1 La machine ditherme de Carnot

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1 T7: MACHINES THERMIQUES 1 La machine ditherme de Carnot 1.1 Diagramme de Clapeyron Adiabatique et isotherme : Pour un gaz parfait en évolution isotherme d où P V = nrt = constante dp P + dv V = 0 ( ) P = P V T V Pour un gaz parfait en évolution adiabatique quasi-statique c est à dire le long d une isentropique (S = constante) P V γ = constante d où Or γ = C P C V > 1 pour tout gaz parfait. dp P + γ dv V = 0 ( ) P = γ P V S V Conséquences : En diagramme PV (appelé diagramme de Clapeyron), la pente de l adiabatique est plus forte que celle de l isotherme. Illustration : P isotherme adiabatique V 1.2 Le cycle moteur Un système thermodynamique quelconque, en pratique un gaz parfait, décrit un cycle de Carnot lorsque 1. il reçoit un transfert thermique > 0 d une source chaude le long d une isotherme, 2. il évolue de manière adiabatique quasi-statique (isentropique) de à <, 3. il reçoit un transfert thermique Q 2 < 0 d une source froide le long d une isotherme, 4. il évolue de manière adiabatique quasi-statique de à. 38

2 Représenter le cycle ci-dessus en diagramme P-V (pression en fonction du volume) puis T-S (température en fonction de l entropie). Mise en équation : Pour ce qui concerne les variations d énergie, U = W + + Q 2 W est le travail total reçu par le système, négatif pour un cycle moteur, et qui fournit donc une quantité de travail W. En effet, U 1 = + W 1 U 2 = 0 + W 2 U 3 = Q 2 + W 3 U 4 = 0 + W 4 On pose alors or U est fonction d état donc W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 U = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 U = + Q 2 + W Pour ce qui concerne les variations d entropie dans le cas de transformations quasi-statiques (absence de création d entropie), En effet, S = 0 = + Q 2 S 1 = + 0 S 2 = 0 et S étant fonction d état, S 3 = Q S 4 = 0 S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 S = + Q 2 Pour un cycle U = 0 et S = 0, d où pour un cycle quasi-statique W + + Q 2 = 0 + Q2 = 0 pour un cycle irréversible W + + Q 2 = 0 + Q2 < 0 39

3 1.3 Aspect économique Avant d aller plus loin dans l étude des moteurs, il importe de bien saisir là où s arrête la physique du problème et là où démarre l étude économique. Les deux principes sont énoncés, la suite est maintenant affaire d économie. 1.4 Rendement d un moteur Nous définissons le rendement d un moteur par le rapport η = utile coûteux pour le cas qui nous intéresse, un moteur Expression : η = travail récupéré transfert provenant de la source chaude = W Montrer que pour un cycle quasi-statique Montrer que pour un cycle irréversible Démonstration : or d où en remarquant que > 0 et finalement η = 1 η < 1 η = W = 1 + Q 2 < Q 2 < Q 2 Q 2 < 1 + Q 2 < 1 η < 1 Rendemant maximal, théorème de Carnot : Le rendement 1 T2 correspond au rendement maximal d un cycle de Carnot fonctionnant de manière quasistatique. Vérifier l homogénéité et la pertinence de ce résultat. Replacer ce résultat dans son contexte historique. Déterminer le rendement maximal d un cycle de Carnot fonctionnant entre une source chaude à 1000 C et une source froide à 20 C. 40

