OPERATEURS LINEAIRES FONCTION FILTRAGE. CHAPITRE 13-5 Version complète OBJECTIF DU CHAPITRE : I FONCTION DE TRANSFERT D UN OPERATEUR LINEAIRE
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1 E.C. P3 OPERATEURS LINEAIRES FONCTION FILTRAGE CAPITRE 3-5 OBJECTIF DU CAPITRE : La conception d un montage électronique résulte d un besoin : alimenter le moteur d un jouet ; ampliier un son ; etc. On dispose pour cela d une source d énergie électrique : le secteur, une pile, etc. Entre les deux, il nous aut connecter un montage dont le rôle est de transormer le signal ourni par le générateur en un signal adapté à notre objecti. Dans ce chapitre, seront déinis les outils permettant de décrire comment le montage permet de modiier le signal d entrée en un signal de sortie adapté : sa onction de transert et sa onction électronique. La méthode d étude de ce système repose sur le tracé de deux courbes constituant le diagramme de Bode du système. I FONCTION DE TRANSFERT D UN OPERATEUR LINEAIRE ) Déinitions Un montage constitue une chaîne électronique : En amont, un dipôle générateur ; en aval, la charge ; entre les deux, une succession d opérateurs qui modiient la tension d entrée u e (t), ain de l adapter à la charge (tension de sortie u s (t)). Chaque opérateur réalise une onction électronique : ampliication, inversion de signe, sommation, etc. Sur l exemple de chaîne électronique ci-contre : L opérateur est constitué de dipôles linéaires : C est un opérateur linéaire. Pour, on peut déinir deux grandeurs d entrée x e (jt) : u e et i e ; et deux grandeurs de sortie y s (jt) : u s et i s. En régime sinusoïdal orcé, est caractérisé par sa onction de transert : jω. Celle utilisée en général dans ce chapitre est l ampliication en tension. Exemple de onction de transert : Calculons, pour en sortie ouverte, l ampliication en tension jω. En sortie ouverte signiie : Pas de charge Z u en sortie, donc i s =. u e i e Z R i s = i e Z c u s Z R et Z C sont traversées par la même intensité : Elles constituent un pont diviseur de tension : u u s e Z c Z Z R c jc R jc ( j) j Remarque : Le dénominateur de est un polynôme de degré en j : On dit que est un opérateur du premier ordre. ) Intérêt des onctions de transert Continuons sur l exemple précédent. Pour l opérateur en sortie ouverte : jω nous permet de comparer la grandeur de sortie u s (t) à la grandeur d entrée u e (t) : En amplitude : jω En phase : le déphasage de u s par rapport à u e est égal à θarg Arg. < Comparé au signal d entrée, le signal de sortie est atténué. En onction de : jω Si : U smax = U emax : le signal est transmis par l opérateur Si + : U smax = : le signal est annulé par l opérateur L opérateur transmet les signaux de basse et annule les signaux de haute : engendre un eet de iltrage. /9 Dernière modiication : er novembre 6
2 E.C. P3 CAPITRE 3-5 II FONCTION ELECTRONIUE DE FILTRAGE ) Signaux d entrée et spectre Les signaux que nous appliquerons en entrée des iltres peuvent être décrits par leur spectre. Voyons quelques exemples : V Fonction sinusoïdale alternative de (valeur moyenne nulle) = cos( t) Son spectre : La raie représente une onction sinusoïdale de (abscisse) d amplitude V (ordonnée) V Fonction sinusoïdale de et de valeur moyenne,5 V =,5 + cos( t) Son spectre : La raie de nulle représente la valeur moyenne du signal,5 V. La raie de représente la onction sinusoïdale [, V] V Fonction = cos 3 ( t) 3 En linéarisant : cos 3 ( t) =,5cos( t) +,5cos[3( t)] Le spectre a donc deux raies : La raie de représente la onction sinusoïdale [,,5 V]. La raie de 3 représente la onction sinusoïdale [3,,5 V] ) Déinition d un iltre parait Soit une excitation périodique de. Ses harmoniques sont de la orme : e k (t) = A k cos[(k )t + k ]. s des harmoniques : A k s des harmoniques : k = k. Spectre de : La raie A de nulle est un signal continu. s Valeur moyenne C est la valeur moyenne de. L harmonique (,A ) a même que. A A ondamental C est le ondamental de. A A 3 s 3 /9 Dernière modiication : er novembre 6
