Exercices sur les réseaux électriques en régime triphasé

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1 Exercices sur les réseaux électriques en régime triphasé Ce document est une compilation d exercices posés en devoirs surveillés d électricité au département Génie Electrique et Informatique Industrielle de l IUT de Nantes Ces devoirs se sont déroulés généralement sans documents, sans calculette et sans téléphone portable Les devoirs d une durée de 80 min sont notés sur 0 points Donc chaque point proposé au barème correspond approximativement à une activité de 4 min Ces exercices correspondent aux chapitres 11 et 1 de la ressource Baselecpro sur le site IUTenligne Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (C est souvent le seul moment où ils vont réfléchir à ce qu ils ont su (ou pas su) faire dans ce devoir) Personnellement, je me refuse à bricoler le barème d un devoir lors de la correction dans le but d obtenir une moyenne présentable (ni trop ni trop peu ) La moyenne d un devoir doit refléter l adéquation entre les objectifs de l enseignant et les résultats des étudiants Les documents proposés ici sont délivrés dans un format qui permet tout assemblage/désassemblage ou modification à la convenance de l utilisateur Les dessins et les équations ont été réalisés avec Word97 Nos étudiants disposent d une masse considérable d informations sur internet Les enseignants sont maintenant soucieux de leur apprendre à utiliser intelligemment cet immense champ de connaissance Ils leur apprennent notamment à citer les sources Ressource proposée sur le site Internet Copyright : droits et obligations des utilisateurs L auteur ne renonce pas à sa qualité d'auteur et aux droits moraux qui s'y rapportent du fait de la publication de son document Les utilisateurs sont autorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collectif, de ce document notamment dans les activités d'enseignement, de formation ou de loisirs Toute ou partie de cette ressource ne doit pas faire l'objet d'une vente - en tout état de cause, une copie ne peut pas être facturée à un montant supérieur à celui de son support Pour tout extrait de ce document, l'utilisateur doit maintenir de façon lisible le nom de l auteur Michel Piou et la référence au site Internet IUT en ligne La diffusion de toute ou partie de cette ressource sur un site internet autre que le site IUT en ligne est interdite Une version de Baselecpro est disponible sous forme d un livre aux éditions Ellipses dans la collection Technosup sous le titre ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE Les lois de l électricité Michel PIOU - Agrégé de génie électrique IUT de Nantes France

2 Table des matières 1 Questions de cours 1 Plaque signalétique (1 pts) 4 Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage étoile équilibré (1 pt) 4 4 Couplage d un moteur ( pts) 5 5 Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage triangle équilibré (1 pt) 6 6 Puissance en triphasé (Du cas général au particulier) 7 7 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot 1 (10,5 pts) 10 8 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot (11,5 pts) 1 9 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré 1 (7 pts) Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (7 pts) Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (5 pts) 1 1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré 1 (5 pts) 1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré (4 pts) 4 14 Application du Théorème de Boucherot avec deux moteurs (5,5 pts) 6 15 Application du Théorème de Boucherot : relèvement du facteur de puissance (7 pts) 8 16 Application du Théorème de Boucherot (Moteur + radiateur) (5 pts) 0

3 - 1-1 Questions de cours a) Que dit le théorème de Boucherot lorsque les tensions et les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même fréquence? Réponse : Dans l'ensemble d'un réseau où toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même fréquence, il y a conservation de la puissance active d'une part, et de la puissance réactive d'autre part Puissance active totale consommée = somme algébrique des puissances actives consommées par chaque élément (loi de conservation de l énergie) Puissance réactive totale consommée = somme algébrique des puissances réactives consommées par chaque élément (sans démonstration)

4 Phase N 1 Phase N Phase N sinusoïdal équilibré de sens direct En supposant que des cinq autres tensions u 1 u u 1 b) Triphasé Les tensions de la ligne ci-contre sont alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées Quelle relation existe entre U et V? Représenter les vecteurs de Fresnel des six tensions de la ligne triphasée précédente en régime alternatif v1 ( t ) V cos t, donner les expressions temporelles c) Que signifie le mot «équilibrées»dans l expression «tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées»? d) La plaque à borne normalisée ci-contre est alimentée par une ligne triphasée Etablir les liaisons entre les bornes de façon à obtenir un montage triangle i i N - - Pour une autocorrection, voir la ressource 145 sur le site IUTenligne

