Première S : Exercices sur les barycentres

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1 Première S : Exercices sur les barycentres Exercice 1 : 1. Montrons que G est le barycentre de (A, ), (B, 1), (C, ) et (D, 1) AG ( BC DC ) AG ( GC GB GC GD ) = GC GB GD GA GB GC GD 0 G est le barycentre de (A, ), (B, 1), (C, ) et (D, 1).. Montrons que les points I, J et G sont alignés. I est le milieu de [AC] donc I est le barycentre de (A, ) et (C, ). J est le milieu de [BD] onc J est le barycentre de (B, 1) et (D, 1). Par associativité, G est le barycentre de (I, 4) et (J, ) donc I, J et K sont alignés.

2 Exercice : 1. Figure :. G est le barycentre de (A, 1), (B, ), (C, 1) et (D, ) avec la somme des coefficients non nulle.. K barycentre de (A, 1) et (B, )} et L barycentre de (C, 1) et (D, ) donc G est le barycentre de (K, ) et (L,) d où G appartient à (KL). De même G barycentre de (A, 1), (C, 1), (B, ) et (D, ), soit de (I, ) et (J, 4), G appartient à (IJ).. G est le barycentre de (K, ) et (L, ), soit le milieu de [KL], G et M sont confondus. G est également sur (IJ) et le barycentre de (I, 1) et (J, ). Exercice :

3 1. G est le barycentre de (A, 1), (B, ) et (C, ) et I le milieu de [BC] donc le barycentre de (B, ) et (C, ). On peut en conclure, par associativité, que G est le barycentre de (A, 1) et (I, 4) donc G appartient à la droite (AI).. H le symétrique de A par rapport à B équivaut à HA = HB. H est le barycentre de (A, 1) et (B, ). Montrer G est le barycentre de (A, 1), (B, ) et (C, ) donc par associativité, G est le barycentre de (I, 1) et (C, ) d où C, G et H sont alignés. Exercice 4 : 1. Montrons que B est le barycentre de (K ; ) et (C ; 1). K est le barycentre de (C ; 1) et (B ; 4) donc KC 4 KB 0 KC 4 KB 0 KB BC 4 KB 0 KB BC 0 BK BC 0 B est le barycentre de (K ; ) et (C ; 1).. Barycentre de (A ; ), (K ; ) et (C ; 1) ; Par associativité, le barycentre de (A ; ), (K ; ) et (C ; 1) est le barycentre de (A, ) et (B, 4) donc de (A, 1) et (B, ). Le barycentre est le point J.. Montrons que J est le milieu de [IK]. J est le barycentre de (A ; ), (K ; ) et (C ; 1). Par associativité, J est le barycentre de (K ; ) et (I ; ) donc de (K ; 1) et (I ; 1). Ce qui justifie que Jest l isobarycentre de K et I donc le milieu de [IK].

4 Exercice 5 : 1. Démontrons que les points A, K et L sont alignés. K est le barycentre de (A, ), (B, ), (C, 1), (D, 1) et (E, 1) avec la somme des coefficients non nulle. BC DE donc le quadrilatère BCDE est un parallélogramme d où le point L, intersection de (EC) et (BD) est le centre du paralélogramme donc l isobarycentre de B, C, D et E. K est le barycentre de (A, ), (B, ), (C, 1), (D, 1) et (E, 1) avec la somme des coefficients non nulle. Par associativité, K est le barycentre de (A, ) et (L, 4) donc de (A, 1) et (L, ) donc A, L et K sont alignés K est le barycentre de (A, 1) et (L, ) donc LK LA LA 1. Montrons que le point K est le centre de gravité de ABD et de ACE. 1 LK LA et L milieu de [BD] donc K est le centre de gravité du triangle ABD. 1 LK LA et L milieu de [CE] donc K est le centre de gravité du triangle ACE. Exercice 6 : Soit ABCD un parallélogramme, I le milieu de [CD] et E le symétrique de A par rapport à B. Les droites (AC) et (IB) se coupent en F. Le but de l exercice est de montrer que les points D, F et E sont alignés.

