CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION ET À

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1 NICOLAS DEHLINGER CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION ET À L OPTIMISATION DES MACHINES À FLUX TRANSVERSE Application au cas de la machine à flux transverse «claw-pole» à stator hybride Thèse présentée à la Faculté des études supérieures de l Université Laval dans le cadre du programme de doctorat en Génie Électrique pour l obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph. D.) FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 2011 Nicolas Dehlinger, 2011

2 Résumé RÉSUMÉ La grande densité de couple qui fait la réputation des machines à flux transverse (MFT) est attribuable à l agencement particulier de ses circuits magnétiques et électriques. Cependant, cet agencement complique aussi l étape de modélisation nécessaire à la conception de la machine. Des facteurs tels que le flux de fuite, la saturation et l aspect tridimensionnel du flux expliquent en grande partie la difficulté à élaborer un modèle magnétique analytique précis pour la machine. Par ailleurs, l emploi d un modèle imprécis pour l optimisation des caractéristiques de la machine peut conduire à des résultats erronés. Pour cette raison, la plupart des concepteurs fait appel à une modélisation numérique avec des outils de calcul des champs 3-D, coûteux en ressources informatiques, en temps de calcul et malheureusement peu adaptée au processus de conception itératif d une machine électrique. La thèse défendue dans ce document propose une alternative : elle présente une approche de modélisation hybride, faisant appel à un modèle magnétique analytique assisté par le calcul des champs. L approche est appliquée pour l optimisation des performances d une structure de MFT particulière : la MFT à griffes (ou "claw-pole") à stator hybride (MFTCPSH). Dans un premier temps, on montre comment des facteurs de corrections, dont les valeurs sont déterminées à partir de simulations par éléments finis 3-D, peuvent permettre de palier aux problèmes de précision d un modèle analytique au cours de l optimisation de la machine. Un exemple de maximisation du flux à vide d une MFTCPSH démontre la rapidité, l efficacité et la précision de l approche proposée. Dans un second temps, le modèle hybride et la méthode d optimisation sont développés pour maximiser le couple d une MFTCPSH. En se basant sur le cahier des charges d une application de traction électrique de type moteur-roue, il est montré comment le modèle et la méthode proposés permettent, en quelques heures seulement, de déterminer les dimensions géométriques optimales qui maximisent la densité de couple de la machine. ii

3 Abstract ABSTRACT The high power and torque capabilities of Transverse Flux Machines (TFM) are well known. The particular arrangement of the TFM s electric and magnetic circuits, which mainly explains its exceptional features, also greatly complicates the TFM design process. Building an accurate analytical magnetic model for a TFM is a hard task: factors as the leakage flux, magnetic saturation or 3-D flux paths greatly affect the model accuracy. As the use of an inaccurate model can lead to erroneous results, TFM designers extensively use numerical models, as 3-D finite element analysis (FEA). Despite their accuracy, such numerical tools are still time and resource consuming but also tricky to use for optimization purpose. This thesis proposes an alternative approach for the design of TFM: a hybrid model, based on analytical calculations, corrected with finite element results inside the optimization process. Such an approach is used in order to optimize the performances of a claw-pole TFM with hybrid stator (CTFMHS). This work first presents how FEA-derived correction factors can be inserted in the analytical model to improve the model accuracy, in the course of the design process. The principles and the effectiveness of the proposed approach are shown through an example of CTFMHS no-load flux maximization. The approach is then derived in order to maximize the torque density of the CTFMHS. Considering the specifications of an in-wheel motor application, it is shown how the developed approach can determine, in a few hours only, the optimal machine geometry maximizing its torque density. iii

4 Avant-propos AVANT-PROPOS Une autre page qui tourne, et quelle page La page qui voit s achever le travail de quatre années. La page qui permet d entrevoir le bout de ce chemin, si tortueux parfois, mais ô combien enrichissant. La page après laquelle on espère en avoir appris un peu plus et laissé un peu derrière nous. Mes remerciements s adressent d abord à mon professeur, Maxime R. Dubois pour avoir cru en moi et m avoir offert la chance de réaliser ce travail. Ta patience, ta curiosité, ta rigueur et ta passion ont permis de donner une direction à ce chemin et ont toujours constitué la motivation nécessaire dans les moments de doute. Ces qualités, dont bénéficieront bien d autres je l espère, font de toi un excellent pédagogue. Ma passion pour les machines électriques, c est toi qui as su me la transmettre. Merci. Mes remerciements vont ensuite aux professeurs Jérôme Cros et Philippe Viarouge, deux passionnés de machines électriques. Merci pour votre disponibilité et vos conseils avisés qui m ont, bien souvent, sorti d une impasse. Vos qualités de pédagogue sont une véritable inspiration. J adresse également mes remerciements aux membres du jury, Juliette Soulard du Royal Institute of Technology (KTH) de Stockholm, Jean-Frédéric Charpentier de l École Navale de Brest et Raphaël Nadeau, d Éocycle Technologies, pour avoir accepté de lire et corriger ce travail de thèse. Ces quatre années n auraient bien sûr pas été aussi passionnantes sans mes collègues et amis du Laboratoire d Électrotechnique, d Électronique de Puissance et de Commande Industrielle (LEEPCI). Autour d une bière, d un feu, en randonnée sur une montagne, en canot, sur des skis, dans les rues de Québec ou tous les jours au laboratoire, j ai partagé des moments inoubliables avec vous. Vous avez véritablement enrichi mon expérience québécoise. iv

5 Avant-propos Mes remerciements vont également à mes proches. Mes parents, Claude et Annie, à qui je dédie ce travail, mes sœurs, Anne-Sophie et Marion et mon frère Thomas. Malgré l océan qui nous sépare, vous constituez toujours le pilier dont j ai besoin et la raison pour laquelle je me dépasse. Enfin, merci à toi Geneviève. Ton écoute, ta patience dont j ai sûrement abusé et ton soutien dans les périodes de doute m ont permis de passer à travers cette épreuve, que nous sommes tous deux contents de voir finir. Merci surtout pour ton amour inconditionnel que j espère pouvoir te rendre au centuple. Varennes, le 3 avril v

6 Table des matières TABLE DES MATIÈRES Résumé... ii Abstract... iii Avant-propos... iv Table des matières... vi Liste des tableaux... x Liste des figures... xii Nomenclature... xvii I Introduction générale... 1 II La machine à flux transverse... 6 II.1 Introduction... 6 II.2 Principe de fonctionnement et caractéristiques de la MFT... 7 II.2.1 Le concept de flux transverse... 7 II.2.2 À propos de la densité de force développée par une MFT II.2.3 Avantages et inconvénients de la topologie à flux transverse II.2.4 Domaines d application de la topologie à flux transverse II.3 Les différentes configurations de MFT II.3.1 MFT à aimants montés en surface et à concentrateurs de flux II.3.2 MFT à noyaux en C et à ponts magnétiques II.3.3 MFT à double entrefer II.3.4 MFT à griffes ou «claw-pole» II.4 La MFT claw-pole à stator hybride (MFTCPSH) II.4.1 Trajets de flux dans le circuit magnétique d une MFTCP II.4.2 Présentation de la configuration à stator hybride II.4.3 Performances d une MFTCPSH II.5 Conclusion III Modélisation et conception des machines à flux transverse III.1 Introduction III.2 Généralités sur le processus de conception d une machine électrique III.2.1 Étapes principales du processus de conception d une machine électrique III.2.2 Modèles physiques et niveaux de modélisation III.2.3 Méthodes d optimisation employées pour la conception de machines électriques vi

7 Table des matières III.3 Approches de modélisation électromagnétique usuelles pour la conception des MFT III.3.1 Approches de conception avec modélisation électromagnétique analytique 45 III Détermination analytique du couple développé par une MFT III Modèles magnétiques analytiques communément employés III.3.2 Approches de conception avec modélisation électromagnétique par calcul des champs III Modélisation EF et optimisation par variation paramétrique III Modélisation EF et optimisation employant un algorithme d optimisation III.3.3 Discussion : le dilemme efficacité précision pour la modélisation des MFT 65 III.4 Conclusion IV Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la machine à flux transverse à stator hybride IV.1 Introduction IV.2 Élaboration d un modèle de réluctances pour la détermination du flux à vide IV.2.1 Description des hypothèses et paramètres géométriques utilisés dans le modèle 70 IV.2.2 Description des passages de flux modélisés IV.2.3 Description du réseau de réluctances proposé IV Réluctances modélisant le passage de flux principal IV Réluctances modélisant les trajets de flux de fuite : IV Expression de la force magnétomotrice des aimants F mag : IV Circuit de réluctance employé pour la détermination du flux à vide IV.2.4 Détermination de l expression du flux à vide IV.2.5 Prise en compte de la saturation dans le modèle IV.3 Évaluation de la précision du modèle développé IV.3.1 Dimensions des machines considérées pour l évaluation de la précision du modèle 96 IV.3.2 Paramétrage des modèles éléments finis dans l étude considérée IV.3.3 Comparaison des résultats des modèles analytiques et éléments finis sans tenir compte de la saturation IV.3.4 Comparaison des résultats des modèles analytiques et éléments finis en tenant compte de la saturation IV.4 Proposition d une méthode de compensation des erreurs du modèle analytique adaptée à l optimisation IV.4.1 Origines de la méthode de compensation d erreurs IV.4.2 Description de la méthode de compensation d erreurs IV Choix des réluctances corrigées IV Processus de détermination des facteurs de correction IV Utilisation du mécanisme de compensation d erreurs dans un processus d optimisation IV.4.3 Efficacité du mécanisme de compensation d erreurs vii

8 Table des matières IV.5 Création d un outil de conception à partir du modèle et de la méthode de compensation d erreurs IV.6 Application de la méthode pour la maximisation du flux à vide d une MFTCPSH IV.6.1 Principe de l optimisation présentée IV.6.2 Performances de la solution optimale obtenue IV.6.3 Durée du processus d optimisation dans l exemple considéré IV.6.4 Optimalité des solutions obtenues par la méthode proposée IV.7 Conclusion V Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.1 Introduction V.2 Adaptation du modèle analytique flux à vide saturable pour la détermination du couple moyen d une MFTCPSH V.2.1 Estimation analytique du couple moyen d une MFTCPSH par la méthode du diagramme flux FMM V Diagramme Flux FMM et couple délivré par une MFTCPSH V Précision de l estimation du couple et nombre d incréments requis V.2.2 Modification du modèle flux à vide pour la prédiction du couple moyen par la méthode du diagramme Flux - FMM V Variation des trajets et quantités de flux dans le circuit magnétique d une MFTCPSH en fonction de la position du rotor et de l amplitude de la FMM V Réseau de réluctances employé pour la détermination du flux lié au bobinage d une MFTCP, avec prise en compte de la réaction d induit, du déplacement du rotor et de la saturation V Expressions analytiques des réluctances dans le modèle développé pour la prédiction du couple moyen d une MFTCPSH V Expressions analytiques des flux dans le modèle développé pour la prédiction du couple moyen d une MFTCPSH V Détermination analytique du couple moyen d une MFTCPSH dans le modèle proposé V.2.3 Emploi du mécanisme de compensation d erreurs dans le modèle analytique pour la détermination du couple moyen V Fonctionnement du mécanisme de compensation d erreurs V Exemple : détermination et correction du couple moyen d une MFTCPSH à l aide du modèle analytique développé V.2.4 Prise en compte des pertes et du rendement dans le modèle analytique développé V Modélisation des pertes Joule V Modélisation des pertes ferromagnétiques V Évaluation analytique du rendement de la machine V.2.5 Implémentation du modèle dans l environnement Excel V.3 Exemples d utilisation du modèle et de la méthode développés pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.3.1 Maximisation de la densité de couple d une MFTCPSH dans une application de traction de type moteur-roue viii

9 Table des matières V Principe de l optimisation V Design obtenu après maximisation du couple massique V Optimalité de la solution obtenue V Remarques sur la durée du processus d optimisation dans l exemple proposé 210 V Conclusions sur l exemple proposé V.3.2 Maximisation de la densité de couple d une MFTCPSH avec variation du nombre de paires de pôles de la machine V Problèmes liés à l optimisation du nombre de paires de pôles V Optimisations réalisées en considérant des nombres de paires de pôles différents 218 V Conclusions et observations sur l exemple présenté : V.3.3 Exploitation du concept de stator hybride pour la maximisation de la densité de couple d une MFTCPSH V Maximisation de la densité de couple de 3 MFTCPSH de 40 paires de pôles à noyaux en C constitués de SMC, de tôles Fe-Si ou de matériaux amorphes. 226 V Maximisation de la densité de couple de 3 MFTCPSH à noyaux en C faits de matériaux différents, en considérant différents nombres de paires de pôles V Conclusions et observations sur l exemple présenté : V.4 Conclusion VI Conclusion générale Bibliographie Annexe 1 : Courbes B(H) des matériaux considérés dans le modèle analytique et employées dans les simulations EF ix

10 Liste des tableaux LISTE DES TABLEAUX Tableau II-1 : Comparaison du couple massique et du couple volumique de quelques MFT à double entrefer et MFTCP issues de la littérature Tableau II-2 : Comparaison des principales propriétés de tôles magnétiques, de SMC et d alliages amorphes choisis Tableau III-1 : Comparaison des avantages et inconvénients des approches de modélisation magnétique analytique et EF communément employées pour la conception de MFT Tableau IV-1 : Facteurs de forme employés dans le modèle et relations correspondantes Tableau IV-2 : Dimensions principales des 4 designs de CTFMSH considérés dans l étude sur la précision du modèle analytique Tableau IV-3 : Écarts observés entre l estimation des flux avec le modèle analytique et les résultats de simulation EF (saturation non considérée) Tableau IV-4 : Écarts observés entre l estimation des flux avec le modèle analytique et les résultats de simulation EF (saturation considérée) Tableau IV-5 : Coefficients de correction et erreurs résultantes après application du mécanisme de compensation d erreurs (saturation non considérée) Tableau IV-6 : Coefficients de correction et erreurs résultantes après application du mécanisme de compensation d erreurs (saturation considérée) Tableau IV-7 : Dimensions fixes et valeurs initiales des variables d optimisation considérées dans l exemple Tableau IV-8 : Variables d optimisation et flux à vide avant et après optimisation Tableau IV-9 : Variables d optimisation des 8 designs initiaux considérés Tableau IV-10 : Variables optimisées des 8 designs (solutions optim. intermédiaires #1) Tableau V-1 : Estimations de couple méthode diagramme Flux FMM (expression (V-4)) Tableau V-2 : Flux calculés par analyse EF à différents endroits d une paire de pôles d une MFTCPSH (c.f. Figure V-5 et Figure V-6) pour 3 positions du rotor (0, 90 et 150 électriques) et 3 amplitudes de FMM statoriques (0 A, 2200 A et 1100 A) Tableau V-3 : Facteurs de forme et variables d entrées employés dans le modèle et relations correspondantes x

11 Liste des tableaux Tableau V-4 : Valeurs des facteurs de correction en fonction de la position du rotor, déterminées dans le cas de l exemple traité Tableau V-5 : Caractéristiques principales de la MFTCP présentée dans [BLIS] : Tableau V-6 : Dimensions fixes et variables d optimisation considérées en V Tableau V-7 : Variables optimisées avant et après maximisation du couple massique Tableau V-8 : Perf. des designs avant et après maximisation du couple massique Tableau V-9 : Variables d optimisation des 6 designs initiaux considérés Tableau V-10 : Valeurs optimales des variables optimisées pour chacun des 6 designs Tableau V-11 : Comparaison des masses des matériaux actifs de chaque design Tableau V-12 : Comparaison des masses des matériaux actifs de la solution optimale déterminée en V et celles du design de la référence [BLIS] Tableau V-13 : Valeurs optimales des variables optimisées et performances des 9 designs au nombre de paires de pôles variant de 25 à Tableau V-14 : Perf. des 3 designs optimaux de MFTCPSH, à noyaux en SMC, à noyaux Fe-Si et à noyaux amorphes après maximisation de la densité de couple xi

12 Liste des figures LISTE DES FIGURES Figure II-1 : Illustration schématique de 2 agencements possibles des circuits magnétique et électrique d une machine électrique. Gauche : machine à flux longitudinal. Droite : machine à flux transverse Figure II-2 : Trajets de flux au sein d une paire de pôles d une machine à flux longitudinal (gauche) et d une MFT (droite) Figure II-3 : Effet de la réduction du pas polaire à fenêtre de bobinage fixée dans le cas d une machine à flux longitudinal (haut) et dans celui d une MFT (bas) Figure II-4 : Gauche : éolienne à attaque directe 25 kw employant une MFT, commercialisée par Éocycle. Droite : Détail de la MFT employée [EOCY] Figure II-5 : Système de traction électrique Voith ElvoDrive pour autobus hybride série, employant deux MFT (220 kw, 1350 Nm, 800 kg total) [ELVO] Figure II-6 : Structures de MFT à aimants montés en surface (gauche) et à concentrateurs de flux (droite) Figure II-7 : (Gauche) MFT dans sa configuration originelle telle que proposée par Weh [WEH2]. (Droite) MFT à ponts magnétiques [HENN] Figure II-8 : Variante de la MFT à noyau en C et ponts magnétiques proposée par Dubois et al. : la MFT à rotor dentelé [DUB2] Figure II-9 : Structures de MFT à double entrefer proposées par Weh et al. [WEH3] Figure II-10 : Gauche : 1 paire de pôles d une MFTCP à rotor à concentrateurs de flux [MADD]. Droite : 1 phase d une MFTCP et à aimants montés en surface du rotor [DIC1] Figure II-11 : Trajets de flux déterminés par simulation par éléments finis au sein d une paire de pôles d une MFTCP [GUO3] Figure II-12 : Haut : Détail annoté d une paire de pôles d une MFTCPSH. Bas : Vue éclatée d une phase d une MFTCPSH Figure II-13 : Détails d un noyau en C en amorphe et en tôles Fe-Si ainsi que d un pied usiné en SMC Figure II-14 : Prototype d une MFTCPSH à noyaux de tôles [DUB3] Figure III-1 : Processus général de conception d une machine électrique Figure III-2 : Modèle au sein de la boucle d optimisation ou processus de résolution itératif généralement employé pour la conception des machines électriques [BRIS] Figure III-3 : Modèles physiques généralement utilisés lors de la conception d une machine électrique et leurs couplages [VIAR] xii

13 Liste des figures Figure III-4 : Classification des modèles local, hybride et intégral dans un repère temps de calcul erreur de modélisation [BRIS] Figure III-5 : Schéma illustrant les notions d optimums locaux et global dans un problème d optimisation Figure III-6 : Diagramme Flux FMM d une machine électrique Figure III-7 : Schéma d un tube de flux à travers une pièce magnétique Figure III-8 : Réseau de réluctances simplifié proposé par Blissenbach [BLI1] Figure III-9 : Réseaux de réluctances proposés par Dubois [BLI1] : circuit modélisant les passages de flux dans a) l axe d de la MFT, b) l axe q de la MFT Figure III-10 : Réseau de réluctances proposé par Ibala et al [IBA1] [IBA2] Figure IV-1: Variables et grandeurs géométriques employées dans le modèle Figure IV-2 : Passage du flux principal à vide. Trajets de flux de fuite exclus Figure IV-3: Flux de fuite autour des aimants et fuite concentrateur - pied Figure IV-4: Flux de fuite pied pied Figure IV-5: Schéma représentant la longueur l foot et la surface S foot utilisées pour la modélisation de la réluctance R foot Figure IV-6: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R lctop Figure IV-7: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R lcside Figure IV-8: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R lcgap Figure IV-9: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R sidep Figure IV-10: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R sided Figure IV-11: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R sided Figure IV-12: Réseau de réluctances proposé pour la détermination du flux à vide Figure IV-13: Processus itératif de détermination du flux à vide en tenant compte de la saturation Figure IV-14: Fonctionnement de la procédure de calcul du flux saturé avec le modèle développé dans l environnement Excel Figure IV-15 : Schéma représentant une paire de pôles des 4 machines considérés dans l étude sur la précision. a) Design #1, b) Design #2, c) Design #3, d) Design # Figure IV-16: Maillage employé pour les simulations effectuées avec le design # Figure IV-17: Surfaces d intégrations définies dans les modèles éléments finis pour calculer les flux magfea, gapfea, leaksfea et corefea Figure IV-18: Principe de fonctionnement général de la modélisation hybride employée au LEEPCI xiii

14 Liste des figures Figure IV-19: Organigramme décrivant le principe de détermination des facteurs de correction du modèle au cours d un processus d optimisation Figure IV-20: Méthode générale d optimisation de la MFTCPSH basée sur l emploi du modèle analytique développé et du mécanisme de compensation d erreurs Figure IV-21: Diagramme hiérarchique décrivant l environnement de conception créé avec Microsoft Excel, des macros Visual Basic et le logiciel de calcul des champs Magnet ainsi que les interactions entre les programmes Figure IV-22: Modification apportée à la méthode d optimisation pour tenir compte de la saturation avec la limitation imposée par le programme Excel Figure IV-23 : Design initial considéré dans l exemple d optimisation proposé Figure IV-24 : Organigramme décrivant les principales étapes du processus d optimisation considéré dans l exemple proposé Figure IV-25 : Design initial (à gauche) et design obtenu après optimisation (à droite) Figure IV-26 : Variation du flux à vide saturé core calculé par le modèle analytique (ronds bleus) / déterminé par calcul des champs (carrés rouges) au cours de l optimisation Figure IV-27 : Variation de la somme des écarts ou erreurs d estimation des flux au carré (ronds bleus) au cours de l optimisation. Variation de l erreur ou écart d estimation du flux à vide saturé core (carrés rouges). (10-2 = 1 % d erreur) Figure IV-28 : Variation des paramètres optimisés (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn ) au cours de l exemple d optimisation traité Figure IV-29 : Variation facteurs de correction (k gap, k leakr, k leaks, k sided, k sidep ) au cours de l exemple d optimisation traité Figure IV-30 : 8 designs initiaux considérés dans l étude de l optimalité des solutions obtenues avec la méthode développée Figure IV-31 : Valeurs des variables d optimisation k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp pour chacun des 8 designs initiaux Figure IV-32 : Valeurs des variables d optimisation k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, pour chacun des 8 problèmes d optimisation considérés (solution optimale intermédiaire #1) Figure V-1 : Diagrammes Flux FMM de deux MFTCPSH Figure V-2 : Diagrammes Flux FMM de deux MFTCPSH. W conv1, W conv2 : variations de coénergie des MFTCPSH #1 et MFTCPSH # Figure V-3 : Diagrammes Flux FMM d une MFTCPSH construit à partir de 30 (trait fin) et 5 positions du rotor (trait épais). L aire délimitée par deux points correspond à un incrément d énergie dans l expression (V-3) Figure V-4 : Erreur sur l estimation du couple moyen à partir de l expression (V-3) en fonction du nombre d incréments d énergie pour deux MFTCPSH xiv

15 Liste des figures Figure V-5 : Tracés d induction dans une paire de pôles d une MFTCPSH pour deux positions du rotor et deux amplitudes de FMM : haut : position alignée, elec = 0, FMM = 0 A ; bas : position désalignée, elec = 90, FMM = 2200 A Figure V-6 : Tracés d induction dans une paire de pôles d une MFTCPSH pour deux positions du rotor et deux amplitudes de FMM : haut : position alignée, elec = 0, FMM = 0 A ; bas : position désalignée, elec = 150, FMM = 1100 A Figure V-7: Réseau de réluctances proposé pour la détermination du flux lié au bobinage d une MFTCPSH, avec prise en compte de la réaction d induit, du déplacement du rotor et de la saturation Figure V-8: Organigramme décrivant le processus de détermination des facteurs de corrections des réluctances du modèle permettant le calcul du couple moyen, au cours du processus d optimisation d une MFTCPSH Figure V-10: Dimensions principales et illustration d une paire de pôles du design de CTFM considéré dans l exemple Figure V-11: Variations des flux calculés avec le modèle avant correction (traits pleins) et déterminés par simulation EF (pointillés) en fonction de la position du rotor rot Figure V-12: Comparaison des diagrammes Flux FMM déterminés à partir du modèle analytique avant correction (traits pleins) et par calcul des champs (traits pointillés) Figure V-13: Variations des flux calculés avec le modèle après correction (traits pleins) et déterminés par simulation EF (pointillés) en fonction de la position du rotor rot Figure V-14: Comparaison des diagrammes Flux FMM déterminés à partir du modèle analytique après correction (traits pleins) et par calcul des champs (traits pointillés) Figure V-15: Diagramme décrivant les interactions entre le tableur Excel, les routines Visual Basic et le logiciel de calcul par élément finis Magnet dans l environnement de conception développé pour maximiser le couple moyen d une MFTCPSH Figure V-16: Organigramme décrivant le principe de fonctionnement de la méthode de maximisation du couple moyen proposée Figure V-17: MFTCP à rotor à concentration de flux employée dans une application de traction moteur-roue [BLIS]. Gauche : éclaté de la machine. Droite : 1 paire de pôles Figure V-18: Principe de l optimisation présentée en V Figure V-19: 1 paire de pôles de la MFTCPSH avant maximisation du couple massique Figure V-20: 1 paire de pôles de la MFTCPSH après maximisation du couple massique Figure V-21: Variations du couple massique T em /M calculé avec le modèle analytique (carrés rouges) et déterminé par calcul des champs (triangles magentas) ainsi que du rendement (ronds bleus) au cours de l optimisation Figure V-22: Variation des paramètres optimisés k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob pour maximiser le couple massique de la MFTCPSH. Note : D bob en [A/mm²]/ xv

16 Liste des figures Figure V-23: Variations des facteurs 8 sets de facteurs de corrections (k leakr ( rot ), k sided ( rot ), k sidep ( rot ), k leaks ( rot ) et k gap ( rot )) en fonction de la position du rotor rot à chaque solution intermédiaire du processus d optimisation Figure V-24: Illustrations d une paire de pôles de chacun des 6 designs initiaux considérés pour la validation de l optimalité de la solution obtenue Figure V-25: Valeurs des variables optimisées k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob avant (gauche) et après (droite) maximisation du couple massique. Note : pour adapter l échelle la valeur affichée de D bob représente sa valeur divisée par Figure V-26: Couple massique, rendement, couple moyen, pertes Joule et pertes fer des 6 designs avant (haut) et après optimisation (bas). Note : par soucis d échelle, la valeur affichée pour le couple moyen et les pertes a été déterminée pour 1 phase de la machine Figure V-27: Comparaison graphique d une paire de pôles de chaque design optimisé Figure V-28: Valeurs des param. optimisés k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob en fonction du design considéré (p pour chaque design). Note : D bob en [A/mm²]/ Figure V-29: Couple massique T em /M (traits pleins) et couple moyen T em (3 phases) (pointillés) développé par chaque design optimal déterminé (p pour chaque design) Figure V-30: Pertes magnétiques P fer, pertes Joule P Cu et ratio P fer /P Cu pour chaque design optimal déterminé (p pour chaque design) Figure V-31: Pas polaire (pointillés) et induction dans le noyau du stator (traits pleins) pour chaque design optimal déterminé (p pour chaque design) Figure V-32: 1 paire de pôles de chacun des designs optimaux de MFTCPSH à noyaux en SMC (haut), à noyaux de tôles Fe-Si (milieu), à noyaux amorphes (bas) Figure V-33: Valeurs des param. optimisés k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob en fonction du design considéré (p pour chaque design). MFTCPSH à noyaux en SMC (gauche), en Fe-Si (milieu), en amorphe (droite) Note : D bob en [A/mm²]/ Figure V-34: a) Variations du couple massique (gauche) et b) du couple total et de la masse des matériaux actifs (droite) de chaque design optimal de MFTCPSH à noyaux de SMC, de tôles Fe-Si et d amorphe Figure V-35 : a) Variations des pertes fer. totales et dans les noyaux (gauche). b) Variations des pertes Joule et du ratio pertes fer. / pertes Joule (droite) pour chaque design optimal de MFTCPSH à noyaux de SMC, de tôles Fe-Si et d amorphe Figure V-36: a) Variations de l induction max. dans le noyau (gauche) et b) rendement (droite) de chaque design optimal de MFTCPSH à noyaux de SMC, de tôles Fe-Si et d amorphe xvi

17 Nomenclature NOMENCLATURE tube, Flux saturé traversant un tube de flux µ, µ tube Perméabilité magnétique d un tube de flux µ 0 Perméabilité du vide µ conc Perméabilité relative d un concentrateur µ core Perméabilité relative d un noyau statorique µ foot Perméabilité relative d un pied statorique µ mag Perméabilité relative d un aimant A bob B conc B g B noyau B pied B r B tube D D bob e f F conc F core F foot F mag F S F tube, F F win ( rot ) H a H b H bp H c H f H gp h M Surface de bobinage d une phase du stator Induction au centre d un concentrateur Induction dans l entrefer générée par les aimants du rotor Induction au centre du noyau statorique Induction au centre d un pied statorique Induction rémanente d un aimant Induction au centre d un tube de flux Diamètre d alésage Densité de courant dans une phase du bobinage Entrefer de la machine Fréquence de variation de la fem à vide de la machine Chute de potentiel magnétique aux bornes d un concentrateur Chute de potentiel magnétique aux bornes d un noyau Chute de potentiel magnétique aux bornes d un pied Force magnétomotrice d un aimant Force magnétomotrice équivalente du stator Chute de potentiel magnétique aux bornes du tube de flux Variation temporelle de la FMM du bobinage Hauteur des aimants du rotor Hauteur de la surface de bobinage Petite hauteur du bout du pied Hauteur du concentrateur de flux Hauteur de la fenêtre de bobinage Grande hauteur d un pied Hauteur d un aimant xvii

18 Nomenclature H pp H tube I max k ap k bob k cp K fill k gap, k gap ( rot ) k hb k hp k leakr, k leakr ( rot ) k leaks, k leaks ( rot ) k pn k rot k rp k sided, k sided ( rot ) k sidep, k sidep ( rot ) k smag Petite hauteur du pied proche du noyau Champ magnétique associé à un tube de flux Amplitude du courant dans un conducteur du bobinage statorique Grande hauteur d un pied / Hauteur des aimants Hauteur du bobinage / Profondeur du bobinage Largeur d un pied dans l entrefer / Largeur des concentrateurs Facteur de remplissage du bobinage Coefficient de correction appliqué à R gap Petite hauteur du bout du pied / Grande hauteur d un pied Petite hauteur du pied proche du noyau / Grande hauteur d un pied Coefficient de correction appliqué à R leakr Coefficient de correction appliqué à R leaks Largeur du noyau / Largeur d un pied dans l entrefer Largeur des aimants / Largeur des concentrateurs Profondeur du pied dans l entrefer / Profondeur d une phase du rotor Coefficient de correction appliqué à R sided Coefficient de correction appliqué à R sidep Largeur des aimants / Hauteur des aimants l, l tube Longueur d un tube de flux L a L c L gp L n L pp M M conc M cu M mag M noyau M pied M rotor M stator Ni A N t p P conc P cu P em Largeur des aimants du rotor Largeur du concentrateur de flux Largeur d un pied proche du noyau Largeur du noyau Largeur d un pied dans l entrefer Masse totale de la machine Masse d un concentrateur Masse totale de cuivre employée Masse d un aimant Masse d un noyau statorique Masse d un pied statorique Masse du rotor Masse du stator Force magnétomotrice d une phase d une MFT Nombre de tours d une phase du stator Nombre de paires de pôles Pertes ferromagnétiques dans un concentrateur Pertes Joule dans une phase Puissance électromagnétique xviii

19 Nomenclature P f P f P gp P n P noyau_amorphe P noyau_fe-si P noyau_smc P pied P pp P r Profondeur de la fenêtre de bobinage Profondeur de la surface de bobinage Profondeur du pied dans l entrefer Profondeur du noyau Pertes ferromagnétiques dans un noyau amorphe Pertes ferromagnétiques dans un noyau fait d un empilement de tôles Fe-Si Pertes ferromagnétiques dans un noyau en SMC Pertes ferromagnétiques dans un pied Profondeur du pied proche du noyau Profondeur d une phase du rotor R, R tube Réluctance d un tube de flux R a Rayon des matériaux actifs R ap Réluctance par paire de pôles vu par le bobinage du stator en position alignée (axe d) R conc R core R cu R foot R gap, R gap ( rot ) R gap, R gap ( rot ) R lcgap R lcside R lctop R leakr,r leakr ( rot ) R leakr,r leakr ( rot ) R leaks R leaks R mag R r R s Réluctance modélisant le passage de flux à travers un concentrateur Réluctance modélisant le passage de flux dans un noyau du stator Rayon moyen au centre du bobinage d une phase Réluctance modélisant le passage de flux dans un pied du stator Réluctance modélisant le passage de flux dans l entrefer Réluctance corrigée modélisant le passage de flux dans l entrefer Réluctance modélisant le flux de fuite des aimants dans l entrefer Réluctance modélisant le flux de fuite de chaque côté d une phase du rotor Réluctance modélisant le flux de fuite au dessus des aimants Réluctance modélisant le flux de fuite autour des aimants Réluctance corrigée modélisant le flux de fuite autour des aimants Réluctance modélisant le flux de fuite entre les pieds du stator Réluctance corrigée modélisant le flux de fuite entre les pieds du stator Réluctance modélisant le passage de flux dans un aimant du rotor Rayon de la machine au rotor Rayon de la machine au stator R sided,r sided ( rot ) Réluctance modélisant le flux de fuite entre un concentrateur et un pied par la partie droite d un pied R sided,r sided ( rot ) Réluctance corrigée modélisant le flux de fuite entre un concentrateur et un pied par la partie droite d un pied R sidep,r sidep ( rot ) Réluctance modélisant le flux de fuite entre un concentrateur et un pied par la partie penchée d un pied R sidep,r sidep ( rot ) Réluctance corrigée modélisant le flux de fuite entre un concentrateur et un pied par la partie penchée d un pied R up Réluctance par paire de pôles vu par le bobinage du stator en position désalignée (axe q) S, S tube Section d un tube de flux T Couple moyen délivré par une phase d une machine électrique xix

20 Nomenclature T A-B T cu T em V cu Couple résultant de la conversion d énergie entre deux points A et B Température du cuivre Couple électromagnétique délivré par une phase Volume occupé par le cuivre du bobinage d une phase W conv Coénergie convertie au niveau d une paire de pôles d une machine W conv Énergie par paire de pôles totale convertie sur une demi-période électrique W conva-b Énergie convertie entre deux points A et B τ inst W convn core corefea gap gapfea leakr leakrfea leaks leaksfea leakside leaksided leaksidedfea leaksidefea leaksidep leaksidepfea mag magfea pm R rot Couple instantané délivré par une phase d une machine électrique Incrément infinitésimal d énergie Déplacement infinitésimal du rotor Flux à vide, franchissant le noyau du stator, vu par le bobinage Flux à vide, franchissant le noyau du stator, vu par le bobinage déterminé par calcul EF Portion de flux franchissant l entrefer Portion de flux franchissant l entrefer déterminé par calcul des champs Flux de fuite autour des aimants Flux de fuite autour des aimants déterminé par calcul des champs Flux de fuite pied-pied Flux de fuite pied-pied déterminé par calcul des champs Somme de leaksided + leaksidep Flux de fuite quittant/entrant la partie droite d un pied Flux de fuite quittant/entrant la partie droite d un pied déterminé par calcul des champs Somme de leaksidedfea + leaksidepfea Flux de fuite quittant/entrant la partie inclinée d un pied Flux de fuite quittant/entrant la partie inclinée d un pied déterminé par calcul des champs Portion de flux traversant un aimant du rotor Portion de flux traversant un aimant du rotor déterminé par calcul des champs Flux à vide produit par les aimants Flux résultat (somme des flux inducteur et induits) Vitesse de rotation du rotor en rpm rot Vitesse de rotation du rotor en rad.s -1 Entrefer mécanique Angle électrique entre le flux à vide et le courant de phase RS core gap leakr leaks leakside Angle électrique entre les axes magnétiques de R et F S Écart entre core et corefea Écart entre gap et gapfea Écart entre leakr et leakrfea Écart entre leaks et leaksfea Écart entre leakside et leaksidefea xx

21 Nomenclature mag p A, B, rot Écart entre mag et magfea Rendement Angle d une paire de pôles Position électrique du rotor cu Densité du cuivre à 105 C noyau_amorphe noyau_fe-si SMC Densité d un matériau amorphe Densité d une tôle Fe-Si Densité d un matériau SMC Pas polaire xxi

22 I. Introduction Générale I INTRODUCTION GÉNÉRALE Depuis quelques décennies, le domaine des machines électriques connaît une évolution rapide. L économie de marché et l apparition de nouvelles réglementations et normes sont autant de facteurs qui poussent les entreprises et universités à innover sans cesse pour développer des moteurs électriques toujours plus performants et à des prix toujours plus concurrentiels. Tout concepteur de machine électrique fait aujourd hui face au défi suivant : résoudre des problèmes de conception toujours plus complexes dans des délais toujours plus courts. L apparition de nouveaux matériaux magnétiques, le développement de l électronique de puissance et de nouvelles stratégies de commande de moteurs ont grandement contribués aux progrès remarquables réalisés dans le domaine des machines électriques. Parallèlement, l augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs a permis aux ingénieurs et chercheurs d améliorer leurs méthodes de conception. La disponibilité de logiciels de calculs par éléments finis a, entre autres, offert aux concepteurs la possibilité de mieux comprendre et modéliser les phénomènes physiques complexes associés au design d un moteur électrique. De plus, le développement d outils de conception assistée par ordinateur (CAO), dotés de modèles analytiques ou éléments finis ainsi que de méthodes d optimisation, offre aujourd hui au concepteur un atout de taille pour répondre au défi auquel il fait face. À l aide de tels outils, le concepteur résout, de manière plus efficace et rapide, un véritable problème d optimisation en cherchant à déterminer les caractéristiques optimales d une machine électrique, c'est-à-dire celles qui satisfont au mieux l objectif et les contraintes du cahier des charges pour l application considérée. Bien que les lois et concepts électromagnétiques régissant la production de couple d une machine électrique n ont que peu changés depuis les travaux fondamentaux d Ampère, de Faraday ou de Maxwell au début du XIX ème siècle, les topologies et configurations de machines électriques ont, quant à elles, considérablement évoluées. Au cours des dernières décennies, la nécessité de développer des machines pouvant fournir plus de puissance dans 1

23 I. Introduction Générale un espace et pour une masse restreints, coïncidant avec la découverte d aimants à haute énergie, a contribué à l essor de nouvelles topologies et configurations de moteurs à aimants permanents, à haut rendement et densité de couple élevée. Ces dernières suscitent aujourd hui l intérêt de nombreux chercheurs et ingénieurs dans le cadre de la conception de machines électriques pour des applications dans les domaines, entre autres, de l énergie éolienne, de la traction électrique ou de la robotique. Le travail de recherche présenté dans ce document concerne la modélisation et l optimisation d une de ces topologies de machine à aimants permanents : la topologie à flux transverse. La topologie à flux transverse se distingue des autres configurations de machines à aimants permanents, par l agencement particulier de ses circuits magnétiques et électriques provoquant une circulation du flux magnétique qui est majoritairement transversale à la direction du mouvement. Ce dernier aspect confère à la machine à flux transverse (MFT) une caractéristique qui la distingue des topologies communes de machines synchrones et asynchrones : un grand potentiel de densité de puissance et de couple. Selon Huang et al., une MFT permet ainsi l obtention de densités de puissance par unité de volume jusqu à trois fois plus importantes que celles atteignables par une machine asynchrone [HUA1]. La topologie à flux transverse se décline aujourd hui en différentes configurations qui se distinguent principalement par des différences géométriques dans leurs circuits magnétiques ou par la présence d entrefers multiples. La configuration considérée dans ce travail de thèse est une MFT à griffes ou «claw-pole» dite à stator hybride (MFTCPSH). L appellation «stator hybride» provient du fait que le stator de la machine est segmenté en deux parties. L usage de deux matériaux ferromagnétiques doux différents dans chacune de ces parties permet de réduire les pertes magnétiques de la machine et de faciliter sa fabrication [DEH1]. Si la densité de couple importante d une MFT est principalement attribuable à l agencement particulier de ses circuits magnétiques et électriques, ce dernier vient également compliquer grandement la conception d une telle machine. Si le flux magnétique circule majoritairement dans une direction transversale au mouvement du rotor, une partie non négligeable de ce flux évolue également dans un plan parallèle au mouvement. Cette partie du flux représente principalement des trajets de flux de fuite dans l air qui ne 2

24 I. Introduction Générale contribuent pas à la création de couple. L aspect 3-D des trajets de flux d une MFT et le fait qu une partie de ce flux concerne des trajets de flux de fuite dans l air complique grandement l étape de modélisation magnétique, nécessaire à la conception d une MFT. La prédiction analytique de trajets de flux tridimensionnels, qui plus est dans l air, rend difficile l élaboration d un modèle magnétique analytique précis pour une MFT. Cet aspect est souligné par de nombreux concepteurs de MFT dans la littérature, comme, entre autres, par les auteurs de [BLI1] [ANPA] [VIOR] [DUB1] [KAI1] [MADD] [GUO1] [BORK] [HENN] [HAR1] [MECR] [DIC1] [MASM]. Couplé à un algorithme d optimisation, l emploi d un modèle analytique dans un outil de CAO peut permettre une exploration rapide et efficace de l espace des solutions d un problème d optimisation, comme lors de la conception d une MFT. Cependant, l utilisation d un modèle analytique imprécis couplé à un algorithme d optimisation constitue aussi un fort risque d obtention de solutions optimales erronées, du fait d erreurs sur l estimation analytique des performances de la machine. Pour cette raison, la plupart des concepteurs se tourne vers l emploi d une modélisation élément finis 3-D, lors de la conception d une MFT. Si la modélisation éléments finis offre, quant à elle, une bonne précision et est relativement facile à mettre en œuvre, le temps de calcul qui y est associé impose rapidement au concepteur de restreindre son domaine d étude (ex : réduction du nombre de variables optimisées et/ou des valeurs que ces dernières peuvent prendre). Malgré l accroissement des capacités de calcul des ordinateurs, la modélisation par éléments finis 3-D d une machine électrique nécessite encore aujourd hui un temps de calcul qui permet difficilement de considérer l optimisation de nombreux paramètres et/ou d entrevoir l emploi d algorithmes d optimisation itératifs en association avec un tel modèle. La restriction du domaine des solutions peut conduire à l obtention d optimums dits «locaux» qui ne constituent pas le design optimal «global» issu du processus de conception. Pour un cahier des charges considéré, un concepteur qui cherche à déterminer les caractéristiques optimales d une MFT (ex : dimensions qui maximisent de la densité de couple) se retrouve donc généralement devant un dilemme, qui constitue également la problématique principale de ce travail de recherche : - Choisir une modélisation analytique et une méthode d optimisation permettant une exploration vaste mais rapide du domaine des solutions possibles, conduisant 3

25 I. Introduction Générale cependant à une solution optimale qui risque d être erronée du fait de l imprécision du modèle analytique choisi, - Ou faire le choix d une modélisation éléments finis, plus précise que la modélisation analytique, mais qui, contrainte par le temps de calcul, nécessite une restriction du domaine d étude et ne garantit absolument pas le caractère optimal du dimensionnement de machine déterminé. L observation des avantages et inconvénients associés au choix de l une ou l autre de ces deux approches nous mène à ce constat : dans le contexte de l optimisation d une MFT, les atouts de la modélisation magnétique analytique constituent aussi les faiblesses de la modélisation éléments finis et inversement. Devant ce constat, la thèse défendue dans ce document est qu une bonne approche de modélisation pour la conception optimale d une MFT se trouve entre une modélisation analytique et éléments finis, sans que ne soit limité à priori l espace des solutions. L argumentation de cette thèse est faite en considérant le cas de la MFTCPSH, mais est aussi applicable, de manière plus générale, à toutes les configurations de MFT. De plus, un objectif recherché par ce travail est de mettre au point un modèle analytique et une méthode d optimisation permettant la détermination des paramètres maximisant la densité de couple d une MFTCPSH. La thèse s'articule de la manière suivante : - Une description de la topologie à flux transverse effectuée au chapitre II permettra au lecteur de se familiariser avec les particularités des MFT. Après être revenu sur le concept du flux transverse, ses avantages et inconvénients, une description des domaines d applications des MFT est faite. Une revue de littérature des différentes configurations de MFT est également présentée. Pour finir, ce chapitre aborde plus spécifiquement les caractéristiques de la MFT considérée dans ce travail : la MFT claw-pole à stator hybride (MFTCPSH). - Le chapitre III permettra au lecteur de cerner correctement les difficultés associées à la modélisation et l optimisation des MFT, problématique de recherche centrale à cette thèse. Après avoir décrit le processus général de conception d une machine électrique, ce chapitre présente une revue de littérature des différentes approches de 4

26 I. Introduction Générale modélisation et d optimisation des MFT. On compare plus particulièrement les deux approches de modélisation communément employées : la modélisation analytique et la modélisation par élément finis. - Le chapitre IV propose un modèle analytique pour le calcul du flux à vide et une méthode d optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. L approche proposée est basée sur une approche hybride faisant appel à une modélisation analytique assistée par le calcul des champs. La restriction au cas du flux à vide permettra avant tout au lecteur de se familiariser avec une méthode de compensation des erreurs du modèle analytique adaptée à l optimisation. Un exemple de maximisation du flux à vide d une MFTCPSH est présenté, afin que le lecteur juge de l efficacité des méthodes de compensation des erreurs du modèle analytique et d optimisation proposées dans cette thèse. - Le modèle et la méthode d optimisation introduits au chapitre IV sont, par la suite, développés au chapitre V, afin de permettre l estimation analytique et l optimisation de la densité de couple de la MFTCPSH. À travers trois exemples de maximisation du couple massique d une MFTCPSH, dans le cadre d une application de traction de type moteur-roue, le lecteur pourra apprécier l efficacité mais aussi les limites du modèle analytique et de la méthode d optimisation proposés dans cette thèse. - Pour finir, le chapitre VI conclut cette thèse en revenant sur les contributions scientifiques apportées par ce travail, ses limites mais également les perspectives de travaux de recherche futurs proposées comme suite à ce travail de thèse. 5

27 II. La Machine à Flux Transverse II LA MACHINE À FLUX TRANSVERSE II.1 Introduction Le faible nombre de références à la topologie à flux transverse dans la littérature scientifique laisse à penser que cette topologie est relativement récente dans le domaine des machines électriques. On peut cependant déjà retrouver la dénomination «machine à flux transverse» (MFT) dans quelques communications scientifiques vieilles de plus d un siècle. Le concept de MFT est ainsi mentionné dans un brevet déposé par W.M. Morday en 1895 [VIOR]. Deux brevets allemands datant de 1904 et 1934 [LAIT] font également état de moteurs linéaires asynchrones dont la circulation du flux est transversale à la direction du mouvement sans cependant mettre clairement en évidence les avantages relatifs à la topologie. Les travaux de Laithwaite et al. de 1971 mentionnent quant eux la compacité de ces moteurs et leur emploi favorable de cette topologie pour la propulsion électrique de transports ferroviaires haute vitesse [LAIT] [BOLT]. Les auteurs de [LAIT] discutent notamment les avantages et inconvénients de plusieurs configurations de moteurs asynchrones linéaires à flux transverse et présentent les performances expérimentales d un prototype. Si les premières références aux MFT dans la littérature concernent majoritairement des moteurs linéaires, il faudra attendre les travaux de Weh [WEH1]-[WEH4] vers la fin des années 1980 pour voir le concept de flux transverse réellement appliqué aux machines électriques tournantes. La multiplication des articles sur les MFT après les travaux de Weh traduisent une réelle émergence de la topologie à flux transverse. La dénomination «machine à flux transverse» fait aujourd hui communément référence à une machine tournante synchrone à aimants permanents qui se distingue des machines usuelles par une circulation du flux qui est majoritairement transversale à la direction du mouvement. Ce dernier aspect confère à la topologie à flux transverse une caractéristique qui la distingue 6

28 II. La Machine à Flux Transverse des topologies communes de machines synchrones et asynchrones : un grand potentiel de densité de puissance et de couple. Selon Huang et al., une MFT permet ainsi l obtention de densités de puissance par unité de volume jusqu à trois fois plus importantes que celles atteignables par une machine asynchrone [HUA1]. Depuis les travaux de Weh, la topologie à flux transverse se décline aujourd hui en de nombreuses configurations possédant chacune leurs avantages et inconvénients mais réunissant toutes un grand potentiel de densité de puissance et de couple. Le modèle et la méthode de conception proposés dans ce travail de thèse concernent un type de MFT particulière : la MFT à griffes ou claw-pole à stator hybride (MFTCPSH) [DUB3]. Pour comprendre la modélisation et la méthode décrite dans cette thèse, il est avant tout nécessaire de s attarder sur les caractéristiques particulières des MFT en général et de celles de la MFTCPSH en particulier, objectif visé par le chapitre 2 de ce document. Dans un premier temps, ce chapitre revient sur le concept même de MFT et en décrit brièvement les avantages et inconvénients. Dans un second temps, ce chapitre détaille les différentes configurations de MFT que l on peut retrouver dans la littérature ainsi que leurs domaines d application. Pour finir, ce chapitre aborde plus en détails la configuration de MFT étudiée dans le cadre de ce travail, soit la MFTCPSH. II.2 Principe de fonctionnement et caractéristiques de la MFT II.2.1 Le concept de flux transverse Une distinction doit être faite entre d un côté, la forme d un moteur électrique (fondamentalement la forme de son entrefer) et, d un autre, l arrangement de ses circuits magnétique et électrique. Il est intéressant de noter que si les différentes formes de moteurs sont nombreuses (moteur cylindrique, plan, conique, sphérique, disque, ), les agencements envisageables des circuits magnétiques et électriques sont plus limités. Lorsque la seule restriction sur la forme d un moteur est celle imposée par la mobilité du rotor, l arrangement des circuits magnétiques et électriques est soumis à des contraintes plus rigoureuses, lesquelles sont liées aux concepts même de génération de force et d induction. Dans la grande majorité des machines électriques, les circuits magnétiques et 7

