Cryptographie évolutionniste

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1 Cryptographe évolutonnste Applcaton des algorthmes évolutonnstes à la cryptographe Fouza Omary* Abderrahm Tragha** Aboubakr Lbekkour* *Département de mathématques et nformatque faculté des scences-rabat unversté MohammedV-Maroc **Département de mathématques et nformatque faculté des scences Ben Msk Unversté HassanII-Mohammeda Casablanca RESUME. Vu le grand succès des algorthmes évolutonnstes dans les problèmes d'optmsatons, nous les explotons dans la phase prncpale de la cryptographe sot: le chffrement. Dans cet artcle nous avons conçu et réalsé un algorthme de chffrement évolutonnste. Pour commencer, nous avons codé le problème de chffrement en le smulant (ou rapprochant) à un problème d'ordonnancement (notamment permutatons). Après, nous avons crée un codage adapté pour nos chromosomes. Ensute nous avons défn la foncton d'évaluaton adéquate. Quand aux opérateurs génétques nous avons utlsé ceux travallant sur les permutatons. Pour donner de la force et de résstance à notre algorthme nous lu avons attrbué des clés de dfférentes natures, certanes sont secrètes et symétrques, autre de sesson et peut être d'un usage symétrque ou asymétrque. ABSTRACT. Seen the bg success of the evolutonst algorthms n the problems of optmzatons, we explot them n the man phase of the cryptography s: the cpherng. In ths artcle we conceved and acheved an evolutonst cpherng algorthm. To begn, we coded the problem of cpherng whle smulatng t (or brngng closer) to a problem of schedulng (notably permutatons). After, we have created a codng adapted for our chromosomes. Then we defned the adequate functon of evaluaton. When to the genetc operators we used those workng on the permutatons. To gve strength and resstance to our algorthm us assgned hm keys of dfferent natures, some are secret and symmetrcal, other of sesson and can be of a symmetrcal or asymmetrc use. Mots-clés: algorthmes-génétques, évolutonnstes, cryptographe, chffrement, clés. Key-words: genetc-algorthms, evolutonst, cryptography, cpherng, keys. 1

2 Cryptographe évolutonnste 1. Introducton De nos jours, la cryptographe s est mposée dans la ve courante notamment pour la protecton (ou sécurté) des transactons. Malgré son antquté (plus de 3000 ans) elle est toujours à l état embryonnare. En effet, les vras algorthmes de chffrement sont comptés sur les bouts des dogts (DES [3], IDEA (1977) [12], RSA (1970) [4], ). Et actuellement, le cryptosystème domnant est PGP (1992) [7] et [11], Parallèlement, les domanes d applcaton des algorthmes évolutonnstes n ont cessé de s élargr grâce à leur grande effcacté (performance, rapdté, ).Leur succès a attent son apogée dans le domane de l ntellgence artfcelle et recherche opératonnelle pour résoudre des problèmes d optmsaton. Certes, concevor et réalser un bon algorthme évolutonnste pour chffrement ne peut qu être couronné de succès. C est le but de notre traval [10]. Pour commencer nous avons ramené le problème de chffrement d un message M à un problème d optmsaton. Après, nous avons codé ce problème d une manère spécale permettant de nous ramener aux problèmes d ordonnancement (en partculer permutatons) dont la résoluton par algorthmes génétques est une vrae réusste. Ensute, nous avons bât notre algorthme en défnssant sogneusement la foncton d évaluaton, en précsant la nature des ndvdus aptes à la sélecton et en chosssant les opérateurs génétques adaptés à notre problème. Pour achever, nous avons présenté les moyens de déchffrement et nous avons entamé une dscusson pour llustrer les avantages de notre algorthme. 2

