Chapitre 1. Espaces vectoriels

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1 Chapitre 1 Espaces vectoriels 1

2 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS 1.1 Rappels (vu en PCSI) Structure de K-espace vectoriel et exemples K est un corps et dans le cadre du programme, ce sera soit R, soit C. Définition 1.1. On dit qu un ensemble E est un K-espace vectoriel si et seulement si E est non vide E est muni d une addition (que l on notera souvent +) qui lui confère la structure de groupe commutatif (i.e. E est stable par addition, et l addition est associative, commutative, admet un élément neutre (noté 0 E ), et tout élément x de E admet un symétrique pour l addition que l on note x). E est muni d une multiplication externe (que l on notera souvent,., ou que l on omettra) qui vérifie les propriétés suivantes (x, y) E 2, (λ,β) K 2 : (stabilité) λx E (distributivité à gauche) λ.(x + y) = λ.x + λ.y (distributivité à droite) (λ + β).x = λ.x + β.x (associativité) (λ β).x = λ.(β.x) (1 est neutre) 1.x = x On appelle vecteurs les éléments de E, et scalaires les éléments de K. On note x y le vecteur x + ( y). Exemples: K n, K[X ], K Ω( = A (Ω,K) ), ensemble des suites K N, M n,p (K) sont des espaces-vectoriels Sous-espaces vectoriels Définition 1.2. On dit que F est un sous-espace vectoriel d un K-espace vectoriel E si et seulement si : F est non vide et est inclus dans E ; F est stable par addition : (x, y) F 2, x + y F F est stable par multiplication externe : x F, λ K,λx F si et seulement si : F est non vide et est inclus dans E ; F est stable par combinaison linéaire : (x, y) F 2, (λ,β) K 2,λx + βy F si et seulement si F est non vide et (x, y) F 2, λ K,λx + y F Remarque: F est alors un K-espace vectoriel et il contient nécessairement l élément nul de E. Ainsi, pour montrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E connu, il suffit de montrer qu il contient l élément nul de E et qu il est stable par combinaison linéaire. Propriété 1.3 (intersection de sous-espace vectoriel ). Soit E un K espace vectoriel, n N, et F 1, F 2,..., F n n sous-espace vectoriel de E. n F i est alors un sous-espace vectoriel de E. Démonstration: Cette propriété a déjà été vue en première année pour le cas de l intersection de deux sousespaces vectoriels. Une récurrence immédiate permet alors d étendre cette propriété au cas de l intersection de n sous-espaces vectoriels. Remarque: la réunion de deux sous-espace vectoriel d un K espace vectoriel E n est en général pas un sousespace vectoriel de E. Exercice: Montrer que si F, G et F G sont trois sous-espaces vectoriels de E, alors F G ou G F.

3 1.1. RAPPELS (VU EN PCSI) 3 Définition 1.4 (sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs). Soit F un sous-ensemble de E on appelle sous-espace vectoriel engendré par F, l ensemble noté Vect(F ) des { combinaisons linéaires d éléments de F : } Vect(F ) = λ i x i,n N, i [[1;n]], (x i,λ i ) F K u Vect(F ) n N, i [[1;n]], (x i,λ i ) F K,u = λ i x i. Propriété 1.5. Soit E un K espace vectoriel, F un sous-ensemble de E, Vect(F ) est le plus petit des sous-espaces vectoriels contenant F. Remarque: Grâce à cette propriété, on a donc une deuxième méthode pour montrer qu un ensemble est un sousespace vectoriel d un espace vectoriel E : il suffit de montrer qu il est égal à l ensemble des combinaisons linéaires engendrées par une famille de vecteurs de E. Définition 1.6 (Famille génératrice). On dit qu une famille F est génératrice d un K espace vectoriel E si et seulement si F E, et u E, n N, (x 1, x 2,..., x n ) F n, (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n,u = si et seulement si Vect(F ) = E λ i x i. Exercice: 1. Montrer que la famille { (1;0;1),(2;1; 1),(1,1,1) } est génératrice dans R Montrer que les ensembles F = {(2a + b,3a b, a),(a,b) R 2 } et G = {(x, y, z) R 3, x + y 2z = 0} sont deux sous-espaces vectoriels de R 3, et donner pour chacun d eux une famille génératrice. Définition 1.7 (Familles libres, familles liées). Soit F une famille de vecteurs d un K espace vectoriel E. On dit que F est une famille liée de vecteurs de E si et seulement si le vecteur nul de E est égal à une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls de vecteurs de F si et seulement si n N, (x 1, x 2,..., x n ) F n, (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n \ { (0,,0) }, λ i x i = 0 E. On dit que F est une famille libre de vecteurs de E si et seulement si elle n est pas liée si et seulement si n N, (x 1, x 2,..., x n ) F n, (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n, λ i x i = 0 E = i [[1;n]],λ i = 0 Remarque: Si F est une famille finie de vecteurs de E, F = {x 1, x 2,..., x n } ces définitions se simplifient comme suit : F est une famille liée de vecteurs de E (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n \ { (0,,0) }, λ i x i = 0 E F est une famille libre de vecteurs de E (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n, λ i x i = 0 E = i [[1;n]],λ i = 0 Exemple: Une famille de polynômes de degrés échelonnés est libre Exercice: La famille {(1; 1; 1),(1; 1; 1),(3; 1; 1)} est-elle libre ou liée? Définition 1.8. E est de dimension infinie si et seulement s il contient une famille libre infinie. E est de dimension finie si et seulement s il contient une famille génératrice finie. Propriété 1.9. Tout sous-espace vectoriel d un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.