29 II. La Machine à Flux Transverse électriques sont définis dans des plans distincts de l espace qui se coupent perpendiculairement, de façon à générer une force [LAIT]: quand le flux évolue majoritairement dans un certain plan de l espace au sein d une machine, le courant circule dans un plan perpendiculaire. La partie gauche de la Figure II-1 ci-dessous illustre de manière schématique l agencement des circuits magnétique et électrique de la topologie de machine électrique tournante la plus communément employée : la machine dite à flux longitudinal ou radial. La plupart des configurations de machines synchrones, asynchrones sont des machines à flux longitudinal. Dans le cas de cette topologie conventionnelle, le circuit magnétique dans lequel évolue le flux se trouve principalement dans un plan radial - circonférentiel lorsque le circuit électrique et le courant sont quant à eux définis dans un plan axial - circonférentiel. Le flux évolue donc principalement dans un plan parallèle au déplacement de la machine. La partie droite de la Figure II-1 ci-dessous illustre de manière schématique l agencement des circuits magnétique et électrique de la topologie à flux transverse. Lorsque le courant de la machine évolue principalement dans un plan axial circonférentiel, le flux circule quant à lui majoritairement dans un plan perpendiculaire, ou transverse au sens de déplacement du rotor (plan radial axial) : on parle alors de machine à flux transverse. Figure II-1 : Illustration schématique de 2 agencements possibles des circuits magnétique et électrique d une machine électrique. Gauche : machine à flux longitudinal/radial. Droite : machine à flux transverse. Selon [LAIT] 8

30 II. La Machine à Flux Transverse Même si l emploi de la topologie à flux transverse dans le cadre de moteurs linéaires est beaucoup plus ancien (1930, [LAIT]), les premières références aux MFT tournantes apparaissent dans les années 1980 dans les travaux de Weh [WEH1]-[WEH4]. La machine de Weh dérive du plus vieux type d alternateur triphasé existant : le moteur à griffes ou machine claw-pole (1891, [NEID]). Le concept même de flux transverse est déjà utilisé par la machine claw-pole dont la répartition du flux au sein de son circuit magnétique est majoritairement transversale à la direction du mouvement. Bien que la machine claw-pole et la MFT partagent cette particularité, la dernière a élargi le concept de flux transverse par l utilisation d aimants permanents, mais également de concentrateurs de flux (dans certaines configurations de MFT) dont la fonction sera expliquée plus loin. La partie droite de la Figure II-2 représente une paire de pôles de la structure de base d une MFT proposée par Weh [WEH2] et illustre également les trajets de flux (lignes rouges) dans son circuit magnétique. D autres configurations existent et seront présentées plus loin (c.f. section II.3). Pour comparaison, la partie gauche de la Figure II-2 schématise les trajets de flux au sein d une paire de pôles d une machine à flux longitudinal. La structure de base d une MFT (Figure II-2 droite) possède un bobinage en forme d anneau dans lequel circule un courant de manière parallèle à la direction de rotation de la machine. Deux rangées d aimants permanents dont la polarité est radiale et alternante sont disposées sur la circonférence du rotor et génèrent un flux qui vient interagir avec celui créé Figure II-2 : Trajets de flux au sein d une paire de pôles d une machine à flux longitudinal (gauche) et d une MFT (droite). 9

31 II. La Machine à Flux Transverse par la réaction d induit. Des noyaux en forme de C placés autour du bobinage permettent la création d une force électromotrice à ses bornes et le passage du flux au stator de manière transversale à la direction du mouvement. À chaque noyau en C du stator correspond une paire de pôles (deux aimants) de chaque rangée au rotor. En comparant les trajets de flux illustrés sur la Figure II-2, on constate dans le cas de la MFT que le flux évolue principalement dans un plan perpendiculaire ou transverse au déplacement, lorsqu il circule dans un plan parallèle au sens de rotation dans le cas de la machine à flux longitudinal. Cependant, on peut également remarquer la présence de passages de flux dans le plan radial-circonférentiel dans le cas de la MFT : cette partie du flux ne participant pas à la création de force est appelée flux de fuite. II.2.2 À propos de la densité de force développée par une MFT Grâce à l agencement particulier de ses circuits magnétique et électrique, la caractéristique principale d une MFT est son potentiel de densité de force et de couple important, ce que nous tenterons d expliquer dans cette section. La densité de force d une machine électrique à aimants permanents dépend principalement de l épaisseur des aimants, du pas polaire et du courant statorique de la machine. L équation (II-1) exprime la densité de force par pôle F A d une machine à aimants (les hypothèses derrière la formulation sont établies aux références [WEH3] et [DEH1]) : (II-1), où Ni A représente la force magnétomotrice statorique, l entrefer, B r l induction rémanente de l aimant, h M l épaisseur de l aimant, B g l induction dans l entrefer générée par les aimants du rotor et le pas polaire de la machine. Le pas polaire d une machine à aimants permanents peut s exprimer ainsi :, avec D le diamètre d alésage de la machine et p son nombre de paires de pôles. (II-2) 10

32 II. La Machine à Flux Transverse Pour une épaisseur d aimant h M, un diamètre de machine et un entrefer donnés, le concepteur qui cherche à augmenter la densité de force doit trouver un compromis entre la diminution du pas polaire (augmentation du nombre de paires de pôles p) et l augmentation de la force magnétomotrice du stator par pôle Ni A. À surface de bobinage fixée et pas polaire constant, l augmentation de la force magnétomotrice statorique passe par l accroissement du courant et donc des pertes Joule dans le bobinage. L augmentation de la force magnétomotrice est donc limitée par l échauffement de la machine. À surface de bobinage fixée, la réduction du pas polaire (augmentation du nombre de paires de pôles p), et par conséquent de la densité de force ne sont pas limités de la même manière dans le cas d une machine à flux longitudinal et dans celui d une MFT. Le schéma de la Figure II-3 permet d en comprendre la raison. Dans le cas d une machine à flux longitudinal (Figure II-3, haut), l accroissement du nombre de paires de pôles à diamètre et surface de bobinage fixés réduit la surface de la dent dans l entrefer augmentant ainsi le niveau de saturation des dents. À force magnétomotrice statorique imposée et lorsque la dent sature, l augmentation du nombre de Figure II-3 : Effet de la réduction du pas polaire à fenêtre de bobinage fixée dans le cas d une machine à flux longitudinal (haut) et dans celui d une MFT (bas) 11

33 II. La Machine à Flux Transverse paires de pôles impose la réduction de la surface de bobinage afin d éviter de saturer la dent davantage. Cependant, réduire la surface de bobinage augmente également la densité de courant dans le bobinage et par conséquent les pertes et l échauffement du moteur. Dans le cas d une machine à flux longitudinal, il existe donc un fort couplage spatial entre les circuits magnétique et électrique. Dans le cas d une MFT (Figure II-3, haut), il est possible d augmenter le nombre de paires de pôles indépendamment des dimensions de la fenêtre de bobinage de la machine. La réduction du pas polaire influence par conséquent moins le niveau de saturation des dents du stator ou noyaux en C (en pratique, la réaction d induit et son effet sur le niveau de saturation des noyaux en C limite la réduction du pas polaire). On peut donc parler d un découplage relatif entre les circuits électrique et magnétique d une MFT [WEH1] [HENN]. À force magnétomotrice statorique et induction dans l entrefer équivalents, la densité de force ou de couple générée par une MFT est potentiellement plus importante que celle développée par une machine à aimants à flux longitudinal car la topologie à flux transverse permet l utilisation de pas polaire relativement faibles. II.2.3 Avantages et inconvénients de la topologie à flux transverse. La liste ci-dessous résume les principaux atouts attribués aux MFT et recueillis à partir de plusieurs références de la littérature : - Il est possible de réaliser des machines à pas polaire relativement faibles tout en conservant une force magnétomotrice statorique élevée. Ceci permet alors l obtention de densités de force et de couple élevées et la réalisation de machines compactes [WEH1] [HENN] [VIOR] [BLI1]. - Le design du circuit magnétique est effectué avec moins de restrictions que dans le cas d une machine à flux longitudinal et ne dépend que peu de la section du bobinage grâce au découplage relatif des circuits magnétique et électrique [WEH1] [HENN] [ANPA]. 12

34 II. La Machine à Flux Transverse - Il y a relativement peu d interactions entre les phases de la MFT. Une MFT polyphasée est généralement constituée d un agencement de MFT monophasées et décalées mécaniquement et électriquement. Ceci simplifie le contrôle et améliore la robustesse de la machine en cas de défaillance d une phase [GUO1] [ANPA]. Malgré ses avantages, il existe également plusieurs inconvénients inhérents à la topologie à flux transverse dont les principaux sont listés ci-dessous : - Le facteur de puissance d une MFT dimensionnée pour développer une grande densité de force ou de couple est généralement faible en comparaison à ceux des machines conventionnelles [HAR1] [ANPA]. Il atteint typiquement des valeurs allant de 0,35 à 0,55 (pour les machines à concentrateurs de flux) contre des valeurs proches de l unité dans le cas des machines conventionnelles. Harris et al. l expliquent par le fait que ce type de machine possède généralement une grande réactance (en partie attribuable au flux de fuite important) pour une force électromotrice relativement faible [HAR1]. Une MFT peut fonctionner avec un facteur de puissance plus élevé, ceci cependant au détriment de sa densité de couple [ANPA] [SOU1]. Un facteur de puissance bas va être responsable du surdimensionnement et donc de l augmentation du prix du convertisseur associé à la MFT. - Même si un grand nombre de paires de pôles est préférable de façon à accroître la densité de force de la machine, ceci a également pour conséquence d augmenter la fréquence de fonctionnement électrique. Les pertes magnétiques qui grandissent avec la fréquence et donc le nombre de paires de pôles cantonnent pour le moment les MFT aux basses et moyennes vitesses [MECR] [HAR1]. - Alors que l usage de tôles magnétiques anisotropes est de rigueur dans les machines électriques conventionnelles (lire longitudinales) en raison des bonnes caractéristiques magnétiques de telles tôles, la circulation du flux en trois dimensions dans une MFT impose l utilisation de matériaux spéciaux. De nombreux auteurs évoquent l usage de matériaux isotropes en poudre de fer (SMC) dont les performances magnétiques sont inférieures aux tôles fer-silicium (Fe-Si) laminées 13

35 II. La Machine à Flux Transverse communément utilisées [GUO1] [MECR] [MADD] [BLI1]. La difficulté, voire l impossibilité dans certains cas, d utiliser des matériaux laminés est un facteur venant limiter le rendement des MFT, lorsque seuls les matériaux SMC sont utilisés. - Le circuit magnétique particulier de certaines configurations de MFT peut compliquer grandement la construction d une MFT [MECR] [MAD] [VIOR]. C est notamment le cas des machines à double face (c.f. section II.3.3) qui fournissent des valeurs de densité de force très élevées. L emploi de configurations à concentrateurs de flux peut également contribuer à réduire la robustesse de la machine, si aucune précaution n est prise, ce qui tend à limiter sa vitesse de fonctionnement [ANPA]. II.2.4 Domaines d application de la topologie à flux transverse. Grâce à sa haute densité de force, la topologie à flux transverse est particulièrement appropriée dans les applications où fort couple et compacité sont de mise. Cependant, le principal atout de cette topologie est conditionnel à l utilisation d un pas polaire faible combiné à une densité linéique de courant élevée. Par conséquent, le nombre de paires de pôles des MFT est généralement important. Un nombre de paires de pôles élevé a pour contrepartie d augmenter les fréquences électriques de fonctionnement et les pertes ferromagnétiques qui y sont associées. Pour maîtriser l échauffement et ainsi éviter la mise en place de systèmes de refroidissement coûteux, les configurations de MFT actuelles rendent nécessaire la limitation de la fréquence et de la vitesse de fonctionnement. Par conséquent, les MFT sont généralement employées dans des applications à basse à moyenne vitesse requérant une densité de couple importante. L état de l art présenté dans [VIOR] recense principalement deux domaines d applications pour les MFT : les véhicules électriques de tous types (automobile, bus, tram, navires, ) et les aérogénérateurs ou éoliennes. 14

36 II. La Machine à Flux Transverse Dans la littérature, on retrouve de nombreuses références faisant mention à la topologie à flux transverse dans des applications du domaine éolien, dont, entre autres, les articles suivants : [DUB1] [VIOR] [WEH4] [SVE1] [SVE2] [BANG]. Dubois effectue une comparaison du coût et de la masse de MFT à d autres topologies de machines à aimants permanents dans le cadre d éoliennes à attaque directe (sans multiplicateur de vitesse) et conclut aux performances supérieures des MFT pour des machines de diamètre inférieur à 1 m [DUB1]. Bang et al. présentent les performances de 4 designs de MFT de 5 MW pour une éolienne à attaque directe et comparent leurs performances à celles d une machine radiale à aimants permanents conventionnelle [BANG]. Outre des mentions dans des articles scientifiques, la topologie à flux transverse est également utilisée dans le cadre d applications éoliennes commerciales. L entreprise québécoise Éocycle conçoit et fabrique des MFT et a déjà réalisé plusieurs alternateurs éoliens à flux transverse de diverses puissances (5kW 50 kw). La Figure II-4 présente une éolienne à attaque directe bipale (25 kw, 11.7 m de diamètre de pales) commercialisé par la compagnie et une illustration de l alternateur à flux transverse employé (25 kw, 3000 Nm, 500 kg, 90 rpm) [EOCY]. L autre domaine dans lequel les MFT sont employées est le transport électrique, comme, entre autres, dans les références suivantes : [VIOR] [VOYC] [MITC] [WEH3] [LAN2] [LAN3] [BORK] [KAI1] [RAHM] [BLI1] [BLI2] [SCHM] [ESPA]. La topologie à flux transverse est envisagée pour la propulsion de navires électriques : Voyce et al. présentent un design de MFT de 20 MW destiné à être employé dans un navire de guerre électrique et Figure II-4 : Gauche : éolienne à attaque directe 25 kw employant une MFT, commercialisée par Éocycle. Droite : Détail de la MFT employée [EOCY] 15

37 II. La Machine à Flux Transverse Figure II-5 : Système de traction électrique Voith ElvoDrive pour autobus hybride série, employant deux MFT (220 kw, 1350 Nm, 800 kg total) [ELVO] détaillent les performances d un prototype à échelle réduite, construit par Rolls Royce, d une puissance de 2.45 MW [VOYC] [MITC]. Les MFT sont également évoquées pour la propulsion électrique ferroviaire : Blissenbach et al. présentent par exemple les performances théoriques et réélles d une MFT (55 kw, 2500 Nm) conçue pour la traction électrique d un tram [BLI2]. Dans le domaine de la traction tout-électrique ou électrique hybride terrestre (automobiles, bus, poids lourds, ), la topologie à flux transverse est souvent envisagée. La densité de couple des MFT est notamment exploitée dans le cadre de configurations «moteurs-roue» employés pour propulser des véhicules électriques. Blissenbach présente par exemple un prototype de moteur-roue développant 25 kw et 400 Nm avec un rendement de 90 %, pour un diamètre total de 39 cm [BLI1]. Espanet et al. ont conçu et testé un moteur-roue pour un véhicule militaire lourd hybride de 30 kw, pouvant fournir un couple de 714 Nm [ESPA]. On peut également retrouver l emploi de MFT dans le cadre d applications de traction électrique commerciales. L entreprise Voith Turbo commercialise le système de traction électrique ElvoDrive conçu pour des autobus hybrides série [ELVO]. Le système fait l usage de 2 MFT (moteur + générateur) pour la propulsion à batterie et la récupération d énergie par freinage régénératif (c.f. Figure II-5). 16

38 II. La Machine à Flux Transverse II.3 Les différentes configurations de MFT Depuis la première version de MFT tournante proposée par Weh [WEH1], la topologie à flux transverse a évolué et se décline aujourd hui en plusieurs configurations. La littérature donne des exemples de MFT à aimant permanents montés à la surface du rotor ou à concentrateurs de flux, à entrefer unique ou à double entrefer. Chaque configuration se veut une amélioration d une précédente. Dans cette section, une description succincte des structures de MFT les plus communes retrouvées dans la littérature est faite. II.3.1 MFT à aimants montés en surface et à concentrateurs de flux Si les MFT utilisent communément un rotor constitué d un assemblage d aimants permanents à polarité alternante, la configuration même de cet assemblage varie. Parmi les différentes configurations de MFT existantes, on peut différencier deux familles distinctes : les MFT à aimants montés directement à la surface du rotor et celles dans lesquelles les aimants sont placés entre des concentrateurs de flux. La partie gauche de la Figure II-6 illustre de manière schématique une configuration de MFT à aimants montés en surface du rotor. Dans cette structure, l aimantation des aimants est orientée dans la direction radiale. Lorsque le rotor se trouve aligné avec le stator, une partie du flux généré par les aimants ne faisant pas face au noyau en C ne possède pas de chemin de retour à travers le stator. Figure II-6 : Structures de MFT à aimants montés en surface (gauche) et à concentrateurs de flux (droite) 17

39 II. La Machine à Flux Transverse Cette partie du flux est considérée comme un flux parasite car il vient atténuer le flux principal couplé au bobinage. La partie droite de la Figure II-6 représente la structure typique d une MFT à concentrateurs de flux. Un concentrateur de flux est une pièce en matériau ferromagnétique doux placée entre deux aimants dont l aimantation est parallèle à l entrefer. Le concentrateur de flux permet de réduire les flux de fuites entre deux pôles adjacents lorsque l entrefer est suffisamment faible et ainsi d augmenter le flux couplé au bobinage du stator [VIOR] [HENN] [DUB1]. Cet aspect confère aux structures de MFT à concentrateurs de flux des densités de force généralement plus importantes que celles des structures à aimants montés en surface [DUB1]. De plus, grâce à la réduction du flux de fuite, les structures de MFT à concentrateurs de flux possèdent généralement un facteur de puissance plus élevé que celles à aimants montés à sa surface [HAR2]. Cependant, le gain en terme de densité de couple et de facteur de puissance se paie par un rotor plus complexe à fabriquer mais également moins robuste [HAR1] [ANPA]. II.3.2 MFT à noyaux en C et à ponts magnétiques La première structure de MFT tournante proposée par Weh (partie gauche de la Figure II-7) est une machine à aimants montés en surface possédant un stator constitué de noyaux magnétiques en forme de C (ou «C-core»). Tel qu expliqué à la section précédente, l inconvénient de cette structure est l absence d un chemin de retour pour le flux des Figure II-7 : (Gauche) MFT dans sa configuration originelle telle que proposée par Weh [WEH2]. (Droite) MFT à ponts magnétiques [HENN] 18

40 II. La Machine à Flux Transverse Figure II-8 : Variante de la MFT à noyau en C et ponts magnétiques proposée par Dubois et al. : la MFT à rotor dentelé [DUB2] aimants ne faisant pas face au stator qui vient amenuiser le flux couplé au bobinage. Henneberger et al. proposent une solution à ce problème [HENN] : l utilisation d un pont magnétique ou «shunt de flux». En offrant un passage de retour au flux des aimants non alignés avec le stator, cette configuration permet ainsi de court-circuiter une partie du flux parasite émanant de ces derniers avant qu il ne vienne diminuer le flux utile circulant dans le noyau en C. Outre cet atout, cette structure est également probablement la configuration de MFT la plus simple à construire. Cependant, l inconvénient de l emploi de ponts magnétique est la restriction spatiale que ces derniers imposent sur l espace disponible pour réaliser le bobinage : le pont magnétique empiète sur la fenêtre de bobinage ce qui peut contribuer à réduire la force magnétomotrice du bobinage. Aussi, si le flux parasite est réduit, il n est pas totalement éliminé : il subsiste toujours un passage de flux entre le pont magnétique et les noyaux en C adjacents, que la forme trapézoïdale du pont vise à réduire. Dubois et al. proposent une version de la MFT à noyaux en C avec «shunt de flux» employant des concentrateurs de flux : la MFT à rotor denté [DUB2]. Cette structure de machine est représentée à la Figure II-8. En plus de faire usage de concentrateurs de flux, cette configuration de MFT, cette configuration de MFT emploie un stator constitué de tôles magnétique (noyaux en C et ponts), qui permettent de réduire les pertes ferromagnétiques de la machine. Le souci de simplicité de réalisation a également guidé le 19

41 II. La Machine à Flux Transverse développement de cette machine : la structure dentée du rotor facilite l insertion de blocs de concentrateurs de flux et d aimants préassemblés. II.3.3 MFT à double entrefer Weh a également proposé plusieurs versions de MFT possédant deux entrefers [WEH1]- [WEH4] dont de nombreux auteurs se sont ensuite inspirés pour proposer des variantes [MECR] [LAN2] [LAN3] [MITC]. Quatre de ces structures à double entrefer sont présentées sur la Figure II-9. Ces configurations de machine sont, avec les MFT à griffes (c.f. section II.3.4), les structures de MFT permettant d atteindre les densités de couple et de puissance les plus importantes [DUB1] [HAR3]. Parmi les structures présentées par Weh, certaines possèdent une double rangée d aimants au rotor (configurations a), b) et c) sur la Figure II-9) lorsque la structure d) n en possède qu une. La différence principale entre ces deux types de structure réside dans le fait que les configurations à double rangée d aimants fournissent des densités de couple près de deux Figure II-9 : Structures de MFT à double entrefer proposées par Weh et al. [WEH3] 20

42 II. La Machine à Flux Transverse fois supérieures à celle de la configuration à rangée unique d aimant : la réluctance vue par le bobinage des configurations à deux rangées d aimants est près de deux fois plus grande que celle de la configuration d) [DUB1]. Certaines des configurations de la Figure II-9 possèdent deux bobinages (configurations a) et c)) lorsque d autres n en possèdent qu un (configurations b) et d)). Les performances en terme de densité de couple sont sensiblement les mêmes dans les deux cas : pour les machines à deux rangées d aimants, la reluctance vue par les aimants et par le bobinage étant sensiblement la même avec un ou deux bobinages [DUB1]. Cependant l augmentation de la surface de cuivre dans le cas des versions à double bobinage permet également de réduire les pertes et de diminuer l échauffement de la machine par rapport à la version à bobinage unique. Bien qu attrayantes du fait de leurs performances, ces structures de MFT sont également relativement complexes à fabriquer. Les machines proposées par Weh sont constitués de noyaux laminés dont les laminations sont parallèles au mouvement et au flux (plan des laminations visibles sur les configurations b) et d) de la Figure II-9) ce qui s avère être relativement coûteux d un point de vue production. L emploi de noyaux laminés dont les laminations sont perpendiculaires au mouvement et au flux est également possible et peut simplifier l assemblage du stator, au détriment cependant de pertes magnétiques plus élevées [DUB1]. La littérature rapporte également des configurations de MFT à double entrefer faisant usage de matériaux magnétiques à poudre de fer [MECR] [LAN2]. La structure des MFT à double entrefer peut également s avérer être mécaniquement moins robuste [WEH3] [ANPA] à moins de considérations de design particulières : la MFT à double entrefer décrite dans [VOYC] fait usage de titane et de fibre de verre pour renforcer sa structure. Malgré leur complexité de fabrication, la littérature référence plusieurs usages de MFT à double entrefer dans des applications industrielles. Une machine semblable à la configuration b) de la Figure II-9 est proposée dans le système ElvoDrive (220 kw, 1350 Nm, 800 kg, c.f. Figure II-5) par la compagnie Voith Turbo comme système de propulsion électrique pour des autobus hybrides [ELVO] [LAN2] [LAN3]. Des références à l emploi de MFT à double entrefer pour la propulsion électrique marine peuvent également être trouvées dans la littérature [MITC] [VOYC]. 21

43 II. La Machine à Flux Transverse Figure II-10 : Gauche : 1 paire de pôles d une MFTCP à rotor à concentrateurs de flux [MADD]. Droite : 1 phase d une MFTCP et à aimants montés en surface du rotor [DIC1] II.3.4 MFT à griffes ou «claw-pole» Dans la littérature, on peut retrouver de nombreuses références aux MFTCP : [DUB3] [DEH1]-[DEH5] [GUO1]-[GUO4] [MECR] [MASM] [MADD] [IBA1] [IBA2] [BLI1] [DIC1] [DIC2] [LUND]. La Figure II-10 montre deux configurations de MFTCP issues de la littérature [MADD] [DIC1]. La dénomination griffes ou «claw-pole» provient du fait que le circuit magnétique du stator qui entoure littéralement le bobinage d une phase du stator, est surmonté de pièces magnétiques dont la forme rappelle celle d une griffe. Dans ce document, on parlera également de «pied du stator» pour désigner les griffes d une MFTCP. La section du pied, large près du noyau en C, permet d éviter la saturation dans le pied lorsque la force magnétomotrice statorique est élevée. De plus, la section du pied, fine près de l entrefer, réduit la réaction d induit ayant lieu entre deux pieds qui se font face. La littérature référence des MFTCP à concentrateurs de flux (Figure II-10 droite) comme des MFTCP à aimants montés à la surface du rotor (Figure II-10 gauche). La grande majorité des MFTCP décrites dans ces référence fait un usage presque exclusif de poudre de fer au stator. Si, par définition, le flux d une MFT circule principalement dans un plan transverse au sens de déplacement, il est majoritairement tridimensionnel dans le cas de la MFTCP. Le flux circule particulièrement dans les trois dimensions dans les pieds ou griffes 22

44 II. La Machine à Flux Transverse Tableau II-1 : Comparaison du couple massique et du couple volumique de quelques MFT à double entrefer et MFTCP issues de la littérature Configuration de MFT MFT double entrefer, config. similaire : Figure II-9 a) [WEH4] MFT double entrefer, config. similaire : Figure II-9 b) [LAN] MFT double entrefer, config. similaire : Figure II-9 d) [MECR] MFTCP à concentrateurs de flux, config. similaire : Figure II-10, gauche [MADD] MFTCP à concentrateurs de flux, config. similaire : Figure II-10, gauche [BLI2] Couple / Masse matériaux actifs Couple / Volume machine 10.2 Nm/kg 7 knm/m³ 17.3 Nm/kg 63 knm/m³ 12.3 Nm/kg 40 knm/m³ 26 Nm/kg knm/m³ 22.7 Nm/kg 72 knm/m³ de la machine. L usage de matériaux ferromagnétiques doux isotropes, c'est-à-dire dont les caractéristiques magnétiques sont invariantes dans l espace, est donc requis. Ces matériaux sont typiquement de la poudre de fer ou «Soft Magnetic Composites» SMC [QMP] [HOGA]. Les auteurs de [MADD] et [BLI1] recommandent l utilisation de matériaux poudrés pour leur isotropie mais également usinage relativement facile, en insistant tout de même sur les propriétés magnétiques relativement faibles de ces matériaux face à celles des tôles Fe-Si. Les chapitres suivants montreront qu il est aussi possible d employer des tôles Fe-Si ou des matériaux amorphes en plus, de SMC au stator d une MFTCP. Une MFTCP offre le plus souvent des performances en termes de densité de couple ou de force meilleures que celles des MFT à double entrefer, comme le montrent les résultats du Tableau II-1 issus de la littérature. Outre des performances supérieures, les MFTCP sont également de fabrication généralement plus aisée que les MFT à double entrefer. Cette section a permis de passer en revue les principales configurations de MFT recensées dans la littérature ainsi que leurs caractéristiques. Si ce paragraphe s est principalement penché sur 4 structures de MFT, d autres configurations existantes moins usitées n ont pas été décrites comme entre autres : la MFT à réluctance variable [CRIV] ou les structures de MFT à bobinage toroïdal développées à l université KTH [ANPA] [SVE1]. 23

45 II. La Machine à Flux Transverse II.4 La MFT claw-pole à stator hybride (MFTCPSH) II.4.1 Trajets de flux dans le circuit magnétique d une MFTCP La grande majorité des MFTCP recensées dans la littérature font un usage presque exclusif de poudre de fer ou SMC [GUO1]-[GUO4] [MECR] [MASM] [MADD] [IBA1] [IBA2] [BLI1] [DIC1] [DIC2]. Tel qu expliqué à la section précédente, les SMC sont principalement employés pour l isotropie de leurs caractéristiques magnétiques, Cependant, l analyse de la répartition du flux dans le stator d une MFTCP ne montre des trajets de flux réellement tridimensionnels que dans certaines parties du circuit magnétique : les griffes ou pieds du stator de la machine. Les outils d analyse par éléments finis (AEF) permettent de visualiser le trajet du flux au sein de la machine. La Figure II-11 montre la répartition des vecteurs de densité de flux dans le stator d une MFTCP à aimants montés en surface du rotor [GUO3]. L orientation des vecteurs de densités de flux sur la Figure II-11 laisse apparaître 2 zones : - Dans la partie basse du stator, les composantes des vecteurs densités de flux sont majoritairement réparties dans un espace bidimensionnel. - Dans la partie du stator proche de l entrefer, les composantes des vecteurs densités de flux son orientés dans un espace tridimensionnel. Figure II-11 : Trajets de flux déterminés par simulation par éléments finis au sein d une paire de pôles d une MFTCP [GUO3] 24

46 II. La Machine à Flux Transverse Considérant l usage bénéfique des SMC dans les parties de la MFTCP où le flux circule dans un espace tridimensionnel, il est raisonnable d affirmer que tout le stator de la machine ne requiert pas l isotropie magnétique des poudres de fer. II.4.2 Présentation de la configuration à stator hybride Devant le constat précédent, Dubois et al. proposent une version de MFTCP avec un stator hybride ou segmenté, constitué de griffes ou pieds en SMC dans la zone proche de l entrefer et de tôles laminées, avec des propriétés magnétiques meilleures, dans la partie basse du stator [DUB3] [DUB4]. Dans des travaux ultérieurs, le concept a été poussé plus loin en substituant l usage des tôles Fe-Si par des noyaux en matériau ferromagnétique amorphe avec une perméabilité et des pertes spécifiques encore plus faibles que celles des tôles [DEH1]-[DEH3]. La Figure II-12 montre un détail d une paire de pôles de la MFTCP Figure II-12 : Haut : Détail annoté d une paire de pôles d une MFTCPSH. Bas : Vue éclatée d une phase d une MFTCPSH 25

47 II. La Machine à Flux Transverse à stator hybride (MFTCPSH) ainsi qu une vue éclatée d une phase de la machine. La segmentation du stator d une MFTCPSH procure les avantages suivants : - L usage de noyaux en C faits d un empilement de laminations fer-silicium (Fe-Si) permet de tirer bénéfice de la haute perméabilité ( ), de l importante induction à saturation (1.8 T 2 T) et des faibles pertes ferromagnétiques ( T, 60 Hz, tôle M19, 0.35 mm [PROT]) des tôles magnétiques dans une zone du stator où le flux circule majoritairement dans le plan des laminations. De manière alternative, l emploi de noyaux en C faits de matériaux ferromagnétiques amorphes procure des propriétés magnétiques encore meilleures : perméabilité allant jusqu à , induction à saturation jusqu à 1.8 T et pertes spécifiques aussi faibles que T, 60 Hz [METG]. À titre d exemple, le Tableau II-2 compare les propriétés magnétiques principales de tôles magnétiques M19 d épaisseur 0.35 mm [PROT], des alliages amorphes 2605SA1 et 2605CO [METG] et des poudres de fer ATOMET EM-1 [QMP1] et 3P Somaloy 700 [HOGA]. - La réalisation de noyaux en C constitués d un empilement de tôles Fe-Si (c.f. Figure II-13) se fait à l aide d opérations de poinçonnage conventionnelles ce qui simplifie la construction de la machine. Dans le cas de noyaux amorphes, la disponibilité sur Tableau II-2 : Comparaison des principales propriétés de tôles magnétiques, de SMC et d alliages amorphes choisis Matériau SMC ATOMET EM-1 [QMP1] Induction à saturation ka/m Résistivité Perméabilité max. 150 µ.m 290 Pertes magnétiques 11 1 T 60 Hz SMC 3P Somaloy 700 [HOGA] 1.61 T ka/m 200 µ.m T 100 Hz Tôle Fe-Si M19, 0.35 mm [PROT] ka/m 0,5 µ.m ,2 1,5T 60 Hz Metglas 2605SA1 [METG] 1,56 4 ka/m 1,3 µ.m ,35T 60 Hz Metglas 2605CO [METG] 1,8 T 1,23 µ.m ,5T 60 Hz 26

48 II. La Machine à Flux Transverse le marché de noyaux en forme de C (c.f. Figure II-13) destinés aux transformateurs, dans une grande variété de dimensions et d alliages, ne vient pas altérer la manufacturabilité de la MFTCPSH [METG] [DEH1] - L usage de SMC est restreint aux zones du circuit magnétique où le flux circule dans un espace majoritairement tridimensionnel. L emploi de pieds faits de poudre de fer à chaque extrémité des noyaux en C permet d exploiter pleinement l isotropie des SMC. La forme particulière des pieds (c.f. Figure II-13) permet à la fois de maximiser la surface de contact avec l entrefer tout en minimisant les flux de fuites entre les pieds. L usage de pieds de petites dimensions permet d éviter la complexité relative à la réalisation d un stator entièrement fait de poudre de fer. De plus, l opération de fabrication des pieds est facilitée par le fait que tous les pieds d une machine sont de dimensions identiques [DUB3] - La MFTCPSH utilise un rotor à concentrateur de flux faits de SMC. Leur usage dans des pièces contiguës à l entrefer permet l usinage direct du rotor et du stator de façon à atteindre de très faibles entrefers (0,55 mm [DUB3]) et ainsi de plus importantes densités de force [DUB1]. L usinage direct des pièces en SMC renforce Figure II-13 : Détails d un noyau en C en amorphe et en tôles Fe-Si ainsi que d un pied usiné en SMC 27

49 II. La Machine à Flux Transverse leurs propriétés mécaniques sans grandement affecter leurs propriétés magnétiques [DUB5]. - L utilisation d un stator hybride combinée à celle d un rotor externe facilite le montage du bobinage : l enroulement est inséré à l intérieur des noyaux en C avant que les pieds ne soient placés à leurs extrémités. En plus de bénéficier de la grande densité de couple de la structure claw-pole, la segmentation du stator de la MFTCPSH permet à la fois de réduire les pertes ferromagnétiques de la machine et facilite sa fabrication. À capacité de refroidissement déterminé, la réduction des pertes offerte par l emploi de tôles ou de matériaux amorphes permet d opérer une MFTCPSH à vitesse et fréquence plus élevées qu une machine similaire à noyaux en SMC [DEH1]. II.4.3 Performances d une MFTCPSH Des études antérieures à ce travail de thèse nous ont permis d évaluer les performances de la configuration à stator hybride par des simulations par éléments finis (EF) ainsi qu avec des mesures expérimentales [DEH1]-[DEH3] [DUB3]. Cette section revient brièvement sur les résultats obtenus dans ces précédents travaux. Dans [DUB3], les performances d une MFTCPSH à noyaux faits de tôles Fe-Si M19 (laminations de 0.35 mm d épaisseur) sont comparées par simulation EF à celles d une machine identique, à noyaux faits de SMC ATOMET EM-1. Les dimensions principales des machines simulées sont : 3 phases, 15 paires de pôles, 30 cm de diamètre extérieur, longueur de 10 cm / phase, entrefer de 0.55 mm, pas polaire de 19 mm. Ces dimensions ne sont pas issues d une optimisation. Pour une force magnétomotrice de 3500 A-tours / phase dans le bobinage du stator, des simulations EF 3D (magnétostatique) ont permis de déterminer le couple moyen développé par les deux designs : à dimensions similaires, la MFTCPSH à noyaux de tôles développe un couple moyen de 495 Nm contre 445 Nm pour la machine à noyaux en SMC. L obtention d un couple moyen plus élevé dans le cas de la machine à noyau de tôles est attribuable à l induction de saturation et la perméabilité plus importante des tôles Fe-Si (c.f. Tableau II-2 et Annexe 1). À partir du spectre du flux circulant dans les noyaux déterminé par simulation et des pertes spécifiques des tôles et du 28

50 II. La Machine à Flux Transverse SMC, les pertes magnétiques ayant lieu dans les noyaux ont été déterminées à différentes vitesses de fonctionnement (i.e. différentes fréquences électriques). Les résultats obtenus montrent, par exemple, que les pertes dissipées dans les noyaux de tôles sont deux fois moins importantes que celles dissipées dans les noyaux en SMC à 900 rpm. Les pertes dans les parties en SMC ne sont pas déterminées analytiquement en raison de la difficulté à prédire les trajets de flux dans les pièces en SMC (sujet abordé au chapitre V). Des essais expérimentaux réalisés sur un prototype de MFTCPSH à noyaux de tôles aux dimensions similaires à celles énoncées plus haut sont également présentées dans [DUB3]. Une photographie du prototype est montrée à la Figure II-14. Entrainée par un autre moteur, la machine a été testée, connectée sur une charge de type R-C (compensation de l inductance élevée de la machine). Opérée à 240 rpm (fréquence de 60 Hz) et pour une force magnétomotrice statorique de 4400 A-tours / phase (13 A/rms, 240 tours), le couple moyen a été mesuré à 134 Nm / phase. Une puissance plus élevée aurait pu être obtenue par l utilisation d un onduleur actif connecté aux 3 phases de la machine. Un tel appareil n était pas disponible lors des essais expérimentaux. Les pertes totales de la machine ont été évaluées à 236 W et le rendement mesuré à 93 %. Pour le point d opération considéré, les pertes Joule ont été évaluées à 89 W/phase et les pertes magnétiques dans les noyaux en C de tôles d une phase à 28 W. Pour comparaison, les pertes dans les noyaux en C d une Figure II-14 : Prototype d une MFTCPSH à noyaux de tôles [DUB3] 29

51 II. La Machine à Flux Transverse machine similaires à noyaux en SMC sont estimées à plus de 100 W / phase. En convection naturelle, l élévation de température du prototype a été mesurée à 100 C pour le point d opération considéré (240 rpm, 134 Nm/phase). À capacités de dissipation similaires, une machine à noyaux faits en SMC n aurait pas pu fonctionner à une telle vitesse. Les références [DEH1]-[DEH3] analysent les possibilités offertes par l emploi de matériaux ferromagnétiques amorphes au stator d une MFTCPSH. Des résultats de simulations EF ainsi que des mesures expérimentales permettent de comparer les performances de MFTCPSH à noyaux de tôles Fe-Si et amorphes. Les essais expérimentaux ont permis de mesurer une baisse de plus de 30 % des pertes magnétiques totales dans le cas d une machine employant des noyaux amorphes par rapport à une machine similaire à noyaux de tôles dans un domaine de fréquence allant de 50 Hz à 400 Hz. À couple moyen équivalent, des résultats de simulation EF ont permis de déterminer que les pertes ferromagnétiques ayant lieu dans les noyaux d une MFTCPSH à noyaux amorphes sont de 7 à 11 fois moins élevées que celles dans les noyaux Fe-Si d une machine similaire, dans un domaine de fréquence allant de 50 Hz à 400 Hz. Contrairement à une machine à noyaux de tôles Fe-Si, les résultats de simulation ont également montré qu une MFTCPSH à noyaux amorphes est en mesure de maintenir un rendement élevé (95 %) jusqu à des vitesses de fonctionnement pouvant atteindre 4000 rpm (100 Hz). Les résultats présentés dans les références [DEH1]-[DEH3] permettent de conclure à l utilisation possible d une MFTCPSH à noyaux amorphes machine au-delà du domaine des basses vitesses dans lequel les MFT sont habituellement confinées. 30

52 II. La Machine à Flux Transverse II.5 Conclusion Dans ce deuxième chapitre, le lecteur a pu se familiariser avec une topologie de machine électrique à aimants permanents particulière, la topologie à flux transverse, ainsi que sur l agencement particulier des ses circuits magnétiques et électriques, lequel rend possible l augmentation du nombre de paires de pôles indépendamment de la section de son bobinage. La description des avantages et inconvénients de la topologie à flux transverse a ensuite permis de mettre en relief l atout principal de ce type de machine, sa grande densité de force ou de couple, avec ses défauts les plus importants tel qu un facteur de puissance généralement faible, des pertes magnétiques élevées à moyennes et hautes vitesse, ou une construction parfois complexe et coûteuse. Il a également été montré que la topologie a flux transverse semble particulièrement appropriée aux applications basse à moyenne vitesse et fort couple dans lesquelles deux applications dominent : la production d énergie éolienne et la traction électrique. Une revue de littérature a décrit et comparé les caractéristiques et performances des principales configurations de MFT existantes. De cette dernière, une configuration semble se distinguer des autres car elle permet d exploiter au mieux les avantages structurels de la topologie (densité de couple élevée, construction relativement simple) : la MFT claw-pole ou à griffes. La dernière partie de ce chapitre a été consacrée à la description des caractéristiques et performances de la configuration de MFT sur laquelle porte ce travail de thèse : la MFT claw-pole à stator hybride. Il a été montré comment la segmentation du stator en deux parties employant deux matériaux différents permet d améliorer les performances de la machine tout en rendant sa fabrication plus aisée. La présentation de résultats de simulations EF ainsi que de mesures expérimentales a montré le potentiel que procure l utilisation de noyaux de tôles Fe-Si ou amorphes. La réduction des pertes magnétiques permise par l emploi de tôles ou d amorphes fait de la MFTCPSH une candidate de choix dans la traction électrique et plus particulièrement dans un système de traction sans engrenage, de type moteur-roue. Le modèle et d une méthode d optimisation développés dans les chapitres subséquents a, entre autre, pour objectif de rendre possible la conception d une MFTCPSH pour ce type d application. Avant de décrire la contribution scientifique 31

53 II. La Machine à Flux Transverse apportée par ce travail de thèse, le chapitre III aborde d abord la problématique liée à la modélisation et l optimisation des MFT. 32

54 III. Modélisation et conception des MFT III MODÉLISATION ET CONCEPTION DES MACHINES À FLUX TRANSVERSE III.1 Introduction Avant de procéder à la description même de la contribution scientifique apportée par ce travail (c.f. chapitres IV et V), il est nécessaire de cerner correctement les enjeux liés à la problématique de recherche. Pour y parvenir, ce chapitre aborde les questions de la modélisation et de la conception optimale des MFT avec un objectif double: 1. Explorer l état de l art, c est à dire les différentes approches de modélisation et d optimisation habituellement employées par les concepteurs de MFT. 2. Souligner la difficulté de modélisation analytique de ce type de machines et montrer la nécessité de l emploi d outils de calcul de champs. Dans un premier temps, ce chapitre s attache à décrire la démarche générale de conception d une machine électrique pour en distinguer les principales étapes et situer globalement le contexte de la recherche. Par la suite, un état de l art permet de comprendre les différentes approches de modélisation et d optimisation généralement employées par les concepteurs de MFT. L étude présentée s intéresse particulièrement à la modélisation électromagnétique de ce type de machine. L attention du lecteur est portée sur le fait que deux voies de modélisation électromagnétique sont généralement suivies pour l optimisation des MFT : l approche modèle analytique et l approche modèle éléments finis (EF). Enfin, la comparaison des avantages et inconvénients des approches mettra en évidence le dilemme efficacité / précision soulevé par le choix du type de modélisation utilisé. 33

55 III. Modélisation et conception des MFT III.2 Généralités sur le processus de conception d une machine électrique Cette section s attache à décrire la démarche générale de conception d un moteur en abordant : les phases principales de la conception d une machine, la notion de modèle, les différents phénomènes généralement modélisés, les types de modélisation et les méthodes d optimisation généralement employés. III.2.1 Étapes principales du processus de conception d une machine électrique La conception d une machine électrique est un problème d optimisation [VIAR]. La démarche de conception revient à déterminer les caractéristiques optimales d une machine (e.g. dimensions optimales, caractéristiques des matériaux, point de fonctionnement,...) vis-à-vis d un objectif (e.g. maximiser le couple, minimiser la masse, ) et en respectant des contraintes imposées par un cahier des charges (e.g. dimensions maximales, échauffement toléré, rendement minimal, ). Le processus de conception d une machine électrique est itératif [VIAR] [BRIS] [NOGA]. L organigramme de la Figure III-1 en présente les principales étapes [BRIS]. Figure III-1 : Processus général de conception d une machine électrique. 34

56 III. Modélisation et conception des MFT Le premier travail d un concepteur consiste à mettre en forme les spécifications d un cahier des charges au moyen d un formalisme mathématique (Étape A et B sur la Figure III-1). L objectif de l optimisation est généralement exprimé au moyen d une fonction objectif que l on cherche à minimiser ou maximiser. Les contraintes du cahier des charges sont, quant à elles, exprimées sous forme d égalités ou inégalités, linéaires ou non-linéaires. Les auteurs de [BRIS] et [NOGA] détaillent les types de formulations mathématiques communément employées pour l optimisation des machines électriques ainsi que les avantages et inconvénients de chacune. L étape suivante consiste à résoudre le problème d optimisation (Étape C sur la Figure III-1). La résolution se fait alors à l aide de modèles et de méthodes d optimisation. Un modèle est une représentation théorique d un ou de plusieurs aspects du comportement physique de la machine, ou plus spécifiquement les phénomènes électromagnétiques, thermiques ou mécaniques qui lui sont associés. Le modèle permet d effectuer le lien entre les performances (e.g. couple, rendement, échauffement,...) et les dimensions géométriques et caractéristiques (matériaux constitutifs, point de fonctionnement, ) de la machine. Une méthode d optimisation, associée au modèle, permet de déterminer itérativement les variables du modèle qui maximisent / minimisent la fonction objectif du problème tout en respectant les contraintes du cahier des charges. Pour ce faire, la majorité des concepteurs fait appel à des algorithmes d optimisation (routines codées) adaptés au modèle et au problème traités [BRIS]. L association modèle méthode d optimisation est souvent qualifiée de boucle d optimisation. La notion de modèle et les méthodes d optimisation généralement employées pour la conception de machines sont abordés plus spécifiquement dans les sections III.2.2 et III.2.3. Lorsqu une solution optimale a été déterminée, l exploitation et l analyse des résultats, dernière étape du processus (Étape D sur la Figure III-1), permettent au concepteur de vérifier la validité de la solution obtenue. D apparence simple et séquentiel en théorie, le processus de conception d une machine doit, en pratique, être adapté très souvent pour converger vers une solution satisfaisante [BRIS]. Pour diverses raisons, l étape d exploitation et d analyse des résultats (Étape D sur la Figure III-1) peut invalider la solution obtenue. La partie droite de l organigramme de la Figure III-1 présente les problèmes généralement rencontrés lors des différentes étapes du 35

57 III. Modélisation et conception des MFT processus de conception. L exploitation et l analyse des résultats peuvent d abord amener le concepteur à revenir à l étape de résolution du problème (Étape C sur la Figure III-1). Des problèmes de convergence, d optimums locaux ou de mauvaises conditions initiales peuvent en être la cause. Il est également possible que l analyse des résultats pousse le concepteur à changer la formulation même du problème d optimisation. Un tel cas de figure peut se présenter lors de l obtention d une solution non-réalisable en pratique ou aberrante (e.g. diamètre très grand et longueur axiale presque nulle). Le concepteur peut également être amené à modifier la formulation même du problème pour empêcher l optimisation d explorer des zones de recherches dans lesquelles les modèles associés au processus sont imprécis (retour à l étape B sur la Figure III-1). Pour finir, l exploitation des résultats peut également nécessiter une nouvelle analyse du cahier des charges et éventuellement sa modification. Il est possible qu aucune solution au problème d optimisation n existe. Le concepteur peut également être amené à ajouter des contraintes manquantes, modifier des contraintes existantes ou redéfinir les objectifs de l optimisation (retour à l étape A sur la Figure III-1). Plusieurs des problèmes décrits ici (optimums locaux, problèmes de convergence, imprécisions du modèle, contraintes manquantes) ont été rencontrés au cours des travaux menant à cette thèse et sont évoqués dans les chapitres IV et V. Cette courte présentation des étapes de la démarche générale de conception d une machine mais surtout la description des problèmes communément rencontrés permettent de mettre en évidence le rôle central du concepteur dans le processus. Les auteurs de [BRIS] et [VIAR] qualifient, à juste titre, modèles et méthodes d optimisation d outils à la disposition du concepteur. Si ces outils améliorent sans conteste la productivité du concepteur, il serait toutefois hasardeux d avancer que ceux-là pourraient le remplacer. 36

58 III. Modélisation et conception des MFT III.2.2 Modèles physiques et niveaux de modélisation Le modèle d une machine électrique est une représentation théorique du comportement physique réel de la machine dans des conditions de fonctionnement définies. Dans le processus de conception d une machine électrique, le modèle est généralement employé au sein d un processus d optimisation itératif (boucle d optimisation, c.f. Figure III-2), comme un outil de simulation permettant de travailler sur un prototype virtuel. Il permet alors de déterminer les dimensions et caractéristiques de la machine à optimiser à partir de performances imposées dans un cahier des charges. Les phénomènes généralement modélisés sont de nature magnétique, électrique, thermique et mécanique. De plus, les couplages qui existent entre ces différents phénomènes nécessitent également des interconnections entre les modèles [VIAR]. Par exemple, les pertes Joule d un moteur, qui dépendent de la résistivité du cuivre, contribuent à l échauffement de la machine. Or, la résistivité du cuivre est elle-même fonction de la température. Un tel couplage impose par conséquent une interdépendance entre les modèles électrique et thermique sensés représenter le comportement physique de la machine. De tels couplages peuvent grandement compliquer l élaboration même des modèles caractérisant une machine. La Figure III-3 présente les différents phénomènes physiques généralement modélisés lors de la conception d une machine ainsi que les interactions existant entre les modèles. Figure III-2 : Modèle au sein de la boucle d optimisation ou processus de résolution itératif généralement employé pour la conception des machines électriques [BRIS] 37

59 III. Modélisation et conception des MFT Figure III-3 : Modèles physiques généralement utilisés lors de la conception d une machine électrique et leurs couplages [VIAR] On distingue généralement plusieurs niveaux de modélisation ou types de modèles dans chacun des domaines physiques identifiés à la Figure III-3. Dans la littérature, il est possible d en identifier 3 principaux : le modèle intégral ou modèle analytique, le modèle local et le modèle hybride ou semi-numérique [VIAR] [BRIS]. Chacun de ces 3 niveaux de modélisation possède ses propres caractéristiques en termes de précision, rapidité, facilité de mise en œuvre et de construction. Ils sont présentés ci-dessous, classés par ordre de facilité de mise en œuvre : Le modèle intégral ou analytique : il peut être vu comme un ensemble d équations analytiques qui régissent le comportement physique (électrique, thermique, mécanique ou magnétique) de la machine dans une région macroscopique définie (ex : induction dans les becs d encoches, échauffement de la culasse du rotor, ). Une approche de modélisation analytique communément employée est l approche circuit équivalent [VIAR]. Par exemple, les phénomènes électriques de la machine sont modélisés par un circuit électrique, comme dans [CROS]. De même, un circuit magnétique équivalent (c.f. III.3.1.2), ou réseau de réluctances, peut être employé pour le calcul analytique des flux magnétiques tel que présenté dans [DIC1]. De plus, un modèle analytique est facilement multi-physique, si les équations qui le 38

