Cours de Mathématiques. Travaux dirigés du cours. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

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1 Université Paris Dauphine Département MIDO Cours de Mathématiques Travaux dirigés du cours Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Licence M D

2 Table des matières Feuilles d exercices : n o 1 : variables aléatoires discrètes page 1 n o 2 : Intégration page 6 n o 3 : variables aléatoires page 12 n o 4 : Indépendance, calcul de lois. Théorème de Fubini page 14 n o 5 : Transformation de Fourier - Fonctions caractéristiques.... page 17 n o 6 : Variables gaussiennes page 19 n o 7 : Convergences - Loi des grands nombres page 22 n o 8 : Espérance conditionnelle page 26 Examens et partiels : Examen du 3 Février page 27 Examen du 27 Janvier page?? Examen du 14 Janvier page 31 Partiel du 13 Novembre page 34 Examen du 12 Janvier page 37 Examen du 16 Janvier page 39 Examen du 17 Janvier page 42 Partiel du 4 Novembre page 44 Examen du 13 Janvier page 47 Examen du 14 Janvier page 49 Examen du 13 Janvier page 52 Examen du 3 Janvier page 55 Partiel du 7 Novembre page 57 Examen du 10 Janvier page 59 Examen du 9 Janvier page 61 I

3 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 1 Variables aléatoires discrètes Algèbre et probabilités Exercice 1. Soit E un ensemble, g : E E. Montrer que 1 A g = 1 g 1 (A). Exprimer (en fonction de 1 A et de 1 B ) 1 A C, 1 A B, 1 A B. Exercice 2. Soient A, B, C des événements. Exprimer en fonction de A, B et C les événements suivants : seul A est réalisé les trois événements sont réalisés au moins un est réalisé au moins deux sont réalisés un seul est réalisé deux exactement sont réalisés aucun n est réalisé pas plus de deux ne sont réalisés Exercice 3. Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité, A et B deux événements. 1. On suppose P (A) = P (B) = 1 3. Trouver les valeurs maximales et minimales de P (A B). 2. On suppose P (A) = 1 4 et P (A B) = 1 3. Calculer P (B) dans les trois cas suivants : (a) A et B sont incompatibles (b) A et B sont indépendants (c) A implique B. Exercice 4. Soit (ε n ) n N une suite de réels positifs telle que + n=1 ε n < + On pose ε = + n=1 ε n < + 1

4 Soit (A n ) n 1 une suite d ensembles vérifiant P (A n ) 1 ε n. Montrer que P ( n 1 A n ) 1 ε. Exercice 5. Formule de Poincaré Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité. 1. Montrer que, pour toute suite finie (A 1,..., A n ) d éléments de A, on a En déduire la formule où 1 n i=1 A i = 1 n (1 1 Ai ) i=1 P [ n i=1a i ] = p 1 p ( 1) n 1 p n p k = 1 i 1 <i 2 <...<i k n P (A i1... A ik ) 2. On répartit au hasard r boules dans n cases, numérotées de 1 à n. (a) Quelle est la probabilité pour que la case i soit vide? (b) Quelle est la probabilité pour qu aucune case ne soit vide? (c) Quel est le nombre d applications surjectives d un ensemble à r éléments dans un ensemble à n éléments? (r n) Probabilités conditionnelles Exercice 6. On considère un stock d ampoules électriques dont 70% viennent d une usine 1 et le reste d une usine 2. Il y a deux types d ampoules : le type A et le type B. L usine 1 produit 80% d ampoules de type B alors que l usine 2 n en produit que 60%. On prélève au hasard une ampoule dans le stock. 1. Quelle est la probabilité pour que cette ampoule soit du type B? 2. Quelle est la probabilité pour qu elle sorte de l usine 1 sachant qu elle est du type B? Exercice 7. On considère trois dés A, B et C dont les faces sont peintes de la manière suivante : A a cinq faces rouges et une blanche, B a cinq faces blanches et une rouge, C a trois faces rouges et trois blanches. On prend (au hasard) l un des trois dés et on le lance trois fois de suite. 1. Quelle est la probabilité pour que la face obtenue au k-ième jet soit rouge (k = 1, 2 ou 3)? 2. Lorsque la face obtenue au premier jet est rouge, quelle est la probabilité pour que la face obtenue au second jet soit rouge? 2

5 3. Même question pour le troisième jet lorsque les faces obtenues aux deux premiers jets sont rouges. 4. On suppose que toutes les faces obtenues ont été rouges. Quelle est la probabilité pour que le dé choisi soit A? Exercice 8. On lance deux dés successivement, de manière indépendante. On considère les événements suivants : A : le premier dé donne une face impaire ; B : le second dé donne une face impaire ; C : la somme des deux valeurs obtenues est impaire. Montrer que A, B et C sont deux à deux indépendants. Les trois événements sont-ils indépendants? Exercice 9. Soient (X n ) n, (Y n ) n deux suites de variables aléatoires définies sur (Ω, A, P ), à valeurs dans {0, 1}. On suppose que les variables aléatoires {X n, Y m, n 1, m 1} sont mutuellement indépendantes et que, pour tout n, P (X n = 1) = p, P (Y n = 1) = q où p, q ]0, 1[. 1. On pose S n = n X m, T n = m=1 Quelles sont les lois de S n et T n? 2. Soit et n X m Y m (n 1) m=1 ν(ω) = inf{n 0, T n+1 (ω) = 1} S ν (ω) = S ν(ω) (ω)1 0<ν(ω)<+ (inf = + ) Montrer que ν et S ν sont des variables aléatoires? Quelle est la loi de ν? 3. Montrer que, pour 1 k n, P {X k = 1 ν = n} = P {X k = 1 X k Y k = 0} = 4. Montrer que, pour tous x 1, x 2,..., x n {0, 1}, P { n i=1(x i = x i ) ν = n} = p(1 q) 1 pq n P {(X i = x i ) ν = n} En déduire la valeur de P {S ν = k ν = n} puis E{S ν ν = n} et E{S ν }. i=1 Variables aléatoires discrètes Exercice 10. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N, de loi de Poisson de paramètre λ. 3

