt))

5 Equations diérentielles 5 Exercice d'application 3 : résoudre l'équation diérentielle (E) : y 5y + 6y = 0. Corrigé : l'équation caractéristique associée à (E) est : r 2 5r + 6 = 0. Cette équation, de discriminant strictement positif ( = 1), possède exactement deux racines réelles : 2 et 3. On en déduit que les solutions de (E) sont les fonctions f C1,C 2 t R, f C1,C 2 (t) = C 1 e 2t + C 2 e 3t (C 1, C 2 R) Exercice d'application 4 : résoudre l'équation diérentielle (E) : y 2y + 5y = 0. Corrigé : l'équation caractéristique associée à (E) est : r 2 2r + 5 = 0. Cette équation, de discriminant strictement négatif ( = 4), possède exactement deux racines complexes conjuguées : 1 ± 2i. On en déduit que les solutions de (E) sont les fonctions f C1,C 2 t R, f C1,C 2 (t) = (C 1 cos (2t) + C 2 sin (2t)) e t (C 1, C 2 R) 2.2 Résolution des EDL d'ordre 2 à coecients constants avec second membre ( ay (t)+by (t)+ cy(t) = g(t) avec a, b et c réels, et g une fonction) Théorème Soient a, b et c trois réels, et g : R R une fonction. Les solutions de l'edl d'ordre 2 avec second membre (E) : ay + by + cy = g(t) sont les fonctions φ λ,µ : R R φ λ,µ (t) = φ (t) + f λ,µ. où φ est une solution particulière de l'ed (E), et f λ,µ est solution de l'équation homogène associée à (E). En clair : pour résoudre une EDL avec second membre, il sut d'en trouver une solution particulière (φ) et de lui ajouter la solution générale de l'équation sans second membre associée à (E). Exercice 4. A l'aide des indications et résultats donnés précédemment, résoudre l'équation diérentielle : (E) y 5y + 4y = 0 Exercice 5. Résoudre l'équation diérentielle : (E) y + 9y = 0 Exercice 6. Dans cet exercice, A désigne un réel quelconque. Résoudre l'équation diérentielle : (E) y + A y = 0 Indication : on distinguera les cas A < 0, A = 0 et A > 0.