5 Soit G le barycentre de (A, 1), (E, 1), (D, ) et (C, ). 1. Montrons que Gest l isobarycentre du triangle BCD. E est le symétrique de B par rapport à A donc Best l isobarycentre de A et E. Par associativité, G est le barycentre de (B, ), (D, ) et (C, ) d où G est l isobarycentre du triangle BCD. Les points B, G et I sont donc alignés.. Montrons que les points A, G et C sont alignés. Montrons que les points G et F sont confondus. G étant le centre de gravité du triangle BCD, (CG) est une médiane du triangle BCD et coupe [BD] en son milieu O. Comme le quadrilatère ABCD est un parallélogramme alors C, O et A sont alignés donc C, G et A sont alignés. G appartient à (BI) et (AC) donc F et G sont confondus.. Démontrons que les points D, F et E sont alignés. F est le barycentre de (A, 1), (E, 1), (D, ) et (C, ) donc FA FE FD FC 0 F centre de gravité du triangle BCD donc FA FC 0, ce qui permet de conclure que FE FD 0 donc E, F et D sont alignés. Exercice 8 : 1. Figure.

6 . Montrons que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes en G. Soit G le barycentre de (A, ), (B, 4) et (C, ). I est le barycentre de (B, ) et (C, 1) donc de (B, 4) et (C, ). Par associativité, G est le barycentre de (A, ) et (I, 6) donc A, I et G sont alignés. J est le barycentre de (A, ) et (C, ). Par associativité, G est le barycentre de (J, 5) et (B, 4) donc B, J et G sont alignés. K est le barycentre de (A, ) et (B, 4). Par associativité, G est le barycentre de (K, 7) et (C, ) donc C, K et G sont alignés. G étant aligné avec A et I, B et J, C et Kest le point d intersection de (AI), (BJ) et (CK). Exercice 9 : 1. Déterminons les coefficients pour lesquels I est le barycentre de (A, a), (B, b), J celui de (A, a ), (C, c) et K celui de (B, b ), (C, c ). I est le milieu de [AB] donc I est le barycentre de (A, 1) et (B, 1). JC JA JA JC 0 donc J est le barycentre de (A, ) et (C, ). est de la forme c BK ' BC d où c ' et ' BK BC b ' c ' K est le barycentre de (B, ) et (C, ). b.. Démontrons que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en G barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ). G est le barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ) donc par asociativité de (I, 4) et (C, ) ce qui justifie que G appartient à (CI).

7 G est le barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ) donc par asociativité de (J, 1) et (B, ) ce qui justifie que G appartient à (BJ). G est le barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ) donc par asociativité de (K, 1) et (A, ) ce qui justifie que G appartient à (AK). Les droites (AK), (BJ) et (CK) sont concourantes en G. Exercice 10 : 1. Déterminons les coefficients pour lesquels D est le barycentre de (A, a) et (B, b) et E celui de (B, b ) et (C, c ). 1 DB DA DA DB 0 donc D est le barycentre de (A, 1), (B, ). donc E est le barycentre de (B, ), (C, ). b' CE CB CB 5 b ' c '. Coefficients de I est barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ). Considérons I barycentre de (A, 1), (B, ) et (C, ). Par associativité, I est le barycentre de (D, ) et (C, ) donc I appartient à (CD). Par associativité, I est le barycentre de (E, 5) et (A, 1) donc I appartient à (AE). Iest bien le point d intersectionde (AE) et (CD).. Position du point F sur la droite (AC).