6 1. Calculer E(X), Var X et E ( 1 1+X ). 2. On pose Y = ( 1) X. Trouver la loi de Y. Calculer E(Y ) et Var Y. Exercice 11. Soit X une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre b, où 0 < b < 1. Soit m un entier strictement positif. On pose Y = max(x, m), et Z = min(x, m). Trouver la loi de Y. Montrer que Y + Z = X + m. Calculer E(Y ) et en déduire E(Z). Exercice 12. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique donnée par : P (X = n) = P (Y = n) = (1 a)a n n 0 (où 0 < a < 1). On pose M = min(x, Y ) et Z = Y X. 1. Calculer P (X k). 2. Calculer P (M k), et en déduire P (M = k). Quelle est la loi de M? 3. Pour tous k N, r Z, calculer P (M = k, Z = r). Pour cela, on distinguera le cas r 0 du cas r < En déduire la loi de Z. Que peut-on dire des variables aléatoires M et Z? Exercice 13. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, à valeurs dans Z : P (X i = x) = p x, pour tout x Z. On pose U n = max(x 1, X 2,..., X n ) et V n = min(x 1, X 2,..., X n ) 1. Montrer que U n et V n sont des variables aléatoires. 2. Trouver leurs lois ainsi que la loi du couple (U n, V n ). U n et V n sont-elles indépendantes? 3. Determiner lim n U n et lim n V n. Fonctions génératrices Exercice (a) Soit X 1 une variable aléatoire, de loi binomiale B(n, p) (n 2). Calculer la fonction génératrice G 1 de X 1. En déduire E(X 1 ) et Var(X 1 ). (b) Soient X 1 et Y 1 deux variables aléatoires indépendantes, de lois binomiales B(n, p) et B(m, p). Donner la loi de probabilité de X 1 + Y (a) Soit X 2 une variable aléatoire, de loi de Poisson de paramètre λ (λ > 0). Calculer la fonction génératrice G 2 de X 2. En déduire E(X 2 ) et Var(X 2 ). (b) Soient X 2 et Y 2 deux variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson P(λ) et P(µ). Donner la loi de probabilité de X 2 + Y 2. 4

7 3. On fait tendre simultanément n vers +, et p vers 0. On suppose que np tend vers λ. Montrer que, pour tout s R, G 1 (s) tend alors vers G 2 (s). Exercice 15. Somme aléatoire de variables aléatoires Soit (ν, X 1, X 2,..., X n,...) des variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N, les X i étant toutes de même loi. Pour n N, on pose S n = X X n (on posera S 0 = 0). On pose alors T = S ν. 1. Exprimer la fonction génératrice de S n en fonction de celle des X i. 2. Montrer que T est une variable aléatoire. Exprimer sa fonction génératrice en fonction de celle des X i et de ν. 3. Calculer E(T ) et Var T. (On suppose que Var (X i ) et Var (ν) existent). 4. On suppose que les X i suivent une loi de Bernouilli de paramètre p (P (X i = 0) = 1 P (X i = 1) = p). Trouver la loi T dans les deux cas suivants : (a) ν suit une loi géométrique, (b) ν suit une loi de Poisson. Exercice 16. Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans (E, B), de même loi µ et soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, indépendante de la suite (X n ) n, de fonction génératrice g. Pour A B, on pose Y A (ω) = N(ω) n=1 1 A (X i (ω)) si N(ω) 1, Y A (ω) = 0 si N(ω) = 0 1. Calculer la fonction génératrice de Y A et la fonction génératrice du couple (Y A, Y A C ), définie par G(u, v) = E(u Y A v Y A C ) où u, v ]0, 1[ 2. Montrer que Y A et Y A C sont indépendantes si et seulement si : g(x + y 1) = g(x)g(y) pour x ]µ(a), 1[, y ]µ(a C ), 1[ Que peut-on alors dire des lois de N et des variables aléatoires Y A1, Y A2,..., Y An où A 1,..., A n B sont deux à deux disjoints (µ(a i ) ]0, 1[)? Si (A 1,..., A n ) forment une partition de E, quelle est la loi conditionnelle du vecteur (Y A1, Y A2,..., Y An ) sachant que N = n? 5

8 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 2 Intégration Tribus Exercice 1. Soient A, B, C des parties d un ensemble E. Déterminer la tribu engendrée par C dans chacun des cas suivants : C = {A}, C = {A, B}, C = {A, B, C}. Exercice 2. Citer des sous-ensembles de R qui ne soient ni ouvert ni fermé. En citer qui sont ouvert et fermé. Les sous-ensembles suivants de R {x}, N, Q, { 1 n, n N } sont-ils ouverts, fermés, compacts, boréliens? Exercice 3. Soient A 1 et A 2 deux tribus d un ensemble E. Les classes : A 1 A 2 = {A, A A 1 et A A 2 } A 1 A 2 = {A, A A 1 ou A A 2 } sont-elles des tribus? Montrer que la plus petite tribu de parties de E contenant à la fois A 1 et A 2 coïncide avec la tribu engendrée par l une ou l autre des classes suivantes : {A 1 A 2 ; A 1 A 1 et A 2 A 2 } {A 1 A 2 ; A 1 A 1 et A 2 A 2 } Exercice 4. Soit E un ensemble. Caractériser la tribu D engendrée par les singletons {x}, x E. Dans le cas où E = R, D coïncide-t-elle avec la tribu borélienne? Citer des tribus de R qui ne soient pas des tribus boréliennes. Exercice 5. Soit E un ensemble et f : E R une application. On note B(R) la tribu borélienne. Soit T f = {f 1 (B), B B(R)}. 1. Montrer que T f est une tribu. 6