5 - - e) La ligne ci-contre est soumise à des tensions et des courants quelconques périodiques de même période Comment s exprime la puissance moyenne (ou puissance active) qu elle délivre à la charge? i i N charge Dans la liste ci-dessous, cocher toutes les réponses exactes dans le cas particulier du régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré en tensions et courants P P P P Umax Imax cosi,v P Umax Imax cosi,u U I cosi,v P V I cosi,v U I cosi,u P V I cosi,u U I cosi,u P v1(t )i1(t ) P v1(t )i1(t ) v(t )i(t ) v(t )i(t ) P v1(t )i1(t ) v(t )i(t ) v(t )i(t ) I,V V I cosi,v V I cosi, P V1 I1 cos 1 1 V Réponses : Tensions et courants quelconques périodiques de même période : P v1(t )i1(t ) v(t )i(t ) v(t )i(t ) v1(t )i1(t ) v(t )i(t ) Régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré en tensions et courants P P P P Umax Imax cosi,v P Umax Imax cosi,u U I cosi,v P V I cosi,v U I cosi,u P V I cosi,u U I cosi,u P v1(t )i1(t ) P v1(t )i1(t ) v(t )i(t ) v(t )i(t ) P v1(t )i1(t ) v(t )i(t ) v(t )i(t ) I,V V I cosi,v V I cosi, P V1 I1 cos 1 1 V Pour une réponse plus complète, voir la ressource N 185 sur le site IUTenligne v(t )i(t )

6 Plaque signalétique (1 pts) Soit une machine triphasée (équilibrée) dont la plaque signalétique indique une tension icace d alimentation de 0 V/400 V Représenter les liaisons à établir entre ses différentes bornes de façon que, dans chacun des deux cas ci-dessous, la machine soit alimentée sous tension nominale en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré (Les valeurs indiquées sont les tensions icaces de la ligne) V 400 V 0 V 0 V 400 V 400 V Réponse : 0 V 400 V 0 V 0 V 400 V 400 V Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage étoile équilibré (1 pt) Une ligne triphasée en régime alternatif sinusoïdal équilibré alimente un montage étoile équilibré constitué de trois impédances Z Quelle est la valeur de I (lorsque le neutre est relié)? Quelle est la valeur de n Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A V ON (lorsque le neutre n est pas relié)? (On peut utiliser les résultats du cours) Réponse : Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A I N 0 Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A V ON 0

7 4 Couplage d un moteur ( pts) Un moteur asynchrone triphasé porte sur sa plaque signalétique les informations suivantes : P = 4 kw ; cos = 0,8 ; 0/400 V (Ce moteur est constitué de trois dipôles passifs linéaires identiques constituant un ensemble équilibré) On a réalisé successivement les deux montages suivants Ceux-ci sont réalisés de façon que le moteur soit alimenté sous tension nominale par une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée (Les liaisons sur la plaque à borne sont représentées) V RMS A RMS V 1 RMS Préciser les valeurs des trois mesures en justifiant celles-ci par un bref calcul ou par un court rappel d un résultat du cours Corrigé : Le moteur est couplé en étoile Dans un montage étoile constitué de dipôles passifs linéaires identiques (montage équilibré) soumis à des tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées : Le potentiel du centre de l étoile est égal au potentiel du neutre (Que le neutre soit relié ou non) Si le neutre est relié, son courant est nul (Extrait de Baselecpro/chapitre 11/ sur le site «IUTenligne» Donc l ampèremètre indique la valeur 0, et le voltmètre «V1» indique la valeur 0 Le moteur 0/400V est alimenté sous tensions nominales (Sans autre précision, les valeurs indiquées sont les valeurs icaces) La tension icace aux bornes de chaque dipôle est donc 0 V, et la valeur icace de la tension entre deux phases est de V L indication du voltmètre «V» est donc 400 V

8 - 6-5 Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage triangle équilibré (1 pt) Une ligne triphasée en régime alternatif sinusoïdal équilibré de sens direct alimente un montage triangle équilibré constitué de trois dipôles linéaires identiques j 1 Soit : Phase N 1 v1( t) 0 cos(100 t) u 1 j Phase N u 1 (t ) 400 cos( 100 t ) u 1 6 u i j 1 Phase N j1( t) 10 cos(100 t) Compléter l expression de i1 ( t) suivante : (t ) cos(100 t) (On peut utiliser les résultats du cours sans les redémontrer) Réponse : (t ) 10 cos( 100 t ) 6 car I J branche et ligne I, V J, U Tension entre phases Courant dans une branche Tension phase/neutre Courant de ligne