3 2. Descrpton de notre algorthme de chffrement Sot M le message à chffrer. M est une sute de n caractères. Sot C une clé secrète formée de p caractères prs dans {0,1}. Après un broullage (1) ntal, permettant de masquer les caractères de M, nous décomposons ce derner en m blocs B 1, B 2,..,B m de même talle N. Note. cette décomposton n aura leu que pour les messages de grandes talles. Nous dstrbuons les m blocs sur m processeurs fonctonnant en parallèle. Chacun des processeurs applque notre algorthme décrt dans Dorénavant B désgne le bloc courant affecté à l un des processeurs et O.T.L notre algorthme Schématsaton du problème Soent a 1, a 2,..., a l les dfférents caractères de B (l N). Désgnons par L (1 l) la lste des dfférentes postons du caractère a dans B avant le chffrement et par card(l ) le nombre des occurrences de a dans B. Le bloc B peut alors être représenté par le tableau c-dessous : (a 1, L 1 ) (a 2, L 2 )..... (a l, L l ) Le but de notre algorthme est de créer le maxmum de désordre dans les postons des caractères de B. Pour cela, nous changeons tératvement la répartton des lstes L (1 l) sur les dfférents caractères de B (sans modfer le contenu des lstes) de telle manère que la dfférence entre le cardnal de la nouvelle lste affectée à chaque caractère a et le cardnal de la lste L d orgne sot maxmale. Nous sommes donc devant un problème d optmsaton et nous pouvons fare appel aux algorthmes évolutonnstes, notamment ceux applqués dans les problèmes d ordonnancement [2]. Ces derners ont pluseurs versons la plus utlsée est celle décrte c-dessous. 3

4 2.2 Squelette de l algorthme Etape 0 : Défnr un codage du problème Etape 1 : Créer une populaton ntale P 0 de q ndvdus{x 1, X 2,,X q } := 0 ; Etape 2 : Evaluaton des ndvdus. Sot F la foncton d évaluaton. Calculer F(X ) pour chaque ndvdu X de P Etape 3 : Sélecton Sélectonner les melleurs ndvdus (au sens de F) et les grouper par pare. Etape 4 : Applcaton des opérateurs génétques 1-Cosement : Applquer l opératon de crosement aux pares sélectonnées 2-Mtaton : Applquer la mutaton aux ndvdus ssus du crosement Ranger les nouveaux ndvdus obtenus (de 1 et 2) dans une nouvelle génératon P +1 Répéter les étapes 2,3 et 4 jusqu à l obtenton du nveau de performance souhaté. 2.3 Notre algorthme O.T.L Etape 0 : Codage Un ndvdu (ou chromosome) est un vecteur de talle l. Les gènes sont les lstes L k (1 l). Le j ème gène L kj content les nouvelles postons que prendra le caractère a j. Etape 1 : Créaton de la populaton ntale P 0 composée de q ndvdus :X 1, X 2,, X q. Nous appelons Ch-ntal le chromosome ntal dont les gènes sont (avec respect d ordre) : L 1, L 2,, L l. Nous applquons q bonnes (2) permutatons sur Ch-ntal afn d obtenr q ndvdus dstncts formant ans la populaton ntale consttuée de q solutons potentelles du problème. 4

5 :=0. Etape 2: Evaluaton des ndvdus Sot X k un ndvdu de P dont les gènes sont: L k1, L k2,,l kl. Nous défnssons la foncton d évaluaton F sur l ensemble des ndvdus X k par: l F(X k ) = card( Lk ) card ( L ) = 1 étape3: Sélecton des melleurs ndvdus Nous utlsons la méthode classque de la roulette [5], permettant de retenr les ndvdus les plus forts. Rappelons le processus : On affecte à chaque ndvdu X une probablté d apparton p(x ), (ou force relatve) par: p(x) = q k= F( X ) 1 F( X La sélecton d un ndvdu se fat de la manère suvante. Sot q = p( Xk) la probablté d apparton cumulée d un ndvdu X et k= 1 sot r un nombre aléatore comprs entre 0 et 1, l ndvdu retenu est: X 1 s q 1 r Ou k ) X s q -1 <r q pour 2 q (q étant le nombre d ndvdu dans la populaton) Ce processus est répété q fos. Avec ce prncpe, un ndvdu fort peut être sélectonné pluseurs fos. Par contre un ndvdu fable a mons de chance d être sélectonné. Et nous ntrodusons une foncton de contrôle qu va élmner les ndvdus pour lesquels seulement une mnorté de gènes ont changé de valeurs par rapport au chromosome ntal : Ch-ntal. 5