9 2. Caractériser T f dans les trois cas suivants où on prend E = R : (a) f(x) = x 2 (b) f(x) = x 3 (c) f(x) = sin x Limites supérieures et inférieures Exercice 6. Déterminer les limites supérieures et inférieures de la suite (A n ) n d ensembles définie par : A 0 = A, A 1 = B, A 2 = F, A 3n = C, A 3n+1 = D, A 3n+2 = F, (n 1). Exercice 7. Soit (A n ) n une suite d ensembles. Montrer que : { limsup A n = x n } 1 An (x) = liminf A n = { x n } 1 A C n (x) = limsup 1 An = 1 limsup An liminf 1 An = 1 liminf An Montrer que limsup A n = ssi tout x appartient à un nombre fini de A n. Trouver l ensemble des x tels que 1 An (x) ait une limite. Trouver limsup et liminf d une suite d ensembles A n lorsque la suite est monotone (croissante ou décroissante). Exercice 8. Soit (A n ) n une suite d ensembles. Montrer que : P (liminf A n ) liminf P (A n ) limsup P (A n ) P (limsup A n ) Exercice 9. Montrer que si X est à valeurs dans N, alors E(X) = P (X > n) 0 Soit X n une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que X. On note A n = {X n > n}. Montrer que E(X) < implique P (X n > n pour une infinité de n) = 0 et E(X) = implique P (X n > n pour une infinité de n) = 1 7

10 Exercice 10. Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de Bernouilli : On pose Que peut-on dire de P (E)? P (X n = 1) = 1 n α (α > 0) E = {ω Ω, X n vaut 1 pour une infinité de n} Exercice 11. Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles de Bernouilli indépendantes définie par P (X n = 1) = p, P (X n = 1) = 1 p où 0 < p < 1 et p 1 2 On considère la marche aléatoire Z n = X 1 +X X n, Z 0 = 0. L événement A n = {Z n = 0} est un retour à zéro. Montrer, en utilisant le Lemme de Borel- Cantelli et le critère de D Alembert pour les séries, que P (limsupa n ) = 0. Interprétation? Exercice 12. Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, à valeurs dans {0, 1} : P (X n = 1) = p où p ]0, 1[. Soit A n l événement {nx i consécutifs valent 1, i variant entre 2 n et 2 n+1 1}. Montrer que 1. si p < 1 2, P (lima n) = 0 ; 2. si p 1 2, P (lima n) = 1. On pourra scinder les entiers compris entre 2 n et 2 n+1 en blocs disjoints de taille n et remarquer que, si A n n est pas vérifiée, chacun de ces blocs contient au moins un 0. On pourra alors en déduire une majoration de P (A C n ). Intégration Exercice 13. Soit δ a la mesure de Dirac au point a définie sur les boréliens de R par : δ a (B) = 0 si a B, δ a (B) = 1 si a B. 1. Vérifier que δ a est une mesure sur la tribu des boréliens. 2. Calculer l intégrale d une fonction par rapport à δ a, ainsi que pour des combinaisons linéaires de mesures de Dirac. Exercice 14. Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur (Ω, A, P ). 1. Montrer que inf(x, Y )dp inf( XdP, Donner un exemple où il y a inégalité stricte. Y dp ) si X et Y L 1 8

11 2. A quelle condition nécessaire sur X et Y, cette inégalité devient-elle égalité? Exercice Pour toute suite décroissante (X n, n N) de variables aléatoires réelles positives, montrer que limx n dp = lim X n dp si les intégrales sont finies à partir d un certain indice n. Donner un exemple d une suite décroissante (X n, n N) de variables aléatoires réelles telle que limx n = 0 et que X n dp =, n. 2. Montrer que toute suite croissante ou décroissante de variables aléatoires réelles d espérance finie vérifie l égalité : limx n dp = lim X n dp Ce résultat reste-t-il exact pour des suites X n, n N qui ne sont pas monotones? Exercice 16. Soit X une variable aléatoire sur (Ω, A, P ) de densité ae ax 1 R+ pose X n = (1 + X n )n. 1. Montrer que ω Ω, X n (ω) admet une limite Y (ω) et que où a > 1. On n N, 0 X n Y 2. Montrer que Y est intégrable. Déterminer lim n E(X n ). 3. On pose J n = + an x n e x dx pour n N Exprimer E(X n ) en fonction de J n. En déduire un équivalent de J n quand n tend vers l infini. Exercice 17. Soit X une variable aléatoire telle que E X <. 1. Montrer que sup t tp ( X > t) <. 2. Montrer que lim t tp ( X > t) = Montrer que E X < si et seulement si n N P ( X > n) <. On pourra utiliser le fait que ( X(ω) 1) dp 1 X(ω) >n dp X(ω) dp Ω Ω n N Ω 9

12 Exercice 18. Pour t R, soit f(t) = e itx e x2 2 dx Montrer que f est indéfiniment dérivable puis calculer f et f. Exercice 19. Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité et X une variable aléatoire réelle intégrable. Soit { X(ω) si X(ω) n X n (ω) = 0 si X(ω) > n 1. Montrer que X n X simplement et que Ω X n dp Ω X dp. 2. En déduire que ɛ, δ > 0 tel que A, P (A) < δ implique X dp < ɛ. A 3. Soit f : R R, f L 1 (R) (par exemple f est une densité) et F (x) = x f(t) dt. 0 Montrer que F est uniformément continue. Exercice 20. Trouver et lim n lim n n 0 n 0 ( 1 x ) ne x 2 dx n ( 1 + x n) ne 2x dx Exercice 21. Soit f une fonction borélienne positive sur R. Montrer que si pour tout a R, alors z R, + + f(x)e ax dx < + f(x)e zx dx = + n=0 z n n! + x n f(x) dx Exercice 22. Montrer que 1 0 ln x + 1 x dx = 1 n 2 n=1 Exercice 23. Soit F : R + R la fonction définie par F (t) = cos x x 2 + t 2 dx