4 1.5 Machine frigorifique Le cycle de Carnot d une machine frigorifique est parcouru en sens inverse du cycle moteur, c est donc un cycle récepteur. Il reçoit effectivement du travail pour puiser à la source froide et restituer à la source chaude. Le cycle est constitué de deux isothermes et séparées par deux adiabatiques quasi-statiques et il est parcouru dans le sens trigonométrique en diagramme P V. Schématisation : Représenter les échanges thermiques et mécaniques d un système thermodynamique décrivant un cycle d une machine frigorifique de Carnot. Représentation en diagramme P-V : Tracer le cycle ci-dessus en diagramme P-V. 1.6 Efficacité d une machine frigorifique Nous définissons l efficacité d une machine frigorifique par le rapport e = utile coûteux pour le cas qui nous intéresse, une machine frigorifique Expression: η = transfert provenant de la source froide travail fourni = Q 2 W Montrer que pour un cycle quasi-statique Montrer que pour un cycle irréversible e = e < Déterminer l efficacité maximale d une machine frigorifique fonctionnant à l aide d un cycle de Carnot entre les températures de 5 C et 20 C. 1.7 Pompe à chaleur ditherme Une pompe à chaleur est une machine thermique qui va puiser de l énergie à l extérieure (source froide) pour en restituer à l intérieur (source chaude). C est donc un réfrigérateur que l on ouvre sur l extérieur et dont la face arrière (celle qui chauffe!) est à l intérieur de la pièce. Efficacité : Définir l efficacité d une pompe à chaleur et calculer sa valeur numérique sur un cycle de Carnot pour une température intérieure de 20 C lorsque la température extérieure est de 5 C. Conclure. Par définition e = utile coûteux Ce qui donne en fonction des températures e = Et en application numérique e = 19, 5. T1 En conclusion, une pompe à chaleur est donc près de vingt fois plus efficace qu un simple radiateur électrique pour lequel l efficacité serait égale à l unité, c est à dire pour lequel toute l énergie électrique serait transférée sous forme thermique (par effet Joule par exemple). 41

5 2 Le moteur quatre temps 2.1 Aspect technologique Modélisation Le premier temps est une phase d admission des gaz de M à A. Le deuxième temps est une phase de compression des gaz de A à B. Le troisième temps est constitué d une phase d explosion de B à C suivi d une phase de détente des gaz (phase motrice) de C à D. Le quatrième temps est constitué d une phase de chute de pression corrrespondant à l ouverture de la soupape suivi d une phase d évacuation des gaz. Attention, nous travaillerons souvent sur un modèle théorique faisant appel à un système fermé décrivant le cycle ABCDA alors qu en pratique le sysème est ouvert et il y a en plus une phase d admission des gaz frais et une phase d évacuation des gaz brulés. Le cycle ci-dessus est appelé Beau de Rochas et il est constitué de deux isochores reliées par deux adiabatiques. C est le cycle qui modélise le moteur à explosion quatre temps. Tracer le cycle ci-dessus en diagramme P-V. 2.3 Exercice Enoncé : Définir et calculer le rendement η pour un cycle Beau de Rochas parcouru par un gaz parfait. On exprimera le résultat en fonction du taux de compression α = Vmax V min et du coefficient de Laplace γ. Faire une application numérique pour l air avec un taux de compression α = 7. Solution : η = 1 α 1 γ Pour l air, gaz parfait diatomique, γ = Le moteur Diesel et on obtient η = 0, 5 Le cycle Diesel simplifié est constitué d une isobare, d une isochore et d une adiabatique. Tracer son cycle et orienter pour obtenir un moteur. Le cycle Diesel complet est constitué d une isobare et d une isochore reliées par deux adiabatiques quasistatique. Tracer le cycle et orienter. 3 Cycles diphasés 3.1 Position du problème Tous les cycles qui fonctionnent avec deux réservoirs thermiques (une source chaude et une source froide) ont un intérêt évident à utiliser des isothermes pour les transferts thermiques afin de maximiser le rendement ou l efficacité. L entropie créée est alors minimisée et c est ça de moins perdue sous forme de transfert thermique pour refroidir le système thermodynamique utilisé (faire descendre son entropie dans le cas d un moteur). L économie réalisée est bien entendue transférée sous forme mécanique. Grosso-modo, pour un moteur, on puise un maximum dans la source chaude, on augmente alors bien entendu l entropie du système qu il faut alors faire redescendre avec la source froide. Si cela se fait de manière isotherme, 42