60 III. Modélisation et conception des MFT caractérisent représentent adéquatement les phénomènes physiques thermiques, magnétiques, électriques et mécaniques [BRIS]. Un modèle analytique se distingue principalement par sa grande facilité de mise en œuvre et la rapidité avec laquelle il peut fournir des résultats. De par sa rapidité, le modèle analytique peut aisément être employé dans une boucle d optimisation. Par contre, sa capacité à représenter la réalité i.e. sa précision, qui dépend des hypothèses simplificatrices adoptées pour sa construction, peut parfois s avérer insuffisante dans un processus de conception, tel que constaté plus loin (c.f. III.3.1). En effet, l emploi d un modèle analytique imprécis peut mener à l obtention de faux-optimums. Pour cette raison, le modèle intégral est souvent employé dans les premières étapes de la conception afin d identifier des géométries préliminaires de machines [ANPA] ou de comparer les performances de différentes structures de moteur [RAHM]. Si l implémentation d un modèle analytique est relativement aisée, sa construction ne l est pas forcément. Tel que mentionné par Brisset, une connaissance experte de la machine et de son fonctionnement peut être requise pour l élaboration du modèle. De plus, un ajustement des équations et hypothèses du modèle est bien souvent nécessaire, ce qui requiert de nombreuses expérimentations ou la construction de plusieurs prototypes [BRIS]. Le modèle local : il est caractérisé par l emploi d équations régissant les phénomènes électromagnétiques (ex : équations Maxwell), thermiques (ex : équations de Navier-Stokes) et mécaniques (ex : équations de l élasticité) à un niveau local dans la machine. Il permet alors de déterminer la distribution locale de grandeurs physiques associées à la machine (induction, flux, température, moment, ) à chacun des points d un domaine d étude discrétisé (maillage) limité par une frontière. Le calcul des paramètres globaux de la machine (ex : tension à vide, couple) se fait alors numériquement, en considérant la contribution de chacun des calculs fait à chaque maille. Le modèle local requiert obligatoirement l emploi d un ordinateur, contrairement au modèle intégral qui permet la formulation du problème en des termes algébriques. Le calcul des champs par la méthode des EF est un exemple de modèle électromagnétique local [BAST] : un modèle EF peut, par exemple, déterminer l induction magnétique en chaque point d un maillage 39

61 III. Modélisation et conception des MFT représentant la machine électrique et également déterminer son couple. Un modèle local est habituellement plus précis qu un modèle intégral. Sa précision dépend de la finesse du maillage employé, mais également de la complexité des phénomènes pris en compte par le modèle (ex : prise en compte des courants de Foucault). D une manière générale, plus le maillage du modèle local est fin, plus le temps de calcul requis par un ordinateur est important. Par conséquent, l emploi d un modèle local dans un processus d optimisation peut s avérer lourd et fastidieux [VIAR]. C est particulièrement le cas lorsqu une modélisation locale en 3 dimensions est requise. Son emploi à l intérieur même d une boucle d optimisation risque alors d allonger considérablement le temps requis pour la résolution du problème d optimisation (c.f. III.3.2) en plus de risques de non-convergence : Brisset explique qu il est parfois difficile de savoir si l effet observé sur une sortie du modèle EF lors de la variation d une donnée géométrique d entrée est lié à la donnée elle-même ou à la modification du maillage qui en résulte [BRIS]. La plupart du temps, l usage d un modèle local est fait en fin du processus de conception pour valider par expérimentation simulée les performances d un design optimal et ainsi réduire le nombre de prototypes à construire [VIAR]. Le modèle hybride ou semi-numérique : il s agit d une combinaison entre une modélisation intégrale et locale. Par conséquent, la précision, la rapidité, la facilité de mise en œuvre et de construction de ce type de modèle se situent entre celles des modèles local et intégral. Un exemple de modèle hybride magnétique est celui du réseau de perméances, modélisation semblable à un réseau de réluctances très maillé [ALBE]. Par contre, l élaboration d un modèle hybride est relativement complexe : elle requiert une grande expérience de l expert ainsi que la réalisation de nombreuses expérimentations simulées ou prototypes pour ajuster le modèle. Il peut être intéressant d opter pour ce type de modélisation lorsque les phénomènes physiques à modéliser sont relativement complexes et/ou qu une grande précision sur les paramètres de sortie est exigée. 40

62 III. Modélisation et conception des MFT Lors de l élaboration d un modèle pour la conception d une machine, le choix du niveau de modélisation doit être fait principalement selon un compromis efficacité précision [VIAR] : le concepteur doit construire son modèle en tenant compte de la précision du modèle, de sa rapidité à fournir des résultats, de sa facilité d implémentation et de construction. À la manière de Brisset [BRIS], on peut comparer les 3 types de modèles dans un repère temps de calcul erreur de modélisation, tel que présenté à la Figure III-4 (les échelles de cette figure ne sont pas forcément linéaires). La recherche de ce compromis efficacité précision est au cœur même de la problématique de ce travail de recherche. Dans la section suivante, la présentation des approches de conception usuelles des MFT permettra de mettre en évidence le dilemme efficacité précision auquel fait face la plupart des concepteurs de MFT, à cause de la difficulté de l élaboration de modèles pour ce type de machine électrique (c.f. section III.3). Dans les chapitres IV et V, la recherche de ce même compromis justifiera la proposition d une modélisation magnétique hybride pour la conception de la MFTCPSH. Figure III-4 : Classification des modèles local, hybride et intégral dans un repère temps de calcul erreur de modélisation [BRIS]. 41

63 III. Modélisation et conception des MFT III.2.3 Méthodes d optimisation employées pour la conception de machines électriques Dans la démarche de conception d une machine électrique, la recherche des dimensions et caractéristiques optimales de cette dernière passe le plus souvent par l emploi d une méthode d optimisation associée au modèle caractérisant la machine. Le nombre de variables mis en jeu pour définir la structure d une machine est souvent suffisamment important pour qu une exploration «manuelle» de l espace des solutions soit généralement une approche à éviter. Dans la littérature, de nombreux auteurs s accordent à dire qu une optimisation effectuée par une méthode «essai-erreurs», guidée uniquement par l expérience du concepteur, est une approche qui peut se révéler longue, coûteuse et souvent incertaine [NOGA] [MUET]. Pour cette raison, les concepteurs font le plus souvent appel à des outils mathématiques issus des théories de l optimisation, en d autres termes, à des algorithmes numériques basés sur des méthodes d optimisation. Le processus de conception d une machine électrique est la plupart du temps un problème d optimisation impliquant de nombreuses contraintes, définies par le cahier des charges de l application (e.g. : échauffement maximal, poids maximal, couple à fournir, ). Il peut également être à objectif unique, ou multi-objectif, en plus de constituer un problème nonlinéaire, à cause du caractère non-linéaire de la fonction objectif, des variables et des contraintes impliquées [VIAR] [MUET] [BRIS]. La littérature référence un grand nombre d algorithmes d optimisations qui se différencient par leurs avantages et inconvénients. On peut généralement évaluer les qualités d un algorithme d optimisation selon ses caractéristiques de convergence, comme sa rapidité à converger et sa capacité à éviter les optimums locaux [MUET]. La rapidité de convergence d un algorithme dépend du nombre d itérations requis pour l obtention d une solution optimale. Dans l espace de recherche que constitue un problème d optimisation, la solution optimale globale du problème coexiste avec d autres optimums locaux, tel qu illustré à la Figure III-5. La convergence vers un optimum local est un problème couramment observé dans la résolution de problèmes d optimisation. Certains algorithmes d optimisation ont tendance à converger plus aisément vers l optimum global du problème. D autres risquent 42

64 III. Modélisation et conception des MFT Figure III-5 : Schéma illustrant les notions d optimums locaux et global dans un problème d optimisation. d aboutir à des optimums locaux qui dépendent le plus souvent du point de départ du problème d optimisation [MUET] [BRIS] [HAJJ]. On distingue généralement deux grandes catégories de méthodes d optimisation : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques. Les méthodes déterministes opèrent leur recherche en se basant sur la connaissance d une direction de recherche, habituellement donnée par le gradient de la fonction objectif [HAJJ]. Elles sont généralement rapides (nombre d itérations réduit) et faciles à implémenter. Par contre, les méthodes déterministes sont sensibles aux optimums locaux : dans le cas d optimums multiples, elles s arrêtent sur la première solution optimale trouvée. La solution optimale obtenue avec une méthode déterministe est donc dépendante du point de départ initial de l optimisation. Toutefois, ce problème de convergence peut être contourné en recommençant l optimisation en considérant d autres points initiaux [BRIS]. Parmi les méthodes déterministes généralement évoquées dans la littérature, on retrouve, entre autres, les méthodes utilisant des plans d expérience, les méthodes «Branch and Bound», de Hooke et Jeeves, de Rosenbrock, du Simplex, du gradient conjugué et de Newton [HAJJ]. 43

65 III. Modélisation et conception des MFT Les méthodes stochastiques sont quant à elles basées sur des mécanismes de transition probabilistes [BRIS]. Contrairement aux méthodes déterministes, elles sont relativement peu sensibles aux optimums locaux et par conséquent aux conditions initiales du problème d optimisation. Par contre, le nombre d itérations requis avant convergence est généralement élevé et leur implémentation peut s avérer plus difficile que celle d une méthode déterministe. Parmi les méthodes stochastiques fréquemment employées dans la littérature, on retrouve les méthodes basées sur des algorithmes génétiques, la méthode du recuit simulé ou la méthode de recherche taboue [HAJJ]. De nombreux auteurs reconnaissent qu il n existe pas une méthode d optimisation générique et universelle applicable à une large variété de problèmes. Le concepteur doit faire le choix d une méthode selon la nature du problème d optimisation qu il cherche à résoudre [MUET] [BRIS] [HAJJ]. Dans le cadre de ce travail de thèse, la mise au point d une méthode de conception pour la MFTCPSH nécessite le choix d une méthode d optimisation. L outil de conception qui sera présenté plus loin (c.f. chapitres IV et V) emploie, en conjonction avec un modèle analytique, le solveur fourni avec le tableur Microsoft Excel. Ce dernier est doté d un algorithme d optimisation déterministe nonlinéaire avec contraintes (méthode «Generalized Reduced Gradient 2) [FYLS]. L expérience acquise par le LEEPCI dans la fabrication d outils de conception et l emploi du solveur d Excel à des fins d optimisation justifient en partie le choix de cet environnement de conception. De plus, la rapidité de convergence, la robustesse éprouvée de l algorithme présent dans le logiciel et sa facilité d emploi nous confortent dans ce choix. Cependant, tel qu évoqué plus haut, l emploi d une méthode d optimisation déterministe nécessite que l on vérifie la convergence des solutions obtenues vers l optimum global de l espace de recherche. Pour cette raison, la question de l optimalité des solutions déterminées avec l outil de conception créé sera également abordée dans les chapitres IV et V. 44

66 III. Modélisation et conception des MFT III.3 Approches de modélisation électromagnétique usuelles pour la conception des MFT Dans cette section est présenté un état de l art des approches de modélisation électromagnétique habituellement employées pour la conception des MFT. Le modèle électromagnétique d une MFT est généralement utilisé pour déduire et optimiser le couple développé par la machine, au sein d un processus de conception. Il est montré que deux approches de modélisation sont généralement employées pour la détermination des dimensions optimales d une MFT : l approche modèle analytique (intégrale) et l approche modèle EF (locale). En décrivant les avantages et inconvénients de chaque approche, cette section a également pour objectif de souligner le dilemme efficacité précision qu implique le choix de l une ou de l autre. En outre, cet état de l art sert également de base à la modélisation développée pour la MFTCPSH et présentée dans les chapitres IV et V. Cette section met l emphase sur la modélisation électromagnétique des MFT seulement en laissant de côté les aspects thermiques et mécaniques. Les difficultés liées à l élaboration de modèles électromagnétiques analytiques précis d une MFT méritent que l on s attarde davantage sur la modélisation magnétique et électrique de la machine. L approche de conception développée pour la MFTCPSH et présentée plus loin (c.f. chapitre V) vise à maximiser le couple de la machine en considérant un point de fonctionnement en régime permanent seulement et ne nécessite pas l élaboration d un modèle mécanique. Bien que la modélisation thermique ne soit pas abordée dans cette section, l échauffement d une machine électrique et l évaluation de ses capacités de dissipation de chaleur sont des aspects qui ne peuvent être négligés au cours du processus de conception. L emploi d un modèle thermique et/ou de «bornes thermiques» (e.g. élévation de température et capacité de dissipation) sont donc requis lors du dimensionnement d une MFT. III.3.1 Approches de conception avec modélisation électromagnétique analytique Dans le processus de conception d une machine électrique, la modélisation analytique des phénomènes associés à la machine est préférable à une modélisation locale ou par EF. La section précédente (c.f.iii.2.2) a permis d expliquer que l emploi de modèles analytiques 45

67 III. Modélisation et conception des MFT dans un processus d optimisation permet l obtention de solution optimales plus rapidement et en effectuant une exploration de l espace des solutions plus efficace, qu avec des modèles locaux ou EF. Dans la littérature, on retrouve de nombreuses références mentionnant l emploi d une modélisation analytique pour le dimensionnement optimale d une MFT : [BLI1] [ANPA] [DIC1] [DIC2] [VIOR] [DUB1] [DUB2] [IBA1] [IBA2] [KAI1]. L emploi d un modèle analytique est généralement fait pour maximiser le couple produit par une MFT, pour un volume donné. À l aide d expressions analytiques, le modèle fait le lien entre des quantités magnétiques (flux, inductions) et électriques (tensions, courant) d une part et le couple produit par la machine d autre part. Généralement, un circuit magnétique équivalent est employé pour déterminer le flux lié au bobinage de la MFT, en fonction des dimensions de la machine et des caractéristiques des matériaux (perméabilité, aimantation). La modélisation par réseau de réluctances est le plus souvent adoptée, avec un réseau plus ou moins complexe, dépendamment des phénomènes considérés (flux de fuite, saturation), lequel est converti en un circuit électrique équivalent permettant le calcul des caractéristiques électriques de la MFT (courant, tension, résistance, inductance). Le couple délivré par la machine est alors généralement calculé à partir du bilan des puissances électriques et mécaniques. Cette section décrit en détail cet emploi des modèles électromagnétiques analytiques. III Détermination analytique du couple développé par une MFT Le dimensionnement analytique d une machine électrique se fait généralement pour un ou plusieurs points de fonctionnement imposés par le cahier des charges et en régime permanent [VIAR] [NOGA]. Dans ce cas, le calcul analytique du couple d une machine se fait en considérant le couple moyen délivré par la machine sur une période de fonctionnement électrique. Dans les références [BLI1] [ANPA] [DIC1] [DIC2] [VIOR] [DUB1] [DUB2] [KAI1] [KAI2], une expression analytique du couple moyen d une MFT est employée pour l optimisation de la machine. En mettant de côté, de prime abord, les caractéristiques structurelles qui différencient les MFT des machines radiales ainsi que les caractéristiques propres à chacune des configurations de MFT existantes (c.f. section II.3), il est possible d exprimer le couple 46

68 III. Modélisation et conception des MFT moyen produit par une MFT comme celui délivré par une machine synchrone à aimants permanents. Ainsi, selon la formulation générale adoptée par Fitzgerald dans [FITZ], le couple moyen d une machine électrique monophasée peut s exprimer ainsi : (III-1), avec p le nombre de paires de pôles de la machine, R, le flux résultant (somme des flux inducteur et induit) dans l entrefer par paire de pôles, F S, la force magnétomotrice équivalente du stator et RS, l angle électrique entre les axes magnétiques de R et F S. L équation (III-1) montre que la connaissance des valeurs des paramètres R, F S et RS permet le calcul analytique du couple moyen délivré par une MFT. Ces dernières peuvent être déduites à l aide d un modèle magnétique analytique, comme c est le cas dans les références citées plus haut. S il est possible de déterminer le couple moyen d une MFT à partir de la relation générale (III-1) caractérisant le couple moyen délivré par une machine synchrone à aimant permanents, c est principalement le modèle magnétique analytique qui traduit les caractéristiques structurelles propres à la MFT. Dans la littérature, des variantes de la formulation analytique générale décrite par la relation (III-1) sont généralement employées pour la détermination du couple moyen d une MFT. Principalement, la difficulté à déterminer analytiquement le flux résultant R dans la machine explique l adoption d hypothèses simplificatrices par les concepteurs de MFT. La modélisation difficile de la saturation magnétique, de la saillance du rotor de la machine et du mouvement, entre autres, amènent la plupart des concepteurs à privilégier des expressions analytiques du couple moyen qui permettent l emploi de modèles simplifiés. Trois formulations analytiques du couple moyen d une MFT, représentatives d expressions communément employées par les concepteurs, sont présentées ci-dessous. Blissenbach propose une relation permettant de déterminer le couple moyen d une MFT triphasée [BLI1] [VIOR] : (III-2), avec pm, l amplitude du flux produit par les aimants de la machine (flux à vide) par paires de pôles, N t, le nombre de tours d une phase du bobinage statorique, I max, l amplitude 47

69 III. Modélisation et conception des MFT du courant dans un conducteur du bobinage statorique. La relation (III-2) proposée par Blissenbach permet la détermination analytique du couple moyen d une MFT à partir de la connaissance de l amplitude du flux à vide par paires de pôles pm et de la force magnétomotrice maximale créée par le bobinage d une phase du stator (N t I max ). Ces paramètres peuvent être déduits à partir d un modèle magnétique relativement simple, présenté plus bas. Cependant, la relation (III-2) ne tient pas compte de l effet de la saturation ni des pertes magnétiques sur le couple délivré par la machine. (III-2) considère une force magnétomotrice en phase avec la tension à vide. L expression (III-2) suppose également une répartition sinusoïdale du flux à vide dans l entrefer et de la force magnétomotrice du bobinage statorique. De plus, le couple de réluctance dû à la saillance de la machine n est pas non plus considéré dans l expression (III-2). Si l emploi d une telle expression permet l emploi d un modèle magnétique relativement simple, les hypothèses simplificatrices adoptées viennent également affecter la précision du modèle tel qu expliqué plus loin. Anpalahan propose une formulation analytique du couple similaire à celle de la relation (III-2) dans [ANPA]. Ce dernier introduit cependant un facteur de correction pour tenir compte de la distribution non-sinusoïdale du flux des aimants dans l entrefer. Une partie du couple électromagnétique délivré par certaines configurations de MFT est due au couple de réluctance de la machine, attribuable à la saillance du rotor (variation de la réluctance du rotor vue par le stator). C est notamment le cas des MFT à rotor à concentration de flux [BLI1] [DUB1] [KAI1] [VIOR] et donc de la MFTCPSH. La prise en compte du couple de réluctance dans la formulation analytique du couple d une MFT est donc requise dans le cas de MFT à rotor à concentration de flux, pour une estimation précise. Dubois propose une formulation analytique du couple moyen par phase d une MFT (III-3) permettant de considérer le couple de réluctance de la machine [DUB1] [DUB2] : (III-3), avec pm, l amplitude flux produit par les aimants de la machine (flux à vide) par paires de pôles, F s l amplitude de la force magnétomotrice du stator, l angle électrique entre le flux à vide et le courant de phase, R ap la réluctance par paire de pôles vu par le bobinage du 48

70 III. Modélisation et conception des MFT stator en position alignée (axe d) et R up la réluctance par paire de pôles vu par le bobinage du stator en position désalignée (axe q). L emploi de 2 modèles analytiques pour déterminer pm, R ap et R up permet le calcul du couple produit par la machine en considérant l effet du couple de réluctance. Ces 2 modèles sont présentés dans la section suivante. L expression (III-3) suppose une variation sinusoïdale du flux à vide, de la force magnétomotrice du stator et de l inductance vue par le bobinage. Les pertes magnétiques ne sont pas non plus considérées dans le calcul. Comme l expression (III-2), l équation (III-3) ne tient pas non plus compte de l effet de la saturation des matériaux magnétique sur le couple de la machine : pm, R ap et R up sont calculés à partir de modèles linéaires. Cette supposition a des conséquences relativement importantes sur la précision de l estimation analytique du couple, particulièrement dans le cas d une MFT, tel qu expliqué à la section III et tel que noté par Dubois dans [DUB1]. Une méthode de prédiction du couple d une machine électrique basée sur le diagramme Flux FMM (ou diagramme R - F S dans la notation de l expression (II-1)) d une machine électrique est décrite dans [STAT]. L aire formée par la surface délimitée dans un diagramme Flux FMM constitue une représentation graphique de la coénergie d une machine, convertie pendant une période de fonctionnement électrique (c.f. Figure III-6). Comme le couple développé par une machine est proportionnel à la coénergie [FITZ], l aire délimitée par le diagramme Flux FMM illustre également la capacité de production de couple d un moteur. L expression (III-4) décrit la relation entre le couple moyen développé par une machine et la coénergie convertie pendant une période de fonctionnement électrique [DIC1] : (III-4), où W conv correspond à la coénergie convertie au niveau d une paire de pôles d une machine qui peut être déduite du diagramme Flux FMM (c.f. Figure III-6). 49

71 III. Modélisation et conception des MFT Figure III-6 : Diagramme Flux FMM d une machine électrique Les auteurs de [DIC1] [DIC2], [KAI1] et [KAI2] utilisent une formulation analytique du couple moyen d une MFT basée sur la méthode du diagramme Flux - FMM. Dans ces références, un modèle magnétique analytique est employé pour déterminer la valeur de la coénergie. Dans [DIC1], le flux lié au bobinage d une MFTCP à rotor à aimants montés en surface est déterminé analytiquement et en tenant compte de la saturation (réseau de réluctances, voir section III.3.1.2). En considérant la variation temporelle de la FMM, le calcul du couple moyen est ensuite effectué à partir d un diagramme Flux FMM et d une expression analytique semblable à (III-4). Dans [KAI1], le couple moyen d une MFTCP à rotor à concentration de flux est également déterminé analytiquement à partir d une expression similaire à (III-4). Dans cette référence, la coénergie est calculée à partir de polynômes caractérisant la variation du flux résultant en fonction de la position du rotor et de la valeur de la FMM. Dans [KAI1], l expression analytique du couple moyen prend en compte la saturation des matériaux magnétiques de la MFT, ainsi que de son couple de réluctance. L emploi d une formulation analytique du couple moyen basée sur la méthode du diagramme Flux - FMM peut donc permettre la prise en compte de phénomènes tels que la saturation magnétique et la saillance de la machine. La précision de l estimation analytique du couple avec cette dernière méthode est donc potentiellement plus grande que 50

72 III. Modélisation et conception des MFT celle obtenue avec les l expression (III-2) ou (III-3). Les auteurs de [KAI1] et [DIC1] confirment la fidélité des estimations de couple obtenues par cette méthode. Cependant, si la précision offerte par l emploi de l expression (III-4) est bonne, la complexité des modèles magnétiques qui lui sont associés est grande : la difficulté principale de cette approche consiste à développer un modèle magnétique qui permet le calcul précis de la coénergie. Cet aspect est abordé dans la section suivante. III Modèles magnétiques analytiques communément employés Dans la littérature, la modélisation magnétique analytique d une MFT se fait, la plupart du temps, par une approche circuit magnétique équivalent ou circuit de réluctances. Une telle approche est employée dans les références [BLI1] [ANPA] [DIC1] [DIC2] [VIOR] [DUB1] [DUB2] [KAI1] [KAI2] [IBA1] [IBA2] La réluctance d un matériau magnétique peut se définir comme l aptitude de ce dernier à s opposer à sa pénétration par un champ magnétique. La réluctance d une pièce magnétique dépend de la perméabilité relative du matériau magnétique qui la constitue, mais également de ses dimensions. On peut calculer la réluctance R d une pièce magnétique en prenant des hypothèses sur le trajet du flux qui la traverse, à partir de l expression (III-5) [VIAR] : (III-5), avec l la longueur du tube de flux, S sa section et µ la perméabilité de la pièce magnétique, S 1 et S 2, respectivement les surfaces d entrées et de sortie du flux (c.f. Figure III-7). L analogie d Hopkinson permet de faire un parallèle utile entre un circuit électrique composé de résistances et un circuit magnétique composé de réluctances [VIAR] [FITZ]. Cette analogie permet alors de comparer les lois d Ohm et d Hopkinson comme suit : (III-6), avec U la force électromotrice comparable à la force magnétomotrice FMM, I le courant électrique comparable au flux magnétique F et R la résistance électrique comparable à la réluctance magnétique R. L analogie d Hopkinson permet également l emploi des lois de Kirchoff pour le calcul du flux dans un circuit de réluctances. 51

73 III. Modélisation et conception des MFT Figure III-7 : Schéma d un tube de flux à travers une pièce magnétique. Le trajet du flux à travers le circuit magnétique d une machine électrique peut être modélisé à l aide d un réseau de réluctances construit à partir des dimensions et caractéristiques du circuit magnétique. En posant des hypothèses sur les trajets de flux dans le circuit, il est alors possible d établir des expressions analytiques des réluctances sur le principe de l expression (III-5). En employant l analogie d Hopkinson, on peut ensuite calculer le flux dans l entrefer d une machine électrique pour, par exemple, déterminer le couple de la machine à partir d une expression analytique semblable à celles présentées à la section précédente (c.f. section III.3.1.1). Les modèles magnétiques de MFT ou réseaux de réluctances présentés dans les références [BLI1] [ANPA] [DIC1] [DIC2] [VIOR] [DUB1] [DUB2] [KAI1] [KAI2] [IB1] [IB2] sont employés suivant ce principe. Les modèles présentés dans ces références possèdent un point commun : ils modélisent les passages de flux dans une paire de pôles d une MFT uniquement. La structure magnétique particulière de la MFT et les symétries qui s y rattachent permettent en effet une telle simplification sans altérer la précision du modèle. Les réseaux de réluctances présentés dans les références citées plus haut se distinguent toutefois par les hypothèses simplificatrices adoptées pour la prise en compte de divers phénomènes tels que les flux de fuite ou la saturation magnétique. Trois exemples de modèles de réluctances représentant les passages de flux dans une MFT sont présentés, 52

74 III. Modélisation et conception des MFT lesquels sont assez représentatifs de la diversité des modèles magnétiques de MFT que l on peut retrouver dans la littérature. Réseau de réluctances simplifié [BLI1] [VIOR] : Dans [BLI1], Blissenbach emploie un modèle de réluctances simplifié afin de déterminer le flux dans l entrefer d une MFTCP à rotor à concentration de flux. Un schéma du modèle de réluctances simplifié employé est présenté à la Figure III-8. Dans le réseau de réluctances proposé, seules les réluctances de l entrefer R g et des aimants R pm sont prises en compte. Les réluctances modélisant le passage de flux dans les parties ferromagnétiques de la machine ne sont pas considérées : l auteur fait l hypothèse que leurs valeurs sont négligeables devant celles des réluctances de l entrefer et des aimants à cause de la valeur élevée de la perméabilité relative des matériaux ferromagnétiques. On s abstient ainsi de modéliser des passages de flux tridimensionnels relativement complexes. La FMM d un aimant est représentée dans le circuit par une source de FMM F c. De manière similaire, la force magnétomotrice du bobinage statorique est représentée par la source de FMM N t I max dont le signe varie selon le sens du courant. La connaissance des dimensions des aimants et de l entrefer permet le calcul des valeurs des réluctances R g et R pm. L application des lois de Kirchoff permet alors de déterminer la valeur du flux par paires de pôles pm à partir de laquelle le couple moyen peut être déterminé (expression (III-2)). La simplicité du réseau de réluctances proposé par Blissenbach repose sur la négligence de la saturation des matériaux magnétiques, de la saillance et du mouvement du rotor de la machine. De plus, le Figure III-8 : Réseau de réluctances simplifié proposé par Blissenbach [BLI1]. 53

75 III. Modélisation et conception des MFT réseau de réluctances proposé ne prend pas en compte les passages de flux de fuite relativement important dans le cas d une MFT. Par contre, l auteur propose la prise en compte des flux de fuite via un facteur qui atténue le flux pm et dont la valeur est issue de données empiriques compilées à partir de résultats obtenus par simulation EF [BLI1] [VIOR]. Les hypothèses simplificatrices adoptées ici ont permis l élaboration d un modèle relativement simple. Ceci se fait cependant au détriment de la précision de ce dernier. Même si l auteur de [BLI1] n évalue pas la justesse de son modèle à proprement parler, il explique que ce dernier est employé uniquement afin d obtenir les dimensions d un design initial correspondant à un cahier des charges prédéfini (on peut alors parler de prédimensionnement). Ce dernier sert ensuite de base à une optimisation réalisée avec des outils de calcul des champs. Blissenbach justifie sa démarche en expliquant que les passages de flux complexes dus à la structure 3D de la machine, la présence de nombreux flux de fuite et la saturation compliquent grandement l élaboration d un modèle magnétique analytique. Selon Blissenbach, une estimation précise des performances d une MFT ne peut se faire, dans la majorité des cas, qu avec l aide du calcul des champs. Réseaux de réluctances avec prise en compte de la saillance [DUB1] [DUB2] : Dubois propose 2 modèles de réluctances qui, utilisés conjointement, permettent le calcul du couple moyen d une MFT à rotor à concentrateurs de flux, en tenant compte de la saillance de la machine [DUB1] [DUB2]. Ces derniers sont présentés à la Figure III-9. L auteur de [DUB1] [DUB2] emploie tour à tour les deux modèles magnétiques pour déterminer, le flux à vide des aimants pm, la réluctance totale du circuit R ap vue du stator dans l axe d (position alignée du rotor et du stator) et la réluctance totale du circuit R up vue du stator dans l axe q (position désalignée du rotor et du stator). La détermination analytique du couple moyen peut alors se faire à partir de l expression (III-3) présentée précédemment. Dans les deux circuits proposés par Dubois, les passages de flux dans le circuit magnétique ainsi que les passages de flux de fuite dans l air sont modélisés. Par exemple, la réluctance R Ccore modélise le passage du flux autour du bobinage statorique, à travers le noyau du stator, lorsque R LEC représente le flux de fuite existant entre deux 54

76 III. Modélisation et conception des MFT Figure III-9 : Réseaux de réluctances proposés par Dubois [BLI1] : circuit modélisant les passages de flux dans a) l axe d de la MFT, b) l axe q de la MFT. concentrateurs du rotor. Les relations qui lient les dimensions de la machine aux réluctances des circuits de la Figure III-9 sont détaillées dans [DUB1]. Les FMM du bobinage et des aimants sont respectivement représentées par les sources de FMM F S et F m. De plus, l auteur propose une approche intéressante pour la modélisation complexe de passages de flux tridimensionnels dans le circuit magnétique de la machine. Certaines réluctances des circuits, pour lesquelles il est relativement difficile d obtenir une expression analytique à cause de passages de flux complexes (e.g. réluctance de l entrefer R g ), sont déterminées à partir de régressions linéaires effectuées sur une collection de réluctances, calculées à partir d un grand nombre de simulations par EF. Les deux réseaux de réluctances proposés par Dubois sont significativement plus complexes que celui proposé par Blissenbach dans [BLI1]. Ils mettent en jeu un grand nombre d expressions de réluctances et témoignent d un travail approfondi d identification et de quantification des passages de flux dans le circuit magnétique d une MFT. L auteur de [DUB1] évalue la précision du modèle magnétique qu il propose. Une comparaison de résultats obtenus avec ce modèle à des résultats obtenus par calcul des champs, en considérant un grand nombre de designs de machines aux dimensions relativement différentes, montre la dépendance de la précision du modèle développé aux dimensions de la machine. Précis pour certains designs, le modèle développé par Dubois présente d importants écarts avec le calcul des champs pour d autres designs : par exemple, la 55

77 III. Modélisation et conception des MFT variation de l écart entre le flux à vide pm estimé avec le réseau de réluctance et celui calculé par EF varie entre -3 % et 24 %. Il est important de noter que cette comparaison est effectuée sans prise en compte de la saturation : l auteur explique que des valeurs identiques de perméabilités ont été imposées dans les expressions analytiques des réluctances ainsi que dans l outil de calcul des champs. Anpalahan rapporte un problème similaire de dépendance de la précision d un modèle analytique aux dimensions de la machine dans [ANPA]. Le modèle proposé par Dubois ne tient pas compte de la saturation des matériaux magnétiques, comme dans le cas du modèle précédent. L effet de la saturation sur la précision du modèle est également évalué dans [DUB1]. Par comparaison avec des résultats provenant du calcul des champs, l auteur observe une surestimation comprise entre 30 % et 40 % sur la valeur du couple moyen déterminé avec son modèle. Il attribue majoritairement les écarts observé à l effet de la saturation sur la quantité de flux liée au bobinage du stator. Malgré une certaine prise en compte des passages de flux de fuite et de la saillance de la machine, la précision du modèle magnétique proposé dans [DUB1] et [DUB2] dépend des dimensions du design considéré et est grandement affectée par la saturation des matériaux magnétiques. À cause des imprécisions du modèle analytique, Dubois explique que ce dernier est employé uniquement en début de processus de conception, afin de déterminer les dimensions optimales d un design de machine servant de base à une optimisation réalisée par la suite avec des outils de calcul des champs [DUB1]. 56

78 III. Modélisation et conception des MFT Réseau de réluctances avec prise en compte de la saturation [IBA1] [IBA2] [DIC1] : Ibala et al. proposent un réseau de réluctances relativement complexe permettant le calcul du flux dans une MFTCP à aimants montés à la surface du rotor (aimantation radiale) [IBA1] [IBA2]. Comme le modèle magnétique proposé par Dubois, celui-ci tient compte de la réaction d induit et modélise le passage du flux dans le circuit magnétique de la machine ainsi que plusieurs chemins de flux de fuites. Le rotor ne comprenant pas de concentrateurs de flux, la saillance de la machine peut être négligée. La Figure III-10 présente le circuit de réluctances employé dans les références [IBA1] [IBA2]. Un réseau de réluctances très similaire est proposé par Dickinson pour le même type de MFT dans [DIC1] [DIC2]. Ce dernier utilise le modèle magnétique pour la détermination du couple moyen d une MFTCP, à partir de l expression analytique (III-4) présenté dans la section précédente. Figure III-10 : Réseau de réluctances proposé par Ibala et al [IBA1] [IBA2]. 57

79 III. Modélisation et conception des MFT Les auteurs de [IBA1] et [IBA2] portent une attention particulière à la modélisation des trajets de flux de fuite. Ces derniers sont modélisés par les réluctances de couleur claire sur le circuit de la Figure III-10. Par exemple, les réluctances R int, R end et R ag modélisent les trajets de flux de fuite autour des aimants du rotor. Les réluctances de couleur foncée modélisent les passages de flux dans le circuit magnétique de la machine (trajet de flux identifiés au coin droit inférieur de la Figure III-10) : par exemple, R claw représente le trajet du flux dans les griffes de la machine. Les FMM des aimants et du bobinage du stator sont respectivement représentées par les sources de FMM AT pm et AT arm. L élaboration d un modèle aussi complexe témoigne de l expérience acquise sur le fonctionnement de la machine par les concepteurs. L identification et la détermination d expressions analytiques des réluctances résultent de l analyse d un grand nombre de résultats de simulations EF [IBA2]. En plus de l attention particulière portée à la modélisation des flux de fuite, le modèle magnétique proposé ici se distingue des deux précédents par le fait qu il tient compte de la saturation des matériaux magnétiques de la machine. En effet, Ibala et al. expliquent que la résolution des équations du circuit magnétique pour déterminer le flux lié au bobinage se fait en considérant les courbes B(H) des matériaux, lors du calcul des réluctances modélisant les passages de flux dans les parties magnétiques de la machine. Ceci est effectué à l aide d une procédure numérique de résolution non-linéaire basée sur un algorithme de Newton-Raphson [IBA1]. Une comparaison de valeurs du flux lié au bobinage de la machine, calculées à partir du réseau de réluctances et déterminées par simulation par EF est également présentée, pour différentes valeurs de FMM statorique. Elle montre une bonne concordance entre les résultats du modèle analytique et ceux obtenus par calcul des champs ce qui démontre la modélisation adéquate de la saturation et des flux de fuite. Si le réseau de réluctances présenté ci-dessus a montré son efficacité pour la détermination analytique précise du flux dans une MFTCP en tenant compte de la saturation, les auteurs de [IBA1] et [IBA2] n évoquent pas son emploi pour l estimation analytique du couple moyen de la machine. Dickinson emploie un réseau de réluctances similaire pour l estimation analytique du couple moyen d une MFTCP pour maximiser le couple massique 58

80 III. Modélisation et conception des MFT de la machine [DIC1] [DIC2]. La saturation est également prise en compte dans le modèle analytique. Tel qu expliqué plus haut, le couple est déterminé par une méthode diagramme flux FMM (III-4), la résolution analytique des équations du circuit fournissant la valeur du flux à vide et en charge, en considérant une FMM de forme carrée, en considérant une position du rotor uniquement (axe d) [DIC2]. Une comparaison entre des valeurs de couple déterminées par simulations EF et des valeurs obtenues avec le modèle montre la bonne précision du modèle développé dans [DIC1] et [DIC2]. On peut toutefois noter ici l emploi d une FMM statorique de forme carrée, afin de faciliter le calcul de la coénergie. L auteur n aborde pas le cas d une excitation sinusoïdale. L emploi de cette méthode est beaucoup plus complexe si on considère une FMM d excitation sinusoïdale, qui implique la considération du mouvement du rotor dans le circuit de réluctances. III.3.2 Approches de conception avec modélisation électromagnétique par calcul des champs La complexité liée à l élaboration de modèles analytiques précis pour la conception d une MFT pousse la plupart des concepteurs à employer des outils de calcul des champs. L analyse par EF est alors généralement utilisée pour déterminer les paramètres électriques et magnétiques permettant le calcul du couple moyen (flux, inductances, FMM, voir section précédente III.3.1.1). Elle peut également être employée pour déterminer directement le couple moyen de la machine à partir d une méthode de calcul de forces intégrées à un outil de calcul des champs (e.g. tenseur de Maxwell, variation de la coénergie) [BAST]. La littérature contient de nombreux exemples d optimisations de MFT basées exclusivement ou en partie sur une modélisation EF. Les références [MADD] [GUO1] [BORK] [HENN] [HAR1] [MECR] [BLI1] [SVE3] présentent des optimisations de MFT réalisées entièrement à partir de résultats obtenus par simulations EF. Les références [MASM] [DIC1] présentent, quant à elles, des exemples d optimisations employant à la fois un modèle analytique et un modèle EF. Le modèle analytique, avec les imprécisions qu il comporte, est alors généralement employé en pré-dimensionnement, pour déterminer des designs optimaux de machines servant de bases à une optimisation effectuée, par la suite, avec le calcul des champs. D une manière générale, un modèle EF est presque 59

81 III. Modélisation et conception des MFT toujours employé par un concepteur de MFT afin de valider un processus d optimisation effectué à l aide d un modèle analytique [ANPA] [DUB1]. À cause de la structure 3D d une MFT, l emploi d un modèle EF tridimensionnel est souvent préférable pour la modélisation adéquate de la machine. Dans la littérature, on retrouve cependant quelques approches employant un ou des modèles 2D, basés sur des équivalences 2D - 3D : Viorel et al. font une description et une analyse de plusieurs exemples de modélisation EF 2D de MFT [VIOR]. Si l emploi d un modèle EF 2D permet une résolution plus rapide du calcul des champs, l analyse 2D ne permet pas une modélisation adéquate des flux de fuite, ce qui se traduit généralement par une surestimation du couple moyen de la machine par rapport au couple déterminé à partir d une modélisation 3D [VIOR]. Les auteurs de [ANPA] et [BORK] concluent également que les résultats de modèles EF 2D ne sont pas suffisamment précis pour être employés à l optimisation des paramètres d une MFT. Malgré sa grande précision par rapport à une modélisation analytique, l inconvénient principal d un modèle EF est le temps nécessaire à sa résolution (c.f. section III.2.3). Le temps requis pour la résolution d un modèle EF dépend de plusieurs facteurs lesquels sont principalement : les capacités de calcul du logiciel et de l ordinateur employés ainsi que le nombre de mailles imposé dans le modèle. Au fil des ans, l amélioration des capacités de calcul des ordinateurs et des méthodes EF ont permis de réduire considérablement le temps nécessaire à la résolution de modèles EF [SYKU]. Avec les ressources informatiques matérielles et logicielles dont nous disposons aujourd hui, le choix du nombre de mailles demeure le principal facteur affectant le temps de résolution d un modèle EF. Comme la précision d un modèle EF dépend principalement de la finesse du maillage, le choix du nombre de mailles d un problème EF se fait habituellement suivant un compromis temps de calcul précision [SADO]. Dans le cas de la MFT, la nécessité de modéliser la machine dans les 3 dimensions implique un nombre de mailles potentiellement important et par conséquent un temps de simulation élevé. Cependant, la possibilité offerte par les symétries de la structure à flux transverse de restreindre le modèle EF l étude d une paire de pôles vient atténuer ce dernier aspect (c.f. section III.3.1.2). De plus, la présence d importants flux de fuite nécessite l emploi d un maillage plus fin dans certaines zones du circuit 60

82 III. Modélisation et conception des MFT magnétique d une MFT pour une modélisation précise (aspect abordé au chapitre IV). Ceci contribue alors à accroître le nombre de mailles et donc le temps nécessaire à la résolution du modèle EF d une MFT. Pour ces raisons, un processus d optimisation d une MFT basé sur une modélisation EF de la machine peut s avérer long et fastidieux. La plupart des concepteurs qui emploient le calcul des champs pour l optimisation de MFT adoptent des simplifications dans le modèle et/ou le maillage, ou restreignent le nombre de paramètres optimisés afin de réduire le temps de résolution ou le nombre de simulations EF requises. C est le cas des auteurs des références [MADD] [GUO1] [BORK] [HENN] [HAR1] [MECR] [BLIS] [ANPA] [MASM] [DUB1] [DIC1]. Deux approches souvent employées sont présentées ci-dessous. III Modélisation EF et optimisation par variation paramétrique Une première approche communément employée consiste à faire varier de manière incrémentale un nombre limité de dimensions d une MFT, en restreignant les valeurs que ces dernières peuvent prendre, afin de déterminer des dimensions optimales qui satisfont un objectif fixé. Une telle approche n emploie aucun algorithme d optimisation : c est le concepteur qui détermine le nombre de simulations EF requises et qui détermine, selon son jugement et à partir des résultats des simulations effectuées, le design qui satisfait le mieux les exigences du cahier des charges. On peut qualifier un tel processus d optimisation par variation paramétrique. Maddison et al. adoptent une telle approche afin de maximiser le couple massique d une MFTCP à rotor à concentration de flux [MADD]. L optimisation porte sur deux dimensions de la machine : la profondeur du rotor et le chevauchement entre deux griffes du stator. Des simulations EF sont employées afin de déterminer l effet de la variation indépendante de chacune de ces dimensions sur le couple de la machine. Les auteurs ne précisent pas la durée de l optimisation ni la façon dont le couple est déterminé à partir des simulations EF. Harris et al. utilisent une approche similaire afin de déterminer les valeurs de certaines dimensions d une MFT maximisant le couple de la machine [HAR1]. Dans l exemple présenté, l optimisation porte sur le nombre de paires de pôles ainsi que trois facteurs de formes de la machine. Afin de réduire la durée de la procédure, le couple est évalué par 61

83 III. Modélisation et conception des MFT simulation, pour chaque design, en ne considérant qu une position du rotor seulement : lorsque le rotor et le stator sont en position désalignée (90º électriques axe q, position approximative du couple maximal d une MFT). Henneberger et al. emploient une approche d optimisation semblable pour maximiser la densité de force d une MFT à noyaux en C et à ponts magnétiques [HENN]. Le calcul de la densité de force de la machine est effectué, pour un design donné, à partir des valeurs couples instantanés données par des simulations EF pour 10 positions différentes du rotor (entre 0º et 180º électriques). Il est précisé qu un temps de calcul de 30 à 40 heures est requis pour compléter ces 10 simulations EF, en considérant 3 valeurs de FMM statoriques différentes. L optimisation présentée porte sur cinq dimensions : pas polaire, profondeur du noyau statorique, distance entre deux aimants, hauteur des aimants et entrefer. Afin de réduire la durée du processus, chacun des 5 paramètres est varié indépendamment des quatre autres. De plus la variation de chacun des paramètres est limitée à quelques valeurs seulement : par exemple, 6 valeurs de pas polaires sont évaluées dans l optimisation. À la fin du processus, le concepteur déduit de l analyse des résultats les valeurs des 5 paramètres qui maximisent la densité de force. La durée totale de l optimisation n est pas indiquée, bien qu elle puisse être estimée proche d un mois selon les renseignements fournis. On notera toutefois que la référence prise en exemple date de 1997 et qu une optimisation similaire serait, avec les ressources informatiques actuelles, probablement plus courte. L approche d optimisation EF par variation paramétrique est également employée dans les références [BORK] [MECR] [BLIS] [MASM] et [DIC1]. Les avantages procurés par l emploi de cette approche peuvent se résumer ainsi : l emploi du calcul des champs confère au modèle une bonne précision. Avec un maillage adéquat, cette méthode est moins susceptible de converger sur un fauxoptimum, contrairement à une optimisation réalisée avec un modèle analytique imprécis (c.f. section III.3.1). la mise en œuvre d une telle approche est relativement simple avec les outils de calcul des champs disponibles sur le marché. De plus, elle ne nécessite pas une grande expérience du concepteur, contrairement à celle requise pour l élaboration de certains modèles analytiques (c.f. III.3.1.2). 62

84 III. Modélisation et conception des MFT Malgré l emploi d une modélisation EF 3D, la durée de l optimisation peut être réduite en adoptant des simplifications dans le modèle et/ou le maillage, ou en restreignant le nombre de paramètres optimisés. Bien qu il s agisse d une approche utilisée relativement souvent par les concepteurs de MFT, cette dernière présente toutefois quelques inconvénients significatifs : la limitation du nombre de paramètres optimisés et du champ de variation de ces derniers peut restreindre grandement l espace de recherche des solutions de l optimisation. l espace des solutions de l optimisation est également fortement restreint lorsqu on considère une variation indépendante des paramètres optimisés entre eux, comme c est le cas dans les références [MADD] [BORK] [HENN] [HAR1] [MECR] [BLIS] [MASM] et [DIC1]. le caractère optimal d une solution dépend uniquement du jugement et de l expérience du concepteur. Un algorithme d optimisation performant permet bien souvent d effectuer un travail plus précis et plus rapide. Notre expérience personnelle sur l emploi de cette approche d optimisation est relativement mitigée. Tout d abord, l emploi de cette approche s est souvent révélé frustrant, principalement à cause des limitations sur l espace de recherche des solutions et la convergence vers des optimums locaux. Lorsque cette méthode est employée avec un grand nombre de variables optimisées et que l on considère la dépendance de chacune de ces variables dans l optimisation, le nombre de simulations EF et la durée du processus croissent très rapidement. En prenant pour exemple le cas de maximisation du flux à vide d une MFTCPSH développé dans le chapitre IV (c.f. section XX), on peut évaluer la durée du processus si l approche d optimisation EF par variation paramétrique est employée. L optimisation traitée porte sur 8 facteurs de formes de la machine. En considérant que chacune de ses variables peut prendre 5 valeurs, le nombre de simulations EF requis en employant cette approche est de 5 8 = Une simulation EF de la machine présentée dans l exemple du chapitre IV dure 15 minutes. Par conséquent, la durée du processus par cette approche d optimisation serait d environ 11 ans. Même en réduisant la durée de chaque simulation EF à une seconde, la durée de l optimisation serait encore de 4,5 jours. 63

85 III. Modélisation et conception des MFT III Modélisation EF et optimisation employant un algorithme d optimisation Guo et al. présentent une approche intéressante combinant à la fois modélisation EF et techniques d optimisation numériques [GUO1]. L approche décrite est employée pour minimiser la masse des matériaux actifs d une MFTCP, pour une puissance et une vitesse imposée, tout en répondant à des contraintes thermiques et dimensionnelles fixées par un cahier des charges. L optimisation porte sur 11 variables correspondant à des dimensions du circuit magnétique du moteur (e.g. : diamètre externe de la machine, longueur axiale, hauteur, longueur et largeur des aimants, ). Le calcul des champs est employé pour déterminer les performances du moteur, au cours de l optimisation. L estimation des performances de la MFT inclut une prise en compte des pertes ferromagnétiques sur une période de fonctionnement électrique ainsi que la réaction d induit (mouvement du rotor considéré). Afin de réduire le temps de calcul associé à la modélisation EF, le problème de modélisation, relativement complexe, est segmenté en sous-problèmes plus simples et moins long à résoudre. Aussi, à la place d une unique simulation EF tenant compte de tous les facteurs cités plus haut, ce sont plusieurs analyses EF qui sont employées pour déterminer les performances du moteur : Une simulation EF est employée pour déterminer le flux à vide dans l axe d (rotor et stator alignés). La supposition d une variation sinusoïdale du flux à vide est posée. Un ensemble de simulations EF est utilisé pour déterminer l inductance statorique en fonction de la position du rotor, en tenant compte de la réaction d induit. Un ensemble de simulations EF sert à l estimation relativement précise des pertes ferromagnétiques dans le circuit de la machine. Plus de détails sur la méthode d estimation des pertes sont donnés dans [GUO2]. L originalité de l approche proposée dans [GUO1] réside dans l emploi de techniques hybrides numériques d optimisation associées à la modélisation EF. Une combinaison d un algorithme génétique et d un algorithme de type Rosenbrock est employée afin de bénéficier à la fois des avantages de méthodes d optimisation stochastiques et déterministes (c.f. section III.2.3) et ainsi effectuer une recherche plus efficace dans l espace des solutions. De plus, le maillage des simulations EF est affiné tout au long de l optimisation, afin de réduire la durée du processus. Au début de l optimisation, un maillage grossier est 64