6 Pusque nous nous sommes ramenés à un problème de permutatons avec contrantes, nous applquons alors les opérateurs génétques adaptés à ce genre de problème. Etape 4: Applcaton des opérateurs génétques Crosement MPX (Maxmal Preservatve X) : Ce crosement a été proposé par Mülhenben [8] et [9] pour le problème du voyageur de commerce. L dée de cet opérateur est d nsérer une parte du chromosome d un parent dans le chromosome de l autre parent de telle façon que le crosement résultant sot le plus proche possble de ses parents. C est un crosement à deux ponts. Les deux fls sont obtenus de manère symétrque. Par un exemple nous llustrons le fonctonnement. Exemple : Parent 1 : a b c d e f g h j k l Parent 2: c b a g h j l k f d e La zone de crosement est comprse entre les postons 5 et 9. La premère étape consste à recoper la zone de crosement du parent 1 sur le fls 1. Ensute, les gènes du fls qu ne sont pas dans la zone de crosement sont complétés de la façon suvante: Le ème gène du parent2 est recopé sur le ème gène du fls 1 s cette recope respecte les contrantes(ne crée pas une tournée ncohérente). Snon, le ème gène du parent1 est recopé sur le ème gène du fls 1 s cette recope ne crée pas de doublons.. S les deux cas précédents ne peuvent pas s applquer, le ème gène du fls 1 reçot un gène de la zone de crosement du parent 2 qu respecte les contrantes(premer non prs). Fls 1 : c b a d e f g h j k l Fls 2 : a b c d h j l k f e g Ce crosement est applqué aux ndvdus sélectonnés avec un taux ben précs. D après [6], le melleur taux est de l ordre de 60% à 100%. 6

7 Mutaton de transposton : Nous chosssons la mutaton qu consste à permuter aléatorement deux gènes d un chromosome. Cet opérateur est applqué aux ndvdus ssus du crosement avec un taux adapté, de préférence de 0.1% à 5% [6]. Placer la nouvelle progénture dans une nouvelle populaton P +1. Répéter les étapes 2, 3 et 4 jusqu à un crtère d arrêt. Défnr la condton d arrêt : La foncton F est bornée car 0 F( X ) 2 l pour tout ndvdu X. En effet : card ( Lk ) card ( L ) ( card ( Lk ) + card ( L )) card( Lk ) + card( L) 2* l Théorquement et mathématquement parlant, la foncton F admet un maxmum Max pusqu elle est bornée. En pratque, nous ne somme pas sûrs que F converge vers Max. Cependant, d après certans résultats de recherches [1], la convergence est assurée mas peut-être vers une valeur proche de Max, détermnée expérmentalement. PHASE FINALE DE L ALGORITHME : A partr de la melleure soluton Ch-fnal obtenue par O.T.L nous consttuons le bloc chffré correspondant. Ensute nous concaténons ces blocs chffrés (obtenus par les dfférents processeurs). Cec nous donne le message chffré M' du message ntal M. (1)Broullage: ce broullage peut être effectué par combnason de pluseurs méthodes smples comme les substtutons[3][12] ou les transpostons matrcelles[3]... Là, nous devons dsposer de clés secrètes symétrques. (2) Bonnes permutatons: comme les permutatons qu nversent l'ordre des éléments (par exemple (a b c d e) devent (e d c b a)). Et en général, toutes les permutatons pour lesquels aucun élément n'a gardé sa poston ntale. 7

8 3.Déchffrement Le déchffrement dot commencer par la recherche de la récproque de la dernère opératon du chffrement. Ans le message M sera décomposé de nouveau en m blocs B de même talle l. 3.1.Déchffrement d un bloc Une fos la melleure soluton Ch-fnal est donnée par l algorthme, nous dentfons alors la permutaton qu, partant de Ch-ntal aboutt à Ch-fnal. Cette permutaton servra de clé de sesson pour obtenr le chromosome ntal Ch-ntal. Ans à la fn de l algorthme nous ajoutons une foncton dont le rôle est d établr cette dentfcaton Déchffrement du broullage Toutes les fonctons ou opératons utlsées dans le broullage (1) admettent des récproques permettantes ans faclement le déchffrement grâce aux clés symétrques. 4. Dscusson. Etant donné que la plupart des processus utlsés dans les algorthmes évolutonnstes sont aléatores, cec donne de la résstance à notre algorthme de chffrement. En effet, l'aléatore est un ennem des cryptanalystes. D'autant plus, nous avons exploté ces processus pour dédure la clé de sesson en plus de clés secrètes symétrques utlsées ntalement. Ces dernères renforcent la sécurté davantage. Cela dt, notre algorthme jout de tous les avantages d'un algorthme évolutonnste, à savor: smplcté, rapdté, coût fable des opérateurs génétques et performance. Il sufft de chosr des paramètres (taux de populaton, taux des opérateurs, ) adaptés. Pour ben stuer notre traval deux cas se présentent: 1-S la clé de sesson peut être achemnée à travers un canal sûr (comme dans n'mporte quel chffrement symétrque à clé de sesson) alors nous avons établ un algorthme de chffrement symétrque. 2-S la clé de sesson est chffrée par un algorthme asymétrque ensute envoyée accompagnée du message chffrée nous pouvons dre que nous avons établ un système de chffrement hybrde (comme PGP). 8

