Méthodes «volumes finis»

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1 Méhodes «volmes s» ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhodes «volmes s» : rodco Déreces es Dscréso des éqos sr grd srcré crése Méhode smple e rpde Fclé de clcl des dérvées Ps de solo «ble» Ps de soplesse de mllge Elémes s Dscréso des éqos égrées sr des élémes Esece d e solo ble Robsesse e soplesse (mllge qelcoqe) de l méhode Coûese e emps de clcl (verso de mrces) Volmes s Esece d e solo ble Mllge qelcoqe Méhode eplce, clcls mos coûe qe EF ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH)

2 Méhodes «volmes s» : rodco Prcpes de bse : Décopge d dome e volmes de corôle Iégro des éqos sr chqe volme Plsers mlles de volmes s ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Dérees pproches : prcpleme de mlles de méhodes VF Formlo «cell-ceered» volmes de corôle = cellles d mllge coes «à posoer déqeme» bsece de recovreme o zoe décovere Formlo «ode-ceered» coes sommes d mllge volmes de corôle à recosrre remllge écessre rsqe de recovreme ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 2

3 Prcpes de l méhode So sysème de éqos rsores mses sos orme coservve s g b y Iégro sr e srce de corôle, héorème de Gree ds dv S : s g ds ds b ds S y S S S y S s ds g d b ds S Vler moyeée sr le volme por s e b, s s c Cl Clcl lpproché por S g y c c S b c Eemple : dscréso emporelle eplce mllge srcré S y c c yc s l s l l c yg b S c c 0 c ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Ordre de précso de l méhode : erme sore So à égrer sr e srce S Pr Tylor, s P es le cere de grvé de S : I S ds 4 ds P S O( h ) S Por le erme sore, secod ordre de précso s o plce les coes CG s s ds S S P O( h²) Icoe cere de grvé ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 3

4 Ordre de précso de l méhode : erme covec Formlo coservve Théorème de Gree g ds ds g y y S S Problème d clcl des l à l erce F, ½ F F ½, ½, F, ½ (,) q -/2 h h + q +/2 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Ordre de précso de l méhode : erme covec Iégro d l sr le coor Ulso de G pos de Gss : Nb ps de Gss Mllge 2 o-srcré er ordre 3 ème ordre srcré régler 2 ème ordre 4 ème ordre c G g d g, y p y pc c c p Clcl des l Ao d e errer spplémere, de clcl ppromé des l sr les rêes : S l clclé à l ordre O(h ) errer spplémere d ordre O(h - ) Sr mllge régler, l errer se réd à O(h ) O(h²) sr mllge srcré, s po de Gss Fl clclé secod ordre O(h²) sr mllge qelcoqe, s 2 pos de Gss Fl clclé 3 ème ordre ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 4

5 Orgso ypqe d code volmes s Lecre des doées e lsos Clcl des cers de podéros por les dérvées Bo ocle sr le emps Evlo d ps de emps Recosrco des coes bords Evlo des l (FVS, FDS, ) Clcl des bls Mse à or des coes œds ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Recosrco des vrbles déerme l précso des l Recosrco cose : vler sr les rêes = vler cere de grvé de l éléme vos Recosrco lére : vler sr les rêes = vler CG de l éléme vos erpolée léreme Cose Lére Sr mllge srcré régler, o O(h²) s : po de Gss recosrco lére o O(h) s : po de Gss recosrco cose Sr mllge qelcoqe, o O(h²) s : 2 pos de Gss recosrco qdrqe o O(h) s : po de Gss recosrco lére ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 5

6 Recosrco des vrbles déerme l précso des l Recosrco cose : r U r r r s Recosrco lére : r U r r r r r s T 2 Sr mllge srcré régler, o O(h²) s : po de Gss recosrco lére o O(h) s : po de Gss recosrco cose Sr mllge qelcoqe, o O(h²) s : 2 pos de Gss recosrco qdrqe o O(h) s : po de Gss recosrco lére ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Recosrco des vrbles lmées Codo de mooocé de Hre m U, U, U m U, U, U T ru vec K r r K r r r m U U K r m U U r k k k k 0 0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 6