3 E.C. P3 CAPITRE 3-5 Un iltre est un opérateur qui transmet de manière sélective des harmoniques de. Exemple : Mesure de la valeur moyenne de Le iltre à réaliser doit transmettre le signal continu A et annuler les harmoniques e (t), e (t), On en déduit les caractéristiques du iltre. Soit une c <. = si < c bande passante : [, c ] = si > c bande coupée : [ c,+ ] Fréquence de coupure : c. c Pour un iltre parait : = dans la bande passante. = dans la bande coupée. 3) Les quatre types de iltre On utilise le même ormalisme que ci-dessus. Filtre passe-bas : transmet les signaux de basse et annule les signaux de haute. Application : circuit moyenneur mesure de la valeur moyenne d un signal principe du onctionnement d un voltmètre en position DC Filtre passe-haut : transmet les signaux de haute et annule les signaux de basse. Application : annulation de la valeur moyenne d un signal (la valeur moyenne A est dans la bande coupée : elle n est pas transmise). principe du onctionnement d un oscilloscope en position AC Filtre passe-bande : transmet les signaux dont la est comprise entre deux valeurs,. Application : circuit d accord d un récepteur radio. Soit une station radio émettant sur une. uand on règle un récepteur radio, on déplace la bande passante [, ]. uand celle-ci contient la émettrice, le récepteur est accordé. Filtre réjecteur : Annule les signaux dont la est comprise entre deux valeurs,. Application : élimination du bruit à 5 z. 5 z est la du secteur. Les petits signaux sont perturbés par des parasites à 5 z. Un iltre réjecteur, dont la bande coupée contient la 5 z, permet d éliminer ce bruit. c Bande passante c Bande passante BP Bande coupée III METODE D ETUDE DE LA REPONSE FREUENTIELLE D UN OPERATEUR LINEAIRE On ait varier la pulsation ( = ), et on compare la réponse u s (jt) à l excitation u e (jt), par le tracé de deux courbes en coordonnées semi-logarithmiques : gain en décibels en onction de. Déphasage de u s (t) par rapport à u e (t) en onction de. Ces deux courbes constituent le diagramme de Bode de l opérateur. 3/9 Dernière modiication : er novembre 6
4 E.C. P3 CAPITRE 3-5 Exemple : Traçons au tableur le diagramme de Bode de la onction de transert de l opérateur en sortie ouverte. Nous décrirons les courbes ensuite. Fonction de transert de l opérateur : ( j) j Courbe de gain : () = log Courbe de phase : = Arg () avec avec Arg () = -Arctan ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 Arg(), -, -,4 -,6 -,8 -, -, -,4 -,6 -,8,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 III.) Description de l allure des courbes III..a Gain en décibels Justiions l expression du gain, écrite ci-dessus : () = log Ps Gain en puissance: G p log unité: le bel (B) P e xe y s bel = décibels ( B = db); d'où le gain en puissance exprimé en décibels: Gain en courant P est proportionnelle à I Gain en tension De même: G log I I s max max. Donc GdB log e max U s max db U e max I s max log I e max G p db Ps log. P e Plus généralement: log ( j ) III..b Décade et échelle logarithmique Décrivons à présent les graduations logarithmiques de l axe des abscisses. Une décade est un intervalle de s [, ] déini par:. On a donc log - log = décade. D'où l'échelle logarithmique: III..c Description de la courbe de gain La pulsation intervient par. [] = [R][C] =. est une pulsation réduite : c est une grandeur proportionnelle à ; sans dimension On choisit de représenter en onction de. Aux aibles pulsations, le gain est quasiment constant et nul : l amplitude en sortie est égale à l amplitude en entrée. L opérateur transmet les tensions de basse. Aux grandes pulsations, le gain est négati : l amplitude en sortie est inérieure à l amplitude en entrée. L opérateur atténue les tensions de haute. En conclusion : L opérateur est un iltre passe-bas. 4/9 Dernière modiication : er novembre 6