9 6 Puissance en triphasé (Du cas général au particulier) i i N charge Soit une ligne "triphasée" de transport d énergie électrique Elle est constituée de 4 conducteurs (voir ci-contre) Cette ligne triphasée est soumise à des tensions v 1( t), v ( t) et v ( t ) ; elle est parcourue par des courants ( t), ( t), i ( t ) et i N (t) qu elle délivre à une charge inconnue On a observé que les tensions et les courants sont quelconques mais tous périodiques de même période La loi des nœuds permet d affirmer : i1( t) i( t) i( t) in ( t) La puissance électrique transportée par des conducteurs ne dépend que des tensions entre ces conducteurs et des courants dans ceux-ci i i N 1 En laboratoire, on a constitué trois dipôles (nommés «1», et ) qui, lorsqu ils sont soumis respectivement aux tensions v 1( t), v ( t) et v ( t ), engendrent les mêmes courants ( t), ( t) et i ( t ) On remplace maintenant la charge inconnue par ces trois dipôles Cette opération ne modifie pas les courants et les tensions dans la ligne La puissance électrique transportée par la ligne triphasée reste donc inchangée a) La loi de conservation de l énergie précise que la puissance électrique instantanée totale consommée par un ensemble est la somme des puissances électriques instantanées consommées par chaque élément de cet ensemble Exprimer la puissance instantanée p (t) transportée par la ligne triphasée et reçue par l ensemble des trois dipôles «1», et

10 - 8 - b) En supposant toutes les tensions et tous les courants périodiques de même période, exprimer la puissance active consommée en monophasé ou en triphasé en complétant les cases du tableau ci-dessous i v i i N 1 Cas général (Les signaux ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux ni triphasés équilibrés) P = P = Indiquer la formule associée aux cas particuliers où toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même période P = P = Triphasé équilibrés (Les signaux des différentes phases sont décalés d 1/ de période les uns par rapport aux autres, mais ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux) Triphasé alternatif sinusoïdal équilibrés (Les signaux des différentes phases sont déphasés de rad les uns par rapport aux autres) Indiquer la formule associée à ce cas particulier : P = Indiquer la formule associée à ce cas particulier : P =

11 Corrigé a) p( t) v1 ( t) ( t) v ( t) i ( t) v ( t) i ( t) b) i v i i N 1 Cas général (Les signaux ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux ni triphasés équilibrés) Indiquer la formule associée aux cas particuliers où toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même période Triphasé équilibrés (Les signaux des différentes phases sont décalés d 1/ de période les uns par rapport aux autres, mais ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux) P v i cos P V I avec : V : valeur icace de v ( t ) I : valeur icace de i ( t ) : déphasage de v ( t ) par rapport à i ( t ) P v1i 1 vi v i ou P v1 i1 v i v i P V 1 I 1 cos V I cos 1 V I cos avec : V 1 : valeur icace de v 1 (t ) I 1 : valeur icace de ( t ) 1 : déphasage de v 1( t) par rapport à ( t) P v1i 1 vi v i On peut calculer ou mesurer la puissance active sur une seule phase et multiplier le résultat par Triphasé alternatif sinusoïdal équilibrés (Les signaux des différentes phases sont déphasés de rad les uns par rapport aux autres) P V ou ou V 1 I I 1 cos V I cos 1 cos P V I cos sans préciser l indice P U I cos

12 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot 1 (10,5 pts) Remarques préliminaires: Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que Les valeurs numériques ont été choisies de façon que les angles soient des multiples de 6 Les démonstrations peuvent s appuyer sur: les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter), ou toute autre méthode Pour répondre à certaines questions, il est recommandé d utiliser le théorème de Boucherot Problème: La ligne triphasée suivante alimente une machine tournante triphasée équilibrée dont la plaque signalétique porte l indication 0V / 400V ou Phase N 1 Phase N Phase N u 1 u u 1 i i N Sachant que u1( t ) 400 cos t u ( t ) 400 cos t u1( t ) 400 cos t a) Préciser le mode de branchement de cette machine pour qu elle soit alimentée sous tension nominale b) Chacun des trois dipôles de cette machine peut être modélisé par une résistance R 0 en série avec une inductance d impédance L 0 Calculer l impédance complexe de chaque dipôle c) Calculer i t 1 ( ), i t ( ) et i t ( ) d) Calculer la puissance active P M, la puissance réactive Q M et la puissance apparente S M consommées par la machine e) De façon à relever le facteur de puissance de la ligne triphasée, on ajoute, au montage précédent, trois condensateurs montés en triangle sur la ligne 1 Le module de l impédance de chaque condensateur est : 40 C Calculer la puissance active P T, la puissance réactive Q T et la puissance apparente S T consommées par le nouvel ensemble constitué de la machine associée aux trois condensateurs En déduire le facteur de puissance k T et la valeur icace du nouveau courant de ligne I T à l entrée de ce nouvel ensemble