13 Montrer que F est C sur R + (on pourra montrer que F est C sur tout intervalle [a, b] de R +). 11

14 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 3 Variables aléatoires Exercice 1. Caractériser les variables aléatoires de (E, A) (R, B R ) lorsque A = {E, } puis lorsque A est finie. Exercice 2. Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité. Soit N une variable aléatoire a valeurs dans N et Y n une suite de variables aléatoires. On définit Z par Z(ω) = Y N(ω) (ω), ω Ω et Z (ω) = N(ω) i=1 Y i (ω), Montrer que Z et Z sont des variables aléatoires. ω Ω Exercice 3. On note B la tribu borélienne sur R. Les fonctions f : (R, B) (R, B) suivantes sont-elles des variables aléatoires? 1. f(x) = 1 si x Q, f(x) = 0 si x R Q ; 2. f(x) = g(x)1 A (x) où g : (R, B) (R, B) est une variable aléatoire et A B. Exercice 4. Soit X une variable aléatoire de loi N(0, 1). Quelle est la loi de X? Calculer E( X ) et σ 2 ( X ). Exercice 5. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0. On pose Y = partie entière de X. Montrer que Y est une variable aléatoire dont on déterminera la loi. Exercice 6. Soit X une variable aléatoire uniformément répartie sur ] π 2, π 2 [. On pose Y = X 2. Quelle est sa fonction de répartition, sa densité, son espérance et sa variance? Même question pour tan X. Exercice 7. Un point M est choisi au hasard à l intérieur d une sphère S de centre O et de rayon R. (La probabilité que M appartienne à une portion donnée de S est proportionnelle au volume de cette portion). Quelle est la loi de la distance du 12

15 point M au centre de la sphère? Exercice 8. On choisit une fois pour toutes un point A sur la circonférence d un cercle de centre O et de rayon R. On tire au hasard un point M de la circonférence (ainsi on pourra considérer que le point M est obtenu par la valeur φ de la variable aléatoire Φ uniformément répartie sur ] π, π[.) Quelle est la loi de la longueur de la corde AM et sa valeur moyenne? Exercice 9. Soient X et Y deux variables aléatoires admettant une densité, liées par la relation X + Y = 0. Quelle relation y a-t-il entre les fonctions de répartition de X et Y et entre les densités de X et Y? Exercice 10. Soit X une variable aléatoire de densité { αx 3 si 0 x 1 f(x) = 0 sinon 1. Calculer α et l espérance de X. 2. Quelle est la fonction de répartition de Y qui vaut : X si 1 4 X 3 4 Y = 0 si X < si X > 3 4 Y admet-elle une densité? 3. Montrer que la loi de Y est µ Y = 4x 3 1 [ 1 4, 3 4 ] dx + ( 1 4 ) 4δ0 ( ( 3 4 ) + 1 δ 1 4) Exercice 11. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0. On pose Y = min(x, 1) et Z = max(x, 1). 1. Determiner les fonctions de répartition F Y et F Z de Y et Z respectivement. 2. Vérifier que les lois respectives de Y et Z sont de la forme : µ Y = f(y)dy + αδ 1 et µ Z = g(z)dz + βδ 1 où f et g sont deux fonctions intégrables et α et β deux constantes que l on determinera. 3. Calculer E(Y ) et E(Z). Exercice 12. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F continue et strictement croissante. Quelle est la loi de Y = F (X)? Exercice 13. Soit X une variable aléatoire de densité f X. Quelle est la loi de Y = X 2? Admet-elle une densité? 13

16 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 4 Indépendance, calcul de lois. Théorème de Fubini Exercice 1. Soit (X 1, X 2 ) un couple de variables aléatoires de densité f(x 1, x 2 ) = e (x 1+x 2 ) 1 R+ (x 1 )1 R+ (x 2 ) 1. Quelle est la densité de Y 1 = X 1 + X 2? 2. Quelle est la densité de Y 2 = X2 X 1? Y 1 et Y 2 sont-elles indépendantes? Exercice 2. Soit (X 1, X 2 ) un couple de variables aléatoires indépendantes de même loi de gauss centrée réduite. Quelle est la loi de X1 2 + X2 2? On pose : X 1 X cos U = sin U = 2 X X2 2 X X2 2 Montrer que U suit une loi uniforme sur [0, 2π]. Exercice 3. Soit X 1 et X 2 deux variables aléatoires indépendantes et de même densité On pose f(x) = 1 x 2 1 [1, [(x) U = X 1 X 2 et V = X 1 X 2 1. Calculer la loi du couple (U, V ). U et V sont-elles indépendantes? 2. Calculer les lois marginales de U et V. Exercice 4. Lois gamma, beta, X 2 Soit γ a,λ (x) = La loi de densité γ a,λ est notée Γ(a, λ). λa Γ(a) e λx x a 1 1 R + où a > 0, λ > 0 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de lois respectives Γ(a, λ) et Γ(b, λ). Montrer que S = X +Y et T = X X+Y sont indépendantes et calculer la loi du couple (S, T ) puis celle de S et de T. En déduire que B(a, b) = 1 et que S Γ(a + b, λ). 0 x a 1 (1 x) b 1 dx = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) (b > 0) 14