86 III. Modélisation et conception des MFT employé pour rendre le calcul des champs plus rapide. La densité de mailles des modèles EF est ensuite augmentée, au fur et à mesure que l optimisation progresse. Guo et al. montrent qu il est possible d employer des outils de calcul des champs dans une boucle d optimisation. L approche proposée permet donc d optimiser une MFT avec la précision d une modélisation EF et l efficacité des méthodes numériques d optimisation. Les auteurs reconnaissent qu un grand nombre de simulations est requis tout au long du processus, sans toutefois en préciser le nombre. Diverses astuces (sous-modèles EF, technique d optimisation hybride, maillage raffiné au cours de l optimisation) sont employées afin de réduire la durée du processus, qui n est, elle non plus, pas renseignée. Malgré la preuve du fonctionnement de l approche établie, cette dernière nous amène quelques interrogations : La durée totale du processus d optimisation n est pas indiquée. Selon notre expérience, le nombre de simulation EF requis amène toutefois à penser que le processus doit être relativement long, malgré la technique de maillage adoptée. L adoption d un maillage grossier en début d optimisation peut amener le processus à converger vers de faux-optimums. Dans le cas particulier de la MFT, les nombreux passages de flux de fuite requièrent l adoption d un maillage fin dans certaines zones du circuit magnétique (c.f. chapitre IV). L emploi d une modélisation EF avec un algorithme d optimisation peut causer des problèmes de convergence. Les gradients de l optimisation peuvent être affectés par les erreurs de maillage [BRIS]. Cependant, Guo et al. ne font pas mention de difficultés semblables. III.3.3 Discussion : le dilemme efficacité précision pour la modélisation des MFT Les deux principales approches de modélisation magnétique employées pour l optimisation des MFT, la modélisation analytique (c.f. III.3.1) et la modélisation EF (c.f. III.3.2), ont été présentées dans cette section. Le Tableau III-1 met en regard les principaux avantages et inconvénients de chacune des approches dans le contexte de l optimisation d une MFT. 65

87 Modélisation magnétique EF Modélisation magnétique analytique III. Modélisation et conception des MFT Le Tableau III-1 illustre bien le dilemme efficacité précision qu impose le choix d une approche ou de l autre. La modélisation analytique permet l emploi favorable de méthodes d optimisation numériques mais induit très souvent des problèmes de précision. La modélisation EF offre, quant à elle, une bonne précision et est facile à mettre en œuvre mais son utilisation avec un algorithme d optimisation est peu pratique. Devant ce choix à faire, la plupart des concepteurs se décident pour la précision en optant pour une optimisation basée, exclusivement ou en partie, sur une modélisation EF (c.f. III.3.2), dans le but de Tableau III-1 : Comparaison des avantages et inconvénients des approches de modélisation magnétique analytique et EF communément employées pour la conception de MFT Avantages La rapidité de résolution d un modèle analytique permet son emploi favorable dans une boucle d optimisation. L emploi conjoint d un modèle analytique et d un algorithme d optimisation permet une exploration efficace et rapide de l espace des solutions. Inconvénients Difficultés liées à l élaboration de modèles magnétiques précis principalement dues à des passages de flux complexes, au flux de fuite ainsi qu à la saturation. La modélisation des passages de flux 3D, du flux de fuite et de la saturation exigent une grande expérience du concepteur et augmentent considérablement la complexité du modèle analytique. L emploi d un modèle imprécis dans un processus d optimisation augmente le risque de convergence vers de fauxoptimums. Avec un maillage adéquat, un modèle EF 3D peut donner une estimation précise des performances d une MFT. Il permet une modélisation convenable de passages de flux 3D, du flux de fuite et de la saturation. Le temps associé à la résolution d un modèle EF 3D est généralement long. L emploi d un modèle EF pour l optimisation des performances d une MFT rallonge considérablement la durée du processus. La mise en œuvre d un modèle EF est relativement aisée, en comparaison à l élaboration d un modèle analytique. L usage conjoint d un modèle EF 3D et d un algorithme d optimisation est relativement peu commode à cause de la durée du processus et de potentiels problèmes de convergence. 66

88 III. Modélisation et conception des MFT garantir la validité des performances de la machine dimensionnée, en tentant toutefois de réduire le nombre de variables géométriques impliquées. En ce qui concerne la MFTCPSH, il apparait arbitraire de limiter le nombre de variables de l espace des solutions afin de privilégier l une au profit de l autre. De plus, l observation des avantages et inconvénients des deux approches communément employées nous mène à ce constat : dans le contexte de l optimisation, les atouts de la modélisation magnétique analytique constituent les faiblesses de la modélisation EF et inversement. Ce constat inspire directement l axe de recherche suivi dans le cadre de cette thèse : une bonne approche de modélisation pour la conception optimale de la MFTCPSH, et des MFT en général, se trouve peut-être entre une modélisation analytique et EF, sans que ne soit limité à priori l espace des solutions. Pour reprendre le formalisme utilisé par Brisset, une approche de modélisation plus adéquate pour une MFT est peut-être une modélisation hybride ou semi-numérique (c.f. Figure III-4 et section III.2.2) [BRIS]. III.4 Conclusion Dans ce chapitre, les aspects liés à la modélisation et la conception optimale des MFT ont été présentés. En premier lieu, un retour sur les principes de base de la conception d une machine électrique a permis de situer le contexte et les enjeux de la recherche visée par cette thèse. Les phases principales de la conception d une machine, la notion de modèle, les différents phénomènes généralement modélisés, les types de modélisation et les méthodes d optimisation généralement employés ont été décrits tour à tour. En second lieu, un état de l art sur les approches de modélisation électromagnétique communément employées pour la conception de MFT a été présenté. La recherche bibliographique menée semble montrer que deux approches coexistent : l approche employant un modèle magnétique analytique et l approche faisant usage d un modèle EF. Trois exemples de modélisation magnétique analytique ont permis de montrer la difficulté à établir un modèle analytique précis pour une MFT. Des passages de flux tridimensionnel, un flux de fuite considérable et la saturation des matériaux magnétiques en sont principalement la cause. Des approches de conception faisant usage d une modélisation EF 67

89 III. Modélisation et conception des MFT ont également été présentées. Malgré la précision de ce type de modélisation, les exemples décrits ont permis de comprendre que l emploi d un modèle EF est moins adapté à un processus d optimisation qu un modèle analytique : la cause principale est la durée nécessaire à la résolution d un problème EF. Finalement, la comparaison des deux approches a permis de souligner le dilemme efficacité précision qu implique le choix exclusif d une modélisation analytique ou EF. Les chapitres IV et V s appuient directement sur l état de l art présenté dans cette partie pour proposer une nouvelle approche de modélisation pour la conception d une MFTCPSH. L approche de modélisation proposée est une approche hybride, combinant de manière adéquate modélisation analytique et EF, spécialement conçue pour un processus d optimisation. 68

90 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV PROPOSITION D UN MODÈLE ET D UNE MÉTHODE POUR L OPTIMISATION DU FLUX À VIDE DE LA MACHINE À FLUX TRANSVERSE À STATOR HYBRIDE IV.1 Introduction Dans ce chapitre est proposé une nouvelle approche pour la modélisation et la conception des MFT, appliquée au cas de la MFTCPSH. Cette dernière vise à apporter une contribution à la complexité de modélisation et aux problèmes de précision des modèles analytiques de MFT, dans un processus de conception. En effet, il est montré qu il est possible d employer un modèle analytique dans une boucle d optimisation, en compensant les erreurs du modèle à l aide de facteurs de correction calculés par simulation EF. Avec un nombre de simulations restreint, la démarche proposée permet de déterminer un design de machine optimal (vis-à-vis d un critère optimal préétabli) et validé en un temps de calcul relativement court. L approche présentée dans ce chapitre est appliquée pour déterminer les dimensions optimales d une MFTCPSH maximisant le flux à vide de la machine. Le modèle et la méthode introduits ici se limitent donc au cas du flux à vide uniquement. Une MFT est souvent pénalisée par un facteur de puissance relativement bas (c.f. II.2.3). Maximiser le flux à vide d une MFT permettra d accroître son facteur de puissance. Le flux à vide d une MFT contribue également en grande partie à la production de couple de la machine : maximiser le flux à vide d une MFT revient donc à accroître le couple de la machine. Cependant, comme il en est question au chapitre V, il est également nécessaire de tenir compte du flux de la réaction d induit pour maximiser le couple d une MFT. En nous restreignant au cas du flux à vide, l objectif de cette partie est avant tout de présenter une nouvelle approche de modélisation et de conception qui sera développée par la suite pour 69

91 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. maximiser le couple d une MFTCPSH. Si l approche de modélisation proposée ici est appliquée au cas d une MFTCPSH, la méthodologie développée est également applicable à d autres configurations de MFT ou d autres types de machines. Après avoir présenté le modèle analytique employé pour déterminer le flux à vide saturé de la MFTCPSH, la précision du modèle proposé est évaluée par comparaison avec des résultats de simulation EF. Il est ensuite montré comment il est possible de palier aux problèmes de précision du modèle en y insérant des facteurs de correction, calculés par simulation EF. Le modèle analytique proposé dans cette thèse tient compte de la saturation des matériaux magnétiques de la machine. Une section de ce chapitre est donc consacrée à la description des hypothèses et de la méthode appliquée pour la considération des caractéristiques non-linéaires des matériaux. L implantation du modèle et du mécanisme de compensation d erreur dans un outil créé avec le logiciel Microsoft Excel est également décrite. Pour finir, un exemple de maximisation du flux à vide d une MFTCPSH est abordé. IV.2 Élaboration d un modèle de réluctances pour la détermination du flux à vide Toute la modélisation présentée dans cette thèse est avant tout basée sur un réseau de réluctances modélisant le passage de flux principal dans une paire de pôles de la MFTCPSH ainsi que les passages de flux de fuite. Ce modèle est déduit de l observation et de l analyse de résultats de simulation EF. Par la suite, des expressions analytiques de ces réluctances permettent le calcul du flux à vide (axe d de la machine, flux à vide maximal) vu par le bobinage du stator de la machine, en tenant compte de la saturation. IV.2.1 Description des hypothèses et paramètres géométriques utilisés dans le modèle Définition des hypothèses principales de modélisation : Une paire de pôles de la machine seulement est considérée. Les symétries de la structure magnétique permettent de supposer à une répartition identique du flux à vide sous chaque pôle. Le pas polaire au rotor et au stator sont les mêmes. 70

92 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Le flux de réaction d induit n est pas considéré dans ce chapitre. On suppose donc ici qu aucun courant ne circule dans le bobinage du stator. Le chapitre V présentera une prise en compte de la réaction d induit. Un réseau de réluctances est employé dans le modèle. Des hypothèses sur les trajets de flux dans le circuit magnétique et dans l air ont donc été formulées pour définir les expressions des réluctances. Les réluctances sont définies par des tubes de flux homogènes : même perméabilité dans tout le tube de flux. La section d une réluctance est considérée constante sur tout le parcours de flux choisi. L hypothèse est faite que la saturation n affecte pas les trajets de flux. La saturation est prise en compte dans les réluctances des parties ferromagnétiques au moyen d une valeur de perméabilité saturée calculée en fonction de leur état de saturation. Les pertes magnétiques sont négligées. On suppose ici que les courbes B(H) des matériaux considérés sont anhystérétiques et que les courants de Foucault ne modifient pas les trajets de flux. On suppose que les aimants du rotor ont une aimantation rigide (i.e. aimantation constante et égale à l induction rémanente) et une perméabilité relative égale à 1,1. La difficulté de modélisation des passages de flux dans l air ainsi que l influence de la saturation sur les trajets de flux dans le circuit de la machine ont été soulevés au chapitre précédent (c.f. section II.3.1). D après ces constats, certaines hypothèses posées ici peuvent apparaître invalides. Cependant, ces hypothèses sont nécessaires à l élaboration du modèle. Plus loin, nous montrerons que les erreurs qui peuvent en résulter peuvent être corrigées par un mécanisme de compensation d erreur, qui est au cœur même de la thèse avancée par cette recherche. Description des variables et grandeurs géométriques employées dans le modèle : Afin de lier les trajets de flux modélisés aux dimensions de la machine, plusieurs variables géométriques ont été définies. Ces dernières sont détaillées sur le schéma et dans le tableau de la Figure IV-1. 71

93 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Variable Dimension correspondante R a R r R s p e L a H a L c H c P r L pp L gp H gp H bp H pp P gp P pp L n H f P n P f H b P b Rayon des matériaux actifs Rayon de la machine au rotor Rayon de la machine au stator Angle d une paire de pôles (non représenté) Entrefer de la machine Largeur des aimants du rotor Hauteur des aimants du rotor Largeur du concentrateur de flux Hauteur du concentrateur de flux Profondeur d une phase du rotor Largeur d un pied dans l entrefer Largeur d un pied proche du noyau Grande hauteur d un pied Petite hauteur du bout du pied Petite hauteur du pied proche du noyau Profondeur du pied dans l entrefer Profondeur du pied proche du noyau Largeur du noyau Hauteur de la fenêtre de bobinage Profondeur du noyau Profondeur de la fenêtre de bobinage Hauteur de la surface de bobinage Profondeur de la surface de bobinage Figure IV-1: Variables et grandeurs géométriques employées dans le modèle. Tableau IV-1 : Facteurs de forme employés dans le modèle et relations correspondantes. Variable Équation Rapport correspondant k smag L a /H a Largeur des aimants / Hauteur des aimants k rot L a /L c Largeur des aimants / Largeur des concentrateurs k ap H gp /H a Grande hauteur d un pied / Hauteur des aimants k cp L pp /L c Largeur d un pied dans l entrefer / Largeur des concentrateurs k rp P gp /P r Profondeur du pied dans l entrefer / Profondeur d une phase du rotor k hb H bp /H gp Petite hauteur du bout du pied / Grande hauteur d un pied k hp H pp /H gp Petite hauteur du pied proche du noyau / Grande hauteur d un pied k pn L n /L pp Largeur du noyau / Largeur d un pied dans l entrefer 72

94 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. En plus des dimensions indiquées à la Figure IV-1, huit facteurs de formes (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn ) ont également été définis (Tableau IV-1). Ces derniers sont établis sous forme de rapports entre des dimensions géométriques, de façon à normaliser les grandeurs d une machine pour faciliter la convergence du processus d optimisation. IV.2.2 Description des passages de flux modélisés À la manière des travaux présentés dans les références [DIC1] [IBA1] [IBA2], un grand nombre de simulations EF a été réalisé de manière à identifier le trajet du flux à vide dans une paire de pôles de la MFTCPSH. Le passage du flux dans les parties ferromagnétiques de la machine ainsi que 3 trajets de flux dans l air (fuites) ont pu être observés. Les passages de flux décrits dans cette section sont issus d une interprétation arbitraire et intuitive de résultats de simulations EF. Un choix de passages de flux différent (trajets plus complexes) aurait également pu convenir. Les trajets de flux identifiés à partir des résultats de simulations EF, qui seront modélisés par la suite, sont décrits ci-dessous : Passage de flux principal : La Figure IV-2 présente le passage du flux produit par les aimants dans une paire de pôles de la machine. Ce passage de flux est appelé ici «flux principal». Le passage de flux principal à travers les différentes parties du circuit peut être décrit comme suit : Le flux traverse les aimants du rotor en suivant une direction principalement parallèle à l axe circonférentiel. Il franchit ensuite un concentrateur de flux en évoluant dans un repère 3-D. Le flux traverse en suivant l axe radial. Il évolue dans le pied du stator dans un repère 3-D. Il circule autour du bobinage dans le noyau du stator dans un plan axial-radial. Tel que décrit à la Figure II-1, nous appellerons : mag, la portion de flux traversant un aimant du rotor, gap, la portion de flux franchissant l entrefer, core, le flux à vide, franchissant le noyau du stator, vu par le bobinage. 73

95 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-2 : Passage du flux principal à vide. Trajets de flux de fuite exclus. Flux de fuite autour des aimants du rotor : L observation des résultats de simulations EF a permis de constater qu une partie du flux émanant des aimants du rotor ne franchissait pas l entrefer pour se rendre au stator de la machine. En effet, une partie du flux d un aimant entre dans le concentrateur et en ressort pour se refermer sur lui-même en circulant dans l air : dans un plan radial-axial au dessus du rotor, dans un plan axial circonférentiel de chaque côté d une phase du rotor, dans un plan radial axial dans l entrefer. Un tel trajet de flux de fuite est illustré en rouge à la Figure IV-3 et est identifié par la variable leakr dans le modèle proposé dans ce chapitre. Flux de fuite concentrateur - pied : L analyse des tracés de flux obtenus par éléments finis a montré qu il existe également un trajet de flux de fuite existant entre les pieds du stator et les concentrateurs du rotor. Une partie du flux des aimants franchissant l entrefer retourne/entre au rotor sans passer par le noyau du stator en quittant/entrant de chaque côté d un pied (plan radial circonférentiel). Ces trajets de fuite sont illustrés à la Figure IV-3 et identifiés dans le modèle par les 74

96 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-3: Flux de fuite autour des aimants et fuite concentrateur - pied. Figure IV-4: Flux de fuite pied pied. variables leaksided pour le flux de fuite quittant/entrant la partie droite d un pied et leaksidep pour le flux de fuite quittant/entrant la partie inclinée d un pied. Flux de fuite pied - pied : Un trajet de flux de fuite a également été identifié entre les pieds du stator. En effet, une partie du flux des aimants ne passe pas par le noyau et transite dans les zones d air séparant chaque pied (plan radial circonférentiel). La Figure IV-4 montre une illustration d un tel passage de flux de fuite. Ce dernier est représenté par la variable leaks dans le modèle. Les simulations EF ont également permis de montrer que ce flux de fuite est relativement faible 75

97 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. en fonctionnement à vide. Les résultats présentés à la section IV.3 montrent par exemple que ce flux de fuite ne représente pas plus de 0.5 à 5 % du flux principal. IV.2.3 Description du réseau de réluctances proposé L identification et l observation des trajets de flux dans le circuit de la MFTCPSH a permis de construire un réseau de réluctances pour déterminer le flux à vide de la machine. Dans cette section sont détaillées les expressions des reluctances modélisant le passage de flux principal ainsi que les flux de fuite avant de présenter le réseau de réluctance proposé. IV Réluctances modélisant le passage de flux principal Soit les cinq réluctances suivantes définies comme celles correspondant au passage de flux principal, dans les pièces magnétiques de la machine et dans l entrefer : R mag : réluctance modélisant le passage de flux dans un aimant du rotor. R conc : réluctance modélisant le passage de flux à travers un concentrateur. R gap : réluctance modélisant le passage de flux dans l entrefer. R foot : réluctance modélisant le passage de flux dans un pied du stator. R core : réluctance modélisant le passage de flux dans un noyau du stator. Les expressions de chacune de ces réluctances ainsi que les hypothèses prises pour les établir sont décrites ci-dessous : Expression de la réluctance d un aimant R mag : La réluctance d un aimant du rotor est considérée comme un tube de flux uniforme de longueur l mag, de section S mag et de perméabilité relative µ mag. L équation (IV-1) présente l expression de la réluctance R mag employée dans le modèle : (IV-1) l mag est définie comme la largeur moyenne d un aimant du rotor, calculée ainsi pour tenir compte de la hauteur du rotor. S mag représente la surface d un aimant dans un plan axial radial (c.f. Figure IV-1). La perméabilité relative d un aimant est considérée constante et égale à 1,1 dans le modèle. 76

98 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Expression de la réluctance d un concentrateur R conc : Lors de son passage dans un concentrateur, le flux emprunte un trajet qui s effectue dans les 3 dimensions, tel qu expliqué à la section IV.2.2. À cause de la complexité de modélisation d un tel trajet de flux, il est considéré, en première approximation, que le flux franchit le concentrateur en se déplaçant de manière uniforme principalement selon l axe radial de la machine. Le mécanisme de compensation d erreurs, décrit plus loin, rend possible la correction des imprécisions résultantes de cette simplification. Avec l approximation considérée, la réluctance du concentrateur R conc est modélisée par un tube de flux de longueur l conc, de section S conc et de perméabilité µ conc tel qu énoncé par la relation (IV-2) : (IV-2) l conc est égale à la hauteur d un concentrateur. La section S conc représente la surface de sortie du flux du concentrateur vers l entrefer et le pied du stator. La valeur de la perméabilité relative du concentrateur µ conc, considérée constante dans tout le volume de la réluctance, est déterminée en fonction de l état de saturation du circuit magnétique, par un processus détaillé à la section IV.2.5. Expression de la réluctance de l entrefer R gap : La réluctance de l entrefer R gap est considérée comme un tube de flux uniforme de longueur l gap et de section S gap. (IV-3) représente l expression adoptée pour modéliser R gap : (IV-3) l gap représente la taille de l entrefer e de la machine. S gap correspond à la section moyenne de l entrefer (plan axial-circonférentiel), calculée en considérant la valeur moyenne de la largeur du concentrateur L c et la largeur du pied dans l entrefer L pp. 77

99 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Expression de la réluctance d un pied R foot : À la section IV.2.2, il a été montré que le flux suit un trajet relativement complexe en évoluant dans un repère 3-D lors de son passage dans un pied du stator. De manière à modéliser la réluctance d un pied, quelques simplifications ont été adoptées. Ces dernières sont décrites sur le schéma de la Figure IV-5. La réluctance R foot est vue comme un tube de flux de longueur l foot, de section S foot et de perméabilité relative µ foot. La section S foot (surface hachurée jaune sur la Figure IV-5) est déterminée à partir de la valeur moyenne calculée entre la surface d entrée du flux dans le pied (flux quittant l entrefer, surface en rouge sur la Figure IV-5) et la surface de sortie du flux du pied (flux entrant dans le noyau, surface en bleu sur la Figure IV-5). La longueur l foot (ligne bleue sur la Figure IV-5) est calculée comme la distance séparant le centre de la surface du flux entrant dans le pied de celui de la surface de sortie du flux du pied. (IV-4) représente l expression de R foot obtenue à partir des simplifications énoncées : (IV-4) Figure IV-5: Schéma représentant la longueur l foot et la surface S foot utilisées pour la modélisation de la réluctance R foot. 78

100 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. (IV-5) (IV-6) La perméabilité relative du pied µ foot est considérée dans le modèle comme homogène dans tout le volume occupé par le pied. Les résultats de simulations EF montrent souvent que certaines zones du pied sont plus saturées que d autres (ex : bout du pied proche de l entrefer, c.f. Figure V-5 et Figure V-6), dépendamment de l état de saturation de la machine. Les imprécisions liées à cette simplification seront corrigées par le mécanisme de compensation d erreur associé au modèle et décrit plus loin (c.f. section IV.4). Dans le modèle, µ foot est déterminée en fonction de l état de saturation du circuit magnétique, par un processus détaillé à la section IV.2.5. Expression de la réluctance du noyau R core : La réluctance modélisant le trajet du flux à vide à travers le noyau du stator R core est vue comme un tube de flux de longueur l core, de section S core et de perméabilité µ core. (IV-7) représente l expression analytique de R core employée dans le modèle : (IV-7) l core représente le chemin moyen du flux calculé au centre du noyau. S core est l expression de la section constante du noyau. µ core est considérée homogène dans tout le noyau : cette hypothèse se base sur de nombreuses observations (élément finis) faites sur la répartition de la densité dans le volume du noyau. µ core est déterminée dans le modèle en fonction de l état de saturation du circuit magnétique, par un processus détaillé à la section IV

101 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV Réluctances modélisant les trajets de flux de fuite : Selon les observations faites sur des résultats obtenus par simulations EF, des expressions modélisant les trajets de flux de fuite présentés à la section IV.2.2 on été déterminées. Les réluctances de fuite suivantes sont considérées dans le modèle : R leakr : réluctance modélisant le flux de fuite autour des aimants. R sided : réluctance modélisant le flux de fuite entre un concentrateur et un pied par la partie droite d un pied. R sidep : réluctance modélisant le flux de fuite entre un concentrateur et un pied par la partie penchée d un pied. R leaks : réluctance modélisant le flux de fuite entre les pieds du stator. Les expressions de chacune de ces réluctances ainsi que les hypothèses prises pour les établir sont décrites ci-dessous : Expression de la réluctance de fuite autour d un aimant R leakr : Tel qu expliqué à la section IV.2.2, des passages de flux de fuite ont été observés au dessus des aimants, de chaque côté d une phase du rotor ainsi que sous les aimants dans l entrefer. À partir de ces observations, nous avons défini la réluctance de fuite autour d un aimant R leakr comme la composition de 3 réluctances de fuite en parallèle : (IV-8), avec R lctop modélisant la fuite au dessus des aimants, R lcside, la fuite de chaque côté d une phase du rotor et R lcgap, la fuite dans l entrefer. (IV-9), (IV-10) et (IV-11) représentent les expressions employées dans le modèle pour les réluctances de fuite R lctop, R lcside et R lcgap : (IV-9) 80

102 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. (IV-10) (IV-11) l lctop, l lcside et l lcgap représentent respectivement les longueurs moyennes des tubes de flux des reluctances de fuites R lctop, R lcside et R lcgap. S lctop, S lcside et S lcgap en représentent les sections. Les Figure IV-6, Figure IV-7 et Figure IV-8 schématisent ces trajets de flux de fuite et permettent de comprendre les hypothèses posées pour déterminer les expressions (IV-9), (IV-10) et (IV-11). Les tubes de flux y sont représentés par les sections colorées en rouge. Figure IV-6: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R lctop. Figure IV-7: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R lcside. 81

103 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-8: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R lcgap. Expression des réluctances de fuite concentrateur - pied Rsided et Rsidep : Un passage de fuite a également été identifié entre les pieds du stator et les concentrateurs du rotor, de chaque côté des pieds (c.f. section IV.2.2). Le trajet de fuite situé entre la partie inclinée d un pied et un concentrateur est modélisé par la réluctance R sidep dont l expression dans le modèle est la suivante : (IV-12) (IV-13) (IV-14) 82

104 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-9: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R sidep. Le schéma de la Figure IV-9 présente le tube de flux (en rouge) considéré pour établir l expression de R sidep : le tube de flux représente une portion de cylindre dont le rayon est égal à la dimension circonférentielle de la surface inclinée du pied et dont la profondeur est égale à la profondeur du pied P pp, là où le pied s appuie sur le noyau. Le trajet de fuite situé entre la surface parallèle à la direction radiale d un pied et un concentrateur est modélisé par la réluctance R sided dont l expression dans le modèle est la suivante : (IV-15) Le schéma de la Figure IV-10 présente le tube de flux (en rouge) considéré pour établir l expression de R sided : le tube de flux représente un quart de cylindre dont le rayon est égal à la grande hauteur d un pied H gp (partie droite du pied) et dont la profondeur est égale à la profondeur du pied proche du noyau P pp. Figure IV-10: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R sided. 83

105 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Expression de la réluctance de fuite pied - pied R leaks : Le trajet du flux de fuite existant entre chaque bout de pied du stator (c.f. section IV.2.2) est modélisé par la réluctance R leaks. L expression de cette réluctance dans le modèle est : (IV-16) La Figure IV-11 indique le tube de flux considéré (en rouge) pour établir l expression de R leaks. Le tube de flux modélisé représente le volume occupé par la zone de chevauchement de deux pieds opposés. L observation des tracés de flux a également permis de constater qu une partie du flux de fuite entre deux pieds opposés avait lieu dans la zone située entre le bout d un pied (plan radial-circonférentiel) et la partie penchée du pied opposé (plan axial-radial). Cependant, les observations effectuées ont aussi permis de déduire que le flux de fuite dans cette zone était négligeable devant celui représenté par le tube de flux de la Figure IV-11. Les expressions des réluctances de fuite R leakr, R sided, R sidep et R leaks ont toutes été établies selon des hypothèses et simplifications faites à partir d observations de cartes d induction obtenues par simulation EF. Le chapitre précédent a insisté sur la difficulté de Figure IV-11: Schéma représentant le tube de flux modélisant la réluctance R sided. 84

106 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. modélisation des flux de fuite et les facteurs modifiant les trajets de flux dans l air (saturation, dimensions du circuit magnétique, ). Conscients des hypothèses simplificatrices adoptées ici et des éventuelles erreurs qui peuvent en résulter, une méthode permettant de compenser les erreurs du modèle en corrigeant les valeurs des réluctances de fuite est proposée dans une section ultérieure (c.f. section IV.4). IV Expression de la force magnétomotrice des aimants F mag : En posant l hypothèse que le champ magnétique associé à un aimant du rotor est unidirectionnel, une expression de la force magnétomotrice F mag d un aimant peut être formulée à partir de sa perméabilité relative µ mag, de son induction rémanente B r et de sa largeur L a. L expression de F mag employée dans le modèle est : (IV-17) Dans l expression (IV-17), la largeur moyenne de l aimant a été considérée, c'est-à-dire la largeur de l aimant calculée à la moitié de la hauteur de ce dernier, en supposant une forme d aimant tenant compte de la courbure du rotor. 85

107 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV Circuit de réluctance employé pour la détermination du flux à vide. À partir de l observation et l identification du passage de flux principal et des trajets de flux de fuite dans une paire de pôles de la MFTCPSH, le réseau de réluctances de la Figure IV-12 est proposé. En établissant ce réseau de réluctances, trois hypothèses simplificatrices ont été adoptées : dans le réseau établi, les réluctances modélisant les fuites concentrateur-pied R sided et R sidep sont connectées au nœud 1 (c.f. Figure IV-12). Bien qu une partie du flux de fuite concentrateur pied, lors de son passage d un aimant à un pied, passe également par une partie du concentrateur (c.f. Figure IV-9 et Figure IV-10), cette portion du trajet de flux de fuite a été négligée. En effet, la réluctance de cette Figure IV-12: Réseau de réluctances proposé pour la détermination du flux à vide. 86

108 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. portion du trajet de flux est très négligeable devant les réluctances R sided et R sidep. R sided et R sidep sont aussi connectées au nœud 2 (c.f. Figure IV-12). Avant d emprunter le passage de flux de fuite modélisé par R sided ou R sidep, le flux ne parcourt pas exactement le pied tel que modélisé par le tube de flux représenté par R foot. Cette supposition est tout de même adoptée pour simplifier le modèle. La réluctance modélisant la fuite entre deux pieds R leaks est connectée au nœud 2 (c.f. Figure IV-12). En fonctionnement à vide, avant d emprunter le passage de flux modélisé par R leaks, le flux des aimants passe par le pied du stator, en empruntant un trajet de flux relativement différent de celui modélisé par la réluctance R foot (c.f. Figure IV-11). Par contre, en fonctionnement en charge, avant d emprunter le passage de flux modélisé par R leaks, le flux de la machine traverse le pied du stator selon un trajet semblable à celui modélisé par R foot. Pour simplifier le modèle et pour sa future adaptation en fonctionnement en charge, l hypothèse est faite que le flux à vide emprunte un trajet assimilé à celui modélisé par R foot, avant d emprunter le passage de fuite. Tout comme pour la détermination des expressions des réluctances du modèle, les éventuelles erreurs résultant des hypothèses prises pour simplifier le réseau de réluctances seront compensées par le mécanisme de correction détaillé plus loin (c.f. section IV.4). IV.2.4 Détermination de l expression du flux à vide En effectuant l analogie électrique magnétique, il est possible d assimiler le réseau de réluctances à un circuit électrique. Il est alors possible d appliquer les lois de Kirchoff de façon à déterminer un système d équations liant les réluctances et les flux identifiés dans les sections précédentes. On obtient alors le système d équations (IV-18) : 87

109 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. (IV-18) Il est possible de résoudre le système d équations (IV-18) de façon à obtenir une expression analytique pour chacun des 7 flux modélisés dans le réseau de réluctances. Le logiciel de calcul symbolique Mathematica [WOLF] a été utilisé à cet effet. Les expressions du flux à vide core ainsi que des 6 autres flux du circuit mag, gap, leakr, leaks, leaksided et leaksidep sont données par les expressions (IV-19) à (IV-25). Les expressions algébriques qui résultent de la résolution d un tel système ne sont pas triviales. Cependant, elles peuvent être relativement facilement implantées dans un tableur ou un environnement de programmation. core=-(2 Fmag RleakR RleakS (Rgap Rsided+Rgap RsidepRsided Rsidep+Rconc (Rsided+Rsidep)+Rfoot (Rsided+Rsidep)))/(2 RleakR (2 (Rfoot+Rgap) RleakS Rsided Rs idep+rconc (2 RleakS Rsided Rsidep+Rcore (4 Rsided Rsidep+RleakS (Rsided+Rsidep)))+Rcore (RleakS Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakS (Rsided+Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rsidep+RleakS (Rsided+Rsidep)))) +Rmag (RleakS (RleakR Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rside p+rleakr (Rsided+Rsidep)))+Rconc (RleakS (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep))+2 Rcore (4 Rsided R sidep+rleakr (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided+Rsidep)))+2 Rcore (RleakR RleakS Rsided+RleakR RleakS Rsidep +RleakR Rsided Rsidep+RleakS Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided +Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided+Rsidep))))) (IV-19) mag=(fmag (RleakS (RleakR Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep))+Rgap (4 Rside d Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)))+Rconc (RleakS (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep))+2 Rcore (4 R sided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided+Rsidep)))+2 Rcore (RleakR RleakS Rsided+RleakR RleakS Rsidep+RleakR Rsided Rsidep+RleakS Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS ( Rsided+Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided+Rsidep)))))/(2 RleakR (2 (Rfoot+Rgap) RleakS Rsided Rsidep+Rconc (2 RleakS Rsided Rsidep+Rcore (4 Rsided Rsidep+RleakS (Rsided+R sidep)))+rcore (RleakS Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakS (Rsided+Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rside p+rleaks (Rsided+Rsidep))))+Rmag (RleakS (RleakR Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+ Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)))+Rconc (RleakS (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided +Rsidep))+2 Rcore (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided+Rsidep)))+2 Rcore (RleakR RleakS Rsided+RleakR RleakS Rsidep+RleakR Rsided Rsidep+RleakS Rsided Rsidep+Rfoot (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided+Rsidep))+Rgap (4 Rsided Rsidep+RleakR (Rsided+Rsidep)+RleakS (Rsided +Rsidep))))) (IV-20) 88

110 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. gap=(2 F mag R leakr (R leaks R sided R sidep+r core (2 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))))/(2 R leakr ( 2 (R foot+r gap) R leaks R sided R sidep+r conc (2 R leaks R sided R sidep+r core (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+ R sidep)))+r core (R leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R si dep+r leaks (R sided+r sidep))))+r mag (R leaks (R leakr R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided +R sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)))+r conc (R leaks (4 R sided R sidep+r leakr (R side d+r sidep))+2 R core (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep)))+2 R core (R leakr R leaks R sided+r leakr R leaks R sidep+r leakr R sided R sidep+r leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided +R sidep))))) (IV-21) leakr=(2 F mag (2 (R foot+r gap) R leaks R sided R sidep+r conc (2 R leaks R sided R sidep+r core (4 R sided R side p+r leaks (R sided+r sidep)))+r core (R leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))+ R gap (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep)))))/(2 R leakr (2 (R foot+r gap) R leaks R sided R sidep+r conc (2 R leaks R sided R sidep+r core (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep)))+r core (R leaks R sided R sidep+r foo t (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))))+r mag (R lea ks (R leakr R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)))+r conc (R leaks (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+2 R core (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep)))+2 R core (R leakr R leaks R sided+r leakr R leaks R sidep+r leakr R si ded R sidep+r leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep))+ R gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep))))) leaks=-(2 F mag R core R leakr (R gap R sided+r gap R sidep- R sided R sidep+r conc (R sided+r sidep)+r foot (R sided+r sidep)))/(2 R leakr (2 (R foot+r gap) R leaks R sided R s idep+r conc (2 R leaks R sided R sidep+r core (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep)))+r core (R leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep)))) +R mag (R leaks (R leakr R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R side p+r leakr (R sided+r sidep)))+r conc (R leaks (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+2 R core (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep)))+2 R core (R leakr R leaks R sided+r leakr R leaks R sidep +R leakr R sided R sidep+r leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided +R sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep))))) (IV-22) (IV-23) leaksided=(2 F mag R leakr ((R foot+r gap) R leaks+r conc (2 R core+r leaks)+r core (2 R foot+2 R gap+r leaks )) R sidep)/(2 R leakr (2 (R foot+r gap) R leaks R sided R sidep+r conc (2 R leaks R sided R sidep+r core (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep)))+r core (R leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep ))+R gap (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))))+r mag (R leaks (R leakr R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)))+r conc (R leaks (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+2 R core (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep )))+2 R core (R leakr R leaks R sided+r leakr R leaks R sidep+r leakr R sided R sidep+r leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r s idep)+r leaks (R sided+r sidep))))) (IV-24) leaksidep=(2 F mag R leakr ((R foot+r gap) R leaks+r conc (2 R core+r leaks)+r core (2 R foot+2 R gap+r leaks )) R sided)/(2 R leakr (2 (R foot+r gap) R leaks R sided R sidep+r conc (2 R leaks R sided R sidep+r core (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep)))+r core (R leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep ))+R gap (4 R sided R sidep+r leaks (R sided+r sidep))))+r mag (R leaks (R leakr R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)))+r conc (R leaks (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep))+2 R core (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep )))+2 R core (R leakr R leaks R sided+r leakr R leaks R sidep+r leakr R sided R sidep+r leaks R sided R sidep+r foot (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r sidep)+r leaks (R sided+r sidep))+r gap (4 R sided R sidep+r leakr (R sided+r s idep)+r leaks (R sided+r sidep))))) (IV-25) 89

111 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Les équations de flux (IV-19) à (IV-25), les expressions des réluctances modélisant le passage de flux principal (II-1) à (IV-7), les expressions des réluctances de fuites (IV-8) à (IV-16) et l expression de la force magnétomotrice (IV-17) ont été insérées dans une feuille du tableur Microsoft Excel. De cette manière, un outil a été créé pour donner une relation directe entre les dimensions géométriques d une MFTCPSH (Figure IV-1) et le flux à vide de la machine. IV.2.5 Prise en compte de la saturation dans le modèle La nécessité de tenir compte de la saturation dans un modèle analytique d une MFT a été soulevée au chapitre III. Cette section présente la méthode choisie pour la prise en compte de la saturation dans le modèle analytique proposé dans cette thèse. La méthode utilisée repose sur l emploi des caractéristiques B-H non-linéaires des matériaux saturables du circuit magnétique d une MFTCPSH : trois variables, représentant respectivement la perméabilité saturée d un concentrateur µ conc, d un pied µ foot et d un noyau µ core, sont introduites dans les expressions des réluctances susceptibles d être affectées par la saturation (R conc, R foot et R core ). On suppose ici, en première approximation, que seules les réluctances du circuit magnétique sont saturables : par soucis de simplification, il est supposé ici que les réluctances décrivant les passages de flux dans l air (fuites et entrefer) ne sont pas affectées par la saturation, bien que cette dernière modifie en réalité ces trajets de flux. La méthode de compensation des erreurs proposée plus loin va permettre de corriger les erreurs du modèle lié à cette simplification. Les valeurs des variables µ conc, µ foot et µ core sont déterminées à partir de la courbe B-H d un SMC de type ATOMET EM-1 pour le calcul de µ conc et µ foot et des courbes B-H d une tôle Fe-Si de grade M19, d épaisseur 0.35 mm ou d un matériau amorphe de type 2605SA1 pour celui de µ core. Les courbes B-H employées sont anhystérétiques. Les caractéristiques B-H considérées dans le modèle sont présentées à l annexe 1 de ce document et issues des références [QMP1] [PROTO] [METG]. Dans la méthode choisie, la perméabilité est calculée à partir du rapport de l induction B subie par le matériau considéré sur le champ magnétique H auquel ce dernier est soumis. On ne considère pas ici la perméabilité différentielle du matériau (db/dh). 90

112 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Les valeurs de perméabilités des variables µ conc, µ foot et µ core, introduites dans les expressions des réluctances R conc, R foot et R core ont une influence sur les valeurs de flux en sortie du modèle. Cependant, l induction dans les parties du circuit magnétique détermine l état de saturation des pièces de la machine ce qui doit affecter les valeurs de perméabilités imposées dans le modèle. Devant ce constat, l emploi d une méthode de résolution de problèmes non-linéaires s impose pour déterminer les valeurs de perméabilités (µ conc, µ foot et µ core ) introduites dans les réluctances R conc, R foot et R core. Ci-dessous suit la description du processus employé à cet effet. Transformation B(H) - (F) : Il est possible de déterminer la valeur du flux passant dans une réluctance en connaissant la caractéristique non-linéaire B(H) du matériau du tube de flux que cette réluctance représente. Par une transformation simple, on peut convertir la caractéristique B(H) d un matériau en une caractéristique donnant une relation entre le flux et la force magnétomotrice (F) aux bornes d une réluctance dont on connaît les caractéristiques (longueur et section du tube de flux modélisé). Afin d expliquer cette transformation B(H) - (F), considérons une réluctance R tube représentant un tube de flux de longueur l tube, de section constante S tube et de perméabilité relative µ tube, décrite par l expression (IV-26) : (IV-26) La caractéristique B tube (H tube ) du matériau de R tube est représentée par l expression (IV-27) : (IV-27), avec B tube l induction au centre de la réluctance R tube et H tube le champ magnétique associé. Par définition, la réluctance R tube est donnée par la relation suivante : (IV-28) 91

113 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH., avec tube le flux saturé traversant la réluctance et F tube le potentiel magnétique aux bornes du tube de flux. L expression (IV-28) montre bien que la caractéristique tube (F tube ) permet de déterminer le flux traversant une réluctance, en tenant compte de la caractéristique nonlinéaire d un matériau, à partir de la force magnétomotrice à ses bornes. Inversement, il est possible de déduire de cette relation la force magnétomotrice avec la connaissance préalable du flux traversant la réluctance. Emploi de la transformation B(H) - (F) dans le modèle : Dans le modèle, la transformation B(H) - (F) est employée pour déterminer le flux saturé / la force magnétomotrice à travers / aux bornes des réluctances R conc, R foot et R core. Les caractéristiques non-linéaires des matériaux constituant les concentrateurs, les pieds et les noyaux de la machine considérées ici sont présentées à l annexe 1 de ce document. Pour un design de MFTCPSH de dimensions connues, les 3 caractéristiques B(H) des concentrateurs, des pieds et des noyaux sont transformées en caractéristiques (F) en tenant compte des dimensions des réluctances R conc, R foot et R core à partir de l expression (IV-28). Par interpolation linéaire sur les caractéristiques (F) obtenues, les valeurs de flux / force magnétomotrice (ou chute de potentiel magnétique) à travers / aux bornes des réluctances R conc, R foot et R core peuvent alors être déduites par le processus itératif décrit plus bas. Détermination du flux à vide saturé dans le modèle : Le schéma présenté à la Figure IV-13 résume le processus itératif employé dans le modèle pour déterminer le flux à vide en tenant compte de la saturation. Les principales étapes sont également décrites ci-dessous : 1. Les caractéristiques B(H) des matériaux constituant les concentrateurs, les pieds et les noyaux sont transformées en caractéristiques (F) en tenant compte des dimensions des réluctances R conc, R foot et R core (équations (IV-2), (IV-4)-(IV-7)). On appelle les réluctances R conc, R foot et R core des réluctances non-linéaires car elles sont affectées par la saturation dans le modèle. 2. Lors de la première itération, en considérant des valeurs de perméabilités initiales des matériaux de R conc, R foot et R core (µ concinit = µ footinit = 340 (ATOMET EM-1 ) et 92

114 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. µ core = 8000 (tôle Fe-Si M19, 0.35mm) ou (amorphe 2605SA1), les équations (IV-19) à (IV-25) sont employées pour trouver les valeurs initiales des 7 flux du réseau de réluctances. 3. Les valeurs des forces magnétomotrices F conc, F core et F foot (ou chute de potentiel magnétique) aux bornes des réluctances R conc, R foot et R core sont alors déduites par interpolation linéaire avec les points des caractéristiques (F) déterminées à l étape 1 et avec les valeurs de flux core et gap (flux traversant les réluctances R conc, R foot et R core ) déterminées à l étape 2. Les réluctances linéaires du circuit (non affectées par la saturation) sont déterminées à partir des expressions (II-1), (IV-3) et (IV-8) à (IV-16). On appelle ici «réluctances linéaires», les réluctances dans l air ou des aimants qu on considère comme non affectées par la saturation. 4. Avec les valeurs de flux déterminées à l étape 2, les réluctances linéaires et non linéaires calculées à l étape 3, les équations de mailles et de nœuds du réseau de réluctances (système (IV-18)) sont appliquées. 5. La solution du système d équations (IV-18) est trouvée lorsque chaque équation de maille / nœud s annule. Dans ce cas, les valeurs de flux déterminées à l étape 2 Figure IV-13: Processus itératif de détermination du flux à vide en tenant compte de la saturation. 93

115 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. correspondent au flux saturés du réseau de réluctances et le processus se termine (étape 7). Dans le cas contraire, il est nécessaire de déterminer de nouvelles valeurs de flux annulant les équations de mailles et nœud du réseau de réluctances. 6. Un algorithme de résolution non-linéaire itératif (méthode Broyden [MUET] [BRIS]) est employé pour déterminer les flux annulant les équations de mailles et nœud du réseau de réluctances. Dans un processus itératif répétant les étapes 2 à 6, le solveur détermine les valeurs de flux à l étape 2 en cherchant à minimiser une fonction objectif représentée par la somme des résultats des 7 équations de mailles et de nœuds du système (IV-18) calculée à l étape Les valeurs de flux déterminées par le processus de résolution non-linéaire itératif de l étape 6 minimisent la somme des 7 équations de mailles et de nœuds du système (IV-18). Ces valeurs correspondent donc aux valeurs de flux saturés. À la fin du processus décrit à la Figure IV-13, la valeur du flux core obtenue correspond à la valeur du flux à vide de la machine, calculée en tenant compte de la saturation. Remarques sur l implémentation de la méthode de calcul du flux saturé dans Excel : Tel qu expliqué à la fin de la section IV.2.4, le modèle magnétique analytique proposé a été implémenté dans l environnement Microsoft Excel. Ce choix a été fait dans le but de créer un outil convivial et transportable, donnant des relations directes entre les dimensions géométriques d une MFTCPSH et le flux à vide de la machine. Le processus de prise en compte de la saturation a également été implémenté dans l environnement Excel. Un algorithme de résolution de systèmes d équations non-linéaire itératif (méthode Broyden [MUET] [BRIS]) a été implanté dans une sous-routine (macro) codée en langage Visual Basic, associée à la feuille du tableur contenant le modèle. L usage du solveur interne d Excel [FYLS] aurait également pu remplir cette tâche. Cependant, l emploi de ce dernier dans notre outil, est déjà réservé pour optimiser les paramètres de la MFTCPSH en vue de maximiser son flux à vide dans ce chapitre (c.f. section IV.6) ou, plus loin, sa densité de couple (c.f. chapitre V). Le choix d employer un algorithme de 94

116 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. résolution non-linéaire plutôt que le solveur d Excel pour cette tâche a été fait pour éviter de modifier la configuration du solveur pendant un processus d optimisation. Le fonctionnement intrinsèque d Excel empêche l exécution simultanée de son solveur et d une procédure codée en Visual Basic. En d autres termes, il nous est impossible d exécuter la procédure de calcul du flux saturé décrite à la Figure IV-13 lorsque le solveur d Excel est employé pour l optimisation. Cette limitation impose leur usage consécutif uniquement. La Figure IV-14 présente la structure de fonctionnement employée pour tenir compte de cette limitation : Tel que présenté à la Figure IV-14, la procédure et l algorithme de calcul du flux saturé sont employés pour déterminer des valeurs de perméabilités saturées (µ conc, µ foot et µ core ), réinjectées ensuite dans le modèle analytique, inséré dans une feuille du tableur Excel. Bien que la procédure décrite à la Figure IV-13 donne directement les valeurs de flux tenant compte de la saturation, sans nécessiter un calcul de valeurs de perméabilités, cette structure de fonctionnement permet de contourner la limitation décrite plus haut. L implémentation du modèle saturé dans l environnement d Excel présente des avantages indéniables : simplicité, portabilité, présentation et exploitation directe des résultats, rapidité de mise en œuvre. En faisant le choix de cet environnement pour créer un outil, nous faisons également le choix d adopter les limites du programme. Par exemple, l environnement d Excel ne permet pas l emploi du processus de calcul de flux saturés Figure IV-14: Fonctionnement de la procédure de calcul du flux saturé avec le modèle développé dans l environnement Excel. 95

117 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. dans une boucle d optimisation effectuée avec le solveur interne du programme. Une adaptation est nécessaire pour employer son solveur et la sous-routine de calcul des flux saturés. Les limites imposées par le choix de cet environnement de développement seront abordées plus en détail dans des sections subséquentes (voir IV.5 et V.2.5). IV.3 Évaluation de la précision du modèle développé Dans cette section, la précision du modèle analytique pour la détermination du flux à vide de la MFTCPSH est évaluée. L évaluation de la précision est faite en comparant les résultats obtenus avec le modèle analytique à ceux obtenus par simulations EF dans les mêmes conditions de fonctionnement. Considérant 4 machines de caractéristiques et dimensions géométriques différentes, les valeurs du flux à vide et des 6 autres flux du réseau de réluctances (Figure IV-12) calculées avec le modèle sont confrontées à celles déterminées par simulation. Une discussion sur la précision des résultats obtenus mettra en évidence la pertinence de corriger les erreurs du modèle. IV.3.1 Dimensions des machines considérées pour l évaluation de la précision du modèle Dans cette étude, 4 designs de MFTCPSH avec des dimensions relativement différentes sont considérées. Le Tableau IV-2 présente les principales grandeurs et caractéristiques des 4 machines. La Figure IV-15 montre une illustration d une paire de pôles de chacun des 4 designs considérés dans l étude. 96