13 Corrigé : a) La plaque signalétique de la machine indique les valeurs nominales suivantes : 0V / 400V Cela signifie que la machine peut fonctionner sur un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont la tension icace entre deux phases est de 0V (avec les trois dipôles de la machine couplés en triangle), un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont la tension icace entre deux phases est de 400V (avec les trois dipôles de la machine couplés en étoile) Dans les deux cas, la valeur icace de la tension aux bornes d un dipôle de la machine sera 0V Sachant que u ( t ) cos t 1 400, on en déduit U1 400 et U1 400 V max Donc ici, la tension icace entre deux phases est de 400V Il faut coupler la machine en étoile b) Impédance d un dipôle : Z R jl 0 j0 c) Sachant que u1( t ) 400 cos t u ( t ) 400 cos t u1( t ) 400 cos t U V V U 1 V 1 U 1 On en déduit que les phases sont numérotées dans l ordre direct : D après le diagramme de Fresnel associé aux tensions, on en déduit : ( t v ) cost Z R jl V V 10 Z 40 max I max max A Imax argz = déphasage de v 1 (t ) par rapport à ( t ) En conclusion : ( t ) cost Phase N 1 Phase N Phase N j0 40 cost 1 j 40 e j 6 i i N v 1 v v Comme les tensions, les courants sont alternatifs sinusoïdaux triphasés équilibrés de sens direct, donc ( t (t i 10 ) 10 ) 10 cost 10 cost cos t cost

14 - 1 - d) PM U I cos M U I sin SM U I avec U U max 400 V ; I I 10 max A; I1,V1 I,V I,V argz 6 Donc : P M Q M S M cos sin VA VAR W e) Les condensateurs sont montés en triangle u 1 u u 1 i T1 i T i T C C C i Z Z Z La puissance réactive d un condensateur est donc : 4 1 4x4x10 QC C U x6 x10 La puissance réactive des condensateurs est donc 000 VAR Q C 000 VAR On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine tournante P M 000 W Q M 000 VAR condensateurs P C 0 W Q C 000 VAR Total P T 000 W Q T 0 ST PT QT 000 VA QT PT Facteur de puissance k cos cos arctg cos0 1 IT S T U T T A 400 M Piou

15 8 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot (11,5 pts) Remarques préliminaires : Le problème étant résolu sans calculette, les valeurs ont été choisies pour que les calculs soient très simples (On pourra laisser dans les résultats des expressions telles que ou ) Les valeurs numériques ont été choisies de façon que les angles soient des multiples de 6 Les démonstrations peuvent s appuyer sur les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter) A - La ligne triphasée équilibrée 0/400 V suivante alimente une machine M 1 triphasée équilibrée dont la plaque signalétique porte l indication 400V / 700V Phase N 1 u1( t ) 400 cos t Phase N Phase N u 1 u u 1 i i N u ( t ) 400 cos t u1( t ) 400 cos t a1) Préciser le mode de branchement de cette machine pour qu elle soit alimentée sous tension nominale (justifier en quelques mots), et compléter en conséquence le schéma ci-dessus (en reliant les trois dipôles en étoile ou en triangle) a) Chacun des trois dipôles de cette machine peut être modélisé par une résistance R 0 en série avec une inductance d impédance L 0 Exprimer l impédance complexe de chaque dipôle sous la forme j Z Z e a) Calculer la valeur icace I des courants de ligne et déterminer l expression de i1 ( t ) B - Sur la ligne triphasée précédente, la machine M 1 est maintenant remplacée par une machine triphasée M qui consomme les courants : 5 ( t) 10 cos t, ( t) 10 cos t et i ( t) 10 cos t 6 6 b-1) Représenter l allure de l ensemble des vecteurs de Fresnel associés aux tensions simples, aux tensions composées et aux courants de ligne à un instant quelconque (qui peut être, par exemple, t = 0) (Il est conseillé d utiliser différentes couleurs) b-) Calculer la puissance active P M, la puissance réactive Q M et la puissance apparente S M consommées par la machine M b-) De façon à relever le facteur de puissance de cette ligne triphasée, on ajoute, au montage précédent, trois condensateurs montés en triangle entre les trois phases de cette ligne