4 4 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS Définition 1.10 (Base). On appelle base d un espace vectoriel E toute famille à la fois libre et génératrice de E. Théorème Dans un espace vectoriel E, s il existe une base de cardinal fini n, alors toutes les base de E ont pour cardinal n, et on note dim(e) = n. Par convention dim({0}) = 0 La démonstration de ce théorème repose sur le théorème de la base extraite et sur le théorème de la base incomplète : Théorème 1.12 (base extraite). De toute famille F génératrice dans un K espace vectoriel E, on peut extraire une sous-famille F base de E. Théorème 1.13 (de la base incomplète). Soit F une famille libre d un espace vectoriel E de dimension finie, alors il existe une famille F de vecteurs de E incluant F telle que F soit une base de E. On utilise souvent le corollaire suivant : Corollaire Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, et F une famille libre de E de cardinal p et B une base de E, alors p n et on peut compléter la famille F avec n p vecteurs de B de telle façon que la famille ainsi obtenue forme une base de E. Propriété Si E est un K espace vectoriel de dimension finie n et F une famille de vecteurs de E, alors on a les équivalences : F est une base de E F est une famille libre de E de cardinal n, F est une famille génératrice de E de cardinal n Exemples: Bases canoniques : { (1;0; ;0),(0;1;0; ;0),,(0; ;0;1) } est la base canonique de K n. La famille {X n,n [[0;n]]} est une base de K n [X ], c est la base canonique de K n [X ]. La famille {X n,n N} est une base de K[X ]. on montre aisément qu elle est à la fois libre et génératrice. C est la base canonique de K[X ]. La famille de matrices { E i,j }1 i n, 1 j p, où E i,j est la matrice dont tous les coefficients sont nuls exceptés celui de la i -ième ligne et j -ième colonne qui vaut 1, est la base canonique de M n,p (K). La famille { e i = (δ n,i ) n N,i N } est une famille libre de K N mais n est pas une base de K N. En effet la suite constante égale à 1 ne peut pas s exprimer comme combinaison linéaire de vecteurs de cette famille (on ne peut l écrire que comme somme infinie (et non comme somme finie) des vecteurs de cette famille). Propriété Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, et soit B = {e 1,e 2,...,e n } une base de E, alors x E,!(x 1, x 2,..., x n ) K n, x = x i e i. les n scalaires x 1, x 2,..., x n sont alors les coordonnées de x dans la base B. Remarque: L existence des coordonnées est assurée par le fait que B est génératrice dans E, et l unicité est assurée par le fait qu elle est libre. Définition 1.17 (Base adaptée à un sous-espace vectoriel ). Soit F un sous-espace vectoriel d un K espace vectoriel E. On dit qu une base B de E est adaptée à F si on peut l écrire sous la forme B = (B 1,B 2 ) où B 1 est une base de F.