118 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Tableau IV-2 : Dimensions principales des 4 designs de CTFMSH considérés dans l étude sur la précision du modèle analytique. Variable Design #1 Design #2 Design #3 Design #4 R a 500 mm 150 mm 230 mm 1000 mm e 0.75 mm 0.55 mm 0.90 mm 0.80 P r 80 mm 60 mm 40 mm 100 mm p A bob 2000 mm² 500 mm² 1000 mm² 5000 mm² k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn a) b) c) d) Figure IV-15 : Schéma représentant une paire de pôles des 4 machines considérés dans l étude sur la précision. a) Design #1, b) Design #2, c) Design #3, d) Design #4. 97

119 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Les dimensions des machines considérées dans cette section ne sont pas issues d un processus d optimisation et ne répondent pas à un cahier des charges spécifique. Leurs grandeurs ont été choisies plus ou moins arbitrairement : les facteurs de forme et principales dimensions des designs ont été sélectionnés de manière à pouvoir évaluer le degré de dépendance de la précision du modèle aux principales grandeurs de la machine. IV.3.2 Paramétrage des modèles éléments finis dans l étude considérée Les 4 machines de la Figure IV-15 ont été construites dans le logiciel de calcul EF Magnet 6 d Infolytica [INFO] en vue de leur expérimentation simulée. En imposant des conditions de symétrie adéquates, une paire de pôles de chaque machine seulement a été modélisée dans le logiciel. Pour chacun des 4 modèles créés, deux simulations ont été effectuées en utilisant le solveur magnétostatique 3-D du logiciel : Une simulation en considérant des caractéristiques linéaires des matériaux : une première simulation a été réalisée en imposant des perméabilités constantes pour les matériaux composant le circuit magnétique : perméabilité relative des noyaux statoriques µ core = 8000, perméabilités relatives des concentrateurs et des pieds µ conc = µ foot = 340. Ces dernières correspondent aux valeurs de perméabilités initiales des courbes B(H) de tôles Fe-Si M19 d épaisseur 0.35 mm et de l Atomet EM-1 fournies en annexe (c.f. Annexe 1). Une simulation en considérant des caractéristiques non-linéaires des matériaux : une deuxième simulation a été effectuée en considérant la saturation des matériaux magnétique des pièces du circuit. Les courbes B(H) de tôles Fe-Si M19 29 Gage et de l Atomet EM-1 fournies en annexe (c.f. Annexe 1) ont été paramétrées dans le logiciel. Les valeurs de µ core, µ conc et µ foot sont, dans ce cas, déterminées par le logiciel en fonction de l état de saturation dans les différentes parties du circuit magnétique modélisé. Pour les deux simulations, la perméabilité relative des aimants µ mag a été imposée à 1.1 et leur induction rémanente B r fixée à 1.2 T, valeurs communément admises pour des aimants Nd-Fe-B. 98

120 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Le logiciel de calcul EF Magnet 6 d Infolytica [INFO] ne permet pas d imposer un maillage particulier pour un modèle. Il permet par contre de définir la taille maximale d un élément dans une zone du maillage. Pour les 4 modèles éléments finis créés, une taille maximale d éléments dans les parties magnétiques du circuit, dans l entrefer et dans les zones d air parcourues par les flux de fuite a été imposée. Une attention spécifique a été portée à raffiner le maillage dans l entrefer et les régions où les flux de fuite ont été localisés (autour des aimants du rotor, entre les pieds et les concentrateurs et entre les pieds du stator, c.f. IV.2.2). Pour établir une densité de maillage à peu près semblable dans les parties magnétiques de chacun des 4 modèles créés, la taille maximale des éléments, imposée dans les régions identifiées plus haut, a été définie en fonction de la taille de l entrefer de chaque machine. La Figure IV-16 présente le maillage employé dans le cadre des simulations réalisées sur le design #2 : Afin d obtenir les valeurs des 7 flux dans les branches du réseau de réluctances proposé à partir des 4 modèles EF créés, l outil d intégration de champ (Field Integrator) de Magnet a été employé. Des surfaces d intégration ont été définies dans chaque modèle. Le résultat du calcul intégral de l induction sur ces surfaces spécifiques permet le calcul du flux. Figure IV-16: Maillage employé pour les simulations effectuées avec le design #2. 99

121 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La Figure IV-17 présente les surfaces d intégrations sélectionnées dans les modèles EF pour déterminer : magfea, la portion de flux traversant un aimant, gapfea, la portion de flux franchissant l entrefer, corefea, le flux à vide vu par le bobinage statorique et leaksfea, le flux de fuite entre deux pieds du stator. Le choix a été fait de ne pas définir de surfaces d intégration pour les calculs des flux de fuite leakrfea, leaksidepfea et leaksidedfea. Ce choix peut se justifier par la difficulté de définir des surfaces d intégration pour ces 3 flux et par les imprécisions qui pourraient en résulter. Par exemple, 3 surfaces d intégration sont nécessaires pour déterminer le flux de fuite des aimants du rotor tel qu identifié précédemment (flux de fuite au dessus des aimants, dans l entrefer, et de chaque côté d une phase du rotor c.f. IV.2.2). Des tentatives de définir ces 3 surfaces d intégration ont montré que l erreur résultant de l association des flux obtenus pour déterminer la valeur de leakrfea n est pas négligeable. De manière similaire, il est difficile de déterminer des surfaces Figure IV-17: Surfaces d intégrations définies dans les modèles éléments finis pour calculer les flux magfea, gapfea, leaksfea et corefea. 100

122 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. d intégration pour calculer leaksidepfea et leaksidedfea. Par exemple, leakrfea, leaksidepfea et leaksidedfea traversent des surfaces communes, comme la surface d un concentrateur qui ne fait pas face à un pied. En choisissant une telle surface d intégration pour calculer leaksidepfea ou leaksidedfea il devient impossible de discriminer leaksidepfea ou leaksidedfea de leakrfea. Aussi, pour contourner ce problème, les flux de fuite leakrfea, leaksidepfea et leaksidedfea des modèles EF sont calculés à partir des flux magfea, gapfea, leaksfea et corefea selon les équations du réseau de réluctances identifié précédemment (IV-18) : (IV-29) (IV-30), avec leaksidefea défini comme la somme des flux leaksidepfea et leaksidedfea. IV.3.3 Comparaison des résultats des modèles analytiques et éléments finis sans tenir compte de la saturation Le modèle analytique et les équations de flux (IV-19) à (IV-25) ont été employés pour déterminer les flux dans les branches du réseau de réluctances proposé, pour les 4 designs de machines considérés. Dans un premier temps, des valeurs de perméabilités constantes ont été considérées pour les matériaux magnétiques du modèle : µ core = 8000, perméabilités relatives des concentrateurs et des pieds µ conc = µ foot = 340. Parallèlement, les simulations EF, paramétrées tels que décrit au Tableau IV-2, ont permis de déterminer, par simulation, les flux correspondant à ceux calculés analytiquement. Pour les 4 modèles éléments finis considérés, des valeurs de perméabilités constantes et similaires à celles employées dans le modèle analytique ont été imposées pour les matériaux magnétiques. 101

123 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Le Tableau IV-3 présente les résultats obtenus pour les 4 designs de machines considérés. Dans le Tableau IV-3, mag, gap, leakr, leaks, leakside et core correspondent aux flux calculés analytiquement et magfea, gapfea, leakrfea, leaksfea, leaksidefea et corefea aux mêmes flux déterminés à partir des simulations EF. mag, gap, leakr, leaks, leakside et core correspondent aux écarts observés entre les résultats du modèle analytique et ceux obtenus par simulation. L expression (IV-31) présente le calcul de l écart core sur l estimation de core, en prenant comme référence corefea, la valeur déterminée avec la simulation EF. Les autres écarts, mag, gap, leakr, leaks, leakside, sont calculées de manière identique. (IV-31) Observations formulées à partir des résultats du Tableau IV-3 : Un premier aperçu des résultats du Tableau IV-3 permet d observer que des écarts relativement importants sont obtenus dans le cas de l estimation du flux de fuite entre les Tableau IV-3 : Écarts observés entre l estimation des flux avec le modèle analytique et les résultats de simulation EF (saturation non considérée). Flux / Écart Design #1 Design #2 Design #3 Design #4 mag Wb Wb Wb Wb magfea Wb Wb Wb Wb ε mag % % % 0.41 % leakr Wb Wb Wb Wb leakrfea Wb Wb Wb Wb ε leakr % % 5.46 % % gap Wb Wb Wb Wb gapfea Wb Wb Wb Wb ε gap % % % % leakside Wb Wb Wb Wb leaksidefea Wb Wb Wb Wb ε leakside % % % leaks Wb Wb Wb Wb leaksfea Wb Wb Wb Wb ε leaks % % % % Core Wb Wb Wb Wb CoreFEA Wb Wb Wb Wb ε core 9.58 % % % % 102

124 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. pieds du stator leaks et celle du flux de fuite entre les concentrateurs et les pieds leakside. En effet, on observe que le modèle analytique a tendance à sous-estimer la fuite leaks : les écarts leaks calculés pour les 4 designs varient entre -70 % et -90 % (sous-estimation du modèle analytique). Les écarts relevés sur l estimation de leakside sont encore plus importants : pour les 4 designs, leakside varie entre 23 % et 380 % (sur-estimation du modèle analytique). L estimation du flux de fuite des aimants leakr présente également des écarts ( leakr varie entre -12 % et 44 %) qui peuvent être importants comme dans le cas du design #1 (44 %). Ces premières observations montrent bien la difficulté de prédire analytiquement les flux de fuite de la MFTCPSH. Ces résultats démontrent également que les flux de fuite doivent être pris en compte dans la modélisation et modélisés de manière adéquate. En effet, les résultats du Tableau IV-3 sont éloquents : une proportion importante du flux créé par les aimants ne pénètre pas dans le noyau au stator. On peut aisément observer l importance des flux de fuite leakr et leakside en comparant leurs valeurs à celles du flux à vide core. Par conséquent, d un écart important sur l estimation par un modèle de ces flux de fuite, peut également résulter une grande imprécision sur l estimation du flux à vide. L écart core observé sur l estimation analytique du flux à vide core varie entre -16 % et 10 %. Ces observations amènent à la conclusion que la précision du modèle dépend pour beaucoup des dimensions géométriques du design considéré dans le modèle. Cette dépendance s explique en grande partie par les hypothèses simplificatrices adoptées pour modéliser les trajets de flux dans le circuit magnétique de la machine (c.f. section IV.2.3). Tel qu expliqué à la section III.3.1, ce problème de précision est le lot de la plupart des concepteurs de MFT. Par exemple, les résultats présentés par Dubois conduisent à des observations et conclusions similaires [DUB1]. 103

125 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV.3.4 Comparaison des résultats des modèles analytiques et éléments finis en tenant compte de la saturation En employant l approche décrite à la section IV.2.5 pour tenir compte de la saturation, le modèle analytique a été utilisé pour déterminer les flux dans les branches du réseau de réluctances, pour les 4 designs de machines considérés. En parallèle, ces mêmes flux ont été calculés par simulation EF, en tenant compte des caractéristiques non-linaires des matériaux magnétiques. Les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau IV-4. Le tableau présente également les valeurs de perméabilités employées dans le modèle analytique, déterminées par le processus décrit à la Figure IV-13. Observations formulées à partir des résultats du Tableau IV-4 : Tableau IV-4 : Écarts observés entre l estimation des flux avec le modèle analytique et les résultats de simulation EF (saturation considérée). Flux / Écart Design #1 Design #2 Design #3 Design #4 mag Wb Wb Wb Wb magfea Wb Wb Wb Wb ε mag % % 0.13 % % leakr Wb Wb Wb Wb leakrfea Wb Wb Wb Wb ε leakr % % 3.19 % 5.04 % gap Wb Wb Wb Wb gapfea Wb Wb Wb Wb ε gap % % % % leakside Wb Wb Wb Wb leaksidefea Wb Wb Wb Wb ε leakside % % % % leaks Wb Wb Wb Wb leaksfea Wb Wb Wb Wb ε leaks % % % % Core Wb Wb Wb Wb CoreFEA Wb Wb Wb Wb ε core % % 1.19% % Valeurs des perméabilités saturées employées dans le modèle analytique (déterminées par le processus décrit à la Figure IV-13) µ core µ foot µ conc

126 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Une première observation des résultats du Tableau IV-4 permet de constater que la saturation magnétique est responsable d une baisse du flux dans les parties magnétiques du circuit : pour les 4 designs, mag, gap et core sont plus faibles dans les modèles saturés que dans les modèles linéaires, observation également valable pour résultats des simulations EF. De même, il est possible de constater que le flux de fuite a globalement augmenté avec la prise en compte de la saturation. On constate en effet que les flux leakr, leakrfea et leaks, leaksfea calculés avec le modèles et simulations (analytiques et éléments finis) saturés sont plus élevés que ceux calculés avec les modèles et simulations linéaires. Une deuxième observation des résultats des essais saturés du Tableau IV-4 permet de noter des écarts importants sur l estimation des flux de fuite par rapport aux simulations EF, tel qu observé dans le cas des essais à perméabilités constantes. Pour les 4 designs, les écarts entre modèles et simulations varient comme suit : leakr varie entre -42 % et 24 %, leakside varie entre -57 % et 23 % et leaks varie entre -83 % et -5 %. En observant ces résultats, il est difficile d expliquer comment la saturation affecte l estimation des flux de fuite avec le modèle analytique. Cependant, la différence observée dans la variation des erreurs d estimation de ces flux, entre les résultats saturés et linéaires, montre clairement que la saturation influence la précision du modèle analytique. Par exemple, lorsque leakside est généralement sur-estimé par le modèle en linéaire, la même tendance ne s observe pas avec les résultats saturés. Enfin, une dernière observation nous permet de constater que l écart core sur l estimation du flux à vide core est globalement plus importante en saturé : en effet, pour les designs 1 à 4, core varie de 1 % à 74 %. La variation de l écart d un design à l autre rappelle également que la précision du modèle analytique semble dépendante des dimensions géométriques de la machine, tout comme en régime linéaire. En conclusion, la prise en compte de la saturation s avère donc pertinente dans la modélisation analytique d une telle machine. Cet aspect est relativement important notamment pour l emploi du modèle analytique pour l optimisation de la machine. Également, les observations effectuées montrent une détérioration de la précision de l estimation analytique du flux à vide core lorsque la saturation est considérée. Il est 105

127 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. relativement complexe d incriminer une hypothèse en particulier, parmi celles posées pour élaborer le modèle. Notre expérience nous amène tout de même à penser que la simplification voulant que la saturation n affecte pas le trajet emprunté par chacun des flux considérés dans le modèle (c.f. IV.2.1) n est pas valide. Des observations similaires sont reportées par les auteurs de [DUB1] [VIOR] [DIC2]. De plus, tout comme en linéaire, la précision du modèle saturé semble dépendante des dimensions géométriques de la machine. Hypothèses et simplifications sont nécessaires lors de l élaboration d un modèle. Elles doivent être établies en effectuant un compromis entre simplicité et précision du modèle. Les simplifications adoptées jusqu à maintenant (c.f. IV.2.1) ne semblent pas garantir une précision suffisante au modèle pour être employé, avec la modélisation développée jusqu ici, dans un processus d optimisation. Même si le modèle proposé est sensible à la saturation, sa précision demeure dépendante des dimensions géométriques de la machine. Les résultats présentés dans cette section témoignent, une fois encore, de la difficulté de modélisation des MFT souvent décrite dans la littérature (c.f. section III.3.1). Conscients qu il est possible que de nouvelles hypothèses puissent améliorer la précision du modèle, au détriment probable de sa simplicité, nous faisons le choix d explorer une nouvelle voie de modélisation des MFT en proposant une méthode de compensation des erreurs du modèle. Cette méthode, jusqu à présent inusité dans le cas des MFT, est décrite dans la section suivante. IV.4 Proposition d une méthode de compensation des erreurs du modèle analytique adaptée à l optimisation Dans cette section est proposée une méthode pour compenser les erreurs du modèle analytique développé. À l aide de facteurs de correction, calculés à partir des écarts relevés entre le modèle analytique et des résultats de simulations EF, et appliqués à certaines réluctances du modèle, il est montré comment l emploi de cette technique rend possible l utilisation du modèle analytique au sein d un processus d optimisation. Cette section présente également la méthode de détermination des valeurs des facteurs de correction du modèle, à l intérieur même d une boucle d optimisation. On explique également comment 106

128 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. quelques simulations EF seulement permettent l obtention d une solution optimale et validée en fin de processus. IV.4.1 Origines de la méthode de compensation d erreurs La méthode de compensation d erreurs appliquée au modèle proposé dans ce chapitre et présentée dans cette section trouve principalement son origine dans de récents travaux de recherche ayant eu cours au LEEPCI. Depuis plus de 30 ans déjà, le LEEPCI travaille dans le domaine de la conception de moteurs électriques. Tout au long de ces années, le laboratoire a su développer une grande expertise dans le domaine de la modélisation thermique, électrique et magnétique des machines tournantes. Au cours des dernières années, une partie des travaux du laboratoire a concerné le développement d une méthode de modélisation hybride, combinant des calculs analytiques à des simulations EF, adaptée à l optimisation des machines électriques. Cette approche de modélisation fait appel donc à une utilisation conjointe de modèles analytiques et éléments finis pour apporter une solution aux problèmes de précision des modèles analytiques dans un processus d optimisation. Bien que plus adapté à un problème d optimisation itératif (rapidité, versatilité, meilleure exploration de l ensemble des solutions) qu un modèle EF, le modèle analytique est la plupart du temps construit sur des simplifications desquelles peuvent résulter des erreurs. L exemple de la MFT et en particulier du modèle de MFTCPSH proposé dans cette section prouvent bien cet aspect. L emploi d un modèle analytique imprécis dans un processus d optimisation peut alors conduire à l obtention de faux-optimums et/ou de solutions entachées d erreurs qui ne respectent plus certaines contraintes du problème d optimisation [DUB1]. 107

129 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-18: Principe de fonctionnement général de la modélisation hybride employée au LEEPCI. L approche de modélisation hybride développée par le LEEPCI repose essentiellement sur le principe suivant décrit par le schéma de la Figure IV-18. Dans un processus d optimisation itératif, la recherche d une solution optimale (ex : maximisation de la densité de couple d une machine) est faite à partir d un modèle analytique, corrigé à l aide de facteurs de corrections calculés à partir d un modèle EF. Plusieurs publications du laboratoire décrivent l utilisation pratique de cette approche : Les auteurs de [CROS] relatent l emploi de cette méthode pour l optimisation d un alternateur de véhicule de type claw-pole Lundell. Dans le processus décrit, chaque solution optimale, obtenue à partir d un modèle analytique, est vérifiée par simulation EF. Des facteurs de corrections, calculés à partir des écarts entre les résultats du modèle analytique et de ceux de la simulation EF, sont insérés dans le modèle analytique avant de relancer une nouvelle optimisation. Trois coefficients de corrections sont employés pour corriger les erreurs issues de l estimation analytique des flux à vide, en charge et de l inductance statorique de l alternateur. Les auteurs de [CROS] montrent que 3 validations avec le calcul des champs (simulation EF 3D) sont suffisantes pour minimiser les erreurs du modèle analytique et valider la solution optimale trouvée. 108

130 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La méthode de modélisation hybride est également employée dans [FIGU] dans le but de déterminer les caractéristiques optimales d un moteur à aimants permanents pour une application de traction électrique. La méthode d optimisation employée est relativement similaire à celle développée dans [CROS]. Les auteurs de [AGUG] emploient une approche de modélisation hybride pour effectuer l optimisation globale des composants (alternateur, convertisseur de puissance, réducteur, système de protection et lois de commande) d une éolienne employant une machine à double alimentation. Dans le processus d optimisation décrit, des facteurs de corrections sont appliqués au modèle analytique électrique de l alternateur (réactances de fuite du stator et du rotor et réactance magnétisante). Chaque solution optimale déterminée avec le modèle analytique est validée par calcul des champs. Les valeurs des facteurs de correction du modèle sont alors déduites des simulations avant de relancer un processus d optimisation. Les auteurs de [AGUG] expliquent que moins de 10 validations par simulation EF 2D sont requises pour assurer la convergence de l optimisation avec l approche de modélisation hybride employée. La technique employée au LEEPCI et les travaux de recherches qui l utilisent [CROS], [FIG1] et [AGUG] ont largement inspiré la méthode de compensation d erreurs présentée dans les paragraphes suivants. Sur un principe de fonctionnement similaire, une technique de correction des erreurs du modèle analytique de la MFTCPSH a été imaginée pour rendre possible l emploi de ce dernier dans un processus d optimisation. IV.4.2 Description de la méthode de compensation d erreurs Le principe de la méthode de compensation d erreurs développée pour le modèle de la MFTCPSH repose sur des facteurs de correction appliqués à certaines réluctances du circuit de réluctances présenté à la Figure IV-12. Les valeurs de ces facteurs sont déterminées à partir des écarts observés entre les résultats du modèle analytique et ceux obtenus par simulation EF, au cours d un processus d optimisation. 109

131 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV Choix des réluctances corrigées Les sections IV.3.3 et IV.3.4 ont montré que les écarts les plus importants, entre les résultats du modèle analytique et ceux des simulations EF, sont observés sur l estimation des flux de fuite. Pour cette raison, des facteurs de correction ont été appliqués aux réluctances R leakr, R sided, R sidep et R leaks modélisant les trajets de fuite dans la machine. Le trajet de flux traversant les pieds et les concentrateurs de la machine est particulièrement difficile à prédire car il s effectue dans les 3 dimensions (c.f. section IV.2.2). Pour cette raison, un facteur de correction est également appliqué à la réluctance de l entrefer R gap de façon à corriger toute erreur de prédiction sur l estimation du flux gap, traversant l entrefer mais également les pieds et les concentrateurs. Pour résumer, 5 facteurs de correction k leakr, k sided, k sidep, k leaks et k gap sont attribués aux réluctances R leakr, R sided, R sidep, R leaks et R gap comme suit : (IV-32) (IV-33) (IV-34) (IV-35) (IV-36), où R leakr, R sided, R sidep, R leaks et R gap correspondent aux valeurs corrigés des réluctances R leakr, R sided, R sidep, R leaks et R gap. Le choix d appliquer des facteurs de corrections à ces 5 réluctances est arbitraire mais s avèrera, par la suite, un choix favorable. Il est possible que la sélection d une combinaison différente de réluctances à corriger donne également des résultats favorables. IV Processus de détermination des facteurs de correction Les valeurs des facteurs de correction k leakr, k sided, k sidep, k leaks et k gap sont déterminées à partir des écarts mag, gap, leakr, leaks, leakside et core observées entre les flux déterminés avec le modèle analytique et ceux obtenus par une simulation EF (saturation considérée). 110

132 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La méthode des moindres carrés est employée à cet effet : à partir des expressions des réluctances corrigées (IV-32) - (IV-36), de celles des autres réluctances et paramètres du circuit (II-1) - (IV-17) ainsi que des expressions des flux (IV-19)- (IV-25), un set de facteurs de correction est déterminé à l aide d un solveur dont l objectif est de minimiser la somme du carré des écarts mag, gap, leakr, leaks, leakside et core calculés. À chaque design de machine correspond un set de facteurs de correction particulier. Le modèle étant implanté dans l environnement Excel, le solveur du programme est employé dans le mécanisme de compensation d erreurs. L organigramme de la Figure IV-19 résume les étapes du processus de détermination des facteurs de correction, au sein du processus d optimisation d une MFTCPSH (ex : maximisation du flux à vide). Figure IV-19: Organigramme décrivant le principe de détermination des facteurs de correction du modèle au cours d un processus d optimisation. 111

133 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV Utilisation du mécanisme de compensation d erreurs dans un processus d optimisation Le mécanisme de compensation d erreurs du modèle a été conçu dans le but d être employé uniquement dans un processus d optimisation de la MFTCPSH. Étant donné que l aide du calcul des champs est requise, l usage du modèle et de la méthode de compensation d erreurs, pour prédire la valeur flux à vide d un design de MFTCPSH, n a pas d intérêt en dehors d un processus d optimisation. Cependant, ce mécanisme s avère être un outil puissant et précis lorsqu il est employé avec le modèle analytique dans une boucle d optimisation. L organigramme de la Figure IV-20 illustre la méthode générale proposée pour l optimisation de la MFTCPSH avec le modèle analytique développé et son processus de compensation d erreurs (en bleu). Les principales étapes sont décrites ci-dessous : 1) Avant le processus d optimisation, les facteurs de corrections sont initialisés à 1. Figure IV-20: Méthode générale d optimisation de la MFTCPSH basée sur l emploi du modèle analytique développé et du mécanisme de compensation d erreurs. 112

134 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. 2) Après sélection des variables et contraintes, le processus d optimisation débute. 3) Un algorithme d optimisation est employé pour déterminer les dimensions optimales d un design de machine maximisant, par exemple, son flux à vide. Le modèle analytique est employé dans la boucle d optimisation pour déterminer les performances magnétiques (i.e. flux à vide) de chaque design intermédiaire. 4) Dès qu une solution optimale intermédiaire est déterminée, une simulation EF est effectuée pour vérifier la validité de la solution. Les écarts entre les flux calculés avec le modèle analytique et ceux obtenus par calcul des champs sont déterminées. 5) Si des écarts sont observés, le mécanisme de compensation d erreurs est employé pour déterminer des facteurs de correction du modèle, minimisant ces écarts. Les étapes 3), 4) et 5) sont effectuées tant que la solution optimale n est pas validée, c'està-dire tant que les écarts observés entre les résultats du modèle analytique et ceux obtenus par simulation EF sont jugés significatifs. 6) Dès que les écarts entre le modèle et le calcul des champs sont jugés suffisamment faibles, le design issu de la dernière optimisation correspond au design final validé. Le modèle et son processus de compensation d erreurs sont employés plus loin (c.f. section IV.6) pour déterminer les dimensions optimales d une MFTCPSH maximisant le flux à vide de la machine, en suivant une méthode similaire à celle décrite à la Figure IV-20. Nous montrerons que la méthode développée est particulièrement efficace et rapide car de 4 à 6 validations avec le calcul des champs seulement sont requises pour obtenir un design optimal et validé. IV.4.3 Efficacité du mécanisme de compensation d erreurs Afin de prouver l efficacité du mécanisme de compensation des erreurs du modèle, l exemple des 4 designs de machines de la section IV.3 est repris. Le processus décrit à la Figure IV-19 a été appliqué de manière à déterminer des facteurs de corrections minimisant les écarts entre les flux estimé avec le modèle analytique et le calcul des champs, pour les 4 machines considérées et dans le cas des essais linéaires et saturés. 113

135 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Le Tableau IV-5 présente les valeurs des facteurs de corrections et les erreurs après compensation obtenues dans le cas de l essai considérant les perméabilités initiales des matériaux (c.f. section IV.3.3). Le Tableau IV-6 présente quant à lui les facteurs de corrections et les erreurs après compensation obtenues dans le cas de l essai considérant la saturation (c.f. section IV.3.4). Bien que la méthode de compensation d erreurs soit faite pour être employée dans un processus d optimisation, les résultats présentés dans les Tableau IV-5 et Tableau IV-6 et les designs considérés ne sont pas issus d un processus d optimisation. Il s agit simplement des facteurs de correction et erreurs résultantes de 4 designs aux dimensions arbitrairement choisies, calculés selon le procédé décrit à la Figure IV-19, à partir des résultats de la section IV.3. Ceux-ci sont uniquement présentés pour démontrer l efficacité du mécanisme de compensation d erreurs. Ces résultats pourraient cependant être considérés comme les facteurs de correction d une solution optimale intermédiaire (étapes 3), 4) et 5) sur l organigramme de la Figure IV-20), obtenus au cours d un processus d optimisation similaire à celui décrit dans le paragraphe précédent et sur l organigramme de la Figure IV-20. L observation des résultats des Tableau IV-5 et Tableau IV-6 permet de constater le bon fonctionnement du mécanisme de compensation d erreurs : après application des facteurs de correction, les écarts d estimation des flux sont réduits à des niveaux Tableau IV-5 : Coefficients de correction et erreurs résultantes après application du mécanisme de compensation d erreurs (saturation non considérée). Flux / Erreur Design #1 Design #2 Design #3 Design #4 k leakr k leaks k sided k lsidep k gap ε mag % % % % ε leakr % % % % ε gap % % % % ε leakside % % % % ε leaks % % % % ε core % % % % Note : les designs et résultats considérés pour calculer les coefficients et erreurs sont ceux obtenus à la section IV

136 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Tableau IV-6 : Coefficients de correction et erreurs résultantes après application du mécanisme de compensation d erreurs (saturation considérée). Flux / Erreur Design #1 Design #2 Design #3 Design #4 k leakr k leaks k sided k lsidep k gap ε mag % % % % ε leakr % % % % ε gap % % % % ε leakside % % % % ε leaks % % % % ε core % % % % Note : les designs et résultats considérés pour calculer les coefficients et erreurs sont ceux obtenus à la section IV.3.4 négligeables, pour les 4 designs considérés, dans le cas des essais linéaires (Tableau IV-5) comme saturés (Tableau IV-6). En effet, les différences observées entre les résultats du modèle analytique et ceux du modèle éléments finis sont toutes inférieures à 0,001 %. Les facteurs de corrections insérés dans le modèle analytique permettent donc de corriger totalement les erreurs commises sur l estimation des flux. L observation des valeurs des facteurs de corrections nous renseigne également sur l origine des erreurs commises avec le modèle analytique. Une valeur de facteur de correction inférieure à 1 indique une surestimation de la réluctance (i.e. du trajet de fuite) : pour les 4 designs, des valeurs de k leaks très inférieures à 1 indiquent une grande surestimation de la fuite entre les pieds dans le cas non-saturé (k leaks varie entre 0.08 et 0.32 dans le Tableau IV-5), et une surestimation un peu moins importante dans le cas saturé (k leaks varie entre 0.17 et 0.8 dans le Tableau IV-6). À l inverse, une valeur de facteur de correction supérieure à 1 indique une sous-estimation de la réluctance (i.e. du trajet de fuite) dans le modèle : des valeurs de k sided et k sidep supérieures à 1 indiquent une sousestimation de la fuite entre les pieds et les concentrateurs dans le cas non-saturé (k sided varie entre 1.02 et 1.71 et k sidep varie entre 1.31 et 6.40 dans le Tableau IV-5). Des observations similaires avaient déjà été formulées à la section IV

137 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La variation relativement importante des valeurs des facteurs de corrections d un design à l autre est une conséquence des différences entre les écarts d estimation des flux observés avant correction. Aucune tendance ne semble non plus sortir des valeurs des facteurs de correction d un design à l autre. Les différences observées entre les valeurs des facteurs de correction, obtenues pour un même design, pour le cas linéaire (Tableau IV-5) et le cas saturé (Tableau IV-6) semble montrer que la saturation modifie bien les trajets de flux de fuite. Par exemple, pour le design 2, on constate que le facteur de correction k leaks, appliqué à la réluctance R leaks, passe d une valeur de 0.11 dans le cas linéaire à 0.8 dans le cas saturé. Ce changement de valeur traduit en grande partie une modification du trajet de flux entre les pieds sous l effet de la saturation. Dans cette section, une méthode de compensation des erreurs qui va permettre l emploi du modèle analytique développé dans un processus d optimisation. Après en avoir expliqué l origine et détaillé le principe de fonctionnement, l efficacité du mécanisme de compensation des erreurs associé au modèle a également été prouvée par le biais de 4 exemples, en considérant des cas linéaires et saturés. Dans une section subséquente (c.f. section IV.6), le modèle et la méthode de compensation d erreurs sont appliquées pour maximiser le flux à vide de la MFTCPSH. Dans le dernier chapitre, cette même méthode et son modèle seront adaptés pour permettre la maximisation du couple de la machine. IV.5 Création d un outil de conception à partir du modèle et de la méthode de compensation d erreurs Tel qu expliqué dans les sections IV.2 et IV.4, le modèle et la méthode de compensation d erreurs ont été implémentés dans une feuille de calcul du tableur Excel. Des macros en langage Visual Basic ont également été développées pour réaliser des opérations plus complexes ne pouvant être faites directement dans le tableur (calcul du flux saturé c.f. section IV.2.5, détermination des facteurs de correction c.f. section IV.4.2.2). Comme la méthode de compensation d erreurs requiert l emploi du calcul des champs, des macros permettent également de commander, à partir du tableur Excel, la construction d un design, la simulation et le post-traitement des simulations EF réalisées avec ce logiciel Magnet 6 d Infolytica [INFO]. De plus, le solveur d Excel est employé pour optimiser 116

138 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. les paramètres de la MFTCPSH, directement dans le tableur, à partir du modèle analytique et de la méthode de compensation d erreurs, en suivant un processus similaire à celui développé à la section IV Un véritable environnement de conception a donc été réalisé avec le tableur Excel, le logiciel de calcul des champs Magnet et des macros en langage Visual Basic. L organigramme de la Figure IV-21 présente la hiérarchie de l environnement de conception et décrit les interactions entre les différents programmes et macros utilisés. Figure IV-21: Diagramme hiérarchique décrivant l environnement de conception créé avec Microsoft Excel, des macros Visual Basic et le logiciel de calcul des champs Magnet ainsi que les interactions entre les programmes. 117

139 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Le choix d Excel pour réaliser l outil de conception se justifie par les multiples avantages que le programme procure : Simplicité, rapidité de développement, portabilité de l outil. Relation directe entre les dimensions de la machine et les performances magnétiques du design (i.e. flux à vide). Possibilité de développer des macros en langage Visual Basic pour communiquer avec le logiciel de calcul des champs Magnet et réaliser des opérations plus complexes ne pouvant être faites dans le tableur directement (prise en compte de la saturation et détermination des facteurs de correction). La présence d un solveur simple et relativement puissant [FYST], pouvant être commandé à partir de macros VBA, employé pour l optimisation des paramètres de la machine et la détermination des facteurs de correction. L outil de conception réalisé dans l environnement Excel est employé pour déterminer les paramètres optimaux d une MFTCPSH maximisant le flux à vide de la machine. Un exemple d optimisation est traité dans la section suivante. Cependant, le choix de l environnement Excel comporte également des inconvénients à cause desquels l outil et la méthode ont dû être adaptés. La structure de fonctionnement même du programme Excel impose des limites. Tel qu évoqué à la section IV.2.5, le fonctionnement intrinsèque d Excel empêche l utilisation simultanée de son solveur et d une procédure codée en Visual Basic. Dans la structure de fonctionnement de l outil, le solveur d Excel est employé pour optimiser les paramètres de la machine. Ce dernier est utilisé pour maximiser le flux à vide, calculé avec le modèle analytique, tel que décrit sur l organigramme de la Figure IV-20. Or, la prise en compte de la saturation dans le modèle est assurée par une méthode de résolution non linéaire (c.f. IV.2.5), justement implémentée dans une procédure Visual Basic associée à la feuille de calcul contenant le modèle. Pour s adapter à la limitation imposée par le fonctionnement d Excel, l optimisation avec le solveur et la procédure de calcul du flux saturé doivent être exécutées consécutivement (c.f. Figure IV-14). 118

140 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Conséquence de cette limitation, la procédure de calcul du flux saturé n est pas directement incluse dans la boucle d optimisation bien qu elle aurait dû l être. L information sur l état de saturation du circuit magnétique de la machine est transmise via le calcul de perméabilités saturées (c.f. Figure IV-14) mais en dehors de la boucle d optimisation. Conscients des limites techniques imposées par Excel mais également de ses avantages cités plus haut, la structure de fonctionnement de la méthode d optimisation (Figure IV-20) et de l outil de conception ont été adaptés de façon à ce que l état de saturation de la machine affecte les solutions optimales obtenues avec le solveur d Excel. Le schéma de la Figure IV-22 présente la solution imaginée à cet effet : Figure IV-22: Modification apportée à la méthode d optimisation pour tenir compte de la saturation avec la limitation imposée par le programme Excel. 119

141 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La modification apportée à la méthode consiste à placer la procédure de calcul du flux saturé (étape 4 sur la Figure IV-22) après la boucle d optimisation effectuée avec le modèle analytique (étape 3 sur la Figure IV-22). Les valeurs de perméabilités saturées sont donc calculées après l optimisation. Une nouvelle itération d optimisation (étape 3 sur la Figure IV-22) permet ensuite de tenir compte de la saturation par l intermédiaire des valeurs de perméabilités calculées à l étape 4. Les étapes 3 et 4 du processus décrit à la Figure IV-22 sont répetées tant qu une variation dans la valeur des perméabilités calculées est observée (étape 6 sur la Figure IV-22). La modification n altère que peu la rapidité du processus car les étapes 4, 5 et 6 sont effectuées analytiquement. La modification n altère pas non plus la convergence de l optimisation : quelques dizaines d itérations avec la boucle d optimisation analytique sont généralement requises pour obtenir une solution optimale intermédiaire. Finalement, la modification ne semble pas non plus avoir d influence sur l optimalité des résultats obtenus comme le montrent des essais effectués à la section suivante. Si le choix du programme Excel pour l implémentation de la méthode présente des avantages indéniables, nos recommandations pour des travaux futurs seraient de considérer l adoption d un environnement de développement plus flexible (Matlab, programme en langage Visual Basic / C, ) Cette section s est attachée à décrire les détails techniques de l implémentation de la méthode pour crééer un outil de conception pour la MFTCPSH. Bien qu une thèse vise habituellement à décrire une méthodologie plutôt que l implémentation d une méthode, nous avons jugés nécessaire de nous attarder aussi à détailler la réalisation d un outil qui constitue également un livrable de ce travail. IV.6 Application de la méthode pour la maximisation du flux à vide d une MFTCPSH Dans cette section, un exemple d application de la méthode développée plus haut est présenté. Cette dernière est employée pour déterminer les paramètres optimaux d une MFTCPSH maximisant le flux à vide de la machine, en respectant des contraintes dimensionnelles imposées. À travers l exemple traité, l efficacité de la méthode est étudiée 120

142 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. en observant les résultats obtenus, en commentant la rapidité du processus et en questionnant l optimalité des solutions. IV.6.1 Principe de l optimisation présentée L optimisation présentée dans cette section vise à déterminer les valeurs optimales de certaines dimensions géométriques d une MFTCPSH qui maximisent le flux à vide de la machine, en respectant certaines contraintes dimensionnelles. L exemple proposé se base sur un design initial de machine, dont les dimensions principales sont renseignées dans le Tableau IV-7 et une illustration d une paire de pôles présentée à la Figure IV-23. Le design initial considéré n est pas issu d un processus d optimisation : ses dimensions principales ont été sélectionnées pour l exemple présenté ici et ont été choisies arbitrairement. Les dimensions à optimiser dans l exemple sont les 8 facteurs de forme qui caractérisent la machine (c.f. Tableau IV-1), k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, lesquels ont une influence relativement importante sur les performances magnétiques de la MFTCPSH. Pendant l optimisation, 5 grandeurs caractérisant la machine ne varient pas : le rayon des matériaux actifs de la machine R a, l entrefer e, la profondeur d une phase de la machine P r, la surface de bobinage A bob et le nombre de paires de pôles p. Le choix de conserver les variables R a et P r a été fait pour imposer les dimensions extérieures de la machine. Dans la littérature, plusieurs références s entendent pour dire qu il est nécessaire de réduire la taille de Figure IV-23 : Design initial considéré dans l exemple d optimisation proposé. 121

143 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Tableau IV-7 : Dimensions fixes et valeurs initiales des variables d optimisation considérées dans l exemple. Variable Dimension correspondante (variables fixes pendant l optimisation) Valeur R a Rayon des matériaux actifs 1000 mm e Entrefer de la machine 0.80 mm P r Profondeur d une phase du rotor 100 mm p Nombre paire de pôles 100 A bob Surface de bobinage (H b *P b ) 5000 mm² Variable Dimension correspondante (variables d optimisation) Valeurs init. k smag Largeur des aimants (L a ) / Hauteur des aimants (H a ) 0.70 k rot Largeur des aimants (L a ) / Largeur des concentrateurs (L c ) 0.40 k ap Grande hauteur d un pied (H gp ) / Hauteur des aimants (H a ) 0.60 k cp Largeur d un pied dans l entrefer (L pp ) / Largeur des concentrateurs (L c ) 1.10 k rp Profondeur du pied dans l entrefer (P gp ) / Profondeur d une phase du rotor(p r ) 0.60 k hb Petite hauteur du bout du pied (H bp ) / Grande hauteur d un pied (H gp ) 0.30 k hp Petite hauteur du pied proche du noyau (H pp ) / Grande hauteur d un pied (H gp ) 0.15 k pn Largeur du noyau (L n ) / Largeur d un pied dans l entrefer (L pp ) 1.50 l entrefer d une MFT à la valeur la plus faible possible (permise par les tolérances mécaniques et de production) pour maximiser le couplage magnétique [DUB1] [VIOR] [DIC2]. Pour cette raison, la taille de l entrefer e est donc ici imposée à une valeur faible pendant l optimisation. La surface de bobinage A bob est gardée constante pour empêcher le processus d optimisation de réduire sa surface à 0 : comme la densité de courant n a pas d influence sur le flux à vide, la procédure de dimensionnement de la machine et l optimisation tendent à minimiser la surface de bobinage pour augmenter la section du noyau statorique. La plupart des concepteurs de MFT s accorde sur le fait qu il est possible de maximiser le couple d une MFT en augmentant son nombre de paires de pôles [DUB1] [WEH1] [HENN] [VIOR] [BLI1] [LUND], grâce au relatif découplage existant entre les circuits électriques et magnétiques de la MFT (c.f. section II.2.2). Il existe cependant une valeur optimale du nombre de paires de pôles d une MFT qui maximise à la fois le flux total de la machine et minimise le flux de fuite. Il est donc pertinent de choisir le nombre de paires de pôles p comme variable d optimisation dans un processus visant à maximiser le couple produit par la machine. Si le choix du nombre de paires de pôles p comme variable d optimisation est pertinent pour la maximisation du couple de la machine, il ne semble pas 122

144 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. en être de même pour la maximisation du flux à vide de la machine. Des essais d optimisations nous ont permis de découvrir que l augmentation ou la diminution du nombre de paires de pôles p a relativement peu d influence sur le flux à vide total de la machine, lorsque le volume de la machine (le rayon des matériaux actif R a et la profondeur d une phase P r de la machine sont constants) et la fenêtre de bobinage A bob sont conservés constants. Par conséquent, le nombre de paires de pôles p est maintenu constant pour l exemple de maximisation du flux à vide traité dans cette section. p sera par contre considérée comme variable d optimisation lorsque la maximisation du couple de la machine sera spécifiquement abordée (c.f. chapitre V). En plus des variables d optimisation et constantes définies, des contraintes géométriques sont également appliqués à certaines grandeurs de la machine. Ces dernières sont employées de manière à ce que tous les designs intermédiaires considérées pendant l optimisation soient des machines physiques et concrètes. Par exemple, une contrainte est imposée sur la largeur du noyau L n afin que cette dernière ne soit pas plus importante que la limite physique imposée par la section de machine que représente une paire de pôles. L optimisation présentée dans cet exemple est réalisée à partir de l outil développé et décrit à la section IV.5. Le principe de l optimisation peut se résumer aux 6 étapes suivantes, décrites sur l organigramme de la Figure IV-24 : Étape 1 : Le processus d optimisation commence par la définition des variables d optimisation (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn ), des paramètres fixes (R a, e, P r, p, A bob ) et contraintes du problème. Étape 2 : Le modèle analytique de la MFTCPSH (c.f. IV.2.3 et IV.2.4) est employé dans une boucle d optimisation purement analytique de manière à déterminer les valeurs de variables d optimisation maximisant le flux à vide de la machine tout en respectant les contraintes définies. Le calcul des flux du circuit est fait en tenant compte de valeurs de perméabilités calculées à l étape 3 de l itération d optimisation précédente. Étape 3 : Des valeurs de perméabilités sont calculées selon la procédure décrite à la section IV.2.5. Ces dernières sont alors insérées dans le modèle analytique pour une nouvelle optimisation analytique (étape 2). Les étapes 2 et 3 sont répétées jusqu à ce que 123

145 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. les valeurs de perméabilités ne varient plus (c.f. IV.5) : le design obtenu constitue une solution optimale intermédiaire qui doit être validée par calcul des champs. Étape 4 : La solution optimale intermédiaire est validée par calcul des champs : les erreurs d estimation des flux avec le modèle analytique sont calculées. Lorsque la différence entre le flux à vide core estimé analytiquement et celui déterminé par calcul des champs est inférieure à 1 % ( core < 1 %), l optimisation est terminée (étape 6). Pour Figure IV-24 : Organigramme décrivant les principales étapes du processus d optimisation considéré dans l exemple proposé. 124

146 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. un écart supérieur à 1 %, il est nécessaire de corriger le modèle analytique (étape 5). Étape 5 : Dans le cas où core > 1 %, le mécanisme de compensation d erreur (c.f. IV.4) est appliqué. Les facteurs de correction k leakr, k sided, k sidep, k leaks et k gap sont estimés et appliqués aux réluctances R leakr, R sided, R sidep, R leaks et R gap. Les étapes 2, 3 et 4 et 5 sont alors répétées tant que core > 1 %. Étape 6 : L erreur d estimation analytique du flux à vide core est inférieure à 1 %. Le design optimal est alors considéré comme validé par calcul des champs et l optimisation s achève. 1 Avant de procéder à l optimisation, la sensibilité du modèle analytique saturé développé a été vérifiée. IV.6.2 Performances de la solution optimale obtenue À partir des contraintes dimensionnelles du Tableau IV-7 et en imposant les valeurs initiales des variables d optimisation présentées dans le même tableau, l optimisation du flux à vide est lancée. Le design optimal obtenu après maximisation du flux à vide est présenté à la Figure IV-25. Le Tableau IV-8 compare les variables d optimisation avant et après optimisation. Une simulation par éléments finis a permis de déterminer les performances du design initial, avant optimisation : la simulation indique un flux à vide par paire de pôles core de 638 µwb. Après application du processus d optimisation, le flux à vide par paire de pôles du design optimal atteint 1240 µwb. Le processus de maximisation du flux à vide proposé ici a permis d augmenter celui-ci du double de sa valeur initiale. 1 La bonne sensibilité du modèle est essentielle car ce dernier doit produire des gradients convenables pour garantir la convergence du processus d optimisation [CROS]. Pour ce faire, nous avons comparé l influence de la variation successive de chacun des paramètres optimisés (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn ) sur les valeurs de flux à vide calculées avec modèle et déterminées par simulation par éléments finis. L observation de gradients similaires entre les résultats du modèle analytique et ceux du calcul des champs nous a permis de conclure à la bonne sensibilité du modèle. 125

147 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-25 : Design initial (à gauche) et design obtenu après optimisation (à droite) Tableau IV-8 : Variables d optimisation et flux à vide avant et après optimisation. Variable d optim. Valeurs initiales Valeurs optimales k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn core 638 µwb 1240 µwb La Figure IV-26 présente les variations du flux à vide core estimé analytiquement et obtenu par calcul des champs pour chaque solution optimale intermédiaire, au cours du processus d optimisation. Les courbes présentées à la Figure IV-26 apportent une explication supplémentaire sur le principe de fonctionnement de la méthode d optimisation développée. Après l obtention de la solution optimale intermédiaire #1, la simulation EF effectuée pour valider la solution intermédiaire permet d observer un écart important entre le flux à vide estimé analytiquement et celui obtenu par calcul des champs : une erreur de près de 68 % est commise avec le modèle. Des facteurs de corrections sont alors calculés et appliqués au modèle avant de débuter une nouvelle étape d optimisation analytique. Après l obtention de la solution optimale intermédiaire #2, on constate que l écart sur l estimation du flux analytique a diminué à 13 %. De nouvelles valeurs de facteurs de correction sont alors 126

148 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. calculées et le processus d optimisation se poursuit jusqu à ce que l erreur d estimation, évaluée à chaque solution intermédiaire, soit inférieure à 1 % Cet objectif est atteint à la solution optimale intermédiaire #5, qui constitue donc la solution finale du problème d optimisation, selon le critère choisi ici. La Figure IV-27 présente la variation du carré des écarts entre l estimation analytique et EF des flux du modèle (ronds bleus) ainsi que la variation spécifique de l erreur d estimation analytique du flux à vide core pendant l exemple d optimisation traité. La valeur en pourcentage représente le ratio de la différence entre un flux estimé avec le modèle analytique et le même flux déterminé par calcul des champs sur le flux déterminé par calcul des champs (ex : ε core = ( core - corefea )/ corefea ). Ces courbes permettent d apprécier l efficacité du mécanisme de correction d erreurs pendant l optimisation : au bout de 5 itérations de validation avec le calcul des champs, l écart entre l estimation analytique et EF de core est passé de 68 % (solution intermédiaire #1) à 0,3 %. Finalement, l observation des Figure IV-26 et Figure IV-27 permet de constater que 5 validations avec le calcul des champs seulement ont été nécessaires à l obtention de la solution optimale finale. D autres essais d optimisation ont montré que la méthode développée requiert généralement de 4 à 6 validations avec le calcul des champs seulement. À partir de cette observation, on comprend aisément l avantage procuré par la méthode proposée dans ce chapitre : le processus d optimisation permet l obtention d un design optimal de MFTCPSH, validé par calcul des champs, avec un nombre de simulations par éléments finis relativement réduit. Dans le cas de l exemple d optimisation présenté, le temps total requis pour l obtention de la solution finale validée est d environ 80 minutes seulement. 127

149 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-26 : Variation du flux à vide saturé core calculé par le modèle analytique (ronds bleus) / déterminé par calcul des champs (carrés rouges) au cours de l optimisation. Figure IV-27 : Variation de la somme des écarts ou erreurs d estimation des flux au carré (ronds bleus) au cours de l optimisation. Variation de l erreur ou écart d estimation du flux à vide saturé core (carrés rouges). (10-2 = 1 % d erreur). 128