6 système et thermostat à la même température, on n ajoute pas de création entropique superflue. On maximise alors rendement ou efficacité. Pour l instant, nous avons toujours utilisé un cycle monophasé. L intérêt du cycle diphasé est qu une transition de phase se fait plus facilement à température constante ce qui permet de se rapprocher du rendement ou de l efficacité maximal. L inconvénient, pour nous, c est que le cycle devient un peu plus complexe à décrire. Il faut y ajouter les transitions de phase. Mais cela devient une bonne source de problèmes pour les concours! Il existe plusieurs cycles réversibles fonctionnant avec deux réservoirs d énergie thermique, c est à dire ayant deux branches d isothermes. Le cycle de Carnot relie ces deux isothermes par des isentropiques, le cycle de Stirling les relie par des isochores et le cycle d Ericsson par des isobares. On montre que le rendement ou l efficacité maximal est obtenu pour le cycle de Carnot ce qui est assez naturel compte tenu de ce qui a été dit précédemment. Faire un schéma en diagramme P V de ces trois cycles, moteurs et récepteurs, pour un cycle monophasé. Enfin, on oubliera pas que tous ces cycles concernent un système fermé, c est à dire une quantité fixée de corps pur, par exemple 1kg d un fluide caloporteur. 3.2 Diagrammes d un corps pur sous deux phases 1. Tracer les isothermes d un diagramme P v (pression en fonction du volume massique) d un corps pur sous deux phases. 2. Tracer les isothermes d un diagamme P h (pression en fonction de l enthalpie massique) d un corps pur sous deux phases. 3. Tracer les isobares d un diagramme T s (température en fonction de l entropie massique) pour un corps pur sous deux phases. On commencera par tracer dans chaque cas isothermes et isobares pour un fluide hyper-critique puis hypocritique. 3.3 Le théorème des moments 1. On considère un corps pur sous deux phases, une phase liquide indicée L et une phase vapeur indicée V. On note donc V L le volume de la phase liquide et V V le volume de la phase vapeur. Le volume total est noté V. Faire un schéma et relier ces trois grandeurs. 2. On note v le volume massique du système diphasé et m sa masse, m L la masse et v L le volume massique de la phase liquide, m V la masse et v V le volume massique de la phase vapeur. Compléter le schéma et relier les grandeurs introduites. 3. On définit le titre massique en liquide x L = m L m et le titre massique en vapeur x V = m V m. Montrer le théorème des moments x V = v v L v V v L 4. Ecrire le théorème des moments pour l énergie interne massique u, l enthalpie massique h et l entropie massique s. 5. Placer dans chaque diagramme les zones monophasés liquide, vapeur et diphasés liquide-vapeur ainsi que les iso-titres en vapeur x V : zéro ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 et unité. 3.4 Enthalpie et entropie de transition de phase 1. Définir l enthalpie massique de transition de phase h LV et l entropie massique de transition de phase s LV pour une transition liquide-vapeur. 2. Montrer la relation qui existe entre ces deux grandeurs pour une température donnée. 3. Indiquer sur les graphiques correspondants la méthode à employer pour déterminer les valeurs respectives des enthalpie et entropie de transition de phase. 43

7 3.5 Cycle de Carnot d un système thermodynamique diphasé 1. Tracer le cycle de Carnot (deux isothermes et reliées par deux isentropiques s 1 et s 2 ) pour un cycle diphasé. Donner le sens d évolution pour un moteur puis pour une machine frigorifique. 2. En déduire le rendement η du moteur et l efficacité e du réfrigérateur. 3. Déduire du graphique le titre massique en vapeur x V pour chaque sommet du cycle. 4. En déduire les transferts thermiques et Q 2 le long des isothermes et en fonction des entropies de transition de phase et du cycle de Carnot. 5. Donner le diagramme P v du cycle de Carnot diphasé ainsi que sons sens de parcours pour un moteur puis pour un réfrigérateur. 44