Fluctuation et estimation

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1 Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique II. Itervalle de fluctuatio pour ue loi biomiale II.2 IItervalle de fluctuatio asymptotique II.3 Predre ue décisio à partir d ue itervalle de décisio III Itervalle de cofiace IV Exercice (livre Math x) I Idetificatio de la situatio O cosidère deux ures U et U 2 coteat chacu u grad ombre de boules, rouges ou bleues. Das l ure U 2, o igore la proportio de boules Das l ure U, o coaît la proportio p de rouges. boules rouges. O effectue des tirages avec remise de boules ; O procède à des tirages, avec remise, de boules o essaye alors d estimer la proportio p de boules et o observe la fréquece d apparitio d ue boule rouges das l ure, proportio dot o a aucue rouge. idée a priori. Cette fréquece chage à chaque série des tirages. Cette estimatio se fait au moye d u «itervalle Celle-ci appartiet à u «itervalle de fluctuatio» de cofiace». Cet itervalle déped d u coefficiet, le «iveau de cofiace» que l o attribue à de cetre p, dot l amplitude dimiue avec. O est ici das le domaie de l échatilloage et l estimatio. de l itervalle de fluctuatio. O est ici das le domaie de l estimatio et de l itervalle de cofiace II II. Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique Itervalle de fluctuatio pour ue loi biomiale Défiitio Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B( ; p) et soit α ]0 ;. a ; b ] est u itervalle de fluctuatio au seuil α sigifie que P(a X b)= α. O choisit a le plus petit etier tel que p(x a) > 0, 025. O choisit b le plus grad etier tel que p(x b) > 0, 975.

2 II.2 IItervalle de fluctuatio asymptotique Théorème et défiitio Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale B( ; p). et soit α u réel tel que 0<α<. Si X est ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite N (0 ; ), o appelle u α l uique réel tel que p ( u α X u α = α). O appelle I α l itervalle I = ( ) Alors lim p X + I = α. p u α ; p+ u α ]. L itervalle I cotiet la fréquece F = X avec ue probabilité qui se rapproche de α lorsque augmete : o dit que c est u itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil α. Démostratio : O pose Z = X p p p] et o applique le théorème de Moicre-Laplace. Si X est ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale cetrée réduite N (0 ; ), o appelle u α l uique réel tel que p ( u α X u α )= α. (voir chapitre précédet). lim p (Z u α ; u α ])= p (X u α ; u α ])= α. + Or Z u α ; u α ] u α X p u α. p u α X p+ u α p u α X p+ u α (e divisat tout par ). Exemple : O a ue ure coteat des boules bleues et rouges ; la proportio de boules rouges est p=0,4. O tire 50 boules ; o souhaite détermier l itervalle de fluctuatio au seuil α = 0,. À la calculatrice, o trouve u 0,,645 (o cherche β tel que F (Z β)= α = 0,95) où F est la foctio de 2 répartitio de la loi ormale cetrée réduite. 0,4 0,6 0,4 0,6 L itervalle de fluctuatio est doc I 50 = 0,4 u 0, ; 0,4+u 0, ]=0,286 ; 0,54] Aisi, e effectuat 50 tirages das cette ure, la fréquece d apparitio d ue boule rouge est comprise etre 0,286 et 0,54 avec ue probabilité de 0,9. Remarque : Pour 500 tirages, toujours avec ue probabilité de 0,9, o obtiet comme itervalle de fluctuatio I 500 = 0,364 ; 0,436] ; l amplitude de l itervalle a été divisée par plus de trois. Cas particulier : O sait que, pour α=0,05, o a u α,96. O e déduit : Défiitio L itervale de fluctuatio au seuil de 0,95 de la variable aléatoire fréquece F est défii par : ] p,96 ; p+,96 Page 2/6