5 1.2. PRODUIT ET SOMME D ESPACES VECTORIELS 5 Remarque: Le théorème de la base incomplète nous assure l existence d une base B de E contenant la base B 1 de F. Exercice: Soit F l ensemble des polynômes P de R 3 [X ] tels que P(0) = P(1) = 0. Montrer que F est un sous espace vectoriel de R 3 [X ], et déterminer une base de R 3 [X ] adaptée à F. Définition 1.18 (rang d une famille finie de vecteurs). On appelle rang d une famille F finie de vecteurs de E la dimension du sous-espace vectoriel qu elle engendre : rg(f ) = dim(vect(f )) Exercice: Dans R 4, on considère les familles de vecteurs suivantes v 1 = (1,1,1,1), v 2 = (0,1,2, 1), v 3 = (1,0, 2,3), v 4 = (2,1,0, 1), v 5 = (4,3,2,1). v 1 = (1,2,3,4), v 2 = (0,1,2, 1), v 3 = (3,4,5,16). v 1 = (1,2,3,4), v 2 = (0,1,2, 1), v 3 = (2,1,0,11), v 4 = (3,4,5,14). Pour chacune de ces familles 1. Déterminer leur rang, 2. Donner une base de R 4 adaptée au sous-espace vectoriel que cette famille engendre. 1.2 Produit et somme d espaces vectoriels Produit d espaces vectoriels Définition 1.19 (Produit d un nombre fini d espaces vectoriels). Soit E 1, E 2,..., E n n espaces vectoriels. Le produit de ces n espaces vectoriels, noté E 1 E 2... E n est l ensemble des n-uplets (x 1, x 2,..., x n ) où i [1;n ], x i E i. Propriété Démonstration: Le produit F = E 1 E 2... E n = n E i des n espaces vectoriels E 1, E 2,..., E n est un espaces vectoriel, et si i [1;n ], E i est de dimension finie, F est de dimension finie et dim(f ) = dim(e i ) Remarque: Si les espaces vectoriels E 1 et E 2 sont différents alors les espaces vectoriels produits E 1 E 2 et E 2 E 1 sont bien évidemment différents. En effet si E 1 et E 2 sont différents, soit il existe un élément x qui est dans E 1 et non dans E 2 soit l inverse. Sans perte de généralité, on peut considérer le premier cas : Soit x E 1, x E 2 et y E 2, on a alors (x, y) E 1 E 2 mais (x, y) E 2 E 1. Exemples: R n, C n, M n,p (K) Somme d espaces vectoriels Définition 1.21 (Somme d une famille finie de sous-espaces vectoriels). Soit n sous-espaces vectoriels F 1, F 2,..., F n d un espace vectoriel E. On appelle somme de ces n espaces vectoriels, l ensemble, notée F 1 + F F n ou des vecteurs x 1 + x{ x n tels que i [1;n ], x i F i. n F 1 + F F n = x E, (x 1, x 2,..., x n ) F i, x = x 1 + x x n }. x F = F 1 + F F n (x 1, x 2,..., x n ) n F i, x = x 1 + x x n. F i, constitué

6 6 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS Remarques: Cette définition généralise la somme de deux sous-espaces vectoriels vue en première année. L addition des vecteurs étant commutative, il en est de même de la somme des sous-espaces vectoriels : F 1 + F 2 = F 2 + F 1. Propriété La somme finie F = F 1 + F F n des n sous-espaces vectoriels F 1, F 2,..., F n de E est aussi un sous-espace vectoriel de E. C est le sous-espace vectoriel de E engendré par l ensemble des vecteurs de F 1 F 2... F n. Démonstration: Remarque: une somme infinie de sous-espaces vectoriels n est pas forcément un sous-espace vectoriel. Par exemple dans K[X ], n N, F n = Vect(X n ) est un sous-espace vectoriel de K[X ], mais dans + i=0 F i. Exemple: x + x n n=0 n! est la fonction exponentielle qui n est pas un polynôme. + i=0 X i n est pas un polynôme et est Définition 1.23 (Somme directe de sous-espaces vectoriels). Soit n sous-espaces vectoriels F 1, F 2,..., F n d un espace vectoriel E. On dit que la somme F 1 +F F n est directe lorsque (x 1, x 2,..., x n ) F 1 F 2... F n, x 1 + x x n = 0 E = i [[1;n]], x i = 0 Fi Cette somme est alors notée F 1 F 2... F n ou F i Propriété Soit n sous-espaces vectoriels F 1, F 2,..., F n d un espace vectoriel E. F 1, F 2,..., F n sont en somme directe x F i,!(x 1, x 2,..., x n ) F 1 F 2... F n, x = x 1 + x x n Exercice: Soit E le R espace vectoriel A (R,R) des fonctions de R dans R. Soit F l ensemble des applications constantes de E, G l ensemble des applications impaires de E, et H l ensemble des applications f de E telles que x R +, f (x) = 0. Montrer que F,G, H sont en somme directe. Dans les cas de deux sous-espaces vectoriels, on a une autre caractérisation de la somme directe : Propriété Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d un K espace vectoriel E, alors F et G sont en somme directe si et seulement si F G = {0 E }. Attention: Cette caractérisation n est pas valable pour une somme de trois sous-espaces vectoriels ou plus. Exemple: Dans R 2 les droites vectorielles Vect((1,1)), Vect((0,1)) et Vect((1,0)) sont deux à eux d intersection réduite au vecteur nulle, mais ces trois droites ne sont pas en somme directe. Définition 1.26 (sous-espaces vectoriels supplémentaires). Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d un K espace vectoriel E. On dit que F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si E = F G.