17 2. Trouver la loi de X Y. 3. Soient (X 1, X 2,..., X n ) n variables aléatoires indépendantes de même loi de gauss centrée. Soit Z = X1 2 +X Xn. 2 Montrer que Xi 2 Γ( 1 2, 1 2 ) et Z Γ( n 2, 1 2 ). Calculer son espérance et sa variance. Exercice 5. Loi triangulaire Soient X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [ 1, 1]. Calculer la loi de X + Y, 1 2 (X + Y ), X + Y + Z. Exercice 6. Soit X une variable aléatoire de loi N(0, 1) et Y une variable aléatoire indépendante de X telle que P (Y = 1) = 1 2 et P (Y = 1) = 1 2. On pose Z = XY. 1. Quelle est la loi de Z? Calculer Cov(X, Z) et Cov(X 2, Z 2 ). X et Z sontelles indépendantes? 2. On pose U = X + Z. Déterminer la loi de U et sa fonction de répartition. Si X et Z étaient indépendantes, quelle serait la loi de U? Exercice 7. Soit X : (Ω, A, P ) R + une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles. 1. Montrer que E(X) = 0 P (X t) dt 2. Montrer que, plus généralement, si f : R + R + est croissante et dérivable et vérifie f(0) = 0, alors E(f(X)) = 3. En déduire en particulier que E(X n ) = 0 0 f (t)p (X t) dt nt n 1 P (X t) dt et donc qu on peut calculer tous les moments de X lorsqu on connait sa fonction de répartition. Exercice 8. Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité et soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Montrer que P (X = Y ) = P (Y = x) dp X (x) = P (X = y) dp Y (y) R En déduire que si l une des variables aléatoires X ou Y a une densité, alors P (X Y ) = 1. R 15

18 Exercice 9. Montrer que 1 + 2π e x2 2 dx = R 2 1 2π En déduire par changement de variables sa valeur. Exercice 10. Enoncer Fubini e x2+y2 2 dx dy 1. Pour (N, P (N), m) (N, P (N), m) où m est la mesure de comptage sur N. 2. Pour (N, P (N), m) (E, A, µ) où m est la mesure de comptage sur N et µ est une mesure sigma-finie. Exercice 11. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de densités respectives f et g par rapport à la mesure de Lebesgue. On pose m = min(x, Y ) et M = max(x, Y ). 1. Montrer que la loi du couple (m, M) est µ = 1 {x<y} ( f(x)g(y) + f(y)g(x) ) dxdy 2. Calculer E(m) et E(M) lorsque X suit une loi exponentielle de paramètre 1 et Y une loi uniforme sur [0, 1]. On pourra utiliser les résultats suivants : 1 xe x dx = 2e 1 et 1 x 2 e x dx = 5e 1 16

19 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 5 Transformation de Fourier - Fonctions caractéristiques Exercice 1. Soit a > 0. On considère les fonctions f a (t) = e at 1 t>0 (t), g a (t) = f a (t) + f a ( t), h a (t)) = f a (t) f a ( t) 1. Graphes et transformées de Fourier de f a (t), g a (t), h a (t). 2. En déduire les transformées de Fourier de t 2, et 1 2 2t + t 2 3. Montrer que si f est dérivable et si f L 1, alors ˆf (t) = it ˆf(t). En déduire la transformée de Fourier de 4. En déduire la valeur des intégrales t (1 + t 2 ) 2 5. Calculer 0 cos(ωx) 1 + x 2 dx, 0 1 a + t 2 1 b + t 2 x sin(ωx) (1 + x 2 ) 2 dx Exercice 2. Soit 1. Montrer par un calcul direct que f(x) = (1 x )1 [ 1,1] (x) ˆf(t) = 2(1 cos t) t 2 Retrouver le résultat en remarquant que 2. En déduire que f(x) = 1 [ 1 2, 1 2 ] (x) 1 [ 1 2, 1 2 ] (x) (1 x )1 [ 1,1] (x) = 1 π itx (1 cos t) e t 2 dt Exercice 3. Fonctions caractéristiques de lois discrètes usuelles. 17

20 1. Déterminer la fonction caractéristique Φ X de la variable aléatoire X dans les cas suivants : (a) X = a presque sûrement (b) X est discrète, à valeurs dans N, donnée par P (X = k) = p k pour tout k N (c) X est une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p. 2. Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoires indépendantes. Montrer que si X 1 B(n 1, p) et X 2 B(n 2, p) alors X 1 + X 2 B(n 1 + n 2, p) et que si X 1 P (λ 1 ) et X 2 P (λ 2 ) alors X 1 + X 2 P (λ 1 + λ 2 ) Exercice 4. Fonctions caractéristiques de lois continues usuelles. 1. Déterminer la fonction caractéristique Φ X de la variable aléatoire X dans les cas suivants : (a) X suit une loi uniforme sur [ a, a] (b) X suit une loi exponentielle symétrique de paramètre λ > 0 de densité f(x) = λ 2 e λ x (c) X suit une loi de Cauchy de paramètre λ > 0 de densité f(x) = λ π(x 2 + λ 2 ) Calculer dans chaque cas l espérance et la variance de X. 2. Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètre λ 1 et λ 2. Montrer que X 1 + X 2 suit une loi de Cauchy de paramètre λ 1 + λ 2. Exercice 5. Soient X et Y deux variables aléatoires telles que : E ( e λx) + E ( e λy ) <, Montrer qu elles sont indépendantes ssi λ R E ( e λx+µy ) = E ( e λx) E ( e µy ), (λ, µ) R 2 Montrer que si X et Y sont indépendantes E ( e λ(x+y )) = E ( e λx) E ( e λy ), λ R mais que la réciproque n est pas vraie. On pourra considérer les deux variables aléatoires X et Y telles que P (X = i, Y = j) = a ij où a ij est donné par la matrice suivante : Exercice 6. Trouver la transformée de Laplace d une loi gaussienne. 18