150 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La Figure IV-28 présente la variation des valeurs des 8 facteurs de forme optimisés (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn ) au cours du processus d optimisation. L observation de la Figure IV-28 permet de constater que les paramètres optimisés atteignent leurs valeurs finales relativement rapidement : les valeurs de k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp n évoluent plus après la 2 ème solution optimale intermédiaire alors que la variable k pn a atteint sa valeur finale à la 3 ème solution optimale intermédiaire. Cette observation permet de conclure qu un design optimal de MFTCPSH a déjà été obtenu à la 3 ème solution optimale intermédiaire. Les deux dernières itérations (solutions optimales intermédiaires #4 et #5) sont principalement requises pour réduire l écart entre l estimation analytique et EF du flux core en dessous du niveau défini comme critère d arrêt de l optimisation ( core < 1 %). Cette conclusion est corroborée par les résultats présentés sur les Figure IV-26 et Figure IV-27. De cette observation, on peut déduire qu un autre critère d arrêt pourrait être basé sur la variation des paramètres optimisés plutôt que sur les erreurs du modèle. Le choix d un tel critère permettrait de réduire davantage le nombre de simulations EF requis dans la méthode, comme ce sera le cas au chapitre suivant (c.f. section V.3.1). Figure IV-28 : Variation des paramètres optimisés (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn ) au cours de l exemple d optimisation traité. 129

151 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. La Figure IV-29 présente la variation des facteurs de correction, k gap, k leakr, k leaks, k sided, k sidep, au cours du problème d optimisation présenté. Initialisés à 1 au début du processus, ces derniers atteignent également rapidement leur valeur finale. On constate que les valeurs des facteurs de correction k sided et k sidep ne varient presque plus après la 2 ème solution optimale intermédiaire. Par contre, les facteurs k gap, k leakr et k leaks ont atteint leur valeur finale à la 5 ème solution optimale intermédiaire, même si leur variation est relativement faible après la 2 ème solution. IV.6.3 Durée du processus d optimisation dans l exemple considéré 5 itérations de calcul des champs ont été nécessaires pour compléter le processus d optimisation présenté dans cette section. L application de la méthode à d autres exemples a permis de constater que de 4 à 6 simulations EF sont généralement requises pour maximiser le flux à vide de la MFTCPSH. La durée totale du processus d optimisation dépend principalement du temps de calcul requis pour chaque simulation EF. Ce dernier est directement dépendant des paramètres du maillage définis pour la simulation, des dimensions du design simulé ainsi que de la puissance de calcul de l ordinateur employé. Figure IV-29 : Variation facteurs de correction (k gap, k leakr, k leaks, k sided, k sidep ) au cours de l exemple d optimisation traité. 130

152 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Dans l exemple présenté ici, un maillage sélectif a été appliqué aux modèles EF. Une taille de maille maximale a été imposée dans les parties magnétiques du circuit. De plus, une attention particulière a été portée à définir des zones de maillage plus fin, comme dans l entrefer ou dans certaines parties de la machine où l on retrouve des passages de flux de fuite. La procédure de maillage imposée pour les simulations employées dans l exemple est similaire à celle décrite à la section IV.3.2. Pour les 5 simulations EF de cet exemple, un maillage contenant autour de éléments a été employé. Le processus d optimisation a été effectué sur un ordinateur équipé d un processeur Athlon cadencé à 2.61 GHz et de 4 Go de mémoire vive (3 Go pris en compte dans le logiciel de calcul des champs Magnet ). Le temps moyen requis pour chaque simulation est de 15 minutes. La procédure de calcul analytique du flux saturé ainsi que l optimisation effectuée avec le solveur d Excel requiert environ 1 minute pour la détermination d une solution optimale intermédiaire. Le temps de calcul pour la détermination analytique des facteurs de correction est quant à lui négligeable. Le temps total requis pour l obtention de la solution finale validée est donc d environ 80 minutes, dans le cas de l exemple d optimisation présenté. En conclusion, la durée totale du processus d optimisation basée sur la méthode proposée dans cette section est relativement faible si on considère que la méthode permet l obtention d un design optimal et validé, à partir de quelques itérations avec le calcul des champs seulement. Par comparaison, une optimisation similaire, réalisée par variation paramétrique (c.f. section III.3.2.2) avec le calcul des champs aurait nécessité un temps beaucoup plus considérable. Pour les 8 facteurs de formes considérés comme variables optimisées, et en faisant varier chacune de ces variables entre 5 valeurs différentes, 5 8 ( ) simulations EF auraient été requises, représentant un temps de calcul supérieur à 11 années, pour une telle optimisation par variation paramétrique. Dans le cas hypothétique où le temps de simulation EF eut pu être réduit à 1 seconde, une telle optimisation aurait tout de même requis plus de 4 jours de calcul consécutifs. Par expérience, une optimisation similaire réalisée avec un algorithme d optimisation et une modélisation EF (c.f. section III.3.2.2) aurait très certainement nécessité plus de 6 simulations EF pour parvenir à un design optimal. 131

153 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. IV.6.4 Optimalité des solutions obtenues par la méthode proposée Dans ce paragraphe, le caractère optimal des solutions obtenues par la méthode proposée est questionné. En d autres termes, on vérifie la capacité du modèle et de la méthode d optimisation à éviter la convergence vers des optimums locaux dans l espace des solutions. La démonstration mathématique de cet aspect paraissant relativement difficile à établir, une approche plus pratique est proposée afin de vérifier l optimalité des solutions obtenues. La démarche proposée consiste à vérifier les solutions optimales obtenues avec la méthode en effectuant plusieurs optimisations successives qui partagent des contraintes identiques, mais en considérant des designs initiaux de machines différents. En procédant de cette manière, les optimisations considérées opèrent des recherches dans des espaces de solutions différents (points de départs des problèmes d optimisation différents). Elles sont donc potentiellement soumises à des optimums locaux différents, ce qui nous permet alors d éprouver la convergence du modèle et de la méthode vers un optimum global commun aux problèmes d optimisations. En suivant ce principe, le processus de maximisation du flux à vide a été successivement appliqué à 8 designs initiaux de MFTCPSH de formes différentes (8 problèmes d optimisation considérés). Les 8 machines partagent des dimensions communes. Les paramètres d entrée (variables fixes : R a, e, P r, A bob et p) des 8 problèmes d optimisation sont identiques pour les 8 designs initiaux : on définit R a = 1000 mm, e = 0.80 mm, P r = 100 mm, A bob = 5000 mm² et p = 100 pour chaque machine. Les 8 designs initiaux se distinguent par les valeurs des facteurs de formes les caractérisant : un set de valeurs de k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp différent est considéré pour chaque machine. La Figure IV-30 présente une illustration de chacun de ces designs initiaux. Le Tableau IV-9 présente quant à lui les valeurs des facteurs de formes k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp choisies pour chacun des 8 designs initiaux. Un aperçu sur les illustrations de la Figure IV-30 et les valeurs du Tableau IV-9 permet de constater la diversité de formes des 8 designs initiaux considérés. Les facteurs de forme des machines ont été choisis ainsi de 132

154 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-30 : 8 designs initiaux considérés dans l étude de l optimalité des solutions obtenues avec la méthode développée. Tableau IV-9 : Variables d optimisation des 8 designs initiaux considérés. Design 1 Design 2 Design 3 Design 4 Design 5 Design 6 Design 7 Design 8 k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn Variables fixes : R a = 1000 mm, e = 0.80 mm, P r = 100 mm, A bob = 5000 mm² et p = 100 manière à ce que l ensemble des 8 problèmes d optimisation couvre un espace de recherche de solutions optimales relativement vaste. La Figure IV-31 permet de comparer graphiquement les valeurs des facteurs de formes choisis pour chacun des 8 designs. La méthode d optimisation développée (c.f. organigramme de la Figure IV-24) a été appliquée pour déterminer les valeurs optimales des paramètres k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp maximisant le flux à vide dans chacun des 8 problèmes d optimisation considérés. 133

155 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Figure IV-31 : Valeurs des variables d optimisation k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp pour chacun des 8 designs initiaux. La Figure IV-32 et le Tableau IV-10 présentent les valeurs des variables d optimisation obtenues pour chaque design, après la première itération analytique de maximisation du flux à vide saturé (solution optimale intermédiaire #1 obtenue à la fin de l étape 3 du processus décrit à la Figure IV-24). Pour chacun des 8 problèmes d optimisation considérés, les valeurs optimales de k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp sont déjà sensiblement identiques dès l obtention de la 1 ère solution optimale intermédiaire. Les résultats du Tableau IV-10 montrent de faibles différences entre les valeurs des paramètres optimisées d un design à l autre : par exemple, une valeur optimale de k smag égale à 0.11 a été trouvée dans le cas du design 1, quand l optimisation de k smag a convergé vers 0.10 dans le cas du design 8. Les différences observées sont toutefois minimes si bien qu il est possible de conclure de ces observations que les 8 problèmes d optimisation ont convergé vers un optimum identique. Étant donné qu un même optimum a été atteint dès la première solution optimale intermédiaire, il est raisonnable de supposer que les solutions finales obtenues pour chacun des 8 problèmes considérés, après déroulement de toutes les étapes du processus décrit à la Figure IV-24, seront également identiques. 134

156 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. Tableau IV-10 : Variables optimisées des 8 designs (solutions optim. intermédiaires #1). Design 1 Design 2 Design 3 Design 4 Design 5 Design 6 Design 7 Design 8 k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn Variables fixes : R a = 1000 mm, e = 0.80 mm, P r = 100 mm, A bob = 5000 mm² et p = 100 Figure IV-32 : Valeurs des variables d optimisation k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, pour chacun des 8 problèmes d optimisation considérés (solution optimale intermédiaire #1). La prodécure expérimentale appliquée ici ne constitue pas une preuve mathématique de l optimalité des solutions obtenues avec le modèle et la méthode d optimisation proposés dans ce chapitre. Cependant, elle renforce, à juste titre, la crédibilité des résultats obtenus par l approche d optimisation développée pour la MFTCPSH. Dans cette section, un exemple d utilisation du modèle et d application de la méthode d optimisation pour maximiser le flux à vide d une MFTCTPSH a été présentée. L exemple traité a permis de montrer que quelques itérations avec le calcul des champs permettent 135

157 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. l obtention d un design de machine optimal validé. L emploi du modèle analytique développé et du mécanisme de compensation d erreurs ont en effet permis, après 5 étapes de validation avec le calcul des champs seulement, l obtention d un design optimal dont le flux à vide a été doublé par rapport au design initial. En considérant l exemple traité, une durée totale d optimisation de 80 minutes a été nécessaire pour l obtention de la solution optimale. La présentation de la variation des variables optimisées et des facteurs de correction au cours d un exemple d optimisation, a permis d apporter des éclaircissements concrets complémentaires quand au fonctionnement de la méthode développée. Enfin, une procédure expérimentale a permis de vérifier l optimalité des résultats obtenus avec la méthode développée. IV.7 Conclusion Dans ce chapitre, un modèle magnétique et une méthode pour l optimisation de la MFTCPSH ont été proposés. Une approche de modélisation hybride est employée : elle est basée sur un modèle analytique dont les erreurs sont compensées par simulation EF. Le mécanisme de compensation d erreurs présenté permet d améliorer grandement la précision du modèle analytique, rendant l emploi de ce dernier possible dans un processus d optimisation. À partir de l approche de modélisation hybride présentée, nous proposons une nouvelle méthode d optimisation pour la MFTCPSH, appliquée à la maximisation du flux à vide de la machine. Le modèle analytique proposé à la section IV.2.3 permet l estimation du flux à vide de la machine, en tenant compte de la saturation des matériaux magnétiques. Un réseau de réluctances modélisant les passages de flux à vide dans une paire de pôles de la MFTCPSH a été développé : le réseau proposé tient compte du passage de flux dans les parties magnétiques de la machine ainsi que de 3 passages de fuites (fuite autour des aimants, fuite concentrateurs pieds et fuite pied pied) identifiés. À partir du réseau de réluctances proposé, des équations ont été déduites pour permettre le calcul du flux à vide de la MFTCPSH ainsi que des autres flux du réseau. L évaluation de la précision du modèle analytique (IV.3) en conditions linéaires (perméabilités constantes) et saturées (perméabilités non-linéaires) a permis de mettre en évidence la dépendance de la précision 136

158 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. du modèle aux dimensions du circuit magnétique. Des essais en saturé ont également montré que la saturation affecte les passages de flux de fuite dans la machine au risque de détériorer davantage la précision du modèle développé. Les essais de la section IV.3 ont finalement permis de pointer une fois de plus les problèmes liés à la modélisation des MFT, en soulignant la difficulté de l élaboration d un modèle magnétique pour la MFTCPSH. Une solution potentielle aux problèmes de précision des modèles analytiques de MFT dans un processus de conception est proposée dans ce chapitre. Un mécanisme de compensation des erreurs, appliqué au modèle magnétique de la MFTCPSH et spécifiquement adapté à l optimisation, est introduit à la section IV.4. Nous montrons expérimentalement qu il est possible de corriger presque totalement les erreurs du modèle développé à l aide de facteurs de corrections appliqués à certaines réluctances du modèle. Ces facteurs de corrections sont évalués par calcul des champs, et itérés au cours du processus de conception de la machine. Une nouvelle méthode d optimisation pour la MFTCPSH, basé sur le modèle analytique développé et le mécanisme de compensation d erreurs, est finalement proposée. Des détails sur l implémentation logicielle de la méthode d optimisation sont fournis à la section IV.5. La méthode d optimisation proposée est appliquée à la maximisation du flux à vide de la MFTCPSH et un exemple d application est proposé à la section IV.6. Dans l exemple traité, le processus d optimisation mis en place a permis l obtention d un design de MFTCPSH dont le flux à vide optimal est presque doublé par rapport au design initial avant optimisation. L observation de la variation des paramètres optimisés et des facteurs de correction pendant l optimisation ont permis d apporter un complément d informations concrètes sur le déroulement de la méthode proposée. À travers l exemple traité, il a été montré que 5 étapes de validation avec le calcul des champs (compensation des erreurs du modèle analytique) seulement ont été requises pour obtenir un design de machine optimal et validé. Le temps d exécution du processus d optimisation proposé dépend principalement des paramètres de configuration des simulations requises pour la compensation d erreurs et du nombre de validations nécessaires. Dans l exemple traité, une durée totale de 80 minutes a été nécessaire pour l obtention de la solution optimale. Finalement, la question de l optimalité des solutions obtenues par la méthode proposée a 137

159 IV. Proposition d un modèle et d une méthode pour l optimisation du flux à vide de la MFTCPSH. été abordée. Nous avons testé expérimentalement avec succès la capacité du modèle et de la méthode à éviter la convergence vers des optimums locaux. La ligne directrice suivie tout au long du chapitre IV a principalement visé l objectif de présenter une nouvelle approche de modélisation et de conception pour la MFTCPSH, adaptable, de manière plus générale, aux MFTs. Au cours de ce chapitre, nous nous sommes restreints au cas du fonctionnement à vide de la machine uniquement. Maximiser le flux à vide de la machine peut permettre d accroître son facteur de puissance. De plus, le flux à vide d une MFT contribue en grande partie à la production de couple de la machine. La maximisation du flux à vide de la MFTCPSH peut donc permettre d accroître le couple de la machine. Cependant, l optimisation du couple produit par la machine doit également tenir compte du flux de réaction d induit. Pour cette raison, le prochain chapitre est entièrement dédié à l adaptation du modèle et de la méthode développés en vue d optimiser le couple massique d une MFTCPSH. 138

160 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V DÉVELOPPEMENT D UNE MÉTHODE ET D UN MODÈLE POUR LA MAXIMISATION DU COUPLE D UNE MFTCPSH V.1 Introduction Sur la base de l approche de modélisation et de conception présentée dans la partie précédente, un modèle et une méthode ont été développés pour permettre d optimiser les performances de couple d une MFTCPSH. L objectif de ce chapitre est, d une part de décrire le fonctionnement du modèle et de la méthode proposés et, d autre part, d en démontrer l efficacité et les limites en abordant plusieurs exemples d optimisations visant à maximiser le couple massique de la MFTCPSH. En premier lieu, ce chapitre revient sur le modèle analytique proposé pour la détermination du couple moyen d une MFTCPSH. Dans le modèle présenté, l évaluation analytique du couple moyen est effectuée à l aide d une méthode basée sur le diagramme flux-fmm de la machine (c.f. section III.3.1.1). Le modèle analytique présenté au chapitre précédent pour obtenir le flux à vide dans un circuit magnétique saturable, a été adapté afin de permettre la prise en compte de la réaction d induit et du déplacement du rotor. Ceci rend possible le calcul de l énergie électromécanique convertie sur un cycle de fonctionnement et par conséquent du couple moyen de la machine. Les hypothèses posées pour l adaptation du modèle sont également décrites dans le présent chapitre. Le modèle analytique proposé permet aussi la prise en compte des pertes Joule et ferromagnétiques d une MFTCPSH, tel que décrit dans cette partie. Ces dernières sont utilisées pour déterminer le rendement de la machine qui est, à son tour, employé comme contrainte d optimisation lors de la maximisation du couple. En second lieu, ce chapitre propose une méthode permettant la maximisation du couple d une MFTCPSH. Il est expliqué comment le mécanisme de compensation d erreurs, 139

161 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH présenté au chapitre précédent, peut être adapté avec succès afin de corriger le modèle analytique employé pour la prédiction du couple moyen de la machine. Une description de l implémentation du modèle et de la méthode dans l environnement Microsoft Excel est également abordée. Pour finir, trois exemples d optimisation sont traités afin de démontrer l efficacité et les limites de la méthode proposée dans ce travail de thèse. Le premier exemple abordé consiste en une comparaison de la densité massique de couple d un design optimal, obtenu à partir de la méthode développée, à celle d une machine issue de la littérature. La comparaison est effectuée en considérant un cahier des charges commun aux deux designs, dans le contexte d une application moteur-roue. Un deuxième exemple présente l effet de la réduction du pas polaire d une MFTCPSH sur les performances de couple de la machine, à partir de plusieurs résultats d optimisation. Le dernier exemple permet également d aborder et de commenter les limites du modèle et de la méthode proposés, quant à la saturation et à l emploi de pas polaires relativement petits. Enfin, un dernier exemple présente l emploi de la méthode d optimisation en proposant une comparaison des performances (densité de couple, pertes Joules et ferromagnétiques) de trois designs de MFTCPSH utilisant des matériaux différents au stator (SMC, tôles Fe-Si et amorphe) et dont la densité massique de couple a été optimisée. À travers ces trois exemples, on cherche également à évaluer le potentiel d une MFTCPSH ainsi que les avantages à l emploi de tôles ou de matériaux amorphes au stator de la machine, dans le contexte d une application de traction de type moteur-roue. V.2 Adaptation du modèle analytique flux à vide saturable pour la détermination du couple moyen d une MFTCPSH Le modèle analytique employé pour l estimation du flux à vide saturable présenté dans le chapitre précédent (c.f. section IV.2) a été adapté afin de permettre le calcul du couple moyen d une MFTCPSH. Cette section présente la méthode d estimation analytique du couple choisie, ainsi que les hypothèses posées pour l élaboration du modèle analytique qui servira, plus loin, à l optimisation du couple de la machine. 140

162 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.2.1 Estimation analytique du couple moyen d une MFTCPSH par la méthode du diagramme flux FMM Plusieurs expressions analytiques du couple moyen d une MFT ont été présentées au chapitre III (c.f. section III.3.1.1). Parmi les formulations décrites, l expression (III-4), basée sur la méthode du diagramme Flux FMM [STAT], permet une estimation du couple moyen de la machine, en tenant compte de la saturation des matériaux magnétiques et de sa saillance. De plus, cette méthode n impose pas de restriction sur la forme de la FMM statorique comme c est souvent le cas pour d autres formulations analytiques (e.g. hypothèses de variation sinusoïdales du flux à vide). Tel qu expliqué au chapitre III, la prise en compte de la saturation et de la saillance est nécessaire pour une estimation analytique précise du couple moyen de la MFTCPSH. Plusieurs références témoignent de la bonne fidélité des estimations de couple obtenues par la méthode du diagramme Flux FMM et l expression (III-4) [KAI1] [DIC1]. Pour cette raison, l estimation analytique du couple moyen de la MFTCPSH, dans le modèle proposé dans ce travail de thèse, est basée sur une telle méthode. V Diagramme Flux FMM et couple délivré par une MFTCPSH Les courbes présentées à la Figure V-1 montrent les diagrammes Flux-FMM de 2 MFTCPSH, de caractéristiques et dimensions différentes. Ces derniers ont été déterminés à Figure V-1 : Diagrammes Flux FMM de deux MFTCPSH 141

163 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH partir des simulations EF : en imposant une FMM de variation temporelle sinusoïdale, la valeur du flux par paires de pôles, capté par le bobinage de chaque machine, a été recueillie pour différentes positions du rotor sur une période de fonctionnement électrique. L aire délimitée par chaque courbe (surfaces bleue et rouge sur la Figure V-1) représente la variation de coénergie mais également une image du couple délivré par le moteur [STAT]. On peut déduire le couple instantané τ inst en considérant un déplacement infinitésimal du rotor à partir de la différence de coénergie entre deux points de fonctionnement proches l un de l autre, à courant constant [KAI2] : (V-1) La symétrie du circuit magnétique d une MFT permet d écrire l expression (V-1) du couple moyen de la machine, à partir de l intégrale du couple instantané τ sur une demi-période électrique de fonctionnement (π) : (V-2) À partir des expressions (V-1)-(V-2), on peut déduire une relation analytique permettant de calculer le couple moyen d une MFTCPSH à partir d incréments de coénergie W convn (par paire de pôles), déterminés à partir d un diagramme Flux FMM sur une demi-période électrique : 2 (V-3) Un incrément d énergie W convn est assimilable à l énergie W conv convertie lors d un déplacement infinitésimal du rotor. En réécrivant (V-3) en considérant W conv comme 2 L égalité dans l expression (V-3) est vraie pour des incréments infiniment petits. En considérant des sauts discrets de pour le calcul du couple moyen, une interpolation sur le flux ou la FMM doit être faite. Cette interpolation mène à une certaine approximation sur le calcul du couple moyen, approximation dont on montrera la validité plus loin. 142

164 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH l énergie par paire de pôles totale convertie sur une demi-période électrique, on retrouve l expression (V-4) employée dans [DIC1] : (V-4) À partir du diagramme Flux-FMM et de l expression (V-4), il est possible de déterminer le couple moyen d une MFTCPSH. Dans le modèle développé dans ce travail de thèse, l estimation analytique du couple moyen est basée sur l expression (V-4). Une section ultérieure (c.f. sectionv.2.2.5) présente le modèle analytique développé pour élaborer analytiquement le diagramme Flux FMM d une MFTCPSH. 143

165 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Précision de l estimation du couple et nombre d incréments requis Le Tableau V-1 présente 2 exemples d estimations du couple moyen par l expression (V-4) pour deux MFTCPSH dont les diagrammes Flux - FMM sont montrés à la Figure V-2. Les résultats de la Figure V-2 ont été obtenus à partir de simulations EF. Le flux lié au bobinage de chaque machine a été déterminé par calcul des champs pour plusieurs positions du rotor variant de 0 à 180 électriques, en considérant une variation de FMM sinusoïdale. 30 positions du rotor (pas de 6 électriques) et une FMM d amplitude 2220 A ont été considérés pour l élaboration du diagramme Flux - FMM de la MFTCPSH #1. 50 positions du rotor (pas de 3.6 électriques) et une FMM d amplitude 1400 A ont été considérés pour Tableau V-1 : Estimations de couple méthode diagramme Flux FMM (expression (V-3)) MFTCPSH #1 MFTCPSH #2 Nombre de paires de pôles Nombre d incréments d énergie W convn considéré pour le calcul du couple Variation de coénergie calculée à partir du diagramme Flux-FMM (W conv1,w conv2 ) Couple moyen déterminé à partir de l expression (V-3) J J Nm Nm Figure V-2 : Diagrammes Flux FMM de deux MFTCPSH. W conv1, W conv2 : variations de coénergie des MFTCPSH #1 et MFTCPSH #2. (demi-période représentée) 144

166 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH construire celui de la MFTCPSH #2. La variation de coénergie sur un demi-cycle électrique de fonctionnement de la MFTCPSH #1 est représentée par l aire colorée en rouge sur la Figure V-2. Cette dernière est estimée à J à partir d un calcul basé sur la somme des incréments d énergie relevés entre les 30 positions du rotor (c.f. Tableau V-1). De manière similaire, les 50 positions simulées dans le cas de la MFTCPSH #2 permettent d estimer la variation de coénergie sur un demi-cycle électrique à J. À partir de l expression (V-4), on peut alors déterminer le couple moyen développé par les deux machines : il est respectivement estimé à Nm et Nm pour les deux MFTCPSH. Des résultats très semblables ont été obtenus pour chaque machine par une méthode d estimation différente (méthode du tenseur de Maxwell avec le logiciel EF Magnet VI d Infolytica [INFO]). La précision de l estimation du couple moyen par cette méthode dépend fortement du nombre d incréments d énergie considéré dans le calcul. En d autres termes, moins le nombre de positions du rotor ou points du diagramme Flux FMM est grand, plus l erreur sur l estimation est importante. La Figure V-3 présente les diagrammes Flux FMM de la MFTCSPSH #1, obtenus en considérant respectivement 30 (trait fin) et 5 (trait épais) positions du rotor. L observation des différences entre les aires délimitées par les 2 diagrammes indique les erreurs commises sur l estimation du couple dans le cas du diagramme construit à partir de 5 positions du rotor. En effet, on constate que le diagramme élaboré à partir de 5 points ne parvient pas à représenter complètement la forme délimitée par le diagramme contenant 30 points : certaines zones du diagramme de 30 points sont absentes dans le diagramme de 5 points et inversement. Ces différences se traduisent alors par un écart entre la valeur du couple moyen déterminée à partir des deux diagrammes : lorsque le couple moyen de la machine est estimé à Nm en considérant 30 incréments d énergie, le calcul sur 5 incréments donne un couple moyen plus faible, égal à Nm. 145

167 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-3 : Diagrammes Flux FMM d une MFTCPSH construit à partir de 30 (trait fin) et 5 positions du rotor (trait épais). L aire délimitée par deux points correspond à un incrément d énergie dans l expression (V-3). La Figure V-4 présente deux courbes montrant la variation de l erreur sur l estimation du couple moyen en fonction du nombre d incréments d énergie considérés dans l expression (V-4), pour les deux MFTCSPH dont les diagrammes Flux-FMM sont montrés à la Figure V-2. L observation de ces courbes permet bien de constater que la précision de l estimation est d autant meilleure que le nombre de positions du rotor ou d incréments d énergie considérés est important. La variation de ces deux courbes permet également de remarquer qu un nombre d incréments situé entre 8 et 10 permet déjà une estimation adéquate du couple moyen : dans ce cas et pour les deux machines, l erreur ne dépasse pas 5 %. Des essais en considérant d autres designs de MFTCPSH ont abouti à des observations similaires. Bien que la précision d une estimation du couple moyen soit meilleure lorsque le nombre d incréments d énergie est important, cette observation permet de conclure que 8 incréments offrent déjà une précision acceptable. La section suivante montre que cette observation permet d effectuer un compromis temps de calcul précision intéressant dans le modèle développé. 146

168 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-4 : Erreur sur l estimation du couple moyen à partir de l expression (V-3) en fonction du nombre d incréments d énergie pour deux MFTCPSH. Note : L erreur est calculée en % de l estimation la meilleure, c'est-à-dire celle obtenue respectivement pour 30 et 50 positions du rotor pour les MFTCPSH #1 et #2. V.2.2 Modification du modèle flux à vide pour la prédiction du couple moyen par la méthode du diagramme Flux - FMM Tel qu expliqué plus haut, la méthode du diagramme Flux FMM est celle employée dans le cadre de ce travail pour prédire analytiquement le couple moyen d une MFTCPSH, et, par la suite, optimiser ses performances. À partir de la description de la méthode faite à la section précédente, le lecteur comprend que l adoption de cette méthode impose le développement d un nouveau modèle analytique qui doit permettre : 1) de déterminer analytiquement le flux total lié au bobinage (flux à vide et réaction d induit) de la machine, pour plusieurs positions du rotor (de 0 à 180 électriques) et en considérant la variation de la FMM du bobinage, 2), ceci en tenant compte de la saturation des matériaux magnétiques de la machine et de ses passages de flux de fuite. 147

169 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Dans le cadre du développement du modèle analytique permettant la prédiction du flux à vide (c.f. chapitre IV), un travail d identification des trajets de flux dans le circuit magnétique de la machine a permis l élaboration d un réseau de réluctances (c.f. Figure IV-12). Afin d élaborer le modèle permettant la prédiction du couple moyen, un travail similaire a été réalisé pour déterminer l effet de la FMM du bobinage ainsi que celui du mouvement du rotor sur les trajets et quantités de flux dans le circuit magnétique d une MFTCPSH. V Variation des trajets et quantités de flux dans le circuit magnétique d une MFTCPSH en fonction de la position du rotor et de l amplitude de la FMM L effet de la réaction d induit, de la saturation et du mouvement du rotor sur les trajets et quantités de flux dans le circuit magnétique de la machine a été évalué à l aide de simulations EF. L analyse de tracés 3D d induction dans une paire de pôles de la machine, pour différentes positions de rotor et amplitudes de FMM imposées au stator, a permis de faire plusieurs observations décrites plus bas. En premier lieu, l analyse EF a permis d observer des passages de flux relativement semblables à ceux identifiés dans le cas de la machine à vide (c.f. section IV.2.2). D une manière générale, le flux circule dans les parties magnétiques de la machine en empruntant un trajet similaire à celui identifié au chapitre précédent. En d autres termes, l influence qualitative de la saturation et le déplacement du rotor sur les passages de flux semble relativement négligeable. Un exemple de tracés d induction dans une paire de pôles d une MFTCPSH, pour 3 positions du rotor (0, 90 et 150 électriques) et 3 amplitudes de FMM statoriques (0 A (à vide), 2200 A et 1100 A) illustre cette remarque : les tracés présentés aux Figure V-5 et Figure V-6 montrent des passages de flux globalement comparables dans le cas à vide et en position alignée (Figure V-5 et Figure V-6 haut) et dans le cas en charge et position désalignée (Figure V-5 et Figure V-6 bas). Cette observation a été corroborée à partir de résultats de simulations effectuées en considérant de nombreux designs de machines de dimensions différentes. Sur la base de cette observation, les notations de passages de flux adoptées au chapitre IV pour l analyse du flux à vide sont reprises ici. Pour rappel (c.f. section IV.2.2), on a défini : 148

170 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH mag, la portion de flux traversant un aimant du rotor, gap, la portion de flux franchissant l entrefer, core, le flux à vide, franchissant le noyau du stator, vu par le bobinage, leakr, la portion de flux de fuite autour d un aimant du rotor, leaks, la portion de flux de fuite entre deux pieds adjacents du stator, leaksided, la portion de flux de fuite entre un concentrateur et un pied, dans la partie droite du pied, et, leaksidep, la portion de flux de fuite entre un concentrateur et un pied, dans la partie inclinée du pied. En second lieu, une analyse plus approfondie de tracés 3D d induction a permis d observer une influence plus quantitative et locale de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor. Si les trajets de flux sont globablement semblables dans le cas de la machine à vide ou en charge et/ou pour différentes positions du rotor, la réaction d induit, la saturation et le déplacement du rotor affectent la quantité de flux que l on peut mesurer dans différentes parties du circuit magnétique. Le Tableau V-2 regroupe les valeurs des portions de flux mag, gap, core, leakr et leakside calculées par EF au sein d une paire de pôles d une CTFM pour 3 positions du rotor (0, 90 et 150 électriques) et 3 amplitudes de FMM statoriques (0 A (à vide), 2200 A et 1100 A) (Figure V-5 et Figure V-6). La méthode et les surfaces d intégrations utilisées ont été détaillées à la section IV.3.2. La variation des valeurs de flux relevées d une position à l autre et pour différentes FMM montre bien l effet combiné de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor. En comparant les résultats des 3 colonnes du Tableau V-2, on constate par exemple que la portion de flux traversant un aimant mag change à la fois de signe et d amplitude. Si le changement de signe traduit le changement de polarité dû au déplacement du rotor, le changement d amplitude correspond, quant à lui, à une modification de la réluctance du circuit magnétique sous l influence des effets de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor. 149

171 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-5 : Tracés d induction dans une paire de pôles d une MFTCPSH pour deux positions du rotor et deux amplitudes de FMM : haut : position alignée, elec = 0, FMM = 0 A ; bas : position désalignée, elec = 90, FMM = 2200 A 150

172 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-6 : Tracés d induction dans une paire de pôles d une MFTCPSH pour deux positions du rotor et deux amplitudes de FMM : haut : position alignée, elec = 0, FMM = 0 A ; bas : position désalignée, elec = 150, FMM = 1100 A 151

173 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Tableau V-2 : Flux calculés par analyse EF à différents endroits d une paire de pôles d une MFTCPSH (c.f. Figure V-5 et Figure V-6) pour 3 positions du rotor (0, 90 et 150 électriques) et 3 amplitudes de FMM statoriques (0 A, 2200 A et 1100 A) Portion de flux [1 [3]] Flux mesuré pour elec = 0, FMM = 0 A Flux mesuré pour elec = 90, FMM = 2200 A Flux mesuré pour elec = 150, FMM = 1100 A mag 159,50 µwb 158,21 µwb -141,45 µwb gap 128,82 µwb 59,19 µwb -41,51 µwb core 85,47 µwb 147,96 µwb 70,52 µwb leakr 79,09 µwb 176,98 µwb -75,13 µwb leaks 5,67 µwb 3,99 µwb -10,46 µwb leakside [2] 32,00 µwb -96,74 µwb -91,12 µwb [1] : La méthode et les surfaces d intégration utilisées pour calculer les flux mag, gap, core, leakr et leakside sont similaires à celles présentées à la section IV.3.2. [2] : leakside représente la somme des flux leaksided et leaksidep. [3] : Les flux sont considérés comme «vus du stator». Le changement de signe du flux indique donc un changement de sens ou de polarité (ex : mag ). L influence locale de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor se traduit par une modification du trajet du flux dans et autour de certaines zones localisées du circuit magnétique. On peut par exemple l observer sur les tracés d induction présentés sur les Figure V-5 et Figure V-6, en s attardant à la direction des flèches dans les zones identifiées 1, 2 et 3 des mêmes figures. Par exemple, au niveau du bout d un pied du stator (zone 1 sur les Figure V-5 et Figure V-6), on observe un changement de direction du flux entre la position alignée du rotor, 0 électriques, et les positions 90 et 150. À la position alignée, le flux quitte le bout du pied pour l entrefer en suivant une direction majoritairement radiale. Aux positions 90 et 150 du rotor, le flux traverse le pied dans la direction circonférentielle. Dans cette même zone, on peut également noter que le flux, à la position 90 du rotor, est de sens contraire à celui de la position 150 (flèches de sens 152

174 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH opposés). Des observations similaires peuvent être faites en inspectant attentivement les zones 2 et 3 des Figure V-5 et Figure V-6. L étude de résultats de simulations EF a permis de constater les effets combinés de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor sur les trajets et quantités de flux dans le circuit magnétique d une MFTCPSH. Par rapport au cas du flux à vide étudié au chapitre précédent, des passages de flux globalement semblables ont pu être observés. Ainsi, il semble possible d utiliser certaines hypothèses de modélisation posées au chapitre IV, pour élaborer un modèle analytique permettant la prédicition du couple moyen de la machine. Les tracés d induction présentés plus haut montrent par contre l influence quantitative et locale de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor. Aussi, le modèle analytique développé au chapitre précédent ne peut être directement employé pour la prédiction du couple sans une adaptation préalable permettant la modélisation adéquate de ces trois phénomènes. Les exemples présentés dans cette section montrent les effets combinés de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor sur les trajets et quantités de flux dans une MFTCPSH. L influence individuelle de chacun de ces phénomènes n a pas été présentée. Si l emploi des EF peut permettre l étude de l influence de chacun de ces phénomènes séparément, il est de l expérience de la plupart des concepteurs de MFT que l étude et la modélisation des interactions existantes entre chacun de ces phénomènes est relativement complexe. Pour cette raison, l étude présentée ici ne se poursuit pas davantage. À la lecture des sections subséquentes, le lecteur comprendra qu une modélisation séparée de chacun de ces trois phénomènes n est pas nécessaire dans le modèle présenté plus bas : l approche de modélisation analytique avec compensation d erreurs permet de s en abstenir sans toutefois porter préjudice à la précision du modèle analytique. Le lecteur pourra se rapporter aux références [GUO4] [SIAT] [DUB1] et [LUND] pour des informations complémentaires concernant l influence de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor sur les trajets et quantités de flux dans le circuit magnétique d une MFT. 153

175 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Réseau de réluctances employé pour la détermination du flux lié au bobinage d une MFTCP, avec prise en compte de la réaction d induit, du déplacement du rotor et de la saturation. Un nouveau réseau de réluctances (c.f. Figure V-7) est proposé ici pour la détermination du flux lié au bobinage d une MFTCPSH, tenant compte de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor. Ce dernier est ensuite employé pour déterminer le couple moyen de la machine, tel que décrit à la section V Le réseau de réluctances est construit à partir du circuit proposé pour déterminer le flux à vide de la machine présenté au chapitre IV (c.f. Figure IV-12, section IV.2.3). Sur la base des observations formulées à la section précédente, il est donc supposé que les trajets de flux dans la machine sont globalement les mêmes, à vide et en charge. Cependant, ce réseau de réluctances proposé se Figure V-7: Réseau de réluctances proposé pour la détermination du flux lié au bobinage d une MFTCPSH, avec prise en compte de la réaction d induit, du déplacement du rotor et de la saturation. 154

176 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH distingue de celui employé au chapitre IV par : l apparition d une source de champ magnétique F win ( rot ) qui modélise la variation temporelle de la FMM du bobinage et par le fait même la contribution du flux du bobinage en charge au flux total dans le circuit magnétique de la machine, des réluctances dont la valeur varie en fonction de la position du rotor rot : R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ). Ce réseau de réluctances reprend les mêmes hypothèses simplificatrices établies pour construire le circuit du chapitre IV, (c.f. section IV.2.3.4). En plus de ces hypothèses, il est également supposé que : la saturation ne modifie pas l expression des réluctances du circuit. Elle affecte cependant la perméabilité des matériaux magnétiques doux (perméabilités dans les expressions des réluctances R conc, R foot et R core ), de la même manière que dans le modèle du chapitre IV (c.f. section IV.2.5), le mouvement du rotor n a d effet que sur les réluctances modélisant les passages de flux dans l air, autour de l entrefer : R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ). Or, les cartes d induction de la section précédente (c.f. Figure V-5 et Figure V-6) montrent que le déplacement du rotor affecte également, de manière localisée, les passages de flux dans les pieds et les concentrateurs de la machine. Il est relativement complexe de traduire analytiquement l influence locale du mouvement du rotor sur les expressions des réluctances d un concentrateur ou d un pied. De plus, il est également difficile de distinguer l effet de la saturation de celui du déplacement du rotor sur les passages de flux dans un pied ou un concentrateur de la machine. Par soucis de simplicité, le réseau de réluctances proposé ne tient pas compte des modifications locales des passages de flux dans les pieds et concentrateurs, dues au mouvement du rotor, le mouvement du rotor n affecte pas le passage de fuite pied pied modélisé par la réluctance R leaks. Le flux empruntant ce passage provient principalement du flux de 155

177 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH réaction d induit : sa quantité dépend en grande partie de l amplitude de la FMM du bobinage et n est que peu affectée par le déplacement du rotor. Les hypothèses simplificatrices employées pour construire le réseau de réluctances de la Figure IV-12 altèrent la précision du modèle analytique proposé dans ce chapitre. Cependant, le mécanisme de compensation d erreurs, présenté au chapitre IV, est réutilisé ici afin de corriger le modèle. V Expressions analytiques des réluctances dans le modèle développé pour la prédiction du couple moyen d une MFTCPSH Tel qu expliqué précédemment, il est supposé ici que le déplacement du rotor n affecte que certaines réluctances modélisant les passages de flux dans l air, autour de l entrefer. Il s agit des réluctances R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ) sur la Figure IV-12. Par conséquent, les expressions analytiques des autres réluctances, R mag, R conc, R foot, R leaks et R core, demeurent identiques à celles employées dans le modèle analytique du chapitre précédent (c.f. expressions (IV-1) à (IV-16) du chapitre IV). Il est relativement complexe de modéliser analytiquement l effet du déplacement du rotor sur la forme d un tube de flux. En effet, le déplacement du rotor affecte à la fois le trajet moyen et la section d un tube de flux : l expression analytique d une réluctance affectée par le déplacement du rotor doit par conséquent traduire adéquatement cette modification. Par exemple, dans le cas de la réluctance modélisant le passage du flux dans l entrefer, la section «vue» par le flux change en fonction de la position du rotor : en effet, elle diminue lorsque le rotor de la machine se déplace de la position alignée vers la position désalignée. De plus, la tendance d un tube de flux à être modifié par le déplacement du rotor change selon les dimensions mêmes du circuit magnétique. Par exemple, le déplacement du rotor affectera plus ou moins la fuite pied concentrateur (R sidep ( rot )), dépendamment de l angle de la partie penchée du pied. Afin d éviter un travail de modélisation relativement long et complexe, 2 hypothèses simplificatrices ont été adoptées afin d établir des expressions analytiques dépendantes de la position du rotor rot, pour les réluctances R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ) : 156

178 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH 1) les expressions analytiques employées pour ces 4 réluctances sont similaires à celles déterminées dans le cas du modèle du chapitre précédent (c.f. expressions (IV-3), (IV-8), (IV-12) et (IV-15)), mais multipliées par un coefficient dont la valeur dépend de la position du rotor rot. 2) La valeur de ce coefficient est maximale ou minimale à la position alignée ( rot = 0 ) et inversement à la position désalignée ( rot = 90 ). Entre ces deux positions, le coefficient varie linéairement. Traduites en équations, ces deux hypothèses nous permettent d établir les expressions des réluctances R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ) suivantes : (V-5) (V-6) (V-7) (V-8), où R leakr, R sided, R sidep et R gap sont caractérisées par les expressions (IV-3), (IV-8), (IV-12) et (IV-15) du chapitre IV. On suppose également les variations de ces réluctances avec rot comme étant périodiques de période 2. Les expressions (V-9) à (V-12) permettent de comparer les valeurs des coefficients choisies pour R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ), pour rot =0 et rot = 90 : 157

179 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH (V-9) (V-10) (V-11) (V-12) Les directions et amplitudes de variation des coefficients choisis pour ces 4 réluctances ont été déterminées à partir de l analyse minutieuse des résultats de nombreuses simulations EF, en considérant de nombreux designs de machines aux dimensions différentes. L expression (V-10) montre par exemple qu il est supposé que la réluctance de l entrefer R gap ( rot ) est deux fois plus importante dans la position désalignée ( rot = 90 ) que dans la position alignée. De manière similaire, la réluctance de fuite des aimants est supposée 10 fois plus petite dans la position désalignée ( rot = 90 ) (c.f. expression (V-9)) : à rot = 90, des simulations EF ont permis d observer que la majeure partie du flux des aimants du rotor fuit dans l entrefer sans passer par le stator. Le choix des directions et amplitudes de variation des coefficients dans les expressions (V-5) à (V-8) peut paraître relativement arbitraire. Une autre approche pour obtenir des expressions analytiques de ces réluctances aurait pu consister à déterminer la variation dimensionnelle d un tube de flux en fonction du déplacement du rotor. En d autres termes, la détermination d expressions analytiques des longueurs moyennes et sections des réluctances R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R gap ( rot ), dépendantes de la position du rotor rot, représente une approche alternative qui aurait également pu convenir. Cependant, la complexité liée à cette approche est relativement élevée en grande partie pour les raisons évoquées au début de cette section. Bien que d apparence arbitraire, l approche choisie dans ce travail est relativement simple et efficace. Dans une section subséquente (c.f. section V.2.3), il est montré que le choix des directions et amplitudes de variation des coefficients dans les expressions (V-5) à (V-8) offre une sensibilité suffisante au modèle analytique. De plus, l utilisation du mécanisme de compensation d erreurs présenté au chapitre IV permet de corriger les imprécisions qui peuvent être liés aux hypothèses simplificatrices adoptées ici. 158

180 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Expressions analytiques des flux dans le modèle développé pour la prédiction du couple moyen d une MFTCPSH Les lois de Kirchoff peuvent être employées afin de déterminer un système d équations liant les flux dans chacune des branches du circuit aux réluctances de la Figure IV-12 : (V-13) Le système d équations (V-13) est semblable au système (IV-18) établi pour la détermination du flux à vide, à la différence de l apparition de la source de champ magnétique Fwin( rot), qui modélise la variation de la FMM du bobinage. Comme dans le cas du circuit de réluctances proposé au chapitre précédent, le système d équations (V-13) a été résolu de façon à déterminer des expressions analytiques pour chacun des flux de branches du réseau de la Figure V-7. Le logiciel de calcul symbolique Mathematica 6.2 [WOLF] a été utilisé à cet effet. Les expressions de core, mag, gap, leakr, leaks, leaksided et leaksidep, tenant compte de la réaction d induit, de la saturation et du déplacement du rotor, sont données par les équations (V-14) à (V-20) : core=(2 (-Fmag RleakR( rot) RleakS (Rgap( rot) Rsided( rot)+rgap( rot) Rsidep( rot)(rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rfoot (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+fwin( rot) (Rlea kr( rot) (Rgap( rot) RleakS Rsided( rot)+rgap( rot) RleakS Rsidep( rot)+4 Rgap( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rl eaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rmag (Rgap( rot) RleakR( rot) Rsided( rot)+rgap( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsided( rot)+rgap( rot) RleakR( rot) Rsidep( rot)+rgap( rot) RleakS Rsi dep( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+4 Rgap( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rside d( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided ( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rside d( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))))/(2 RleakR( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided ( rot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsid ed( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsi ded( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (RleakR ( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+ Rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot ) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsi dep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot (V-14) 159

181 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH ) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rs idep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rfoot (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+fmag (RleakS (Rl eakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)) )+Rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr ( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsid ep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))))/(2 R leakr( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rc ore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+ Rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot)) +RleakS (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (RleakR( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( r ot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot )))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rside d( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+ Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) (V-15) gap=(fwin( rot) RleakS (2 RleakR( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rmag (2 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( r ot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Fmag RleakR( rot) (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rcore (2 (Rsidep( rot) R sided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))/(2 RleakR( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rside d( rot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsi ded( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+r sided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (Rleak R( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))) +Rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( r ot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) ( Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rside p( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) (V-16) mag=(-fwin( rot) RleakR( rot) RleakS (Rgap( rot) Rsided( rot)+rgap( rot) Rsidep( rot)- leakr=(fwin( rot) Rmag RleakS (Rgap( rot) Rsided( rot)+rgap( rot) Rsidep( rot)- (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rfoot (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Fmag (2 (Rfoo t+rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) +Rsided( rot))))))/(2 RleakR( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (2 RleakS (Rside p( rot) Rsided( rot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rcore (RleakS (Rsi dep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (R sidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (RleakR( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot ))+Rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsi ded( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) ( Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleak S (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( ro t) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rlea kr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) (V-17) 160

182 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH leaks=-(2 Fmag Rcore RleakR( rot) (Rgap( rot) Rsided( rot)+rgap( rot) Rsidep( rot)- (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rfoot (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+fwin( rot) (4 ( Rconc+Rfoot+Rgap( rot)) RleakR( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rmag (Rgap( rot) RleakR( rot) Rsided( rot)+rgap ( rot) RleakR( rot) Rsidep( rot)+4 Rgap( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+ Rconc (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot)) +RleakR( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))))/(2 RleakR( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided( r ot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided ( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (RleakR( r ot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rga p( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot) R sided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep ( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot ) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rside p( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) leaksided=((- Fwin( rot) (2 Rconc+Rfoot+Rgap( rot)) RleakR( rot)+rmag (2 Rconc+2 Rfoot+2 Rgap( rot)+rleakr( rot))) RleakS+ 2 Fmag RleakR( rot) ((Rfoot+Rgap( rot)) RleakS+Rconc (2 Rcore+RleakS)+Rcore (2 Rfoot+2 Rgap( rot))) Rsidep( rot ))/(2 RleakR( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot) Rsided( r ot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided ( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (RleakR( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rs idep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleak R( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsid ed( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+ Rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (Rsidep( rot ) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+ Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) (V-18) (V-19) leaksidep=((- Fwin( rot) (2 (Rconc+Rfoot+Rgap( rot)) RleakR( rot)+rmag (2 Rconc+2 Rfoot+2 Rgap( rot)+rleakr( rot))) RleakS +2 Fmag RleakR( rot) ((Rfoot+Rgap( rot)) RleakS+Rconc (2 Rcore+RleakS)+Rcore (2 Rfoot+2 Rgap( rot)+rleaks)) Rsided( rot))/(2 RleakR( rot) (2 (Rfoot+Rgap( rot)) RleakS (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rconc (2 RleakS (Rsidep( rot ) Rsided( rot))+rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rcore (RleakS (Rsidep( r ot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))+rmag (RleakS (RleakR( rot) (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rf oot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( ro t))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))))+rconc (RleakS (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+2 Rcore (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rside p( rot)+rsided( rot))))+2 Rcore (RleakR( rot) RleakS Rsided( rot)+rleakr( rot) RleakS Rsidep( rot)+rleakr( rot) (R sidep( rot) Rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rfoot (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rside p( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))+rgap( rot) (4 (Rsidep( rot) Rsided( rot))+rleakr( rot) (Rsidep( rot)+rsided( rot))+rleaks (Rsidep( rot)+rsided( rot)))))) (V-20) Comme dans le cas du modèle analytique présenté au chapitre précédent, les équations de réluctances ainsi que les expressions des flux (V-14) à (V-20) ont été insérées dans une feuille du tableur Microsoft Excel. Les dimensions géométriques principales du circuit magnétique d une MFTCPSH (Figure IV-1) sont également interfacées donnant ainsi une relation directe entre les caractéristiques dimensionnelles et performances magnétiques de la machine. Le calcul du flux lié au bobinage par paire de pôles, core, permet surtout 161