16 La capacité de chacun est C telle que 140 C Calculer la puissance active P T, la puissance réactive Q T et la puissance apparente S T consommées par le nouvel ensemble constitué de la machine M associée aux trois condensateurs En déduire la valeur icace du nouveau courant de ligne I T à l entrée de ce nouvel ensemble (Il est conseillé d utiliser le théorème de Boucherot) Corrigé : a1) La plaque signalétique de la machine indique les valeurs nominales suivantes : 400V / 700V Cela signifie que la machine peut fonctionner sous tensions nominales sur un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de 400V (avec les trois dipôles de la machine couplés en triangle), un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de V (avec les trois dipôles de la machine couplés en étoile) Dans les deux cas, la valeur icace de la tension aux bornes d un dipôle de la machine sera 400V Sachant que u ( t ) cos t 1 400, on en déduit U1 400 et U1 400 V Donc ici, la tension icace entre deux phases est de 400V Il faut coupler la machine en triangle max Phase N 1 j 1 Phase N u 1 u 1 j Phase N u i j 1 a) Impédance d un dipôle : j 1 Z R jl 0 j0 40 j 40 e 6 a) Sachant que u1( t ) 400 cos t u ( t ) 400 cos t u1( t ) 400 cos t On en déduit que les phases sont numérotées dans l ordre direct : U V V U 1 V 1 U 1 I J 1 J I 1 I J 1 Z U 40 J max max J max U 40 max A

17 arg Z = déphasage de u 1 (t ) par rapport à j 1 (t ) Pour un montage triangle linéaire équilibré soumis à des tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, on dispose de relations (voir Baselecpro chapitre 11 4) : I,V J, U et I J J En conclusion max I J 10 A : U 1,I1 U 1,J1 J 1,I1 argz ( t ) 10 6 ( t ) 10 cost b1) cost U 1 V U 1 U V V 1 U 1 I J 1 1 J I I J 1 b) P M U I cos ; Q U I sin U avec : max I U 700 V ; max I 10 A; I1,V1 I,V I,V I1,U 1 U1,V1 M ; SM U I 6 Donc : P M Q M S M 70010cos 70010sin VA W VAR b) Les condensateurs sont montés en triangle u 1 i T1 i T C j 1 j u u 1 i T C C i j 1 M Piou

18 La puissance réactive d un condensateur est donc : 4 1 7x7x QC C U 700 VAR 140 7xx10 x7000 La puissance réactive des condensateurs est donc Q C VAR On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M P M 500 W Q M VAR condensateurs P C 0 W Q C VAR Total P T 500 W Q T 0 ST PT QT 500 VA QT S T T 500 P ; I T T 5 A T U 700 Facteur de puissance k cos cos arctg cos0 1

19 9 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré 1 (7 pts) j 1 La ligne triphasée ci-contre alimente, sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, un moteur qui se comporte comme une charge triphasée équilibrée u 1 a) Les conducteurs de ligne peuvent avoir été u 1 u i numérotés dans l ordre direct ou dans l ordre j 1 inverse a1) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V 1, V, V et U 1 si l ordre des phases est supposé direct a) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V 1, V, V et U 1 si l ordre des phases est supposé inverse a) On a relevé à l oscilloscope les courbes ci-dessous j 600 V 0 10 A v 1 u 1 j 1 Compte tenu du graphe des tensions relevées, préciser si les conducteurs de phases sont numérotés dans l ordre direct ou inverse (réponse bonne: +1 pt, pas de réponse: 0 pt, réponse fausse: -1 pt) t période b) A partir des courbes précédentes, calculer le facteur de puissance du moteur c) A partir des courbes précédentes, calculer la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommées par le moteur (Le devoir se déroulant sans calculette, on pourra laisser dans les réponses des expressions telles que ) (Ne pas oublier de préciser les unités)

20 Corrigé : V V 1 V U 1 Ordre direct V U 1 V V 1 Ordre inverse a) Sur les courbes : u 1 (t ) est en retard de T/1 par rapport à v 1 (t ) Donc V 1,U 1 Les phases sont 6 numérotées dans l ordre inverse b) Dans un système alternatif sinusoïdal triphasé équilibré, le facteur de puissance est k cos cosi,v 1 Sur les courbes : I,V cos Le facteur de puissance du moteur est donc de 0,5 c) P U I cos W Q U I sin 4500 VAR S U I VA