7 Recosrco des vrbles lmées m U U K r m U U r k k k k 0 0 k r k r m U U k s K r0 K m U U k s K r 0 K s K r 0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Eemples de lmers v y R R R R y Brh e Jesperse Vkkrsh m m, R 0 R m R m, s R 0 R R 0 m R R m R 0 R m R s R 0 R R 0 2 z 2z z 2 z z2 m z s R 0 R m z s R 0 R ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 7

8 Clcl des l dss L esmo des l dss reqer égleme l cossce des grdes des coes bords Schém «dmod» bl ds volme de corôle prcler, délmé pr de ceres de mlles voses e de œds d mllge S Q U BPCQ d d BPCQ R B P C T ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Clcl des l dss d d BPCQ BPCQ y C Q y 2 Q B y 2 y 2 y 2 B P P C BC B Q S R P 4 C U Q P T U T 2 S R 2 C B 2 BC y BC Q P y S Q U B C R T P ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 8

9 Mllges mlbloc b c ' b' c' Dom bodry Fles evlo Ghos po ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Clcl des l rêes F F G G H H k k y z Esseel por l sblé d schém Nécessé é de cosdérer le ses de propgo des odes F +½ + ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 9

10 Clcl des l rêes Imporce d e évlo correce So e éqo de coveco pre D, vec le l = : S >0, l dscréser pr :... 0 e ssre : 0 vec : S <0, l dscréser pr : L dscréso d l do er compe de l é d écoleme vosge de l rêe ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Icohérece d e ormlo o coservve So e éqo de coveco pre D ( vrble),... 0 Résolo méhode des déreces es : ( ) S "ce q pr de 'rrve ps e +" ( )... 0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 0

11 Fl e ormlo coservve So e éqo de coveco pre D ( vrble) ( ),... 0 Résolo méhode des déreces es : S 0 0 "ce q pr de rrve e +" 0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) No cé des l e ormlo coservve So e éqo de coveco pre D ( vrble) (, 0 ),... 0 Résolo méhode des déreces es : S 0 e 0 0 "ce q pr de 2 'rrve ps e +" 0 Décoplge! ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH)

12 Ucé des l orcée e volmes s So e éqo de coveco pre D ( vrble) ( ),... 0 Résolo méhode des volmes s : F VF F VF F S 0 e 0 F bord /2 F bord /2 0 VF "ce q pr de rrve e +" Coclsos sr bords F bord3/2 F bord/2 0 VF ms de décoplge pr cé des l de bord! ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhodes de rcoeme Fl Vecor Splg Fl Derece Splg s s s,s Décomposo d l e de corbos L mrce covecve + / s des vlers propres posves o lles L mrce covecve - / s des vlers propres égves o lles Résolo d problème de Rem e chqe rêe Roe : résolo ece d problème de Rem lére O pred dl o «d côé où elle rrve».e. respec d ses physqe de propgo des odes ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 2

13 Mse sos orme qs-lére e éde des crcérsqes Sysème d éqos léres U U U 0 A 0 A A où l mrce cobee, S A es dgolsble vec des vlers propres réelles (.e. le sysème es hyperbolqe) AKK 0 où 0 K r r ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Mse sos orme qs-lére e éde des crcérsqes L éqo qs-lére deve E mlpl pr K décoplge des m éqos : U U U K K KK 0 K K U 0 K U K U W W 0 0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 3

14 Méhode de Frcoeme des l Décomposo e oco des vlers propres posves e égves W W 0 A KK A K K AU A K K AU Por l éqo de coveco pre D 0 ; 0 F 2 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Méhode de Godov Algorhme e ros épes : Moyege de, : Solo, cose sr le volme Fre évoler cee solo «cose pr pre» selo l éqo por ober, Sl Solo ps sv = moyee sr le volme de, Vlers moyeées, Vlers évolées, ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 4

15 Méhode «Fl derece splg» : Méhode de Godov Méhode de Godov por l éqo de coveco pre D 0 ; 0 Evolo de, = rslo à vesse, = Vlers moyeées, Vlers évolées, ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Méhode de Godov Moyege de :, 2,,,, 2,,, F F 2 2, Vlers moyeées,, = Vlers évolées, ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 5