21 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 6 Variables gaussiennes Exercice 1. Soient X et Y indépendantes avec X N(0, 1) et Y = 1 ou 1 avec la probabilité 1 2. Soit Z = XY. Montrer que Z N(0, 1), que X et Z sont non corrélées, mais qu elles ne sont pas indépendantes. Exercice 2. Soit un triplet gaussien (X, Y, Z) tel que E(X) = E(Y ) = E(Z) = 0 E(X 2 ) = E(Y 2 ) = E(Z 2 ) = 1 E(XY ) = E(Y Z) = E(ZX) = 1 2 Quelle est la loi de X, du couple (X, Y ), de X + Y + Z? Calculer la fonction caractéristique et la densité de (X, Y, Z). Exercice 3. Soit X une variable aléatoire à valeurs R d et M une matrice à coefficients réels à k lignes et d colonnes. 1. Montrer que E(MX) = ME(X), D X E(X) = D X, D MX = MD X M T. 2. Soit X une variable aléatoire à valeurs R d de loi N d (0, I) et M une matrice orthogonale à coefficients réels? Déterminer la loi de U = MX. 3. Soit X un vecteur gaussien de loi N(0, D) où D = Montrer qu il existe une matrice orthogonale P telle que P 1 DP soit diagonale. Déterminer la loi du vecteur Y = P 1 X. Exercice 4. Soient X 1,..., X n des variables aléatoires indépendantes de loi N(0, 1), a 1,..., a n, b 1,..., b n des réels. Soit n n X = a i X i et Y = b i X i i=1 i=1 1. Montrer que le vecteur Z = (X, Y ) est gaussien. 2. Montrer que X et Y sont indépendantes ssi n a i b i = 0 i=1 19

22 Exercice 5. Soient X et Y deux variables aléatoires centrées, de variance 1 et de coefficient de corrélation ρ ]0, 1[. On suppose le couple (X, Y ) gaussien. Soit Z = 1 (Y ρx) 1 ρ 2 1. Déterminer la loi de (X, Z) sans faire de calculs. 2. Calculer la loi de (X, Y ). 3. Calculer P (X 0, Y 0). (On pourra utiliser Z). Exercice 6. Soient X et Y deux vecteurs aléatoires à valeurs respectivement dans R p et R q tels que le couple (X, Y ) soit gaussien de matrice de covariance ( ) KX K A = (X,Y ) K (Y,X) K Y On suppose K X inversible et on pose Z = E(Y ) + K (Y,X) K 1 X [X E(X)] 1. Montrer que (X, Y Z) est un vecteur gaussien dont les composantes sont indépendantes. 2. En déduire E(Y X). Exercice 7. Soient X, Y, Z indépendantes de même loi N(0, 1). 1. Déterminer la loi de U = X + Y + Z. 2. Montrer que les trois variables aléatoires réelles X Y, Y Z, Z X sont chacunes indépendantes de U. 3. Calculer la matrice de covariance du vecteur X + Y + Z 2X Y Z Y Z En déduire que la famille de variables aléatoires réelles X+Y +Z, 2X Y Z, Y Z est indépendante. 4. On note φ la fonction caractéristique de X 2. On rappelle que φ(t) = 1 (1 2it) Calculer la fonction caractéristque de 1 2 (2X Y Z)2 et celle de 3 2 (Y Z)2. 5. On pose V = (X Y ) 2 +(Y Z) 2 +(Z X) 2. Soit Φ (U,V ) (u, v) la fonction caractéristique du vecteur aléatoire (U, V ). En utilisant l égalité : (x y) 2 + (y z) 2 + (z x) 2 = 2(x 1 2 (y + z))2 + 3 (y z)2 2 20

23 montrer que Φ (U,V ) (u, v) = E(e (iu(x+y +Z)+ 1 2 iv(2x Y Z) iv(y Z)2 ) En déduire l expression de Φ (U,V ) Exercice 8. Soit X = (X 1,..., X n ) un vecteur aléatoire à composantes (X i ) indépendantes et de même loi N(m, σ 2 ). On définit Y = n X i et Z = i=1 n i=1 ( X i Y ) 2 n 1. Soit A une matrice orthogonale d ordre n, de terme général a ij telle que a 1j = 1 n j = 1,..., n Montrer que n a lj = 0, j=1 l = 2,..., n En déduire la loi de probabilité du vecteur W = AX. 2. Exprimer Y et Z en fonction des composantes de W (on montrera que Z = n i=2 W i 2 en utilisant le fait que n i=1 W i 2 = n i=1 X2 i ). En déduire que les variables aléatoires Y et Z sont indépendantes. 3. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires Y et Z. En déduire que les variables aléatoires. X = 1 n Y et S2 = 1 n n (X k X) 2 sont indépendantes et donner leur loi de probabilité. Ces variables sont appelées respectivement moyenne empirique et variance empirique du vecteur aléatoire X. k=1 Exercice 9. Soit (X n ), n N une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi µ. On suppose E(X n ) < et σ 2 (X n ) <. Soient Y 1 = 1 2 X 1, Y 2 = 1 2 (Y 1 + X 2 ),..., Y n = 1 2 (Y n 1 + X n ) 1. Calculer E(Y n ) et σ 2 (Y n ). 2. On suppose que X n N(m, σ 2 ). Quelle est la loi de Y n? Calculer sa fonction caractéristique et montrer que Y n converge en loi vers une variable aléatoire Y que l on précisera. 21