21 10 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (7 pts) j 1 La ligne triphasée ci-contre alimente, sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, un moteur qui absorbe des courants alternatifs sinusoïdaux triphasés équilibrés u 1 v 1 v u v a) Les conducteurs de ligne peuvent avoir été u 1 numérotés dans l ordre direct ou dans l ordre i j 1 inverse a1) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V 1, V, V et U 1 si l ordre des phases est supposé direct a) Pour un déphasage J1, U 1 quelconque, représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel J 1, J, J 1 et I 1 si l ordre des phases est supposé direct a) On a relevé à l oscilloscope les courbes ci-dessous 400 V 0 10 A v 1 j T j 1 Compte tenu du graphe des courants relevés, préciser si les conducteurs de phases sont numérotés dans l ordre direct ou inverse (réponse bonne: +1 pt, pas de réponse: 0 pt, réponse fausse: -1 pt) b) A partir des courbes précédentes, calculer le facteur de puissance du moteur c) A partir des courbes précédentes, calculer la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommées par le moteur (Le devoir se déroulant sans calculette, on pourra laisser dans les réponses des expressions telles que ) (Ne pas oublier de préciser les unités) t

22 Corrigé : V U V U 1 V 1 U 1 J J I 1 1 I I J 1 U 1 a) On a représenté ci-contre les vecteurs de Fresnel si l ordre des phases est direct On constate sur le graphe de Fresnel ci-contre que I 1 est déphasé de par rapport 6 à J 1 Sur les courbes relevées à l oscilloscope, on constate que I 1 est déphasé de l ordre des phases n est pas l ordre direct, mais l ordre inverse b) Facteur de puissance : k cos cosi,v par rapport à ( t ) c) P U I par rapport à J 1 6 Sur Les courbes, on constate que v 1 (t ) est déphasé de donc k cos cos 0, 5 cos 400 V I cos 000 W 10 1 ; donc Q U I sin 400 V I sin 000 VAR 10 S U I V I VA

23 11 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (5 pts) u 1 u u 1 i j 1 j j 1 La ligne triphasée ci-contre alimente, sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, un moteur qui se comporte comme une charge triphasée équilibrée Les conducteurs de ligne peuvent avoir été numérotés dans l ordre direct ou dans l ordre inverse a) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V 1, V, V et U 1 si l ordre des phases est supposé inverse b) On a relevé à l oscilloscope les courbes ci-dessous 600 V u 1 10 A v 1 0 j 1 T t Compte tenu du graphe des tensions relevées, préciser si les conducteurs de phases sont numérotés dans l ordre direct ou inverse Justifier brièvement la réponse (réponse bonne: +1 pt, pas de réponse: 0 pt, réponse fausse: -1 pt) c) Représenter ci-contre le graphe du courant ( t ) (justifier par un diagramme de Fresnel ou par un résultat établi en cours ou par tout autre moyen) d) Déterminer le facteur de puissance de ce moteur

24 Corrigé : - - a) On a représenté ci-contre les vecteurs de Fresnel si l ordre des phases est inverse U U V V V V U 1 V 1 U 1 U 1 V 1 U 1 b) On constate sur ce graphe de Fresnel que U 1 est déphasé de à V 1 par rapport 6 Sur les courbes relevées à l oscilloscope, on constate que U 1 est déphasé de 6 par rapport à V 1 ; donc l ordre des phases n est pas l ordre inverse, mais l ordre direct c) Pour un montage triangle linéaire équilibré soumis à des tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, on dispose de relations (voir Baselecpro chapitre 11 4) : I 1 1 J J I U1 I J 1 I,V J, U et I J En conclusion Imax Jmax 10 A : I1,V1 J1,U1 d) Facteur de puissance : k cos cosi,v cos 0, V 10 A u 1 v 1 0 j 1 t