183 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH l évaluation analytique du couple moyen de la machine, tel qu expliqué dans la section suivante. V Détermination analytique du couple moyen d une MFTCPSH dans le modèle proposé La méthode du diagramme Flux FMM présentée à la section V.2.1 est employée pour déterminer analytiquement le couple moyen par phase d une MFTCPSH dans le modèle proposé. L évaluation analytique du couple moyen est effectuée de la manière suivante : 1) Pour un design de MFTCPSH aux dimensions données, le calcul des différentes réluctances correspondant au circuit de la Figure V-7 permet l évaluation du flux lié au bobinage par paire de pôles core (Eq. (V-14)) pour une position donnée du rotor rot. 2) Le flux lié au bobinage par paires de pôles core est évalué en 9 positions différentes du rotor rot également réparties de 0 à 180. À chacune de ces positions correspond une amplitude de FMM F win ( rot ) dont la variation temporelle est définie (onde carrée, sinusoïdale, trapézoïdale, ). core est évalué pour les positions rot = 0, rot = 25, rot = 50, rot = 75, rot = 100, rot = 125, rot = 150 et rot = 175. La périodicité de la machine donne core ( rot = 180 ) = - core ( rot = 0 ). 3) Le calcul des valeurs de core et l amplitude de la FMM F win ( rot ) pour 9 positions du rotor rot permet l obtention du diagramme Flux-FMM de la machine. Le couple moyen par phase de la MFTCPSH peut alors être déterminé à l aide de l expression (V-4). Outre le déplacement du rotor et la prise en compte de la réaction d induit, on rappelle que le calcul du couple moyen tient également compte de la saturation des matériaux du circuit magnétique via la considération des caractéristiques B(H) des matériaux ferromagnétiques doux du stator et du rotor (c.f. section IV.2.5). Dans le modèle proposé, la détermination analytique du couple moyen se fait en considérant 9 positions du rotor. On a vu que la précision de l estimation du couple moyen 162

184 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH par la méthode considérée dépend du nombre de positions du rotor considérées dans le calcul. La section V a permis de montrer que la prise en compte de 9 positions du rotor est suffisante pour une estimation fidèle du couple moyen. V.2.3 Emploi du mécanisme de compensation d erreurs dans le modèle analytique pour la détermination du couple moyen Comme dans le cas du modèle proposé au chapitre précédent, la précision du modèle analytique pour la détermination du couple moyen proposé dans ce chapitre semble variable, dépendamment des dimensions géométriques de la machine. De plus, par rapport au modèle précédent, des hypothèses simplificatrices supplémentaires sont considérées, afin de prendre en compte le déplacement du rotor et l effet de la réaction d induit. Pour permettre l emploi du modèle analytique dans un processus d optimisation visant à maximiser le couple moyen de la machine, il est nécessaire d améliorer la précision du modèle. À cet effet, le mécanisme de compensation d erreur introduit au chapitre IV (c.f. section IV.4.2) est réemployé ici. Cette section explique d abord comment la méthode des facteurs de correction est adaptée pour compenser l erreur sur l estimation analytique du flux lié au bobinage d une MFTCPSH dans un processus d optimisation. Cette section montre également l efficacité de la technique de compensation d erreur à travers la présentation d un exemple. V Fonctionnement du mécanisme de compensation d erreurs Le principe de fonctionnement du mécanisme de compensation d erreurs employé ici est très semblable à celui décrit au chapitre IV (c.f. Figure V-8). 163

185 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-8: Organigramme décrivant le processus de détermination des facteurs de corrections des réluctances du modèle permettant le calcul du couple moyen, au cours du processus d optimisation d une MFTCPSH 164

186 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Le mécanisme de compensation d erreurs utilisé avec le modèle permettant la détermination du couple moyen possède les points communs suivants avec le mécanisme décrit au chapitre précédent (c.f. section IV.4.2) : 1) La correction est effectuée à l aide de facteurs de corrections appliqués aux réluctances R gap ( rot ), R leakr ( rot ), R sided ( rot ), R sidep ( rot ) et R leaks. 2) Le calcul des coefficients de correction requiert l assistance des EF. Ils sont évalués à partir d un processus faisant intervenir un solveur et une technique de minimisation des moindres carrés : leur valeur est déterminée de façon à minimiser les différences entre les flux du circuit de réluctances de la Figure V-7, déterminés analytiquement (Eq. (V-14) à (V-20)) et leurs correspondants déterminés avec une simulation EF. Comme le montre l organigramme de la Figure V-8, le mécanisme de compensation d erreurs employé ici se distingue de celui utilisé au chapitre IV sur les points suivants : 1) Tel qu expliqué à la section précédente, le calcul analytique du couple moyen est basé sur l évaluation du flux lié au bobinage en 9 positions différentes du rotor, pour rot allant de 0 à 180. Aussi, 8 sets de 5 facteurs de corrections sont employés pour corriger réluctances et donc les flux aux positions rot = 0 à rot = 175 (par symétrie, core ( rot = 180 ) = - core ( rot = 0 )). Le modèle analytique comporte donc 40 facteurs de corrections, k leakr ( rot ), k sided ( rot ), k sidep ( rot ), k leaks ( rot ) et k gap ( rot ), avec rot = 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150 ou ) Comme 8 sets de 5 facteurs de corrections sont employés, 8 simulations EF, réalisées pour des positions du rotor rot = 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150 et 175, sont nécessaires pour déterminer les valeurs des facteurs de correction à chaque position. Tout comme les équations de réluctances et de flux du modèle, le mécanisme de compensation d erreurs est implanté dans l environnement Excel. Une sous-routine Visual Basic (macro) permet le lancement et le calcul des flux provenant de simulations EF pour 165

187 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH les 8 positions du rotor considérées. Le solveur du tableur est ensuite employé pour déterminer les valeurs des 8 sets de 5 facteurs de correction qui minimisent la somme du carré des erreurs d estimation des flux du modèle analytique pour les 8 positions du rotor. Étant donné que l assistance des EF est requise, la méthode de modélisation (modèle + mécanisme de compensation d erreurs) présentée ici n a que peu d intérêt lorsqu employée à des fins de prédiction de couple, en dehors d un processus d optimisation. Tel qu expliqué au chapitre précédent, l avantage réel de la méthode de modélisation avec compensation des erreurs réside justement dans le fait que le modèle analytique corrigé, utilisé dans une boucle d optimisation, permet l obtention d une solution optimale après quelques itérations avec le calcul des champs. Bien que la simulation par EF de 8 positions du rotor soit requise pour déterminer les facteurs de corrections du modèle pour le calcul du couple moyen (contre 1 seule dans le cas du modèle flux à vide du chapitre IV), une section ultérieure montrera que le processus d obtention d une solution optimale est tout de même relativement rapide. V Exemple : détermination et correction du couple moyen d une MFTCPSH à l aide du modèle analytique développé. Avant de présenter l emploi du modèle analytique développé dans ce chapitre à des fins d optimisation, il est d abord nécessaire de montrer le bon fonctionnement du modèle et l efficacité de son mécanisme de compensation d erreurs. À cet effet, un exemple est présenté dans cette section. La Figure V-9 et le tableau qui lui est associé présentent les dimensions principales du design de MFTCPSH considéré dans cet exemple. La machine utilisée dans cet exemple possède un rayon de 160 mm, 20 paires de pôles et un entrefer de 0.8 mm. La profondeur d une phase de la machine est de 39 mm. Les 8 variables k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn sont des facteurs de formes représentant des rapports entre des dimensions géométriques d une paire de pôles d une CTFM. Ces derniers ont déjà été définis au chapitre précédent (c.f. section IV.2.1) mais sont rappelés dans le Tableau V-3. Un nouveau facteur de forme est employé dans le modèle : k bob représente le rapport entre la hauteur du bobinage H b et sa profondeur P b. D bob représente la densité de courant indiquée en [A/mm²]. 166

188 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Variable Valeur R a 160 mm e 0.8 mm P r 39 mm p 20 k smag 0.50 k rot 0.56 k ap 0.83 k cp 1.30 k rp 0.70 k hb 0.05 k hp 0.05 k pn 1.72 k bob 0.53 D bob 24.0 A/mm² Figure V-9: Dimensions principales et illustration d une paire de pôles du design de CTFM considéré dans l exemple. Tableau V-3 : Facteurs de forme et variables d entrées employés dans le modèle et relations correspondantes. Variable Équation Rapport correspondant k smag L a /H a Largeur des aimants / Hauteur des aimants k rot L a /L c Largeur des aimants / Largeur des concentrateurs k ap H gp /H a Grande hauteur d un pied / Hauteur des aimants k cp L pp /L c Largeur d un pied dans l entrefer / Largeur des concentrateurs k rp P gp /P r Profondeur du pied dans l entrefer / Profondeur d une phase du rotor k hb H bp /H gp Petite hauteur du bout du pied / Grande hauteur d un pied k hp H pp /H gp Petite hauteur du pied proche du noyau / Grande hauteur d un pied k pn L n /L pp Largeur du noyau / Largeur d un pied dans l entrefer k bob H b /P b Hauteur du bobinage / Profondeur du bobinage Note : Les variables géométriques employées sont décrites à la Figure IV-1. Les 14 variables du tableau associé à la Figure V-9 constituent les variables d entrée du modèle analytique à partir duquel le couple moyen sera calculé. Dans l exemple considéré, il est supposé que la FMM du bobinage statorique, F win ( rot ) est de forme sinusoïdale, en phase avec la force électromotrice à vide de la machine. Dans le modèle, on suppose sa variation en fonction de la position du rotor rot décrite par la relation (V-21). 167

189 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH (V-21), avec D bob, la densité de courant, H b la hauteur du bobinage, P b la profondeur du bobinage, K fill un facteur de remplissage du bobinage (considéré à 0.5 dans cet exemple) et rot la position du rotor. V Valeurs du flux et du couple moyen calculées avec le modèle analytique avant application des facteurs de correction. Le modèle analytique présenté dans ce chapitre a été employé pour déterminer le couple moyen de la MFTCPSH dont les caractéristiques principales sont présentées au Tableau V-3. Le calcul est fait en considérant une FMM sinusoïdale d amplitude maximale égale à 3300 A, en phase avec la force électromotrice à vide (V-21). La Figure V-10 f) présente les valeurs du flux lié au bobinage, core (traits pleins rouges), calculées en 8 positions du rotor ( rot = 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150 et 175 ). Bien que non représentée sur la Figure V-10, la valeur du flux pour rot = 180 est déduite à partir de la calculée pour rot = 0 (c.f. section V.2.3.1). C est à partir de ces 9 valeurs qu est évalué le couple moyen de la machine, selon la méthode décrite à la section V.2.2. Les courbes a), b), c), d) et e) de la Figure V-10 (traits pleins rouges) représentent les valeurs des flux mag, gap, leakr, leakside ( leaksided + leaksidep ) et leaks calculées pour ces 8 positions. Dans ce cas particulier, le mécanisme de compensation d erreur n a pas été appliqué dans le modèle pour déterminer les valeurs de flux représentées sur les courbes de la V-11 : pour chacune des positions, les facteurs de correction des réluctances sont imposés à 1. Les tracés en traits pointillés bleus représentés sur les courbes de la Figure V-10 montrent les valeurs des mêmes flux, évaluées par simulation EF : magfea, gapfea, leakrfea, leaksidefea et leaksfea. L écart entre les tracés en pointillés et en traits pleins illustre les erreurs commises sur les flux par le modèle analytique par rapport au calcul des champs, avant application du mécanisme de compensation d erreurs. On constate que ces erreurs varient à la fois, en fonction de la position du rotor, mais également d un flux à l autre. 168

190 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH a) b) c) d) e) f) Figure V-10: Variations des flux calculés avec le modèle avant correction (traits pleins) et déterminés par simulation EF (pointillés) en fonction de la position du rotor rot a) : mag ( rot ), magfea ( rot ), b) : gap ( rot ), gapfea ( rot ) c) : leakr ( rot ), leakrfea ( rot ), d) : leakside ( rot ), leaksidefea ( rot ), e) : leaks ( rot ), leaksfea ( rot ), f) : core ( rot ), corefea ( rot ). 169

191 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH On observe que les flux mag, gap et core sont estimés assez fidèlement avec le modèle analytique (courbes a), b) et f) de la Figure V-10). De plus, les erreurs du modèle semblent s accroître lorsque l on s approche de la position désalignée du rotor ( rot = 90 ). Par exemple, l erreur maximale sur l estimation de core est observée pour rot = 125 : à cette position, un écart relatif de -33 % est calculé entre flux estimé analytiquement et celui calculé par élément finis. De manière similaire, un écart maximal de 27 %par rapport au calcul des champs est observé pour le flux mag à la position rot = 75. Des observations semblables ont été effectuées en considérant d autres designs de machine. Dans cet exemple, des écarts relativement importants sont observés entre les estimations analytiques des flux de fuite leakr, leakside ( leaksided + leaksidep ) et leaks et celles obtenues par calcul des champs (courbes c), d) et e) de la Figure V-10). Les erreurs semblent d autant plus importantes que l on se rapproche de la position désalignée du rotor ( rot = 90 ). Par exemple, l écart le plus important entre la valeur du flux leaks estimée analytiquement et par EF survient à la position du rotor rot = 100 où l écart relatif atteint 132 %. Ces observations ont également été corroborées par des résultats obtenus sur de nombreux designs de machines. Avant utilisation du mécanisme de compensation des erreurs du modèle, l observation des courbes de la Figure V-10 nous permet toutefois de conclure à la bonne sensibilité du modèle analytique développé. En effet, les tracés de flux en fonction de la position du rotor obtenus analytiquement présentent des gradients relativement semblables à ceux observées sur les tracés déterminés par calcul des champs. La Figure V-11 présente les diagrammes Flux FMM construits à partir des flux vus par le bobinage déterminés analytiquement ( core ) et par calcul des champs ( corefea ). À partir du diagramme, le couple moyen par phase de la MFTCPSH considérée dans cet exemple est calculé à Nm. De manière similaire, le couple moyen déterminé à partir des résultats 170

192 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-11: Comparaison des diagrammes Flux FMM déterminés à partir du modèle analytique avant correction (traits pleins) et par calcul des champs (traits pointillés) issus du calcul des champs s élève à Nm. Dans l exemple considéré, la surestimation relative du couple moyen avec le modèle analytique, visible en comparant les surfaces des diagrammes de la Figure V-11, s élève à près de 37 %. D une manière générale, le modèle analytique développé tend à surestimer le couple moyen de la machine, avant application du mécanisme de compensation d erreurs. V Valeurs du flux et du couple moyen calculées avec le modèle analytique après application des facteurs de correction. Le mécanisme de correction introduit au chapitre précédent et décrit à la section V a été employé afin de corriger les erreurs du modèle analytique. Selon le processus décrit par l organigramme de la Figure V-8, 8 sets de 5 facteurs de corrections, k leakr ( rot ), k sided ( rot ), k sidep ( rot ), k leaks ( rot ) et k gap ( rot ) pour chacune des positions du rotor considérées dans le modèle ( rot = 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150 et 175 ). Les courbes présentées à la Figure V-12 présentent l évolution des flux mag, gap, leakr, leakside ( leaksided + leaksidep ) et leaks calculés avec le modèle analytique (traits pleins) après correction, en fonction de la position rot du rotor. Pour comparaison, les valeurs des mêmes flux déterminés par simulation EF sont également représentées. 171

193 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH a) b) c) d) e) f) Figure V-12: Variations des flux calculés avec le modèle après correction (traits pleins) et déterminés par simulation EF (pointillés) en fonction de la position du rotor rot a) : mag ( rot ), magfea ( rot ), b) : gap ( rot ), gapfea ( rot ) c) : leakr ( rot ), leakrfea ( rot ), d) : leakside ( rot ), leaksidefea ( rot ), e) : leaks ( rot ), leaksfea ( rot ), f) : core ( rot ), corefea ( rot ). 172

194 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Efficacité de la correction des erreurs du modèle L observation des courbes de la Figure V-12 nous renseigne sur l efficacité de la méthode de compensation des erreurs du modèle analytique. En premier lieu, on peut constater que la compensation des erreurs est relativement efficace même si elle n est pas totale. En effet, la comparaison des résultats du modèle analytique et du calcul des champs montre des écarts, malgré les facteurs de correction appliqués au modèle. De plus, ces écarts semblent plus prononcés sur l estimation des flux de fuite. Par exemple, l estimation analytique du flux leaks à la position rot = 25 donne un flux égal à µwb lorsque celui déterminé par simulation EF s élève à 14 µwb : à cette position, le modèle calcule un flux leaks significativement plus faible et, qui plus est, orienté dans une direction différente. Des observations semblables ont pu être effectuées avec d autres exemples de machines. En second lieu, l observation des courbes de la Figure V-12 semble montrer que la compensation des erreurs est généralement moins efficace entre les positions rot = 25 à 125. Cette observation a également pu être effectuée sur d autres exemples, en considérant des designs de machines différents. Les observations effectuées sur les résultats avant correction, présentés à la section précédente (c.f. V ), montrent déjà des écarts importants entre les résultats du modèle et ceux du calcul des champs lorsque l on s approche de la position désalignée du rotor ( rot = 90 ). D après les observations faites avant et après correction, il est probable que le comportement du modèle analytique est moins représentatif du comportement réel de la machine autour de la position désalignée du rotor. Le fait que la compensation des erreurs ne soit pas totale dans cette zone indique probablement que la modélisation analytique des trajets de flux proposée en V.2.2 est peut être moins adéquate autour de la position désalignée du rotor. Malgré une efficacité un peu moindre pour les flux de fuite entre les positions rot = 25 à 125, la compensation semble toutefois efficace en ce qui concerne les flux gap et core qui modélisent les trajets de flux dans les parties ferromagnétiques du circuit. Les faibles écarts observés entre les estimations analytiques et EF des flux gap et core témoignent donc du 173

195 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-13: Comparaison des diagrammes Flux FMM déterminés à partir du modèle analytique après correction (traits pleins) et par calcul des champs (traits pointillés). bon fonctionnement du mécanisme de compensation des erreurs. L estimation analytique du couple moyen étant basée sur la variation de core, cet aspect est particulièrement important. La Figure V-13 présente les diagrammes Flux FMM construits à partir de la variation du flux vu par le bobinage core, calculé avec le modèle analytique corrigé (traits pleins) et déterminé par calcul des champs (traits pointillés). Le couple moyen par phase de la MFTCPSH, calculé à partir du modèle corrigé, s élève à Nm. La valeur du couple moyen déterminée à partir des résultats du calcul des champs est relativement proche puisqu elle s élève à Nm. L erreur relative calculée en % par rapport à l estimation du calcul des champs est inférieure à 1 %. Observation des valeurs des facteurs de correction. Le Tableau V-4 présente les valeurs des facteurs de correction déterminées par le mécanisme de compensation d erreurs pour les 8 positions du rotor. L observation des valeurs du Tableau V-4 permet de constater que les facteurs sont bornés entre 0.01 et La raison de l imposition de ces bornes est expliquée plus bas. 174

196 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Tableau V-4 : Valeurs des facteurs de correction en fonction de la position du rotor, déterminées dans le cas de l exemple traité. rot = 0 rot = 25 rot = 50 rot = 75 rot = 100 rot = 125 rot = 150 rot = 175 k gap k leakr k sidep k sided k leaks Comme dans le cas du modèle du chapitre précédent, les valeurs des facteurs de correction constituent une indication sur la source des erreurs commises dans le modèle analytique. Une valeur de facteur de correction qui s éloigne de 1 indique que le mécanisme de compensation tente de corriger une erreur sur la réluctance à laquelle le facteur s applique. Ainsi, le facteur k leaks égal à 10.0 à la position rot = 25 indique la correction d une erreur importante sur la modélisation analytique du tube de flux (sous-estimation) représenté par la réluctance R leaks, constat que l on fait effectivement sur la Figure V-10 e). Une observation attentive des valeurs des facteurs de correction et de la variation des flux après correction sur la Figure V-12 permet d établir une corrélation entre les bornes imposées aux facteurs de correction et les écarts observés entre les estimations des flux. En effet, à l écart important observé entre leaks estimé analytiquement et corrigé, et celui déterminé par éléments finis (Figure V-12 e)) à la position rot = 25 correspond un facteur de correction k leaks égal à D une manière générale, la compensation des erreurs moins efficace entre les positions rot = 25 à 125 observée plus haut se traduit par une plus forte occurrence de valeurs de facteurs de correction atteignant les bornes imposées. D autres essais, effectués en considérant des machines de dimensions différentes, ont permis de déterminer un lien entre les valeurs des bornes imposées aux facteurs de correction et l efficacité du mécanisme de compensation des erreurs. Par exemple, le fait d imposer une borne minimale à et maximale à 100 au facteur de correction k leaks permet de réduire l écart entre l estimation analytique de leaks et sa valeur déterminée par 175

197 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH calcul des champs à la position rot = 25 : l erreur relative, en % de la valeur estimée par simulation, passe de -120 % à -100 %. On rappelle que la détermination des facteurs de correction fait appel à un solveur numérique non-linéaire. Il a été constaté qu il est possible de réduire les erreurs à des valeurs négligeables, en configurant ce solveur pour qu il puisse déterminer des valeurs négatives pour les facteurs correction. Il est donc possible d améliorer l efficacité du mécanisme de compensation des erreurs en jouant sur les bornes imposées aux facteurs de correction. L emploi du modèle et de la compensation d erreur en optimisation a montré que les valeurs des facteurs de correction ont une influence sur la convergence de l optimisation. En ôtant les bornes imposées aux facteurs, nous avons constaté que la convergence de certaines optimisations pouvait s avérer fastidieuse. L emploi de valeurs de facteurs de correction négatives a même permis d observer des problèmes d optimisations divergentes. Les facteurs de correction peuvent, en effet, être vus comme des poids ou pondérations au modèle analytique, qui peuvent affecter la sensibilité de ce dernier lorsque leurs valeurs sont trop importantes ou trop faibles. Le but du mécanisme de compensation d erreurs étant d être employé dans un processus d optimisation, l imposition de bornes aux facteurs de correction est donc essentielle. De nombreux essais ont permis d observer que le choix d une borne minimale établie à 0.01 et maximale fixée à 10.0 assure une convergence adéquate lors de l optimisation tout en garantissant une correction satisfaisante des erreurs du modèle analytique développé. L aspect de la saturation des facteurs de correction pourrait être approfondi dans un travail ultérieur. Dans le cadre de cette thèse, l imposition de bornes à 0.01 et 10.0 est considérée suffisamment satisfaisante pour la suite de notre travail. 176

198 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.2.4 Prise en compte des pertes et du rendement dans le modèle analytique développé Les sections précédentes ont permis la présentation du modèle analytique permettant l estimation du couple moyen d une MFTCPSH. Un modèle de dimensionnement complet permettant l optimisation du couple de la machine requiert la prise en comptes des pertes de la machine MFTCSH. En effet, la maximisation du couple sans égard au rendement constitue un non-sens si l on considère que le design d une MFT et de manière plus générale d une machine électrique repose, la plupart du temps, sur un compromis densité de couple/puissance -rendement. Aussi, cette section présente la modélisation des pertes et du rendement dans le modèle développé. Dans le cadre de ce travail de doctorat, l accent est principalement mis sur le développement d une approche de modélisation et d optimisation adéquate pour maximiser le couple d une MFTCPSH. Une modélisation précise des pertes ne constitue pas l objectif ultime de ce travail. Aussi, la prise en compte des pertes dans le modèle développé repose sur des hypothèses et équations relativement simples que nous décrivons dans cette section. Dans un premier temps, la modélisation des pertes Joule est abordée. Cette section détaille ensuite le calcul des pertes ferromagnétiques. Enfin, le calcul du rendement et la prise en compte du rendement dans le modèle développé sont décrits. V Modélisation des pertes Joule Les pertes Joule P cu d une phase d une MFTCPSH sont calculées dans le modèle analytique à l aide de l équation (V-22) : (V-22), avec cu, la résistivité du cuivre, D bob, la densité de courant maximale dans une phase de la machine et V cu le volume occupé par le cuivre d une phase de la MFTCPSH. Une modélisation similaire des pertes Joule d une MFT est présentée dans [DUB1]. Le volume du cuivre V cu est déterminé à partir de l expression (V-23) : 177

199 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH (V-23), où R cu représente le rayon moyen et A bob la section de la bobine toroïdale d une phase d une MFTCPSH. R cu est déterminé à partir de l équation (V-24) : (V-24) La section de cuivre A bob est quant à elle calculée à partir de l expression (V-25) (V-25), où K fill représente un facteur de remplissage du bobinage. On rappelle que les variables dimensionnelles de la MFTCPSH employées dans le modèle sont décrites à la Figure IV-1. Dans le modèle, la résistivité du cuivre cu est déterminée en fonction de la température du bobinage T cu, à partir de l expression (V-26) [VIAR] : (V-26) Bien que la modélisation des pertes Joule tienne compte de la température du bobinage, les pertes seront calculées pour une température du cuivre T cu constante et égale à 105 C. Tel qu expliqué plus loin, la modélisation des phénomènes thermiques n est pas considérée dans le cadre de ce travail. Cependant, le développement d un modèle thermique pourrait permettre de déterminer analytiquement l élévation de la température du cuivre du bobinage en fonction des pertes et des échanges de chaleur dans la machine. La modélisation des pertes Joule proposée ne tient pas compte de l effet de peau. Lorsque la fréquence des courants des conducteurs du stator devient élevée, leur densité de courant n est plus uniforme et se concentre à la périphérie du conducteur, dans une couronne qu on appelle le plus souvent épaisseur de peau. Dans le cadre de ce travail, la supposition est faite que le rayon des conducteurs du stator est toujours inférieur à l épaisseur de peau, de telle sorte à ce que les pertes Joule supplémentaires associées à l effet de peau soient négligeables. 178

200 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Modélisation des pertes ferromagnétiques. Les pièces ferromagnétiques du circuit de la MFTCPSH sont le siège de pertes ferromagnétiques dues à la variation du flux qui les traverse. On décompose habituellement ces pertes en pertes par hystérésis et en pertes par courant de Foucault. Une étude relativement détaillée des pertes ferromagnétiques ayant lieu dans les parties du circuit magnétique d une MFTCPSH est présentée dans [DEH1]. La modélisation des pertes dans les noyaux et pieds statoriques ainsi que dans les concentrateurs du rotor adoptée dans le modèle analytique est largement basée sur les travaux et résultats présentés dans les références [DEH1], [DEH2] et [DEH3]. Modélisation des pertes dans les noyaux statoriques : Tel qu expliqué au chapitre II, les noyaux magnétiques en C du stator d une MFTCPSH peuvent être constitués de SMC, d un empilement de tôles Fe-Si ou de noyaux ferromagnétiques amorphes. Les avantages et inconvénients liés au choix d un matériau ou de l autre sont discutés au chapitre II et plus amplement dans la référence [DEH1]. Dépendamment de l emploi d un matériau ou de l autre, les pertes ferromagnétiques dans les noyaux sont différentes. Par conséquent, 3 équations différentes sont employées dans le modèle pour quantifier les pertes dans un noyau de tôles Fe-Si (Eq. (V-27)), amorphe (Eq. (V-28)) ou dans un noyau en SMC : (V-27) (V-28) (V-29), avec M noyau étant la masse d un noyau, B noyau l induction maximale dans un noyau et f la fréquence électrique de la machine. Les coefficients employés dans les Eq. (V-27) et (V-28) proviennent de mesures expérimentales présentées dans [DEH1]. Les coefficients employés dans l équation (V-29) ont été déterminés à partir des courbes de pertes ferromagnétiques typiques du matériau SMC Atomet EM-1 [QMP1] L induction 179

201 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH maximale B noyau est déterminée à partir de la valeur maximale du flux core dans le noyau, calculée avec le modèle analytique sur une demi-période électrique, et de la section du noyau : (V-30) La masse d un noyau M noyau est déterminée à partir du volume du noyau, calculé à partir de ses dimensions, et de la masse volumique du matériau qui le constitue (Eq. (V-31)) : (V-31) On rappelle que les variables dimensionnelles employées dans l équation (V-31) sont décrites à la Figure IV-1. Les valeurs de densités de la tôle Fe-Si, du SMC et de l amorphe considérés dans le modèle sont présentées dans l expression (V-32) : (V-32) Ces valeurs proviennent de données de manufacturiers présentées dans [DEH1]. En faisant l emploi des expressions (V-27), (V-28) ou (V-29) pour le calcul des pertes ferromagnétiques dans les noyaux de la MFTCPSH, les simplifications suivantes ont été adoptées : - L induction est supposée homogène dans tout le noyau. L observation de tracés d induction provenant de simulation EF conforte cette hypothèse. Les tracés des Figure V-5 et Figure V-6 apportent du crédit à cette simplification. - on suppose une variation sinusoïdale de l induction sur une période électrique. Les mesures ayant servi à la détermination des coefficients des expressions (V-27), (V-28) ou (V-29) considèrent des ondes sinusoïdales. Dépendamment de l état de saturation du noyau, la variation du flux core dans le noyau n est pas exactement sinusoïdale, comme le montre, par 180

202 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH exemple, la Figure V-12 f). Dans le modèle, seule la composante fondamentale de la forme de la variation du flux est considérée. La modélisation adoptée pour les pertes ferromagnétiques dans les noyaux de la machine est relativement simple. La simplification concernant la forme de la variation du flux peut altérer la précision de l estimation des pertes dans les noyaux. Pour des travaux futurs, cette modélisation pourrait être améliorée en considérant, par exemple, le contenu harmonique de la variation du flux dans les noyaux. Une telle approche est présentée à la référence [DEH1]. Modélisation des pertes dans les pieds du stator : Tel qu expliqué au chapitre II, les pieds du stator d une MFTCPSH sont constitués de pièces en SMC. L usage de la poudre de fer permet en effet de tirer bénéfice des caractéristiques magnétiques isotropes des SMC. Il facilite également la réalisation des pieds dont la forme est relativement complexe. Par rapport aux pertes dans les noyaux, la proportion des pertes ferromagnétiques dans les pieds d une MFTCPSH est relativement importante. Nous avons montré dans [DEH2] et [DEH3] que ces dernières peuvent représenter jusqu à 90 % des pertes ferromagnétiques au stator, dépendamment du matériau constitutif des noyaux et de la fréquence d opération. Les pertes dans les pieds du stator d une MFTCPSH ne sont par conséquent pas négligeables et le modèle analytique développé doit en tenir compte. Il est possible de déterminer les pertes dans des pièces en SMC à l aide d expressions analytiques similaires aux équations (V-27), (V-28) ou (V-29) employées pour calculer les pertes dans les noyaux en C. Les principaux manufacturiers de poudre de fer fournissent des courbes de pertes pour leurs produits à différents niveaux d induction et de fréquence [QMP1] [HOGA]. Dans la littérature, on retrouve également plusieurs références qui emploient des expressions analytiques similaires aux équations (V-27), (V-28) ou (V-29) pour le calcul des pertes dans les SMC [DEH2] [BLIS] [VIOR] [DUB1] [LUND] [LAN1]. 181

203 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Cependant, les passages de flux tridimensionnels dans les pieds de la MFTCPSH compliquent grandement l emploi d expressions analytiques similaires à celles présentées dans les références citées plus haut. L utilisation de telles formulations analytiques peut s avérer trop simpliste et conduire à d importantes erreurs si on considère, entre autre, que : - la répartition de l induction dans les pieds n est pas uniforme comme le montrent, par exemple, les tracés de flux EF de la Figure V-5. Pour une même position du rotor, on relève des niveaux d induction très différents dans un pied. Comment déterminer un niveau d induction moyen dans tout le volume d un pied afin de calculer les pertes à l aide d une formulation semblable à celle des équations (V-27), (V-28) ou (V-29)? - la répartition de l induction dans les pieds n est pas similaire d une position à l autre du rotor, comme le montrent, par exemple, la comparaison des tracés de flux EF des Figure V-5 et Figure V-6. Elle dépend à la fois de la variation spatiale du rotor (variation du champ des aimants) et de la variation temporelle de la FMM du bobinage statorique (variation du champ de réaction d induit). Comment modéliser de tels phénomènes en employant une expression analytique semblable à celle des équations (V-27), (V-28) ou (V-29)? Les deux points abordés plus haut décrivent la difficulté liée à l établissement de modèles de pertes ferromagnétiques dans les parties en SMC du circuit magnétique d une MFT. Cette difficulté est par ailleurs un problème décrit par de nombreux auteurs dans la littérature [DEH1] [VIOR] [LUND] [GUO2]. Certains auteurs proposent des approches de modélisation des pertes relativement performantes mais qui peuvent également se révéler assez complexes [GUO2]. Dans le cadre de ce travail de thèse, une approche relativement simple est adoptée. Conscients des difficultés liés à la modélisation analytique de ces pertes mais également des limites liées à l emploi d expressions semblables aux (V-27), (V-28) ou (V-29), nous faisons le choix de calculer les pertes dans les pieds de la MFTCPSH par cette dernière approche. Le développement d un modèle de calcul des pertes dans les pieds du stator, employant le mécanisme de compensation d erreurs, constitue un axe de recherche potentiel à explorer à la suite de ce travail. 182

204 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Les 4 hypothèses suivantes ont été posées pour calculer les pertes dans les pieds du stator : 1. On considère une induction homogène et égale dans toutes les parties d un pied du stator, pour une position du rotor donnée. 2. Les pertes dans un pied sont calculées à partir de la valeur maximale de l induction B pied, déterminée sur une demi-période de fonctionnement électrique à partir du modèle décrit dans les sections précédentes. 3. Le calcul de l induction B pied est effectué en considérant d une part la portion de flux gap, calculée avec le modèle analytique, comme étant le flux pénétrant un pied du stator. D autre part, compte tenu de la forme relativement complexe d un pied, B pied est calculée en considérant une section moyenne du pied S pied. 4. La formulation analytique employée pour calculer les pertes suppose une variation sinusoïdale du flux pénétrant les pieds À partir des 4 hypothèses formulées ci-dessus, l expression (V-33) a été établie pour déterminer les pertes ferromagnétiques dans un pied de la MFTCPSH : (V-33), avec B pied l induction maximale calculée à partir du modèle analytique selon (V-34) : (V-34), avec M pied, la masse d un pied déterminée à partir du volume de ce dernier V pied et de la masse volumique d un SMC de type Atomet EM-1 SMC [QMP1], selon (V-35) : (V-35) 183

205 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH avec f, la fréquence électrique. Les coefficients employés dans l équation (V-33) ont été déterminés à partir des courbes de pertes ferromagnétiques typiques du matériau SMC Atomet EM-1 [QMP1]. Les variables dimensionnelles employées dans l équation (V-35) sont décrites à la Figure IV-1. L approche de modélisation analytique des pertes dans les pieds ne tient pas compte de pertes ferromagnétiques engendrées par les harmoniques de denture stator et rotor de la machine : selon l hypothèse 4, on considère un flux purement sinusoïdal. La méthode de détermination analytique des pertes ferromagnétiques ayant lieu dans les pieds d une MFTCPSH employée dans le cadre de ce travail est relativement simple. Le choix de cette approche est fait en toute conscience des hypothèses simplificatrices sur lesquelles elle se base. Le but visé par l approche choisie est de tenir compte de ces dernières lorsque le modèle analytique sera employé pour maximiser le couple de la MFTCPSH. La précision de cette approche n est pas évaluée et ne représente pas un objectif poursuivi dans ce travail. Tel qu expliqué plus haut, cet aspect pourrait faire l objet d une suite au travail de thèse présenté dans ce document. Modélisation des pertes dans les concentrateurs du rotor : Les concentrateurs du rotor de la MFTCPSH canalisent le flux des aimants permanents vers l entrefer de la machine. Ils sont donc constamment traversés par le flux des aimants. On peut alors s attendre à ce que les pertes ferromagnétiques ayant lieu dans les concentrateurs soient relativement réduites, du fait de la faible variation du champ magnétique des aimants. Cependant, les concentrateurs offrent également un passage de retour au flux de réaction d induit, qui, quant à lui, varie dans le temps. Le flux qui traverse les concentrateurs comporte donc une composante continue et une composante alternative. Du fait de cette dernière, les concentrateurs sont donc le siège de pertes ferromagnétiques. Dans le cadre de ce travail, aucune référence aux pertes ferromagnétiques dans les concentrateurs d une MFT n a pu être déterminée. Pour modéliser les pertes dans les concentrateurs, il est nécessaire de pouvoir prédire le passage et la variation du flux dans ces derniers. Comme dans les pieds du stator, les 184

206 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH concentrateurs sont parcourus par un flux qui circule dans les 3 dimensions. Pour cette raison d ailleurs, ils sont constitués de pièces en SMC. On peut observer une telle circulation du flux sur les tracés d induction présentés sur les Figure V-5 et Figure V-6. D une position à l autre du rotor, le chemin du flux dans les concentrateurs et son amplitude sont différents (ex : Figure V-5 et Figure V-6). Le caractère tridimensionnel des trajets de flux et leur variation temporelle compliquent grandement l établissement d un modèle de pertes dans les concentrateurs. Notre revue de littérature n a pas permis de déterminer de publications évoquant la modélisation des pertes dans les concentrateurs d une MFT. Devant l absence de référence, une approche analytique relativement simple a été développée : la modélisation des pertes dans notre modèle repose sur une formulation analytique similaire à celle employée pour l évaluation des pertes dans les pieds et les noyaux du stator. Des hypothèses similaires à celles adoptées pour le calcul des pertes dans les pieds ont été posées pour déterminer les pertes dans les concentrateurs : 1. On considère une induction homogène et égale dans toutes les parties d un concentrateur, pour une position du rotor donnée. 2. Les pertes dans le concentrateur sont calculées à partir de la valeur maximale de l induction B conc, déterminée sur une demi-période de fonctionnement électrique à partir du modèle décrit dans les sections précédentes. 3. Le calcul de l induction B conc est effectué en considérant d une part la portion de flux gap, calculée avec le modèle analytique, comme étant la quantité de flux franchissant le concentrateur. B conc est alors calculée en considérant une section moyenne du concentrateur S conc. 4. La section moyenne du concentrateur est calculée en considérant la section de concentrateur qui fait face au pied du stator seulement. De même, seul le volume du concentrateur en vis-à-vis du pied est considéré. Les tracés d induction nous montrent que les densités de flux dans la partie du concentrateur qui ne fait pas face à un pied du stator sont relativement faibles (Figure V-5 et Figure V-6). 185

207 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH 5. La formulation analytique employée pour calculer les pertes suppose une variation sinusoïdale du flux franchissant les concentrateurs. Dans la réalité, ce flux comporte une composante continue relativement importante (flux généré par les aimants permanents) ainsi que des harmoniques liées à la denture stator et rotor. Dans le modèle développé, les pertes ferromagnétiques dans un concentrateur sont calculées à partir de l expression suivante : (V-36) Les coefficients employés dans l expression (V-36) sont similaires à ceux utilisés dans l expression des pertes dans les pieds du stator (V-33). La valeur maximale de l induction B conc est déterminée à partir de l expression (V-37) : (V-37) Selon l hypothèse 4), la section moyenne considérée pour le calcul de B conc ne considère que la section du concentrateur qui fait face au pied ce qui explique la présence de la profondeur du pied dans l entrefer P gp dans l expression (V-37). La masse d un concentrateur M conc est évaluée à partir de l expression (V-38) : (V-38), avec SMC la masse volumique d un SMC de type Atomet EM-1 [QMP1]. On renvoie le lecteur à la Figure IV-1 pour la signification des variables dimensionnelles employées dans l équation (V-38). Comme dans le cas de l expression permettant le calcul des pertes dans les pieds du stator, l expression (V-38) repose sur des hypothèses simplificatrices dont la pertinence peut être discutée. Une modélisation précise des pertes dans les concentrateurs dépasse les objectifs fixés dans le cadre de ce travail de doctorat. 186

208 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Évaluation analytique du rendement de la machine Le rendement de la MFTCPSH est évalué par le modèle analytique en un point de fonctionnement (pour une vitesse et une FMM statorique donnée et en «fonctionnement générateur»), à partir des expressions de pertes présentées dans les deux sections précédentes : (V-39), où représente le couple moyen déterminé à partir de l équation (V-4) et le diagramme Flux FMM, P cu, les pertes Joules déterminées à l aide de l équation (V-22), P conc, les pertes ferromagnétiques dans un concentrateur (V-36), P pied, les pertes ferromagnétiques dans un pied (V-33), P noyau, les pertes ferromagnétiques dans un noyau (V-27), (V-28), p, le nombre de paires de pôles de la machine et rot, la vitesse du rotor en rad.s -1. En plus des hypothèses simplificatrices décrites plus haut, le calcul du rendement ainsi posé implique deux suppositions supplémentaires : les pertes mécaniques (frottement + ventilation) ainsi que les pertes magnétiques dans les aimants sont négligées. Dans le modèle analytique développé, le calcul du rendement vise un objectif principal : celui de fournir au modèle une sensibilité vis-à-vis des pertes. Avec cette formulation relativement simple, le rendement est ainsi considéré lorsque le modèle analytique est employé pour maximiser le couple moyen d une MFTCPSH. Dans un second temps, le calcul analytique des pertes permet d imposer une contrainte de rendement lorsque le modèle analytique est employé en optimisation. Dans le cadre de ce travail, la modélisation thermique de la MFTCPSH n est pas abordée. Tel qu expliqué dans les sections subséquentes, l imposition d une contrainte sur le rendement servira alors de «borne thermique» lors de la maximisation du couple, en supposant que la machine est dotée d un système de refroidissement adéquat. 187

209 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.2.5 Implémentation du modèle dans l environnement Excel Comme dans le cas du modèle permettant le calcul du flux à vide, le modèle analytique présenté dans ce chapitre et son mécanisme de compensation d erreurs ont été implantés dans une feuille de calcul du tableur Excel. Les interactions entre le modèle implanté dans Excel, les routines (macros) Visual Basic créées et le logiciel de calcul par éléments finis Magnet sont décrites sur le diagramme de la Figure V-14. L environnement de conception créé pour la maximisation du flux à vide (voir section IV.5 du chapitre précédent) a été adapté pour permettre également la maximisation du couple moyen de la MFTCPSH. La hiérarchie et le fonctionnement de l environnement de conception créé précédemment et celui proposé pour maximiser le couple moyen sont donc très semblables. La majorité des routines de la Figure V-14 correspondent à celles déjà développées pour maximiser du flux à vide au chapitre IV. L organigramme de la Figure V-15 présente le principe de fonctionnement de la méthode Figure V-14: Diagramme décrivant les interactions entre le tableur Excel, les routines Visual Basic et le logiciel de calcul par élément finis Magnet dans l environnement de conception développé pour maximiser le couple moyen d une MFTCPSH. 188

210 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH de maximisation du couple moyen d une MFTCPSH avec le modèle et l outil de conception développés. Ses principales étapes sont résumées ci-dessous : 1. Au début du processus, les facteurs de compensation d erreurs (8 sets de 5 facteurs, pour chacune des positions du rotor) sont initialisés à Avant de débuter l optimisation, les variables optimisées et les contraintes sont paramétrées. Ex : détermination de la densité de courant et des Figure V-15: Organigramme décrivant le principe de fonctionnement de la méthode de maximisation du couple moyen proposée. 189

211 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH dimensions des aimants de la machine qui maximisent le couple, pour un rendement minimum et un encombrement maximal fixés. 3. Le solveur d Excel est employé pour déterminer les valeurs des variables d optimisation qui maximisent le couple moyen de la machine en fonction des contraintes spécifiées en 2. À l intérieur de la boucle d optimisation, le couple moyen est déterminé à l aide du modèle analytique présenté dans les 4 sections précédentes. 4. La saturation des matériaux magnétique est prise en compte par un calcul analytique de perméabilités saturées (voir description de la méthode et de la routine à la section IV.2.5). Tel qu expliqué en IV.5, une limitation du programme Excel ne permet pas le calcul des perméabilités saturées à l intérieur de la boucle d optimisation. 5. Pour palier à cette limitation, les étapes 3 et 4 du processus d optimisation sont relancées jusqu'à ce que les valeurs analytiques des perméabilités n évoluent plus (une dizaine d itérations est généralement nécessaire). À ce stade, une solution optimale analytique intermédiaire est obtenue. 6. Cette solution optimale intermédiaire est validée par calcul des champs. Magnet est employé pour déterminer le flux lié au bobinage en 8 positions différentes du rotor. Ces valeurs de flux sont alors comparées à celles déterminées analytiquement avec le modèle. 7. Tant que la somme du carré des erreurs sur les flux estimés en chaque position est significative (i.e. erreur sur le couple moyen significative), le modèle analytique est corrigé via les facteurs de compensations d erreurs. Ces derniers sont déterminés par une routine selon la méthode développée à la section V.2.3. Les étapes 3 à 6 sont ensuite répétées. 8. Lorsque la somme du carré des erreurs sur les flux estimés analytiquement est devenue négligeable, le design final obtenu correspond à une solution maximisant le couple moyen et validée par calcul des champs. 190

212 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH La convergence du processus vers une solution optimale intermédiaire (Étapes 3, 4 et 5) est relativement rapide et ne requiert généralement pas plus de 2 minutes du fait de l implantation des calculs analytiques dans Excel et des routines Visual Basic. Comme pour la maximisation du flux à vide, quelques itérations avec le logiciel de calcul des champs seulement (4 à 6, dépendamment de l erreur tolérée) sont requises pour les étapes de validation des solutions intermédiaires par calcul des champs. Par contre, contrairement au cas de la maximisation du flux à vide, le temps requis par chaque itération de calcul des champs (Étape 6) est 8 fois plus long, du fait de la nécessité de simuler 8 positions différentes du rotor. Tout le processus décrit à la Figure V-15 pour l obtention d une solution optimale et validée, ne requiert généralement que quelques heures, dépendamment de la taille de la machine, des paramètres de maillage choisis et des capacités de calcul de l ordinateur employé. L implantation du modèle et de la méthode de maximisation du couple moyen proposée ici dans le logiciel Excel est également envisageable dans d autres environnements de développement (Matlab, programme informatique dédié, ). Cet aspect pourrait d ailleurs faire l objet d une suite à ce travail de recherche. Nous verrons plus loin que la limitation d Excel empêchant le calcul de perméabilités saturées au sein de la boucle d optimisation ne permet pas d optimiser le nombre de paires de pôles de la machine. Le développement d un outil de conception dans un autre environnement pourrait permettre d éviter ce problème. La section V.2 de ce document a permis au lecteur de comprendre le modèle analytique et la méthode proposée pour maximiser le couple moyen d une MFTCPSH. Une implantation de la méthode dans l environnement Excel est également proposée. Dans la section suivante, le modèle et la méthode sont éprouvés au travers de 3 exemples d optimisation. 191

213 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.3 Exemples d utilisation du modèle et de la méthode développés pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Dans cette dernière section, trois exemples de maximisation du couple moyen d une MFTCPSH sont présentés afin de démontrer l efficacité mais également les limites de la méthode proposée dans ce travail de thèse. Le premier exemple développé consiste à maximiser la densité de couple massique d une MFTCPSH dans une application de type moteur-roue pour un véhicule électrique. Le cahier des charges pris en compte dans cet exemple est issu de la littérature [BLIS]. La solution optimale obtenue par la méthode développée et celle de la référence prise en compte sont comparées. Dans le deuxième exemple, on aborde la question de l optimisation du nombre de paires de pôles de la MFTCPSH avec la méthode développée. Ce deuxième exemple permettra de mettre en lumière une limitation de la méthode ainsi qu une approche proposée pour la contourner. Dans un dernier exemple, la méthode développée est employée en vue de comparer les performances (densité de couple, pertes, ) de trois optimisations de MFTCPSH utilisant des matériaux différents au stator (SMC, tôles Fe-Si et amorphe), avec pour objectif la maximisation de la densité massique de couple. V.3.1 Maximisation de la densité de couple d une MFTCPSH dans une application de traction de type moteur-roue. Le potentiel de densité de couple élevée de la MFTCP fait de cette machine un bon candidat dans une application de traction de type moteur-roue (c.f. section II.2.4). La référence [BLIS] détaille la conception, la construction et les essais réalisés sur une MFTCP à rotor à concentrateurs de flux, optimisée pour une application de traction de type moteur-roue. Les dimensions du circuit magnétique de cette dernière ont été déterminées à partir de nombreuses simulations par EF, de manière à maximiser le couple massique de la machine. L exemple présenté dans cette section se base sur le cahier des charges de l application présenté à la référence [BLIS]. La Figure V-16 présente une vue éclatée de la machine de [BLIS] ainsi qu un détail d une paire de pôles. Le rotor de la machine emploie 192

214 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-16: MFTCP à rotor à concentration de flux employée dans une application de traction moteur-roue [BLIS]. Gauche : éclaté de la machine. Droite : 1 paire de pôles. des aimants NdFeB. Le stator et les concentrateurs de flux du rotor sont constitués de pièces en poudre de fer (SMC). Le Tableau V-5 ci-dessous présente les principales caractéristiques de la machine présentée dans [BLIS]. La vitesse d opération, le couple nominal, la puissance et le rendement de la machine donnés dans le Tableau V-5 ont été déterminés à partir de mesures réelles effectuées sur un prototype construit. Ce dernier est doté d un système de refroidissement liquide inséré dans la culasse du stator. Tableau V-5 : Caractéristiques principales de la MFTCP présentée dans [BLIS] : Grandeur Valeur Nombre de paires de pôles 40 Diamètre de la partie active Diamètre d alésage Entrefer Profondeur de la partie active (3 phases) Vitesse nominale d opération (vitesse de base) Puissance nominale d opération (3 phases) Couple nominal à la vitesse de base Courant nominal efficace 317 mm 295 mm 0.8 mm 115 mm 600 rpm 25 kw 400 Nm 80 A Rendement à la vitesse de base 90 % Densité de couple massique 18 Nm/kg 193