3 Illustratio du calcul de u 0,05 : A = 0,95 0. c = 0.95 C 0,05 2 = 0, Remarque : cet itervalle est iclus das l itervalle vu e secode : 0. p ; p+ ] Démostratio : Soit f : p ). f (p)=p p 2 ; f (p)= 2p ; f (p)=0 p = 2 ; f (p) 0 p 2. O e déduit que f est croissate sur 0 ; ] ] puis décroissate sur 2 2 ; et ce maximum est 4. O peut doc majorer,96 par 2 et par 4 = 2 doc,96 par 2 ] 2 =. L itervalle p,96 ; p+,96 est doc bie iclus das p ; p = ]. II.3 Predre ue décisio à partir d ue itervalle de décisio Remarque : pour tester u hypothèse à l aide d u itervalle de fluctuatio asymptotique, o doit vérifier que les coditios d utilisatio suivates sot vérifiées : 30 ; p 5 et ( p) 5. Si ces coditios sot vérifiées, o calcule l itervalle de fluctuatio asymptotique I au seuil α (e gééral, 0,95). Si la fréquece observée appartiet pas à l itervalle I, o rejette j hypothèse. Exemple Das u casio, il a été décidé que les «machies à sous» doivet être réglées sur ue fréquece de gai du jouer de p = 0,6. Ue fréquece iférieure est supposée faire fuir le cliet et ue fréquece supérieure ruier le casio. Trois cotrôleurs différets vérifiet ue même machie. Le premier a joué 50 fois et gagé 2 fois, le deuxième a joué 20 fois et gagé 4 fois et le troisième a joué 400 lis et gaté 30 fois. E utilisat à chaque fois l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 95 %, quelle décisio a pu redre le cotrôleur? Solutios : Premier cotrôleur : = mais p = 50 0,06=3<5 doc les coicios e sot pas réuies. Deuxième cotrôleur : = 20>30 ; p = 7,2>5; ( p)=2,8> 5 : les coditios sot réuies. 0,06 0,94 0,06 0,94 I 20 = 0,06,96 ; 0,06+,96 ] 0,07 5 ; 0,02 5] Page 3/6

4 La fréquece observée est f 2 = ,6 7 I 20. Le cotrôleur est coduit à rejeter l hypothèse que p = 0,06 (il a trop souvet gagé). Troisième cotrôleur : = 400>30 ; p = 24>5; ( p)=376>5 : les coditios sot réuies. 0,06 0,94 0,06 0,94 I 400 = 0,06,96 ; 0,06+,9 ] 0,036 7 ; 0,083 3] La fréquece observée est f 3 = = 0,075 I Le cotrôleur est coduit à accepter l hypothèse que p = 0,06 III Itervalle de cofiace Das ce paragraphe, la proportio p du caractère étudié das la populatio est icoue ; o essaye de l estimer à partit d u échatillo pris das la populatio. Défiitio Pour tout α ]0 ;, u itervalle de cofiace pour ue proportio p au iveau de cofiace α est la réalissatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à α. Il y a plusieurs itervalles de cofiace possibles. E Termiale, o cosidère celui-là : Propriété L itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 05 % est l itervale I = fréquece observée du caractère sur u échatillo de taille. f ; f + ]où f ets la Exemple d applicatio : Lors d u scruti électoral, o souhaite coaître la proportio p de fraçais votat pour le cadidat «A». L istitut SOFOS mèe ue equête auprès de 000 persoes tirées au hasard et avec remise (c est-à-dire qu ue même persoe peut évetuellemet être choisie plusieurs fois). Le résultat idique qu ue proportio f = 49 % d etre elles voterot pour le cadidat «A».. Quelle est la loi suivie par le ombre de persoes votat pour «A» das ue equête avec remise effectuée auprès de 000 persoes? 2. État doé le résultat de l equête SOFOS. doer u itervalle de cofiace à 95 % pour l estimatio de p. 3. Peut-o affirmer d après l equête que le cadidat «A» aura pas la majorité des votes, c est- à-dire que p < 0,5? Solutio. chaque étape de l equête, il y a ue probabilité p de tirer ue persoe votat pour «A», car o procède à des tirages avec remise. De plus, les 000 tirages sot effectués de faço idépedate. L equête est doc u schéma de Beroulli dot chaque succès correspod à tirer ue persoe votat pour «A», Le ombre de persoes votat pour «A» das l equête suit doc ue loi biomiale B( ; ) où p est icou. Page 4/6