25 - - 1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré 1 (5 pts) Remarques préliminaires: Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que Les démonstrations peuvent s appuyer sur les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter) ou La ligne triphasée équilibrée 0/400 V suivante alimente une machine M triphasée équilibrée Phase N 1 u1( t ) 400 cos t Phase N Phase N u 1 u u 1 i i N u ( t ) 400 cos t u1( t ) 400 cos t La machine triphasée M consomme les courants : 5 ( t) 10 cos t, ( t) 10 cos t et i ( t) 10 cos t 6 6 a) Représenter l allure de l ensemble des vecteurs de Fresnel associés aux tensions simples, aux tensions composées et aux courants de ligne à un instant quelconque (qui peut être, par exemple, t = 0) (Il est conseillé d utiliser différentes couleurs) b) Calculer la puissance active P M, la puissance réactive Q M et la puissance apparente S M consommées par la machine M Corrigé : V U U 1 V V 1 U 1 I I I 1 b) Sur le diagramme de Fresnel, on constate que l angle I 1, V 1 est égal à On peut le retrouver car I 1,V1 I 1,U1 U 1, V1 I 1,V1 6 t U 400 U 400 V u1(t ) 400 cos 1 max 1 De même I1 10 I1 10 A max P Q U U I I cos sin cos sin W VAR S U I VA

26 - 4-1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré (4 pts) Remarques préliminaires: Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que Les démonstrations peuvent s appuyer sur les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter) ou La ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée 0/400 V suivante alimente une machine M triphasée équilibrée dont la plaque signalétique porte l indication 0/400 V (*) Phase N 1 Phase N Phase N u 1 u u 1 i 0 1) Sur la figure ci-dessus, représenter les liaisons à établir sur la plaque à bornes de façon que la machine soit alimentée sous tension nominale ) La machine consomme une puissance active P M 4000 W, une puissance réactive Q M 00 VAR et une puissance apparente S M 760 VA De façon à relever le facteur de puissance de cette ligne triphasée, on ajoute, au montage précédent, trois condensateurs montés en triangle entre les trois phases de cette ligne La capacité de chacun est C tel que 150 C Calculer la puissance active P T, la puissance réactive Q T et la puissance apparente S T consommées par le nouvel ensemble constitué de la machine M associée aux trois condensateurs En déduire la valeur icace du nouveau courant de ligne I T à l entrée de ce nouvel ensemble (Il est conseillé d utiliser le théorème de Boucherot) (*) Sans autre précision, il s agit toujours des valeurs icaces

27 - 5 - Corrigé : 1) La plaque signalétique de la machine indique les valeurs nominales suivantes : 0V / 400V Cela signifie que la machine peut fonctionner sous tensions nominales sur un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de 0V (avec les trois dipôles de la machine couplés en triangle), un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de V (avec les trois dipôles de la machine couplés en étoile) Dans les deux cas, la valeur icace de la tension aux bornes d un dipôle de la machine sera 0V Sachant que la ligne triphasée d alimentation est une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée 0/400 V, la tension icace entre deux phases est de 400V Il faut coupler la machine en étoile : Phase N 1 Phase N Phase N u 1 i T1 i T C ) Les condensateurs sont montés en triangle u u 1 i T C C i M Piou La puissance réactive d un condensateur est donc : QC C U VAR La puissance réactive des condensateurs est donc QC VAR On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M P M 4000 W Q M 00 VAR condensateurs P C 0 W Q C 00 VAR Total P T 4000 W Q T 0 ST ST 4000 PT QT 4000 VA ; IT 10 A U 400

28 Application du théorème de Boucherot avec deux moteurs (5,5 pts) Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que (Les valeurs numériques ont été choisies de façon que les calculs soient simples à ectuer) (On rappelle que 5 8, 66, 5, 196 et que 5, 89 ) ou i L i M1 i M Moteur asynchrone M1 Moteur asynchrone M La ligne triphasée ci-contre alimente sous tensions triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées 0/400 V, 50 Hz : - un moteur asynchrone M 1 absorbant une puissance active de W et une puissance réactive de var - un moteur asynchrone M absorbant une puissance active de 168 W et une puissance réactive de var a) Calculer la puissance apparente S M 1 et le courant M 1 I M du moteur 1 b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble des deux moteurs ainsi que la valeur de I L Corrigé : M1 M1 a) S P Q VA M1 SM 1 U I M 1 I M 1 SM 1 U ,89 A b) On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M1 P M1 17 W Q M VAR Machine M P M 168 W Q M 4196 VAR Total P T 000 W Q T 5196VAR ST PT QT VA Facteur de puissance de la ligne : k cos cosi,v 0, 5 PT ST I L ST U ,89 8,67 A