16 Méhode «Fl derece splg» : Méhode de Godov Méhode de Godov por sysème d éqos hyperbolqes qelcoqe U U A 0 Comme re évoler?,, Vlers moyeées,???? ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Problème de Rem Prcpe d problème de Rem Éqo hyperbolqe vec codo le qelcoqe U U A 0 0 U L s 0 U(,0) U 0() U R s 0 Codo le = dscoé 0 () L R L méhode de Godov rod doc problème de Rem à chqe roère de Volme F =0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 6

17 Mse sos orme qs-lére e éde des crcérsqes N éqos dépedes : w w w 0 Le log de, o doc w 0 d dw 0 d d Solo : Propgo d odes à vesse l,,0 w w w ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Mse sos orme qs-lére e éde des crcérsqes Ds l espce crcérsqe : Le log de l ème crcérsqe d d l, w w.e. le log de l droe, l qé es cose w ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 7

18 Mse sos orme qs-lére e éde des crcérsqes Comme W K U L coe U des éqos coservves s écr U KW U w, r L solo d problème hyperbolqe es doc l sperposo d odes smples propge à vesse e qé w ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Problème de Rem Problème de Rem por l éqo de coveco pre 0 L s 0 (,0) 0() R s 0 Codo le = dscoé Propgo oco de l céléré Sépro de l espce-emps e 2 zoes d é cos 0 () L =0 R () L d=. ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) =0 R U 0 L -.<0 Corbe crcérsqe -.=0 R >0 F F U L 8

19 Méhode «Fl derece splg» : Problème de Rem Problème de Rem por sysème hyperbolqe U U W W A L L U s 0 W s 0 U(,0) U 0() W(,0) W 0() U R s 0 W R s 0 Dgolso N éqos de coveco S p 0 lors w w p, p,r 2 S p 0 lors w w p, p,l 2 w L w 2R ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Problème de Rem Problème de Rem por sysème hyperbolqe U U W W A U L s 0 L W s 0 U(,0) U 0() W(,0) W 0() U R s 0 W R s 0 Espce-emps dvsé e (m+) zoes pr des crcérsqes rspor les «vrs de Rem» W Icoes coses ds chqe zoe, solo «o-smlre» Solo = combso lére k+ k des m odes sses de l dscoé le. U L 0 U( 0, ) U( ) U(0), 0 U(, ) U( ), 0 U R m ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 9

20 Méhode «Fl derece splg» : Problème de Rem Problème de Rem por sysème hyperbolqe U U W W A U L s 0 L W s 0 U(,0) U 0() W(,0) W 0() U R s 0 W R s 0 Solo = U w, r U w,0 r,, U w r w r R, L, : p : p U(, ) U( ), 0 k+ k m U L U R 0 U( 0, ) U( ) U(0), 0 ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Problème de Rem Problème de Rem por sysème hyperbolqe,, U w r w r R, L, : p : p,,,,,,,, U w r w r w r w r R L L L : p : p : p : p U L U U L wr,, wl,, r : p,,,,,,,, U w r w r w r w r R R L R : p : p : p : p U R U U R wr,, wl,, r : p ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 20

21 Problème de Rem : Eqos d Eler Eqos o-léres!! Décomposo e odes possbles, ms rès complee Combso de ros ypes d odes Ode de coc Choc Ode d'epso!! Clcl lyqe possble, ms rès coûe!! ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) Méhode «Fl derece splg» : Fl de Godov Fl de Godov por sysème hyperbolqe Fl de l solo de Rem à l erce F F U 0 2 F U L wr, wl, r FU L wr, wl, r : p0 : p0 F U R wr, wl, r FU R wr, wl, r : p0 : p0 E moye ces de ormlos : F FU L F U R w 2 2 2, R w, L r E. c. : F L R R L ArGECo MS²F Hydrologe, Hydrodymqe Applqée e Cosrcos Hydrlqes (HACH) 2

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