8 On suppose que F est le barycentre de (A, 1) et (C, ). On a D barycentre de (A, 1) et (B, ) donc A est le barycentre de (B, ) et (D, ). On a I barycentre de (D, ) et (C, ) donc C est le barycentre de (I, ) et (D, 1). F est donc le barycentre de (B, ), (D, ), (I, 6) et (D, ) donc de (B, 1) et (I, ). Ce qui justifie que B, I et F sont alignés donc que Fest bien le point d intersection de (BI) et (AC). 1 On donc CF CA. Ceci nous permet de positionner F sur (AC). 4 Exercice 15 : 1. G est barycentre de (A, 1), (B, ), (C, 1) et (D, ). K est barycentre de (A, 1) et (B, ) et L est barycentre de (C, 1) et (D, ) Donc par associativité, G est barycentre de (K, ) et (L, ) donc G est le milieu de [KL] qui est le point M.. M est barycentre de (A, 1), (C, 1), (B, ) et (D, ). Or I est milieu de [AC] donc isobarycentre de A et C. J est milieu de [BD] donc isobarycentre de B et D. Par associativité, on peut en conclure que M est barycentre de (I, ) et (J, 4) donc par homogénéité de (I, 1) et (J, ). On a donc MI MJ 0 ce qui équivaut à MI MJ. Exercice 17 : 1. Figure

9 . G est le centre de gravité du triangle ABC donc AG AI. Comme (GE) // (BC) d'après le théorème de Thalès, sous sa forme vectorielle, on a AE AC. b AE AC est de la forme AE AC. Si on pose b = alors a = 1 donc E est le a b barycentre de (A, 1) et (C, ).. AD AB AB BD AB AB BD donc B est le milieu de [AD] donc B est le barycentre de (A, 1) et (D, 1). 4. I est le milieu de [BC] donc le barycentre de (B, 1) et (C, 1) donc de (B, ) et (C, ). Comme B est le barycentre de (A, 1) et (D, 1) alors I est le barycentre de (A, 1) et (D, 1) et (C, ). Or E est le barycentre de (A, 1) et (C, ) donc par associativité, I est le barycentre de (E, ) et (D, 1). Par définition du barycentre de points I, D et E sont Exercice 18 : alignés. On a DI DE b est de la forme AE AB. Si on pose b = 1 alors a = donc E est le a b barycentre de (A, ) et (B, 1). 1 AE AB. A' est le milieu de [BC] donc le barycentre de (B, 1) et (C, 1).. a. I est le barycentre de (A, ) et (B, 1) et (C, 1) donc par associativité de (A, ) et (A', Ce qui permet de conclure que I est le milieu de [AA'].

10 4. b. I est le barycentre de (A, ) et (B, 1) et (C, 1) et E est le barycentre de (A, ) et (B, 1) donc par associativité, I est le barycentre de (E, ) et (C,1). Par définition du barycentre de points I, E et C sont alignés. Exercice 0 : Soit H le milieu de [DG]. H est le barycentre de (D, 1) et (G, 1) donc de (D, ) et (G, ). G est le centre de gravité du triangle ABC donc le barycentre de (A, 1), (B, 1) et (C, 1). Par associativité, H est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D, ). Or I est le milieu de [AB] donc le barycentre de (A, 1) et (B, 1) ; L est le barycentre de (C, 1) et (D, ) donc par associativité, H est le barycentre de (I, ) et (L, 4). Ceci permet de conclure que H appartient à la droite (IL). H est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D, ). Or J est le milieu de [BC] donc le barycentre de (B, 1) et (C, 1) ; K est le barycentre de (A, 1) et (D, ) donc par associativité, H est le barycentre de (J, ) et (K, 4). Ceci permet de conclure que H appartient à la droite (JK).

11 On peut conclure que H milieu de [DG] est bien le point d'intersection de (IL) et (JK). Exercice 1 : 1. F est le milieu de [ED] donc le barycentre de (E, 1) et (D, 1) soit de (E, ) et (D, ). Or E est le barycentre de (A, 1), (B, ) et (C, ) avec E pondéré par. Par associativité, F est le barycentre de (A, 1), (B, ), (C, ) et (D, ). G est le barycentre de (A, 1) et (D, ) donc de (A, 1) et (D, ). H est le barycentre de (B, ) et (C, ). Par associativité, F est le barycentre de (G, ) et (H, 1). Par définition du barycentre de points F, G et H sont alignés.. De même, F est le barycentre de (A, 1), (B, ), (C, ) et (D, ). G est le barycentre de (A, 1) et (D, ) donc de (A, 1) et (D, ). Par associativité, F est le barycentre de (G, ), (B, ) et (C, ). Par définition du barycentre de points B, C, F et G sont coplanaires.

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