29 Variante avec calculette Régime alternatif sinusoïdal i L i M1 Moteur asynchrone M1 M1 (triphasé équilibré) absorbe une puissance active de +000 W et une puissance réactive de +000 VAR Ligne d alimentation sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées 0/400 V 50 Hz I M Moteur asynchrone M M Piou M (triphasé équilibré) absorbe une puissance active de W et une puissance réactive de VAR Corrigé : M1 M1 a) S P Q VA M1 SM 1 U I M 1 I M 1 SM 1 U ,04 A b) On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M1 P M1 000 W Q M1 000 VAR Machine M P M 1500 W Q M 1800 VAR Total P T 4500 W Q T 800 VAR ST PT QT VA Facteur de puissance de la ligne : k cos cosi,v 0, 764 PT ST I L S T U ,5A

30 15 Application du théorème de Boucherot : relèvement du facteur de puissance (7 pts) Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que ou i L i M Moteur asynchrone La ligne triphasée ci-contre alimente sous tensions triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées 0/400 V, 50 Hz : - un moteur asynchrone absorbant une puissance active de 6 kw et une puissance réactive de + kvar - Un ensemble de trois condensateurs montés en triangle Chaque 10 condensateur a une valeur de F 4 4 a) Calculer la puissance apparente S M et le courant I M du moteur b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble moteur + condensateurs, ainsi que la valeur de I (On rappelle que 48 = 4 x 4 x et que 6 4 0, 866 ) L Corrigé : SM PM QM kva S M 4 kva U I M I M A QC 10 x U C VA R Pligne 6 kw, QLigne QM QC 0 Le facteur de puissance de la ligne est donc de 1 SLigne PLigne QLigne 6 kva U I L I L Sligne U A 866 A

31 Variante (avec une calculette) Régime alternatif sinusoïdal i L i M C C C Moteur asynchrone Ligne d alimentation sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées 0/400 V 50 Hz Trois condensateurs montés en triangle Chaque condensateur a une valeur de F Moteur (triphasé équilibré) : absorbe une puissance active de +6 kw et une puissance réactive de +,5 kvar a) Calculer la puissance apparente S M et le courant I M du moteur b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble moteur + condensateurs, ainsi que la valeur de I L Corrigé : SM PM QM 6,5 48,5 6,946 kva SM 6,946 kva U I M I M A QC 6 xu C VA R On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Moteur P M 6000 W Q M 500 VAR condensateurs P C 0W Q C 468 VAR Total (ligne) P ligne 6000 W Q ligne VAR SLigne PLigne QLigne 6000 VA U I L Facteur de puissance de la ligne : k cos cosi,v 1 PT ST I L Sligne U A 866 A

32 16 Application du théorème de Boucherot (Moteur + radiateur) (5 pts) i L Le problème étant résolu sans calculette, les valeurs numériques ont été choisies en conséquence On pourra laisser dans les résultats des expressions telles que ou La ligne triphasée ci-contre alimente sous tensions triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées 0/400 V, 50 Hz : - un moteur asynchrone absorbant une puissance active de 6400 W et une puissance réactive de VAR (On rappelle que 6400 = 4 x 1600, que 4800 = x1600) - Un ensemble de trois résistances constituant un radiateur triphasé équilibré absorbant une puissance active de 1914 W (On rappelle que ) a) Calculer la puissance apparente S M et le courant I M du moteur b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble moteur + radiateur, ainsi que la valeur de I L i M i R Moteur asynchrone Radiateur triphasé équilibré Corrigé : SM PM QM VA SM 8000 VA U I M I M A Le radiateur est constitué de résistances ohmiques Sa puissance réactive est nulle On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Moteur P M 6400 W Q M 4800 VAR Radiateur P R 1914 W Q R 0VAR Total (ligne) P ligne 814 W Q ligne 4800 VAR SLigne PLigne QLigne VA U I L Facteur de puissance de la ligne : k cos cosi,v 0, 866 P S T T I L Sligne U A 1,86 A

33 Variante avec calculette : Régime alternatif sinusoïdal i L i M Moteur asynchrone Le moteur (triphasé équilibré) absorbe une puissance active de 6400 W et une puissance réactive de VAR Ligne d alimentation sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées 0/400 V 50 Hz i R Radiateur triphasé équilibré Le radiateur absorbe une puissance active de 000 W et une puissance réactive nulle Corrigé : SM PM QM VA SM 8000 VA U I M I M ,55 A Le radiateur est constitué de résistances ohmiques Sa puissance réactive est nulle On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Moteur P M 6400 W Q M 4800 VAR Radiateur P R 000 W Q R 0VAR Total (ligne) P ligne 8400 W Q ligne 4800 VAR S Ligne P Ligne Q Ligne VA U I L Facteur de puissance de la ligne : k cos cosi,v 0, 868 PT ST I L Sligne U ,96 A

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