24 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 7 Convergences - Loi des grands nombres Exercice Montrer l égalité entre événements : {(X n ) ne converge pas vers X} = U ɛ limsup{ X n X > ɛ} = U p limsup { X n X > 1 } p 2. Montrer que X n X presque sûrement si et seulement si 3. Monter que si ɛ > 0 P ( limsup{ X n X > ɛ} ) = 0 ɛ > 0 alors X n X presque sûrement 4. Monter que si ɛ > 0 P ( { X n X > ɛ} ) < n P ( { X n X > ɛ} ) = n et si les événements { X n X > ɛ} sont indépendants, alors X n X presque sûrement 5. Soit (X n ) une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. Montrer que X n 0 presque sûrement si et seulement si P ( {X n > ɛ} ) < ou encore si et seulement si P ( {X n > 0} ) < n n On pourra remarquer que P ( {X n > ɛ} ) P ( {X n > 0} ) et que P ( {X n > 1 2 }) = P ( {X n > 0} ). Exercice 2. Soit f : [0, 1] R continue et (X n ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. Trouver 1 lim n n n f(x m ) m=1 22

25 Exercice Soit f : R R continue bornée et (X n ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. Trouver lim n f ( 1 n n ) X i i=1 puis En déduire lim f n [0,1] n lim n E (f( 1 n n i=1 ( x x n n ) X i ) ) dx 1... dx n 2. On suppose que (X n ) est une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre α. Trouver lim n f ( 1 n n ) X n i=1 et lim n E (f( 1 n n i=1 ) X n ) Montrer que ( E f( 1 n n i=1 ) X n ) = e k 0 αn (αn)k k! ( k f n) En déduire lim n k 0 αn (αn)k e k! ( k f n) Exercice On considère la suite de variables aléatoires réelles indépendantes définies par P (X n = 0) = 1 1 n, P (X n = 1) = 1 n P L Montrer que X n 0, p Xn 0, X n 0 presque sûrement (On pourra utiliser l exercice n o 1). Que peut-on dire si P (X n = 0) = 1 1 n? 2 2. On considère la suite de variables aléatoires réelles indépendantes définies par P (X n = 0) = 1 1 n, P (X n = n) = 1 n Montrer que X n P 0, Xn L p 0, X n 0 presque sûrement 23

26 Exercice 5. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires réelles gaussiennes qui converge dans L 2. Montrer que la limite est gaussienne. Exercice Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre 1. On pose S n = X 1 + X X n. Exprimer en fonction de la loi de S n l expression e n n k=0 puis montrer en utilisant le théorème de la centrale limite que lim n e n n k=0 n k k! n k k! = Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi, de carré intégrable. Pour α R soit Calculer lim n f n (α) f(α) = P (X 1 + X X n nα) Exercice 7. On lance n fois de suite deux dés. On note X k = 1 si au k-ième lancé les deux dés indiquent le même nombre et N le nombre de fois où les deux dés indiquent le même nombre. 1. Calculer P (X k = 1) et montrer que N B(n, 1 6 ). 2. Quelle est la limite de N n lorsque n et en quel sens? 3. Quelle est la limite de P (N np n)? Exercice 8. 1 Sachant que, lors d une naissance, la probabilité d avoir des triplés est de 10000, quelle est la probabilité p d avoir au moins quatre naissances avec triplés sur naissances et la probabilité de n avoir pas de triplés sur naissances? (On pourra introduire les variables aléatoires réelles X k = 1 si à la k-ième naissance, on a des triplés). Exercice 9. Théorème de Stone-Weierstrass Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles de Bernouilli indépendantes telle que P (X n = 1) = x et P (X n = 0) = 1 x où x [0, 1]. Soit f C([0, 1], R). 1. Calculer en fonction de x, E(f( Sn n ) f(x)). 2. Montrer que ɛ > 0 η > 0 tel que ( Sn n N, E(f n ) f(x)) 2MP 24 ( S n n x > η ) + ɛ

27 où M = sup f(y) y [0,1] 3. Montrer en utilisant l inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff que P n (x) = tend uniformément vers f(x). n k=0 ( k Cnf n) k x k (1 x) n k 25

28 DFR MD - MD 3 Probabilités Feuille d exercices n o 8 Espérance conditionnelle On se place sur (Ω, F, P ). Les variables aléatoires sont suffisamment intégrables pour que les expressions aient un sens. B, B i désignent des sous-tribus de F. Exercice (a) Soit Y une variable aléatoire réelle sur (Ω, F, P ). Soit B la tribu {Ω, }. Calculer E(Y B). (b) Soit X une variable aléatoire réelle presque sûrement constante. Calculer E(Y X). 2. (a) Soit B B tel que 0 < P (B) < 1 et B 1 la tribu engendrée par B. Calculer E(Y B 1 ). (b) Soit X une variable aléatoire réelle prennant presque sûrement deux valeurs x 1, x 2. Calculer E(Y X). 3. Soit X une variable aléatoire réelle prenant presque sûrement un nombre fini de valeurs distinctes x 1,... x n avec P (X = x i ) 0, i. Calculer E(Y X). Exercice 2. Montrer que E(Y E(X B)) = E(XE(Y B)) Exercice 3. B 3 est indépendante de σ(b 1 B 2 ), X est B 1 mesurable. Montrer que E(X B 2 )) = E(X σ(b 2 B 3 )) On rappelle que σ(b 1 B 2 ) est engendré par la classe D = {B 1 B 2, B 1 B 1, B 2 B 2 } Exercice 4. Soit Q une probabilité absolument continue par rapport à P : dq = fdp. 1. Montrer que E Q (X B)E P (f B) = E P (fx B) si X est une variable aléatoire réelle mesurable et bornée. 2. Montrer que si f est B mesurable, E Q (X B) = E P (X B) presque sûrement sur {f > 0}. Exercice 5. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi de densité e x 1 R +(x). Soit T = X + Y. Calculer E(f(X) T ) pour f 0. 26