5 E.C. P3 CAPITRE 3-5 III..d Description de la courbe de phase u La courbe de phase : = Arg (), avec s j u e rapport à la tension d entrée. Aux aibles pulsations le déphasage est quasiment constant et nul : jt, représente les variations du déphasage de la tension de sortie par jt u s (t) et u e (t) sont en phase. Aux grandes pulsations le déphasage de u s (t) par rapport à u e (t) est quasiment constant et égal à : u s (t) est en retard d un quart de période par rapport à u e (t). III.) Justiication de l allure des courbes Les deux courbes présentent des portions rectilignes. Ain d interpréter celles-ci, on se propose : de simpliier la onction de transert d interpréter les portions rectilignes de la courbe de gain d interpréter les portions rectilignes de la courbe de phase III..a Fonction de transert asymptotique On rappelle la onction de transert de : ( j). j Aux très aibles pulsations, <<. Ainsi, la partie imaginaire est-elle négligeable devant, et on peut écrire : Aux très basses pulsations : << soit dans la pratique ( j) De même, Aux très hautes pulsations : >> soit dans la pratique ( j) j III..b Interprétation des portions rectilignes de la courbe de gain Aux très basses pulsations, on observe une portion horizontale. En eet : ( j) ( j) log ( j ). Le gain est constamment nul. Aux très hautes pulsations, on observe une portion oblique. En eet : ( j) ( j) j log ( j ) log. ue vaut le gain, sur cette portion rectiligne, lorsque la pulsation varie d une décade ( devient ois plus grande)? A la pulsation ( ) log A la pulsation ( ) log log log ( ) GdB ( ) Le gain diminue de db quand la pulsation augmente d une décade. La pente de la portion oblique est donc - db/décade. III..c Interprétation des portions rectilignes de la courbe de phase Aux très basses pulsations, on observe une portion horizontale. En eet : ( j) Arg = Arg =. Le déphasage de u s (t) par rapport à u e (t) est constamment nul. Aux très hautes pulsations, on observe une portion horizontale. En eet : ( j) Arg ( j) Arg() Arg j. j Le déphasage de u s (t) par rapport à u e (t) est constamment égal à. III.3) Exploitation des courbes III.3.a Bande passante à -3 db d'un iltre réel C'est l'ensemble des pulsations telles que ( j ) max Dans la bande passante: log log max - log( ) Gmax 3dB La pulsation de coupure c est déinie par ( j ) max c 5/9 Dernière modiication : 6 novembre 8
6 E.C. P3 CAPITRE 3-5 Exemple: Opérateur en sortie ouverte Etude graphique : Sur la courbe de gain page 4, on constate que G max = db. En limite de bande passante, le gain vaut donc : ( c ) = 3 db = -3 db. La courbe indique que = -3 db pour =. La pulsation de coupure vaut donc : c. Sur la courbe, on lit également que le gain est supérieur à -3 db pour <. La bande passante est donc l'intervalle de pulsations,. Etude analytique : Dans la bande passante, ( j ) max La bande passante est l'intervalle de pulsations,, et à la coupure : c. On retrouve la nature du iltre : Il transmet les signaux de basse et annule les signaux de haute : est un iltre passe-bas. III.3.b Filtrage par l opérateur d une combinaison de onctions sinusoïdales Le but de ce paragraphe est d observer la réponse de l opérateur, lorsqu il est soumis en entrée à un signal constitué de plusieurs onctions sinusoïdales. Nous