215 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Principe de l optimisation L objectif de l exemple présenté dans cette section revient à déterminer des dimensions géométriques d une MFTCPSH qui maximisent son couple massique en tenant compte de contraintes similaires à celles employées pour optimiser le MFTCP présenté dans [BLIS]. L organigramme présenté à la Figure V-17, très similaire à celui de la Figure V-15, décrit plus en détail le principe de fonctionnement général de l optimisation présentée dans cet exemple. Les variables optimisées dans cet exemple sont les 9 facteurs de forme qui définissent la machine (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob ) ainsi que la densité de courant D bob. 5 paramètres sont également imposés et demeurent constant pendant l optimisation: le rayon des matériaux actifs R a, l entrefer e, la profondeur d une phase P r, le nombre de paires de pôles p, et la vitesse de rotation N rot. Le Tableau V-6 présente les valeurs des paramètres constants ainsi que les valeurs initiales des variables à optimiser. Il est important de noter que ces dernières ont été sélectionnées de façon purement arbitraire. Le lecteur pourra également noter que les valeurs des paramètres fixes correspondent ou sont très proches de celles de la machine optimisées dans [BLIS] (voir Tableau V-5) : ainsi, en imposant R a, e, P r, p et N rot à des valeurs identiques celles employées dans la référence [BLIS], on obtient un point de comparaison pour les résultats d optimisation. Tableau V-6 : Dimensions fixes et variables d optimisation considérées en V.3.1 Variable Dimension correspondante (variables fixes pendant l optimisation) Valeur R a Rayon des matériaux actifs 160 mm e Entrefer de la machine 0.80 mm P r Profondeur d une phase du rotor 39 mm p Nombre paire de pôles 40 N rot Vitesse de rotation 600 rpm Variable Dimension correspondante (variables d optimisation) Valeurs init. k smag Largeur des aimants (L a ) / Hauteur des aimants (H a ) 0.50 k rot Largeur des aimants (L a ) / Largeur des concentrateurs (L c ) 0.20 k ap Grande hauteur d un pied (H gp ) / Hauteur des aimants (H a ) 0.70 k cp Largeur d un pied dans l entrefer (L pp ) / Largeur des concentrateurs (L c ) 0.90 k rp Profondeur du pied dans l entrefer (P gp ) / Profondeur d une phase du rotor(p r ) 0.70 k hb Petite hauteur du bout du pied (H bp ) / Grande hauteur d un pied (H gp ) 0.05 k hp Petite hauteur du pied proche du noyau (H pp ) / Grande hauteur d un pied (H gp ) 0.05 k pn Largeur du noyau (L n ) / Largeur d un pied dans l entrefer (L pp ) 1.30 k bob Profondeur du bobinage (P b ) / Hauteur du bobinage (H b ) 2.00 D bob Densité de courant [A/mm²]

216 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Des contraintes ont également été imposées dans l exemple présenté. Une contrainte est imposée sur le couple moyen développé par les 3 phases (T em 400 Nm) et une autre sur la puissance absorbée par les 3 phases (P in 27.5 kw de façon à avoir P em = 25 kw à un rendement de 90 %) de façon à fixer un point de fonctionnement relativement similaire à Figure V-17: Principe de l optimisation présentée en V

217 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH celui correspondant à la machine présentée dans [BLIS] (voir Tableau V-5). De plus, une contrainte sur le rendement est également imposée : comme dans le point de comparaison considéré, on impose 90 %. Dans l exemple présenté dans cette section, les noyaux en C de la MFTCPSH dont le couple est maximisé sont faits d un SMC de type Atomet EM-1 [QMP1]. Le choix de ce matériau a été fait afin de pouvoir comparer la machine optimisée à celle présentée dans la référence [BLIS]. Par conséquent, le modèle analytique considère la caractéristique B-H de ce matériau (c.f. Annexe 1) et les pertes ferromagnétiques dans les noyaux sont calculées à l aide de l équation (V-29). On rappelle que le modèle analytique développé ne considère pas l élévation de température due aux pertes de la machine. L hypothèse est faite que la machine optimisée est munie d un système de refroidissement adéquat, capable de dissiper ses pertes. Malgré l absence d un modèle thermique, l imposition d un rendement minimal et d un volume des parties actives semblables à ceux de la machine présentée dans [BLIS] apportent du crédit à l hypothèse posée. V Design obtenu après maximisation du couple massique Le couple massique de la MFTCPSH dont les dimensions et caractéristiques initiales sont données dans le Tableau V-6 a été maximisé en suivant les étapes de l organigramme de la Figure V-15. Le Tableau V-7 compare les valeurs des variables optimisées avant et après maximisation du couple massique. Le Tableau V-8 compare quant à lui le couple massique, les pertes Joule et ferromagnétiques, le rendement et le couple moyen et la puissance électromagnétique des designs initial et optimal. Les résultats obtenus dans le cas du design initial ont été déterminées à partir du modèle analytique développé mais en employant des valeurs de flux calculées par EF pour les 8 positions du rotor considérées. Les dimensions et performances du design optimal obtenu sont celles déterminées avec le modèle analytique, après 5 itérations de calcul des champs (5 solutions optimales intermédiaires dans le processus). 196

218 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Tableau V-7 : Variables optimisées avant et après maximisation du couple massique Variable Valeurs initiales Valeurs optimales k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn k bob D bob [A/mm²] Tableau V-8 : Perf. des designs avant et après maximisation du couple massique Paramètre Valeurs initiales Valeurs optimales Couple massique T em / M tot 7.21 Nm/kg Nm/kg Couple moyen T em (3 phases) Nm Nm Puissance électromag. P em (3 phases) kw kw Pertes Joule P Cu (3 phases) 1.29 kw 0.99 kw Pertes fer. dans les pieds P pieds (3 phases) 0.03 kw 0.34 kw Pertes fer. dans les conc. P conc (3 phases) 0.03 kw 0.41 kw Pertes fer. dans les noyaux P noy (3 phases) 2.04 kw 0.85 kw Rendement % % Note : Les performances du design initial ont été calculées à partir du modèle et des flux déterminés par EF en 8 positions du rotor. Les résultats présentés dans le Tableau V-8 permettent de remarquer que le couple massique a été multiplié par trois entre le design initial et le design final, passant de 7.21 Nm/kg à Nm/kg. Ils permettent également de constater le respect des contraintes imposées dans le cas du design optimal : T em 400 Nm, P em 27.5 kw et 90 %. La Figure V-18 représente une paire de pôles du design initial et la Figure V-19 une paire de pôles du design obtenu après maximisation du couple massique. 197

219 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-18: 1 paire de pôles de la MFTCPSH avant maximisation du couple massique Figure V-19: 1 paire de pôles de la MFTCPSH après maximisation du couple massique 198

220 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH La Figure V-20 présente la variation du couple massique T em /M déterminé par le modèle analytique entre chaque solution optimale intermédiaire du processus (carrés rouges). Elle présente également la variation du couple massique calculé à partir des flux déterminés par simulation EF entre chacune des 5 étapes de validation du modèle avec le calcul des champs (triangles magentas). Les valeurs du rendement de chaque design intermédiaire après correction sont également représentées sur la Figure V-20. On attirera l attention du lecteur sur le fait que la solution optimale intermédiaire #0 correspond au design initial, avant optimisation, dont une paire de pôles est représentée à la Figure V-18. La solution optimale intermédiaire #5 correspond au design optimal final dont une paire de pôles est représentée à la Figure V-19. La Figure V-21 présente la variation de la valeur de chacun des 10 paramètres optimisés, k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob, entre chacune des solutions optimales intermédiaires du processus. L observation des courbes de la Figure V-21 permet de constater la convergence du processus : les valeurs des paramètres optimisés varient relativement peu entre les solutions intermédiaires #4 et #5. La solution intermédiaire #5 est identifiée comme solution optimale finale : le lancement d une nouvelle optimisation à partir de la solution intermédiaire #5 ne montre plus de variation des valeurs des paramètres optimisés. La comparaison des Figure V-20 et Figure V-21 permet de constater qu une solution proche du design optimal final est obtenue après la troisième étape de validation avec le calcul des champs. En effet, les paramètres k rot, k ap, k rp, k hb, k hp ont déjà atteints leur valeur finale, la contrainte de rendement est satisfaite ( 90 %) et la valeur du couple massique calculée analytiquement (20.63 Nm/kg) est relativement proche de celle déterminée par EF (21.37 Nm/kg) et de la valeur optimale finale (21.80 Nm/kg). Seuls les paramètres k smag, k cp, k pn, k bob et D bob montrent une faible évolution après la troisième solution optimale intermédiaire. Dans l exemple présenté, on constate que les valeurs des paramètres k hb et k hp, facteurs relatifs à la forme du pied, n évoluent pas durant le processus : leur valeur demeure à 0.05 pendant l optimisation. Il ne s agit pas d un défaut du processus d optimisation et du modèle analytique. La section suivante montrera que cette valeur 199

221 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-20: Variations du couple massique T em /M calculé avec le modèle analytique (carrés rouges) et déterminé par calcul des champs (triangles magentas) ainsi que du rendement (ronds bleus) au cours de l optimisation. Figure V-21: Variation des paramètres optimisés k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob pour maximiser le couple massique de la MFTCPSH. Note : D bob en [A/mm²]/10 200

222 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH semble bien correspondre à la valeur optimale des facteurs k hb et k hp. On attirera également l attention du lecteur sur le fait que cette même valeur des paramètres k hb et k hp était déjà obtenue dans le cadre de la maximisation du flux à vide de la MFTCPSH dans l exemple présenté au chapitre précédent (voir section IV.6.2). Les 6 graphiques présentés à la Figure V-22 montrent l évolution des facteurs de corrections au cours du processus, de la solution initiale (solution optimale intermédiaire #0) à la solution optimale finale (solution optimale intermédiaire #5). Pour chaque solution, on montre la variation des valeurs de k leakr ( rot ), k sided ( rot ), k sidep ( rot ), k leaks ( rot ) et k gap ( rot ) pour les 8 positions du rotor rot considérées dans le modèle analytique. On constate une variation importante des valeurs des facteurs de corrections entre les validation des solutions intermédiaires #0 et #2 : par exemple, le facteur k leakr ( rot = 100 ) passe de 1 à 2.85 entre les validations des solutions #0 et #1 puis à 4.11 à celle de la solution #2. La variation des facteurs de corrections est relativement faible entre les étapes de validation des solutions #2 et #4 : la valeur du facteur de correction k leakr ( rot = 100 ) passe de 4.11 à la solution #2, à 4.08 pour la validation de la solution intermédiaire #3 puis à 4.01 à celle de la solution #4. Enfin, les valeurs des facteurs de corrections se stabilisent et n évoluent plus entre les validations des solutions intermédiaires #4 et #5 : par exemple, k leakr ( rot = 100 ) conserve sa valeur de 4.01 entre les étapes de validation des solutions #4 et #5. L évolution des valeurs de correction traduit la convergence du processus déjà observée sur les Figure V-20 et Figure V-21. L observation des courbes de la Figure V-22 montre également la saturation imposée des valeurs de certains facteurs de correction. Par exemple, dans le cas de la solution optimale finale, les valeurs des facteurs k sidep ( rot = 25 ), k sidep ( rot = 50 ), k sided ( rot = 75 ), k leaks ( rot = 75 ) et k gap ( rot = 100 ) ont été bornées à 10. Cette saturation imposée aux positions du rotor rot allant de 25 à 100 montre que le mécanisme de compensation des erreurs sur les estimations des flux à ces positions n est pas totalement efficace. Cependant, ces erreurs sont commises sur l estimation de flux de fuites dont les valeurs sont relativement faibles. L erreur d estimation du flux lié au bobinage permettant le calcul du couple moyen reste 201

223 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-22: Variations des facteurs 8 sets de facteurs de corrections (k leakr ( rot ), k sided ( rot ), k sidep ( rot ), k leaks ( rot ) et k gap ( rot )) en fonction de la position du rotor rot à chaque solution intermédiaire du processus d optimisation. 202

224 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH donc négligeable, comme il est possible de le constater en observant la Figure V-20 : l écart existant entre le couple massique estimé analytiquement et celui déterminé à partir des résultats du calcul des champs pour la solution optimale finale est négligeable. On rappelle que cette saturation des facteurs de correction est requise pour faciliter la convergence du processus d optimisation. Ce point a déjà été abordé à la section V V Optimalité de la solution obtenue Dans cette section, on questionne le caractère optimal de la solution obtenue dans cet exemple. À cet effet, on se propose de vérifier l optimalité de la solution déterminée en suivant une méthode similaire à celle développée au chapitre précédent. La démarche suivie consiste à effectuer plusieurs optimisations successives partant de designs initiaux différents, mais partageant les mêmes contraintes. Les optimisations opérant dans des espaces de solutions différents, on teste ainsi la convergence de la méthode et du modèle vers un optimum global commun. À partir du cahier des charges de l application moteurroue considéré ici, on se propose de maximiser le couple massique de 6 MFTCPSH de dimensions initiales différentes, sur le principe de l optimisation décrite en V Chacun de ces 6 designs se distingue par les valeurs initiales des paramètres optimisés, k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob, présentées dans le Tableau V-9. La Figure V-23 montre une paire de pôles de chacun des 6 designs initiaux considérés dans cette section. Comme dans l exemple de la section précédente, 5 paramètres demeurent constant pendant l optimisation: le rayon des matériaux actifs R a, l entrefer e, la profondeur d une phase P r, le nombre de paires de pôles p, et la vitesse de rotation N rot. Tableau V-9 : Variables d optimisation des 6 designs initiaux considérés. Design 1 Design 2 Design 3 Design 4 Design 5 Design 6 k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn k bob D bob Variables fixes : R a = 160 mm, e = 0.80 mm, P r = 39 mm, N rot = 600 rpm et p =

225 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-23: Illustrations d une paire de pôles de chacun des 6 designs initiaux considérés pour la validation de l optimalité de la solution obtenue 204

226 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Les valeurs indiquées dans le Tableau V-9 ainsi que les illustrations d une paire de pôles de chacun des 6 designs considérés permettent de constater la diversité géométrique des 6 machines initiales. Nous portons également l attention du lecteur sur le fait que les géométries initiales de chacun des designs ont été choisies de façon purement arbitraire, dans le seul but de considérer des points de départs différents pour les 6 cas d optimisation présentés. Pour fins de comparaison, le design #1 correspond à la machine proposée en tant que design initial de l exemple d optimisation de la section précédente. Le Tableau V-10 ci-dessous présente les valeurs des variables optimisées après maximisation du couple massique pour chacun des 6 designs considérés. Il montre également le nombre de validations avec le calcul des champs qui a été requis (i.e. nombre de solutions optimales intermédiaires) pour l obtention du design optimal selon la méthode proposée dans ce chapitre. La Figure V-24 permet une comparaison graphique des valeurs des variables optimisées avant et après maximisation du couple massique. La répartition des points sur la partie droite du graphique de la Figure V-24 montre que les 6 designs semblent avoir convergé vers une solution optimale proche. En effet, on ne constate qu une faible variation entre les valeurs finales de certaines variables optimisées de chacun des 6 designs. Par exemple, les valeurs du facteur de forme k smag varient entre 0.40 et 0.48 et la densité de courant optimale D bob prend des valeurs situées entre 15.2 et 17.7 A/mm². Tableau V-10 : Valeurs optimales des variables optimisées pour chacun des 6 designs Design 1 Design 2 Design 3 Design 4 Design 5 Design 6 k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn k bob D bob # validations Variables fixes : R a = 160 mm, e = 0.80 mm, P r = 39 mm, N rot = 600 rpm et p = 40 Note : la ligne # validations spécifie le nombre de validations avec le calcul des champs qui a été requise pour l obtention de la solution optimale. 205

227 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-24: Valeurs des variables optimisées k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob avant (gauche) et après (droite) maximisation du couple massique. Note : pour adapter l échelle la valeur affichée de D bob représente sa valeur divisée par 10. Parmi les 6 solutions optimales déterminées, un design semble se distinguer des 5 autres. Les valeurs optimales du design #3 diffèrent légèrement des paramètres optimaux des autres designs. En effet, les valeurs des facteurs de forme k smag, k rot, k cp ainsi que celle de la densité de courant D bob se distinguent légèrement de celles obtenues dans le cas des 5 autres optimisations. Les histogrammes présentés à la Figure V-25 permettent de comparer les performances des 6 designs avant (haut) et après (bas) maximisation du couple massique. Pour chaque design, les barres rouges représentent le couple massique T em /M, les bleues montrent le rendement, les barres vertes illustrent le couple moyen par phase T em, les oranges affichent les pertes Joule P cu dans une phase du stator et les jaunes représentent les pertes fer totales dans une 206

228 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH phase P fertot. Les performances des designs initiaux (histogramme du haut) proviennent du modèle analytique. Cependant, les valeurs de flux employées dans le modèle ont été déterminées par simulation EF, afin de pouvoir établir une comparaison valable avec les résultats des designs optimisés. Les performances de designs optimisés proviennent également du modèle. On rappelle qu une solution optimale déterminée par la méthode proposée dans cette thèse est une solution validée par calcul des champs. L histogramme présentant les performances des designs initiaux (Figure V-25 haut) témoigne de la variété des designs de départ choisis. Par exemple, le couple massique T em /M des 6 designs avant maximisation varie entre 7.19 Nm/kg (Design initial #4) et Nm/kg (Design initial #2). L histogramme qui montre les performances des designs optimaux (Figure V-25 bas) montre quant à lui une convergence des 6 optimisations vers des solutions optimales aux performances très similaires. Le couple massique des designs optimisés varie entre Nm/kg (Design optimal #5) et Nm/kg (Design optimal #2). Les faibles différences observées entre les valeurs finales des paramètres optimisés (Tableau V-10) sont très probablement à l origine des variations mineures observées entre les performances de chaque design optimal. Le design optimal #3, qui semble se distinguer légèrement des 5 autres par les valeurs de ses paramètres optimisés, semble relativement peu différent des autres designs quant à ses performances. La Figure V-26 illustre côte-à-côte une paire de pôles de chacun des 6 designs optimisés. Cette représentation graphique montre qu il est relativement difficile de distinguer les designs les uns des autres. Il est cependant possible d observer que le rotor du design #3 semble un peu moins volumineux que celui des autres designs. Ceci s explique par les valeurs des facteurs de formes k smag, k rot qui sont légèrement plus grandes dans le cas de ce design. L effet du volume légèrement plus faible sur le couple massique semble être compensé par une densité de courant plus importante dans le cas du design #3. 207

229 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-25: Couple massique, rendement, couple moyen, pertes Joule et pertes fer des 6 designs avant (haut) et après optimisation (bas). Note : par soucis d échelle, la valeur affichée pour le couple moyen et les pertes a été déterminée pour 1 phase de la machine. 208

230 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-26: Comparaison graphique d une paire de pôles de chaque design optimisé. Tableau V-11 : Comparaison des masses des matériaux actifs de chaque design. Design 1 Design 2 Design 3 Design 4 Design 5 Design 6 M pied [kg] M conc [kg] M noyau [kg] M mag [kg] M Cu [kg] M stator [kg] M rotor [kg] M [kg] Note : M pied, M conc, M noyau, M mag, M Cu, M stator, M rotor et M représentent respectivement la masse totale des pieds, des concentrateurs, des noyaux, des aimants, du cuivre, du stator sans bobinage, du rotor et de la machine (3 phases). Le Tableau V-11 présente les masses totales estimées des composants actifs (concentrateurs, pieds, noyaux, aimants et bobinage) de chacun des 6 designs optimisés. Les résultats de ce tableau montrent que les masses des pièces de chaque design optimal sont très proches. La masse totale des designs optimaux varie entre kg et kg. La masse totale du design optimal #4 est légèrement plus faible que celles des autres machines : kg contre kg en moyenne. Cependant, les résultats de la Figure V-26 (bas) montrent que le couple massique de ce design ne se distingue pas de celui des autres car le couple moyen produit par la machine est légèrement plus faible ( Nm) que celui délivré par les autres designs ( Nm). 209

231 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Les résultats présentés dans cette section permettent de juger du caractère optimal de la solution obtenue dans cet exemple. En partant de 6 designs initiaux relativement différents, une optimisation du couple massique des 6 machines, basée sur des contraintes similaires, a mené à l obtention de 6 solutions optimales relativement proches : la comparaison des valeurs finales des variables optimisées et des performances de chaque design optimal montre une grande similitude entre les résultats obtenus. Par exemple, l écart-type à la moyenne pour sur la valeur du paramètre k bob est de 10%. Également, l écart type calculé sur la densité de couple pour les 6 solutions est de ± 1.5 %. Bien que faibles, les variations entre les solutions optimales présentées dans cette section sont tout de même plus importantes que celles observées entre les solutions optimales obtenues dans le cadre de l exemple abordant la maximisation du flux à vide du chapitre précédent : les écart-types des valeurs des paramètres optimaux déterminés dans l exemple du chapitre précédent ne dépassent pas 5 % (c.f. Tableau IV-10, section IV.6.4). De plus, l exemple du chapitre IV avait montré l obtention de solutions optimales quasi-identiques après la première validation avec le calcul des champs seulement. L optimisation présentée dans ce chapitre est effectuée avec un modèle analytique bien plus complexe (nombre de positions considérées, nombre de facteurs de corrections employé). De plus, les contraintes et le nombre de variables d optimisations considérés dans les problèmes d optimisation de cette section sont plus nombreux que dans l exemple du chapitre précédent. Par conséquent, les différences par rapport à l exemple du chapitre IV s expliquent en grande partie par une complexité accrue du modèle analytique et du problème d optimisation traité. Au regard des résultats présentés dans cette section, on peut, à juste titre, penser que le modèle analytique et la méthode d optimisation proposés offrent une convergence adéquate. V Remarques sur la durée du processus d optimisation dans l exemple proposé La durée du processus d optimisation appliqué dans cet exemple (c.f. organigramme de la Figure V-17) dépend principalement du nombre d itérations de validation par EF requis. Le design optimal présenté à la section V a nécessité 5 étapes de validations avec le 210

232 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH calcul des champs. Les 5 autres optimisations de la section V ont requis entre 5 et 6 validations. La durée d une simulation par EF dépend principalement du maillage défini pour la simulation mais également des dimensions du design simulé. Dans l exemple traité dans cette section, un maillage sélectif a été appliqué: des zones de maillages avec une taille de maille maximale ont été définies. On renvoie le lecteur à la section IV.3.2 pour plus détails concernant la méthode de maillage appliquée. Dans l exemple considéré, le maillage compte près de éléments pour une position du rotor. Le temps requis pour la simulation d une position du rotor est d environ 10 minutes sur un ordinateur équipé d un processeur Athlon cadencé à 2.61 GHz et de 3 Go de mémoire vive. Par conséquent, le temps approximatif requis pour la simulation des 8 positions du rotor considérées dans le modèle analytique est de 80 minutes. Avec l outil Excel développé, 5 minutes sont requises pour la détermination d une solution optimale intermédiaire et le calcul des facteurs de correction. Aussi, la durée totale nécessaire à l obtention de la solution optimale dans l exemple proposé ici se situe entre 7 h. et 8 h. et 30 minutes en considérant 5 ou 6 étapes de validation par calcul des champs. La durée du processus d optimisation considéré dans cet exemple est relativement courte si l on prend en compte le nombre de variables d optimisation considérées dans le problème (10 variables optimisées) ainsi que la latitude de variation de ces dernières. Cet aspect prend tout son sens lorsqu on compare la durée du processus d optimisation proposé dans ce chapitre à celle d une des approches de conception abordées au chapitre III (c.f. section III.3.2). Par exemple, l emploi d une modélisation EF avec une optimisation paramétrique telle que décrite à la section III aurait nécessité beaucoup plus de temps ou de ressources pour résoudre un problème similaire : en considérant une durée de 80 minutes par simulation EF, 10 variables d optimisation pouvant prendre 3 valeurs seulement, 310 simulations auraient été requises, nécessitant plus de heures de calcul à ressources et puissance de calcul équivalentes. 211

233 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Conclusions sur l exemple proposé L exemple présenté dans cette section a permis de mettre en œuvre la méthode de modélisation et d optimisation proposée dans cette thèse dans le cadre d une application de type moteur-roue. Le modèle et la méthode ont été employés afin de déterminer les dimensions et caractéristiques d une MFTCPSH maximisant le couple massique de la machine et satisfaisant les contraintes du cahier des charges de l application considérée. La solution optimale issue du processus présente un couple massique près de 3 fois plus élevé que celui de la machine initiale avant optimisation. Le design optimal a été obtenu après seulement 5 étapes itératives de validation avec le calcul des champs pour une durée totale du processus d environ 7 heures. Le caractère optimal de la solution a également été étudié en effectuant 6 optimisations partant de points de départ différents. L obtention de 6 solutions optimales très semblables montre que la méthode et le modèle développés fonctionnent tel qu attendu et que la convergence du processus est adéquate (ex : écart type relevé sur la densité de couple de ± 1.5 %). L exemple proposé dans cette section se base sur le cahier des charges d une machine réellement conçue pour une application de type moteur-roue [BLIS] et dont les principales caractéristiques et performances sont présentées dans le Tableau V-5. À contraintes d optimisation comparables, la solution optimale obtenue présente un couple massique différent de celui de la machine de Blissenbach : le couple massique de la MFTCPSH optimale déterminée est de Nm contre 18 Nm pour la machine présentée dans [BLIS]. La différence entre les performances des deux designs peut s expliquer, entre autres, par les facteurs décrits ci-dessous : - Des caractéristiques magnétiques (courbes B-H, induction rémanente des aimants, modèle de pertes magnétiques, ) qui diffèrent dans le modèle analytique de celles de la machine réelle testée dans [BLIS]. - Une densité de courant différente dans le cas de la solution optimale par rapport à celle de la machine existante : la densité de courant de la solution optimale déterminée s élève à 16.4 A/mm² contre près de 10 A/mm² dans le cas de la machine présenté dans la référence [BLIS]. 212

234 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH - Des dimensions et formes de circuit magnétique différentes. Il est possible de relever les différences existant entre les deux designs en comparant graphiquement les paires de pôles de chaque machine sur les Figure V-16 et Figure V-19. À titre d information, le Tableau V-12 ci-dessous compare les masses des composants de la machine optimale déterminée en V à celles du design présenté dans [BLIS]. Les chiffres du tableau montrent par exemple que la machine proposée par Blissenbach semble posséder moins d aimants, mais plus de cuivre. On constate également que la masse du stator du design optimal proposé dans cette section est plus faible que celle du stator du moteur proposé dans [BLIS]. À l inverse, le rotor de la machine de Blissenbach est plus léger que celui du design optimal obtenu dans cet exemple. Tableau V-12 : Comparaison des masses des matériaux actifs de la solution optimale déterminée en V et celles du design de la référence [BLIS] Design optimal présenté en Design optimal présenté à la V référence [BLIS] M mag [kg] M conc [kg] M Cu [kg] M stator [kg] M rotor [kg] M [kg] Note : M conc, M mag, M Cu, M stator, M rotor et M représentent respectivement la masse totale des concentrateurs, des aimants, du cuivre, du stator sans bobinage, du rotor et de la machine (3 phases). - Une modélisation thermique des échauffements et échanges de chaleur dans le circuit magnétique de la MFT a été employée lors de la conception du moteur présenté à la référence [BLIS]. La prise en compte des phénomènes thermiques peut expliquer en partie les différences de formes et de dimensions existant entre les deux circuits magnétiques. L emploi d un modèle thermique dans l approche de conception présentée dans cette thèse et dans l exemple présenté dans cette section aurait probablement conduit à l obtention d un design optimal différent. 213

235 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH - Des approches de conception différentes. La modélisation employée pour la conception de la machine présentée dans [BLIS] est essentiellement basée sur le calcul des champs lorsque le modèle employé ici est en grande partie analytique. L approche d optimisation employée par Blissenbach s apparente à une méthode de variation paramétrique semblable à l approche décrite en III quand un algorithme est utilisé dans la méthode présentée dans ce travail. Aussi, les différences de caractéristiques et performances existant entre la solution optimale déterminée dans cet exemple et celle présentée dans [BLIS] peuvent être attribuées en partie au fait que les approches de modélisation et d optimisation diffèrent. Finalement, les résultats obtenus dans l exemple traité dans cette section permettent de constater le bon fonctionnement du modèle analytique et de la méthode d optimisation de la MFTCPSH présentés dans ce travail de thèse Le fait que les performances de la solution optimale déterminée soient relativement comparables à celles d une machine issue de la littérature et conçue selon le même cahier des charges apporte du crédit à la méthode de conception développée. 214

236 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.3.2 Maximisation de la densité de couple d une MFTCPSH avec variation du nombre de paires de pôles de la machine. Tel qu abordé dans le chapitre II, le relatif découplage existant entre le dimensionnement des circuits électriques et magnétiques d une MFT, permet l emploi de pas polaire relativement faibles (nombre de paires de pôles élevé) tout en conservant une force magnétomotrice statorique élevée (c.f. section II.2.2). C est cet aspect qui, en grande partie, confère aux MFT leur densité de couple et de puissance importante. Il est généralement admis que les meilleures performances d une MFT (densité de couple et de puissance) sont atteintes dans le cas de machines avec un pas polaire relativement faible (10 20 mm [DUB1]). Un grand nombre de paires de pôles implique cependant une fréquence électrique élevée ce qui peut résulter en des pertes magnétiques importantes dans la machine et/ou des pertes par commutations significatives dans le convertisseur qui lui est associé. De plus, le relatif découplage existant lors du dimensionnement des circuits électriques et magnétiques d une MFT est valide jusqu à un certain pas polaire : d un pas polaire trop faible peut résulter un flux de fuite important. Pour un cahier des charges particulier, il existe donc un nombre de paires de pôles / un pas polaire optimal pour une MFT. Dans cette section, on se propose de vérifier cet aspect au travers d un exemple. En reprenant le cahier des charges de l application moteur-roue de la section précédente, le modèle analytique et la méthode de conception sont employés pour déterminer le nombre de paires de pôles, les caractéristiques géométriques et électriques d une MFTCPSH qui maximisent sa densité de couple. V Problèmes liés à l optimisation du nombre de paires de pôles En conservant les contraintes et requis de l application moteur-roue de la section V.3.1, l exemple proposé ici se distingue du précédent en intégrant, en plus des variables déjà optimisées dans l exemple précédent (k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob ), le nombre de paires de pôles p comme variable d optimisation pour maximiser la densité de couple de la machine. Tel qu expliqué à la section V.2.5, la méthode de conception développée a été implémentée dans l environnement Excel et la plupart des étapes du processus ont été automatisées à 215

237 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH l aide de procédures codées en langage Visual Basic. Si le choix de cet environnement a permis la réalisation rapide d un outil simple et didactique, ses capacités de développement sont relativement limitées. On rappelle que la méthode de conception développée nécessite l usage d un solveur codé en langage Visual Basic pour la détermination des flux en tenant compte de la saturation (c.f. section IV.2.5). De plus, le solveur interne du logiciel Excel est employé pour l optimisation des paramètres de la machine. L impossibilité de l emploi simultané de ces deux solveurs dans l environnement Excel contraint à effectuer le calcul des flux saturés en dehors de la boucle d optimisation (on renvoie le lecteur à la section IV.5 pour de plus amples détails). On rappelle que des valeurs de perméabilités saturées sont calculées après une optimisation et réintroduites dans le modèle analytique (étape 4 sur l organigramme de la Figure V-17). Le lancement de plusieurs optimisations et calculs de perméabilités successifs (étapes 2, 3 et 4 sur l organigramme de la Figure V-17) permettent la convergence vers une solution optimale après quelques dizaines d itérations (c.f. Figure IV-22 section IV.5). Si les exemples présentés jusqu alors prouvent que cet inconvénient ne semble affecter ni la méthode d optimisation ni les résultats, cet aspect pose un problème lorsque le nombre de paires de pôles p ou le pas polaire est une variable optimisée. Des essais d optimisation dans lesquels p est une variable optimisée avec le solveur d Excel ont permis d observer que la sensibilité de l optimisation à la variation de p n est pas adéquate, contrairement à celles des autres variables d optimisation : les essais montrent en effet une convergence des optimisations vers des valeurs de p qui s avèrent optimales dans le cas linéaire (matériaux linéaires) mais qui ne correspondent pas à la valeur optimale dans le cas saturé. En d autres termes, le fait que la saturation n est pas directement incluse dans la boucle d optimisation rend la variation de p insensible à la saturation, malgré le calcul des perméabilités saturées. Nos recherches ne nous ont pas permis de pouvoir déterminer de manière précise la raison pour laquelle le processus d optimisation tel que proposé semble fonctionner avec les variables d optimisations k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob mais ne converge pas de manière adéquate lorsque le nombre de paires de pôles p est une variable 216

238 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH d optimisation. On constate cependant que les résultats issus du modèle analytique tel que construit semblent beaucoup plus dépendants de la variation du nombre de paires de pôles p que ne le sont les autres variables optimisées. Cette dépendance est particulièrement évidente selon l état de saturation des pièces du circuit magnétique. Contrairement aux autres variables optimisées, la variation de p dans le modèle analytique développé affecte, de manière significative et à la fois, toutes les dimensions du circuit magnétique de la MFTCPSH dans le plan radial-circonférentiel. Cette variation a alors une influence conséquente sur le couple délivré par la machine ou ses pertes. Cette forte dépendance des résultats du modèle analytique à la variation de p peut s avérer une explication plausible au problème relevé. Deux solutions pourraient être envisagées afin de résoudre ce problème : 1) L inclusion de la prise en compte de la saturation dans la boucle d optimisation réalisée avec le solveur pourrait résoudre ce problème. Pour ce faire, l implantation de la méthode d optimisation dans un autre environnement de développement (Matlab, programme dédié en langage Visual Basic, C++, ) s avère nécessaire. 2) Il est possible qu un changement de formulation même du problème d optimisation ou du modèle analytique lui-même puisse résoudre ce problème. Dans le cadre de ce travail de thèse, nous ne choisirons aucune de ces deux solutions et admettons ce problème comme une limite au modèle et à la méthode actuels. L exploration d une de ces deux avenues pourrait constituer une suite à ce travail. Dans l immédiat, une alternative est proposée : celle de déterminer un nombre de paires de pôles optimal en réalisant plusieurs optimisations successives, considérant chacune des nombres de paires de pôles différents, mais en prenant soin à fixer le nombre de paires de pôles pendant chaque optimisation. L exemple de la section précédente a prouvé qu il est possible de déterminer une solution optimale pour un nombre de paires de pôles fixe pendant l optimisation. Si cette alternative permet de contourner le problème de sensibilité de la méthode développée à la variation du nombre de paires de pôles dans l optimisation, elle requiert également plus de temps qu une optimisation qui inclurait le nombre de paires de pôles comme variable d optimisation. 217

239 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V Optimisations réalisées en considérant des nombres de paires de pôles différents En suivant le principe décrit en fin de section précédente, on se propose ici de réaliser 9 optimisations successives considérant chacune un nombre de paires de pôles différent : l objectif visé est donc de maximiser le couple massique de 9 MFTCPSH avec respectivement 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 et 70 paires de pôles. Le principe de chacune des 9 optimisations demeure le même que celui employé à la section V.3.1 : le lecteur pourra se reporter à l organigramme de la Figure V-17 pour en revoir le principe de fonctionnement. Les contraintes imposées dans l exemple de la section V.3.1 sont également conservées (c.f. Tableau V-5). Pour cet exemple encore, on considère des noyaux statoriques constitués de SMC de type Atomet EM-1 [QMP1]. Le point de départ (design initial) de chaque optimisation est choisi de manière arbitraire : les valeurs initiales de k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob sont imposées pour chaque design initial aux valeurs optimales déterminées dans l exemple précédent (c.f. Tableau V-7). Le nombre de paires de pôles p de chaque design est respectivement imposé à 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 et 70. On rappelle que la section précédente a permis de montrer que le point de départ d une optimisation ne semble pas avoir d influence sur la solution optimale, aspect vérifié une fois encore dans cet exemple. Le Tableau V-13 présente les valeurs des variables optimisées pour chacun des 9 designs considérés. Ces mêmes valeurs sont également présentées de manière graphique sur la Figure V-27. Le Tableau V-13 permet également de comparer le couple massique T em /M, le couple moyen total T em (3 phases) et le rendement de chaque design optimal. La Figure V-28, reprend les résultats du tableau afin de comparer graphiquement le couple massique T em /M, le couple moyen total T em (3 phases) développés par chaque design optimal. La Figure V-29 affiche pour chaque design, les pertes magnétiques P fer, pertes Joule P Cu et ratio P fer /P Cu. La Figure V-30 montre le pas polaire et l induction en charge dans les noyaux de chaque design. 218

240 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Tableau V-13 : Valeurs optimales des variables optimisées et performances des 9 designs au nombre de paires de pôles variant de 25 à 70. Design # Design 1 Design 2 Design 3 Design 4 Design 5 Design 6 p (imposé) k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn k bob D bob [A/mm²] Pas polaire mm mm mm mm mm 9.34 mm T em [Nm] T em /M[Nm/kg] [%] Design # Design 7 Design 8 Design 9 p (imposé) k smag k rot pour ce cahier des charges, la k ap valeur de p qui maximise le couple k cp massique se trouve entre 45 et 50. k rp k hb k hp k pn k bob D bob [A/mm²] Pas polaire 8.54 mm 7.85 mm 6.79 mm T em [Nm] T em /M[Nm/kg] [%] v Note 1 : Variables fixes : R a = 160 mm, e = 0.80 mm, P r = 39 mm et N rot = 600 rpm. p est fixé pendant l optimisation mais sa valeur varie d un design à l autre. Note 2 : T em, T em /M et représentent respectivement le couple moyen délivré par la machine (3 phases), le couple massique et le rendement. Note 3 : le pas polaire est calculé ainsi : R s / p, où R s est le rayon du stator et p le nombre de paires de pôles. 219

241 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-27: Valeurs des param. optimisés k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob en fonction du design considéré (p pour chaque design). Note : D bob en [A/mm²]/10 Figure V-28: Couple massique T em /M (traits pleins) et couple moyen T em (3 phases) (pointillés) développé par chaque design optimal déterminé (p pour chaque design). 220

242 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-29: Pertes magnétiques P fer, pertes Joule P Cu et ratio P fer /P Cu pour chaque design optimal déterminé (p pour chaque design). Figure V-30: Pas polaire (pointillés) et induction dans le noyau du stator (traits pleins) pour chaque design optimal déterminé (p pour chaque design). 221

243 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Une observation attentive des résultats du Tableau V-13 et des courbes des Figure V-27 à Figure V-30 permet de formuler les remarques suivantes : 1) Les valeurs de couple massique présentées dans le Tableau V-13 et à la Figure V-28 montrent qu il existe un nombre de paires de pôles qui maximise la densité de couple. Pour le cahier des charges considéré dans cet exemple, un nombre de paires de pôles p situé entre 45 et 50 (pas polaire proche de 10 mm) semble maximiser la densité de couple de la MFTCPSH : la courbe de la Figure V-28 en pointillés atteint un maximum supérieur à Nm/kg entre les designs 5 et 6. 2) Les résultats obtenus montrent que les designs optimaux ne satisfont toutes les contraintes du cahier des charges que lorsque leur nombre de paires de pôles p se situe entre 25 et 55 (c.f. Tableau V-13 + Figure V-28) : dans le cas des designs # 1, 7, 8 et 9 (i.e. p [25;55]), le couple moyen est inférieur à 400 Nm. Lors des optimisations effectuées, il a été choisi de respecter la contrainte de rendement supérieur à 90 %. La contrainte voulant que le couple moyen soit supérieur à 400 Nm aurait cependant pu être respectée au prix d un rendement inférieur à 90 %. 3) D un design à l autre, les valeurs optimales de certains paramètres optimisés semblent varier de manière linéaire (c.f. Figure V-27) : par exemple, les valeurs optimales du paramètre k pn croissent de manière relativement linéaire avec p lorsque celles de k cp semblent décroître. La variation de la densité de courant D bob en fonction de p est quant à elle plutôt hyperbolique comme semble l être celle de k rot. 4) Les pertes Joule des designs optimaux déterminés décroissent avec l augmentation du nombre de paires de pôles p (c.f. Figure V-29). Cette observation est à mettre en relation avec la décroissance de la densité de courant D bob (c.f. Figure V-27). 5) Les pertes magnétiques des designs optimaux croissent avec l augmentation du nombre de paires de pôles p avant d atteindre un maximum lorsque p est proche de 50 et de décroître pour p > 50 (c.f. Figure V-29). Si l augmentation des pertes fer pouvait être attendue en raison de l augmentation de la fréquence de variation du flux, la diminution de ces dernières lorsque p dépasse 50 est plus surprenante. Les 222

244 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH résultats obtenus montrent que la réduction du pas polaire entraîne la réduction du flux dans chaque paire de pôles de la machine. On observe également une réduction du flux total lié au bobinage de la machine. La diminution du flux vient atténuer en partie la croissance des pertes magnétiques lorsque p augmente de façon à respecter la contrainte imposée sur le rendement. 6) Dans le cas du cahier des charges considéré, le ratio pertes fer P fer sur pertes Joule P Cu semble augmenter de manière exponentielle avec le nombre de paires de pôles p (c.f. Figure V-30). V Conclusions et observations sur l exemple présenté : Dans cet exemple, le modèle et la méthode ont été employés afin de maximiser la densité de couple d une MFTCPSH en considérant, en plus des variables d optimisation déjà utilisées à la section précédente, le nombre de paires de pôles dans l optimisation. Dans le cas du cahier des charges considéré, les résultats présentés montrent qu un nombre de paires situé entre 45 et 50 (pas polaire proche de 10 mm) maximise le couple massique de la machine : avec les contraintes imposées, le couple massique maximum déterminé se situe autour de 22.8 Nm. L exemple présenté permet également de vérifier un aspect généralement admis dans le cas des MFT : l emploi d un nombre de paires de pôles relativement important ou l utilisation d un pas polaire faible (autour de 10 mm) permet d accroître le couple massique de la machine. Tel qu évoqué dans la littérature [DUB3], l exemple montre également qu il existe une limite à partir de laquelle l augmentation du nombre de paires de pôles / la réduction du pas polaire n accroît plus et /ou détériore les performances de la machine : dans le cas présenté, on observe une détérioration du couple massique et l impossibilité de satisfaire toutes les contraintes de l optimisation pour un pas polaire inférieur à 9 mm 3. L exemple présenté dans cette section a également permis de montrer une limite liée à l implémentation du modèle dans l environnement Excel : l implémentation actuelle ne 3 L exemple présenté considère un entrefer de 0.8 mm. L imposition d une autre valeur d entrefer peut mener à des résultats différents tel que l explique Dubois et al. dans [DUB6] 223

245 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH permet pas l emploi direct du nombre de paires de pôles comme variable d optimisation. Pour contourner cette limitation, une solution est proposée : imposer le nombre de paires de pôles, en procédant à plusieurs optimisations indépendantes, considérant des nombres de paires de pôles différents. L inconvénient principal de cette solution est le temps requis par la démarche proposée. Par rapport à une implémentation qui permettrait l inclusion du nombre de paires de pôles dans la boucle d optimisation, la durée de la démarche est plus longue et dépend du nombre de cas de paires de pôles étudié. Dans l exemple présenté, 9 optimisations (considérant 9 nombres de paires de pôles différents) ont été étudiées : la durée totale de l étude a été de près de 80 heures (9 x 8 h. 30 min.). On peut supposer que cette durée est près de 9 fois plus importante que celle d une optimisation réalisée avec une implantation de la méthode qui aurait permis de considérer le nombre de paires de pôles dans la boucle d optimisation. Une suite logique à ce travail pourrait considérer l implantation de la méthode et du modèle dans environnement de développement plus adéquat. Pour finir, cette étude a permis de constater l apparition de problèmes de sensibilité du modèle lorsque le pas polaire de la machine est très faible. Dans l exemple traité, ces problèmes se manifestent pour un nombre de paires de pôles supérieur à 70 (pas polaire inférieur à 6.5 mm environ). Dans ce cas, on constate que la direction de variation du couple moyen ou du couple massique, entraînée par le changement de valeur de certaines variables d optimisation, est différente dans le cas du modèle analytique de celle observée avec la simulation EF. En d autres termes, la variation d un paramètre peut entrainer l augmentation du couple moyen dans le cas du modèle analytique lorsque le calcul des champs montre une diminution du couple pour cette même variation. Ce phénomène a notamment été constaté pour les variables k smag, k rot et k ap. Ce problème de sensibilité est responsable de problèmes de convergence : l optimisation telle réalisée selon la méthode développée, oscille après 2 itérations avec le calcul des champs sans converger clairement sur une solution optimale. Tel qu observé auparavant par Cros et al. [CROS], on constate également que l application de facteurs de correction ne résoud pas ce problème de sensibilité inhérent au modèle analytique. Le problème de 224

246 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH sensibilité observé montre donc que le modèle et la méthode développés ne sont pas adéquats dans le cas de pas polaires faibles 70 (pas polaire inférieur à 6.5 mm environ. Il s agit là d une limite au modèle et à la méthode proposés, à ce stade de développement, dans ce travail de thèse. La solution optimale présentée dans cet exemple et déterminée pour p = 70, a finalement été obtenue à partir d une exploration manuelle du domaine des solutions : elle a principalement été déterminée par extrapolation à partir des tendances observées sur la variation des variables d optimisation dans le cas des solutions pour des nombres de paires de pôles inférieurs à 70. Cette intervention du concepteur contribue à rallonger la durée de l optimisation et nécessite la prise de précautions particulières pour éviter la convergence vers des optimums locaux (vérifications multiples des solutions optimales obtenues). La résolution de ce problème de sensibilité du modèle est proposée comme une possible avenue de recherche après ce travail de thèse. 225

247 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH V.3.3 Exploitation du concept de stator hybride pour la maximisation de la densité de couple d une MFTCPSH Tel qu expliqué au chapitre II, le concept de stator hybride provient de l usage de deux matériaux différents au stator de la MFTCPSH : l emploi de SMC pour la fabrication des pieds ou griffes de la machine et de tôles Fe-Si ou de matériaux amorphes pour les noyaux en C. Des résultats de simulation EF et des travaux expérimentaux ont déjà permis d apprécier une réduction des pertes ferromagnétiques par l emploi de noyaux en Fe-Si ou amorphes [DEH1]-[DEH3]. Cette section présente un troisième exemple d application du modèle et de la méthode développés afin de comparer des designs de MFTCPSH optimaux à noyaux en C constitués de SMC, de tôles Fe-Si ou de matériau amorphe, dans le cadre d une application moteur-roue. V Maximisation de la densité de couple de 3 MFTCPSH de 40 paires de pôles à noyaux en C constitués de SMC, de tôles Fe-Si ou de matériaux amorphes. En reprenant le cahier des charges de l application moteur-roue présentée à la section V.3.1, cette section présente les résultats d optimisation obtenus pour 3 MFTCPSH de 40 paires de pôles avec des noyaux en C constitués dans le premier cas de SMC, de tôles Fe-Si dans le deuxième cas et de matériaux amorphes pour la troisième machine. En suivant le principe et les contraintes de l optimisation décrite à la Figure V-17, le couple massique de chacune de ses machines a été maximisé. Comme dans les deux exemples précédents, l optimisation porte sur les variables k smag, k rot, k ap, k cp, k rp, k hb, k hp, k pn, k bob et D bob pendant que les paramètres R a, e, P r, p, et N rot demeurent fixes. Dans le cas de la MFTCPSH à noyaux en SMC, les caractéristiques magnétiques considérées sont celles de l Atomet EM-1 [QMP1]. Les pertes magnétiques dans les noyaux en SMC sont calculées à partir de l équation (V-29) et selon les hypothèses présentées en V Dans cet exemple, la machine à noyaux de tôles Fe-Si prend en compte les caractéristiques magnétiques d une tôle de type M19 d épaisseur 0.35 mm [PROT]. Les pertes ferromagnétiques dans les noyaux en C de tôles sont évaluées à partir de l équation (V-27). Enfin, la machine à noyaux amorphes considère l emploi de noyaux de type POWERLITE fait d alliage amorphe 2605SA1 [METG] dont les pertes 226

248 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH ferromagnétiques dans les amorphes sont calculées à partir de (V-28). Les caractéristiques B-H de chacun de ces trois matériaux considérés sont présentées à l annexe 1. Le Tableau V-14 présente les valeurs des variables optimisées pour chacune des 3 MFTCPSH. Il permet également de comparer le couple massique T em /M tot, le couple moyen total T em (3 phases), la puissance P em (3 phases), les pertes Joule P cu (3 phases), les pertes ferromagnétiques évaluées dans les noyaux P noy (3 phases), les pertes magnétiques totales P fer (3 phases), les pertes totales P tot, l induction maximale dans le noyau B max et le rendement de chacun des 3 designs optimaux. Tableau V-14 : Perf. des 3 designs optimaux de MFTCPSH, à noyaux en SMC, à noyaux Fe-Si et à noyaux amorphes après maximisation de la densité de couple Paramètre MFTCPSH à noyaux en SMC MFTCPSH à noyaux Fe-Si MFTCPSH à noyaux amorphes p k smag k rot k ap k cp k rp k hb k hp k pn k bob D bob [A/mm²] Couple massique T em / M tot Nm/kg Nm/kg Nm/kg Couple moyen T em (3 phases) Nm Nm Nm Puissance P em (3 phases) kw kw kw Pertes Joule P Cu (3 phases) 992 W 1494 W 1492 W Pertes fer. dans les noyaux P noy (3 phases) 854 W 220 W 30 W Pertes fer. totales P fer (3 phases) 1606 W 906 W 595 W Pertes totales P tot (3 phases) 2598 W 2400 W 2087 W Induction max. dans le noyau B max 1.41 T 1.67 T 1.53 T Rendement % % % 227

249 V. Développement d une méthode et d un modèle pour la maximisation du couple d une MFTCPSH Figure V-31: 1 paire de pôles de chacun des designs optimaux de MFTCPSH à noyaux en SMC (haut), à noyaux de tôles Fe-Si (milieu), à noyaux amorphes (bas) Les résultats présentés pour la MFTCPSH à noyaux en SMC correspondent à ceux obtenus dans le cadre de l optimisation déjà réalisée à la section V.3.1 (c.f. Tableau V-7). Les solutions optimales pour les machines à noyaux Fe-Si et amorphes ont été obtenues après respectivement 4 et 6 étapes de validation avec le calcul des champs. La solution optimale déterminée dans le cas de la machine à noyaux en SMC a servi de point de départ aux optimisations des deux autres machines. Le caractère optimal des solutions obtenues a aussi été vérifié en considérant d autres points de départ. La Figure V-31 montre une paire de pôles de chacun des designs optimaux obtenus. L analyse des résultats du Tableau V-14 permet de formuler les observations suivantes : 1) Les valeurs optimales des variables optimisées sont différentes d un design à l autre, différences que les caractéristiques magnétiques des 3 types de noyaux (perméabilité, saturation et pertes) expliquent en grande partie. Par exemple, la 228