9 5.Concluson Les domanes d'applcaton des algorthmes évolutonnstes s'étendent de plus en plus et l'avenr est à eux. Mas en dépt de leur smplcté, les algorthmes évolutonnstes ne sont pas évdents dans leur applcaton. En fat, concevor et réalser un bon algorthme évolutonnste demande une bonne connassance du problème, une bonne compréhenson des mécansmes évolutonnstes et beaucoup de créatvté. Nous avons vécu tout cela avant de franchr les tros obstacles de base dans un algorthme évolutonnste soent: -Le codage du problème en essayant de le ramener dans notre cas à un problème d'ordonnancement. -Le codage des chromosomes (ou ndvdus). -La défnton de la foncton d'évaluaton. Mas cela en vaut la pene vu les avantages mentonnés dans la dscusson plus haut. En contre parte, les études théorques sur la vtesse de convergence et de l'nfluence des jeux de paramètres sont jusque là un vra chanter de travaux mathématques rgoureux. 6.Bblographe [ 1] Catherne Khan Phang. "Algorthmes heurstques et évolutonnstes" Thèse de doctorat unversté de Llle.Octobre [2] Chrstophe Caux- Henr Perreval- Mare-Claude Portmann " Les algorthmes génétques et leur applcaton aux problèmes d ordonnancement " APII. Volume 29-N 4-5/1995 pages 409 à 443. [3] Florn.G et Natkn.S " les technques de la cryptographe " CNAM [4] Ghslane Labouret "Introducton à la cryptographe " [5] Goldberg D.E. " Genetc algorthms n search optmsaton & Machne Learnng " (Addson-Wesley. Publshng Company, Inc)

10 [6] Grenfenslette,j.j "optmsaton of control parameters for genetc algorthms" IEEE translaton on systems Man, and cyberntcs Vol 16 N 1 pp [7] Mchel Arbo FAQ de sc.crypt "Cryptographe à clé publque". free /crypt FAQ/ [8] Mühlenben H., "Evolutonary Algorthms: Theory and applcatons" (Wley) [9] Mühlenben H., and Schlerkamp-Voosen D. "Predctve Models for the Breeder Genetc Algorthm-I, contnuous Parameter Optmzaton. Evolutonary computaton,1(1),25-49".1993 [10] Omary.F, Lbekkour.A et Tragha.A "Extenson des applcatons des algorthmes évolutonstes ".Rapport nterne N 7 / 01/ 2004.Département de mathématques et nformatque Faculté des scences -Rabat. [11] PGP. "Personal Prvacy pour wndows 95, 98 et NT" NAI (traducton françase:news.msc-cryptologe,1998) [12] Renaud Tsserand., "Etat de l'art sur la cryptographe" Bographe : Fouza Omary. Ensegnante chercheur au département de mathématques et nformatque à la faculté des scences Unversté Mohammed V Rabat depus Mathématcenne de formaton, elle a poursuv ses études de 3 ème cycle en nformatque à la même unversté. Le sujet de la thèse se stuat dans les dfférents domanes soent: analyse syntaxque, ncrémentalté et parallélsme.elle a été professeur responsable de l'nformatque théorque pendant cnq ans au sen du même département. Ses domanes de recherche actuels sont les algorthmes évolutonnares, la cryptographe et la complexté des algorthmes. 10

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