prendrons comme exemple le signal non sinusoïdal décrit page 3 : = cos 3 ( t), qui peut être décomposé en deux onctions sinusoïdales en phase : =,5cos( t) +,5cos[3( t)] Si c est la de coupure du passe-bas, la de sera prise égale à c. Dans un premier temps, nous raisonnerons de manière qualitative, en nous basant sur la notion de iltre passe-bas. Puis nous raisonnerons de manière quantitative, en calculant amplitude et phase à l origine de chaque composante sinusoïdale en sortie. Etude qualitative : La de la première raie du signal d entrée est plus petite que la de coupure c ; l autre est plus grande. L opérateur ne transmet que les signaux de inérieure à c (passe-bas). Seule la composante [ ;,5 V] est observée en sortie. Le signal de sortie est une tension sinusoïdale de et d amplitude,5 V. Filtre = s e V V c 3 c 3 Etude quantitative : est la somme de deux onctions sinusoïdales. D après le théorème de superposition, le signal de sortie sera la somme des réponses à chacune de ces onctions. =,5cos( t) +,5cos[3( t)] Filtre = s e e (t) =,5cos( t) s (t) e (t) =,5cos[3( t)] s (t) 3 = e (t) + e (t) = s (t) + s (t) 6/9 Dernière modiication : 6 novembre 8
7 E.C. P3 CAPITRE 3-5 Il nous aut donc remplir le tableau page 7, en s appuyant sur le ormulaire suivant : e (t) est de la orme e (t) = E max cos( t + ) avec c et =. ( j) avec c ( j ) avec = j j j c c Arg() = -Arctan c c s (jt) = (j) e (jt) S max = E max Arg (s ) = Arg () + Arg (e ) Entrée Transert Sortie Phase à Phase Fréquence (j) Arg () l origine l origine c,5 V j Arc tan 3 (V) Arc tan c 3 3,5 V 3 j Arc tan (V) Arc tan 3 3 D où les signaux en entrée et en sortie. à Filtre = s e V c 3 V c 3 La tension de sortie se rapproche de la sinusoïde prévue qualitativement, mais la onction de 3 perturbe malgré tout le signal. Le iltrage n a pas été suisant. IV DIFFERENTS TYPES DE FONCTIONS DE TRANSFERT Après l étude exhaustive de l opérateur, un exemple de iltre passe-bas du premier ordre, sur les deux pages suivantes sont représentés les diagrammes de Bode des onctions de transert les plus courantes. On peut distinguer : les quatre types de iltre : passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur ; les iltres du premier ordre et les iltres du deuxième ordre. Plus l ordre du iltre augmente, plus les pentes des courbes de gain sont grandes, et le iltrage plus eicace. 7/9 Dernière modiication : er novembre 6
8 E.C. P3 Diagrammes de Bode des onctions de transert du er et du ème ordre CAPITRE 3-5 Légende : Les courbes sont tracées pour A = Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes Tjx x A jx c : de coupure Arg ( ) ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 x Tjx x A jx c : de coupure - - Arg ( ) ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 x A Tjx jx jx x : propre (trait plein double) : présence d un phénomène de résonance (trait plein simple) : pas de résonance Arg ( ) ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 x 8/9 Dernière modiication : 6 novembre 8
9 E.C. P3 Diagrammes de Bode des onctions de transert du er et du ème ordre CAPITRE 3-5 Légende : Les courbes sont tracées pour A = Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes jx Tjx A jx jx x : propre Arg ( ) (trait plein double) : présence d un phénomène de résonance (trait plein simple) : pas de résonance ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 x jx A Tjx jx A x jx jx - Arg ( ) 9 6 x : propre - 3 x Les asymptotes se coupent en G log ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 x A Tjx j x x x : propre Arg ( ) ,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 x 9/9 Dernière modiication : 6 novembre 8
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