5 2. Notos F la proportio de persoes votat pour «A» parmi 000. D après le cours, si 30, p > 5,( p)>5, u itervalle de cofiace au iveau 95 % pour p est F ; F + ] Ici, = 000> 30, p 5 p 0,005 et ( p) 5 p 0,995. O e coaît pas p, mais au vu de l elquête, f = 0,49, doc o peut raisoablemet peser que p les coditios sot vérifiées. L itervalle de cofiace est 0, ; 0, ]=0,458 ; 0,522]. 3. L itervalle de cofiace précédet motre qu i est tut à fait possible que p 0,5. Doc il est pas raisoable d affirmer suite à l equête que le cadidat «A» obtiedra pas majorité des votes. Autre exemple : Das ue ure coteat des boules rouges et bleues e proportios icoues, o effectue des tirages au hasard avec remise.. Après avoir effectué 00 tirages, o compte 52 boules rouges et 48 boules bleues. Doer u itervalle de cofiace à 95 % de la proportio p de boules rouges das l ure. 2. Combie faudrait-il, au miimum, effectuer de tirages pour obteir u itervalle de cofiace à 95 % de logueur iférieure ou égale à (c est-à-dire ue précisio d au mois 0,02)? Solutio. Avec = 00 et f = 0,52, o a f = 0,42 et f + = 0,62. U itervalle de cofiace à 95 % de la proportio p de boules rouges das l ure est : 0.42 ; 0,62]. 2. O cherche le plus petit etier aturel tel que 0 2. O trouve 0 4. E prélevat au mois boules, o obtiet u itervalle de cofiace à 95 % à la précisio 0,02. IV Exercice (livre Math x) Pour décider la costructio d u grad stade, ue muicipalité veut soder la populatio pour estimer si plus de 50 % des électeurs y sot favorables.. La muicipalité réalise u sodage aléatoire de taille 00 et obtiet 54 avis favorables. a) Quelle est la fréquece f d avis favorables sur ce sodage? b) La muicipalité peut-elle décider la costructio du stade e prétextat que plus de 50 % de la populatio est favorable? 2. O suppose que la muicipalité réalise u sodage de taille et que la fréquece f des votes favorables reste égale à 0,54. Si p est la proportio (icoue) d avis favorables das la populatio, doer l expressio d u itervalle de cofiace de p au iveau de 95 %. 3. La muicipalité e costruira le stade que si la proportio p d avis favorables dépase 50 %. a) Motrer que pour avoir p > 0,5, au seuil de cofiace de 95 %, il suffit d avoir : 0,54 > 0,5. b) Détermier le plus petit etier 0 à partir duquel l iéquatio est vérifiée. c) Si le sodage, avec la même fréquece observée portait sur 650 persoes, pesez-vous que le stade serait costruit? Page 5/6

6 Solutio. a) f = 0,54 b) Au iveau de cofiace de 95 %, l itervalle de cofiace est 0,54 00 ; 0, ]=0,44 ; 0,64]. O e peut pas affirmer, au iveau de cofiace de 95 %, p > 0,5. La répose est o. 2. I = 0,54 ; p+ ]. 3. a) Pour avoir p > 0,5, il suffit, au iveau de cofiace de 95 %, d avoir 0,54 > 0,5. b) Cela équivaut à > 625 doc 0 = 626. c) Pour = 650, o aurait p > 0,5 avec u iveau de cofiace de 95 %. Le stade serait costruit. Page 6/6