ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية. Ministère de l'enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

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1 ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية Minisère de l'enseignemen Supérieur, de la Formaion des Cadres e de la Recherche Scienifique Présidence du Concours Naional Commun 15 École Naionale Supérieure d Élecricié e de Mécanique CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Éablissemens de Formaion d'ingénieurs e Éablissemens Assimilés Édiion 15 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Filière PSI Durée 4 heures Cee épreuve compore 4 pages au forma A4, en plus de cee page de garde L'usage de la calcularice es inerdi Page de garde

2 L'énoncé de cee épreuve, pariculière aux candidas de la lière PSI, compore 4 pages. L'usage de ou maériel élecronique, y compris la calcularice, es inerdi. Les candidas son informés que la qualié de la rédacion e de la présenaion, la claré e la précision des raisonnemens consiueron des élémens imporans pour l'appréciaion des copies. Il convien en pariculier de rappeler avec précision les références des quesions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candida repère ce qui lui semble êre une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie e poursui sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu'il es amené à prendre. Le suje de cee épreuve es composé de deux problèmes indépendans enre eux. Problème 1 Éude d'une foncion dénie par une inégrale 1 ère Parie Convergence e calcul de l'inégrale 1.1. Convergence de l'inégrale en quesion Monrer que la foncion 1 cos es inégrable sur l'inervalle ], + [ Monrer que, pour ou couple (, a) de réels els que < < a, on a d = 1 cos a a 1 cos + 1 cos En déduire que l'inégrale d es convergene. 1.. Calcul d'une inégrale auxiliaire Monrer que, pour ou R \ Z e ou n N, 1 n + cos(k) = somme 1 n + cos(k) si Z? k= On prolonge la foncion sin k=1 d d. sin. Que vau la par coninuié en. Monrer que si = ; 1.3. On considère la foncion g dénie sur le segmen [, ] par : g() = Monrer que g es de classe C 1 sur [, ] Monrer que En déduire que g() sin d = g() sin d n Calcul de l'inégrale en quesion Monrer que Conclure que sin d n + d =.. g () cos d. 1 sin d =. 1 si <. Épreuve de Mahémaiques I 1/4

3 ème Parie Applicaion à l'éude d'une foncion.1. Soi x un réel non nul Monrer que la foncion 1 cos(x) (1 + ) es inégrable sur l'inervalle [, + [..1.. Monrer que, pour ou réel a >, sin(x) En déduire que l'inégrale Dans la suie du problème, on pose f(x) =.. Monrer que la foncion f es impaire..3. Éude de f au voisinage de + d = 1 cos(xa) x(1 + a) sin(x) 1 + sin(x) 1 + d = 1 x.3.1. Monrer que, pour ou x >, f(x) x.3.. Vérier que, pour ou x >, f(x) = 1 x 1 x +, on a f(x) = 1 x + O ( 1 x ). + 1 x 1 cos(x) (1 + ) d. d es convergene e que sin(x) cos(x) (1 + ) d. d, x. e en déduire la limie de f en +. cos(x) d puis monrer qu'au voisinage de (1 + ).4. Sens de variaion de f 1 cos u.4.1. Monrer que, pour ou x >, f(x) = (x + u) du..4.. En déduire que f es sricemen décroissane sur ], + [ e sur ], [..5. Éude de la régularié de f sur ], + [ sin(x).5.1. On noe h la foncion dénie sur l'inervalle ], + [ par : h(x) = (1 + ) 3 d. Jusier la convergence de l'inégrale dénissan h e monrer que h es de classe C 1 sur ], + [ puis exprimer sa dérivée sous forme inégrale..5.. Jusier que, pour ou (x, y) ], + [, h(x) h(y) 1 x y Monrer que, pour ou x >, f(x) = 1 x sin(x) x d e en déduire que f es de classe (1 + ) 3 C 1 sur l'inervalle ], + [..6. Éude de f à droie en.6.1. Monrer que, pour ou x >, f(x) = x u(x + u) du..6.. Monrer que, pour ou x >, u(x + u) du 1 + ln(1 + x) ln x En déduire la limie de f en + e jusier que, pour ou x >, < f(x) < = sup f() Monrer que, pour ou x >, < f(x) x = + u(x + u) du + > du puis en u(x + u) déduire que la foncion x f(x) x end vers + lorsque x end vers +. On pourra jusier e uiliser le fai que, pour ou [, ],..7. Donner une inerpréaion graphique du résula de la quesion.6.4. précédene e dessiner l'allure de la courbe représenaive de f..8. Monrer que la foncion x f (x) es inégrable sur l'inervalle ], + [. Épreuve de Mahémaiques I /4