7 1.2. PRODUIT ET SOMME D ESPACES VECTORIELS 7 Propriété F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si x E,!(x 1, x 2 ) F G, x 1 + x 2 = x Exercice: Soit E l ensemble des fonctions de R dans R. Montrer que l ensemble F des fonctions impaires définies sur R et l ensemble G des fonctions paires définies sur R sont supplémentaires dans E. Propriété Si F et G sont supplémentaires dans un K espace vectoriel E de dimension finie, alors dim(e) = dim(f ) + dim(g). Remarque: L existence d un supplémentaire en dimension finie est assurée par le théorème de la base incomplète. On a de plus vu en première année la formule de Grassmann : Théorème 1.29 (Formule de Grassman). Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E, on a alors : dim(f +G) = dim(f ) + dim(g) dim(f G) Exercice: Soit E un K espace vectoriel de dimension n, H 1, H 2, H 3 trois sous-espaces vectoriels deux à deux distincts de E de même dimension n 1. Que peut-on dire de la dimension des sous-espaces vectoriels H 1 H 2 et H 1 H 2 H 3? Définition 1.30 (Base adaptée à une somme directe). Soit V = F i, on dit que B est une base de V adaptée à la somme directe B = (B 1,B 2,,B n ) où i [[1;n]], B i est une base de F i. Démonstration: Si V = de V. En effet, F i si et seulement si F i, et i [[1;n]], B i est une base de F i, alors B = (B 1,B 2,,B n ) est bien une base Elle est génératrice car x V, (x 1, x 2,, x n ) n F i, x = x 1 + x 2 + x n. Et comme i [[1;n]], x i F i et B i est une base de F i, x i est combinaison linéaire des vecteurs de B i, et donc par somme des x i, x est bien combinaison linéaire des vecteurs de B. Soit pour tout i de [[1;n]], α i = dim(f i ), soit B = (e 1,1,e 1,2,,e 1,α1,e 2,1,e 2,2,,e 2,α2,,e n,1,e n,2,,e n,αn ) α i et s il existe des scalaires λ i,j tels que λ i,j e i,j = 0 E. Alors comme V = j =1 α i F i, nécessairement i [[1;n]], λ i,j e i,j = 0 E, et comme B i = (e i,1,,e i,2,,e i,αi ) est une base de F i, nécessairement i [[1;n]], j [[1,α i ]],λ i,j = 0 et donc B est bien une famille libre. Remarque: Si {B 1,B 2,,B p } est une partition d une base B de E, on peut alors démontrer que : E = Démonstration: (exercice) j =1 Vect(B i ).

8 8 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS Théorème 1.31 (Dimension d une somme). Soit E un K ( ) espace vectoriel de dimension finie et F 1, F 2,..., F p p sous-espaces vectoriels de E, alors : p p dim F i dim(f i ) avec égalité si et seulement si la somme est directe : ( ) p p dim F i = dim(f i ) ( ) p p Si dim F i = dim(f i ), alors les sous-espaces vectoriels F i sont en somme directe. Démonstration: Corollaire Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et F 1, F 2,..., F p en somme directe, alors : p dim(f i ) dim(e). p p Et dim(f i ) = dim(e) E = F i p sous-espaces vectoriels de E Démonstration: Exercice: Soit n N, n 2 et E = R n [X ]. Montrer que les ensembles F i = { P R n [X ], j [[0;n]]\ { i } E = F i. i=0 P(j ) = 0 }, i [[0;n]], sont en somme directe et que