4 Problème Éude d'un problème de dirichle Dans ce problème, le nombre d es un enier naurel sricemen posiif. On noe. 1 la norme dénie d sur R d par x 1 = x i, pour ou x = (x 1,..., x d ) R d. Pour ou x Z d, on déni V (x) le voisinage i=1 discre (sous-enendu dans Z d ) de x par : V (x) = y Z d ; y x 1 = 1}. Ce voisinage es l'ensemble des plus proches voisins de x, il es ni de cardinal d. Si A es une parie non vide de Z d, on noe I(A) l'ensemble des x A els que V (x) A e A le complémenaire dans A de I(A). On remarquera que pour A = Z d on a I(A) = A e A =, e pour A ni de cardinal < d, on a I(A) = e A = A. On di qu'une foncion f : A R es harmonique sur I(A) si, pour ou x I(A), f(x) = 1 d y V (x) Toues les variables aléaoires considérées dans ce problème son supposées dénies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P ) qu'il n'es pas nécessaire d'explicier. 1 ère Parie f(y). Foncions harmoniques sur le graphe Z d Dans les rois premières quesions de cee parie, on prend d = Monrer qu'une foncion f : Z R es harmonique sur Z si, e seulemen si, quel que soi l'enier relaif k, on a f(k + ) f(k + 1) + f(k) =. 3.. Monrer que l'ensemble des foncions harmoniques sur Z es un espace vecoriel de dimension, préciser une base de ce espace Monrer que l'ensemble des foncions f : Z R, harmoniques sur I(Z ), es un espace vecoriel de dimension 4, préciser une base de ce espace. On commencera par déerminer I(Z ). Dans la suie de cee parie, d es un enier sricemen posiif quelconque On considère une foncion f : Z d R, posiive e harmonique sur Z d Monrer que, pour ou k Z d e ou l V (k), f(l) d f(k) Monrer que, pour ou k Z d e ou l Z d, f(l) (d) l k 1 f(k) Monrer que si k Z d e f(k) =, alors f es la foncion nulle Monrer que si f n'es pas la foncion nulle, alors, pour ou l Z d, ln(f(l)) ln(f(k)) l k 1 ln(d). ème Parie Problème de dirichle sur le graphe Z Dans cee parie d =. La base canonique de R es noée (e[1], e[]). On considère une suie de variables aléaoires (X n ) n N qui son muuellemen indépendanes e de même loi, la loi uniforme sur l'ensemble D =, 1, 1, }. On déni une suie de variables aléaoires (Y n ) n N en posan Y n + e[1] si X n = 1 Y n e[1] si X n = 1 Y = (, ), e n N, Y n+1 = Y n + e[] si X n = Y n e[] si X n = Épreuve de Mahémaiques I 3/4

5 Noer que chaque Y n es un couple de variables aléaoires enières qu'on écri Y n = (Y n,1, Y n, ). La suie Y es appelée une marche aléaoire symérique sur Z, issue de (, ). On modélise ainsi l'évoluion d'un poin mobile sur Z, qui à ou insan n choisi au hasard uniforme un des 4 plus proches voisins de sa posiion précédene Y n 1. Soi ν un enier, xé dans ce qui sui Pour ou a = (a 1, a ) Z vérian a 1 < ν on considère l'événemen A a,ν : "il exise n N el que a + Y n 1 = ν." Monrer que ce événemen es cerain, c'es-à-dire de probabilié égale à 1. On pourra commencer par monrer l'implicaion suivane : Si pour ou n, ν < a 1 +Y n,1 < ν alors il n'exise pas d'enier j el que X j = X j+1 =... = X j+ν = 1. On déni une variable aléaoire réelle T a en posan, pour ou aléa ω Ω, minn N ; a + Y n 1 = ν} si ω A a,ν ; T a (ω) = si ω / A a,ν Monrer que, pour ou sous-ensemble W de R, P (Y Ta W ) = + m=1 P (Y m W e T a = m). Pour ou m N, on noe K m la boule discrèe de rayon m, K m = x Z ; x 1 m}. On uilisera sans avoir à le prouver les propriéés évidenes I(K m ) = K m 1 e K m = x Z ; x 1 = m}. 4.. Soi ϕ une foncion de K ν dans R. On déni une foncion f : K ν R en posan : E ( ϕ(a + Y Ta,ν ) ) si a K ν 1 ; f(a) = ϕ(a) si a K ν. Il s'agi dans cee secion de prouver que f es harmonique sur I(K ν ) Monrer la relaion E ( ϕ(a + Y Ta ) ) = n, z kν en jusian l'exisence de la somme e de l'espérance. ϕ(z)p (T a = n e a + Y n = z) 4... On suppose a 1 ν. Monrer que, pour ou enier n e ou z Kν, P (T a = n e a + Y n = z) = On suppose que a 1 ν. Monrer que f(a) = On suppose que a 1 = ν 1. Monrer que f(a) = Conclure. P (T b = n 1 e b + Y n 1 = z). N.B. : On peu monrer (mais ce n'es pas demandé) que f es la seule foncion harmonique sur K ν qui coïncide avec ϕ sur K ν. f(b). f(b). Fin de l'épreuve Épreuve de Mahémaiques I 4/4