29 Université Paris Dauphine UFR Mathématiques de la décision Licence Examen du 3 Février 1997 Probabilités Partie I Sur un espace de probabilité (Ω,a, P ), on considère une suite de variables aléatoires réelles X n (n N ) intégrables et positives. 1. On suppose qu il existe X L 1 (Ω,a, P ) tel que X n X presque sûrement quand n E{X n } E{X } quand n Posons Y n = min{x, X n } et Z n = max{x, X n }. (a) Montrer que E{Y n + Z n } 2E{X } quand n et que E{Y n } E{X } quand n (b) En déduire que E{ X X n } 0 quand n 2. Soit U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur l intervalle [0, 1]. Pour tout n N posons Montrer que et mais que U n = (n + 1) 2 1 [0, 1 n ] (U) n(n + 2)1 ] 1 n, 2 n ] (U) U n 0 presque sûrement quand n E{U n } 0 quand n E{ U n } + quand n Comment concilier ce résultat avec la première question? 27

30 Partie II 1. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une constante d R. Pour tout ɛ > 0, on considère une application continue ϕ de R dans [0, 1] telle que ϕ(x) = 1 lorsque x ]λ ɛ, λ +ɛ[. Déterminer lim n E{ϕ(X n )} ; en déduire que (X n ) converge en probabilité vers λ. 2. Pour tout t > 0, soit N t une variable aléatoire réelle qui suit une loi de Poisson de paramètre θt (où θ > 0 est fixé). Calculer les fonctions caractéristiques Φ t (.) et Ψ t (.) des variables aléatoires Nt t et t{ Nt t θ} respectivement. Déterminer, pour tout u R, lim t Φ t (u) et lim t Ψ t (u). En déduire que, lorsque t, N t t converge en probabilité vers θ et que t{ N t t θ} converge en loi vers une limite à préciser. Ce résultat était-il prévisible? Partie III Soient X 1, X 2, X 3 trois variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi N 1 (0, 1). On pose U = X 1 + X 2 + X 3 et W = X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 1 1. Montrer que le couple ( ) U W est un vecteur gaussien (à valeurs R 4 ). Quelle est la densité de U? 2. Montrer que les variables aléatoires U et W sont indépendantes. 3. Montrer que la matrice de dispersion K de W est égale à Calculer les valeurs propres λ 1, λ 2, λ 3, de K. Rappelons qu il existe une matrice orthogonale S telle que SKS = D où D est la matrice diagonale λ λ λ 3 Que peut-on dire des composantes Z 1, Z 2, Z 3 du vecteur aléatoire Z = S.W? Justifier votre réponse. 4. Calculer, en fonction de Z 1, Z 2, Z 3, la variable aléatoire V = W 2 = (X 1 X 2 ) 2 + (X 2 X 3 ) 2 + (X 3 X 1 ) 2 En déduire la densité de V puis la densité du couple ( ) U W 28

31 5. Calculer les espérances conditionnelles : { E U 2 / E{e (it U) /V } où t R ) } { ( ) } X2 et E U/ X 1 + X 3 X 1 X 3 ( X2 29

32 Indications I.1.a Utiliser le théorème de Lebesgue. I.1.b Exprimer X X n en fonction de Y n et Z n. II.1 Choisir, par exemple, une fonction continue ϕ à valeurs [0, 1] telle que : ϕ(x) = 1 si x ]λ ɛ, λ + ɛ[ et ϕ(x) = 0 si x ]λ 2ɛ, λ + 2ɛ[ puis comparer P { X n λ 2ɛ} et E{ϕ(X n )}. III.4 On rappelle que, si S est une matrice (3, 3) orthogonale, alors pour tout x R 3 : Sx 2 = x 2 où x = x 1 et x 2 x 3 x 2 + x x x 2 3 Si X N 1 (0, 1) alors X 2 suit la loi Gamma G( 1 2, 2). III.5 Vérifier que les variables aléatoires U et V sont indépendantes. Il y a peu de calculs : utiliser les propriétés de l espérance conditionnelle. 30

33 Université Paris Dauphine UFR Mathématiques de la décision Licence Examen du 14 Janvier 1999 Probabilités Partie I Lorsqu une roche contient, au moment de sa formation, des éléments radioactifs de longue durée de vie, on peut estimer son âge en mesurant la fraction α de ces éléments radioactifs qui ne se sont pas désintégrés. On suppose, qu à sa formation, la roche contient un nombre N (très grand) d éléments radioactifs dont les temps de désintégration X 1, X 2,..., X N sont des variables aléatoires réelles indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1 T où T > 0 est fixe. 1. Que représente T? 2. On désigne par N(t) le nombre d éléments radioactifs qui ne se sont pas désintégrés avant l instant t 0. Quelle est la loi de N(t)? Calculer sa fonction génératrice, son espérance et sa variance. 3. Posons α = N(t) N. Montrer que α est, à peu près, égal à e t T. On suppose T et α connus ; en déduire l âge de la roche. 4. (facultatif) On suppose, de plus, que chaque élément radioactif présent dans la roche, n a qu une probabilité p ]0, 1[ d être observé. Trouver la loi de probabilité du nombre N (t) d éléments radioactifs observés qui ne se sont pas désintégrés avant l instant t 0, en explicitant les hypothèses d indépendance qu il est naturel de faire pour ce calcul. Posons α = N (t) N. On suppose T, α et p connus, en déduire une estimation de l âge de la roche. Partie II Soient p 1, p 2 deux réels > 0 tels que p 1 + p 2 < 1. Considérons une suite X 1, X 2,..., X m,... de variables aléatoires à valeurs R 2, indépendantes, de même loi donnée par : P {X m = (1, 0)} = p 1, P {X m = (0, 1)} = p 2, P {X m = (0, 0)} = 1 p 1 p 2 avec (m 1). Pour tout n N, posons S n = X 1 + X X n et désignons par T n et U n les coordonnées de S n : S n = (T n, U n ). 1. Montrer que la loi de S n est donnée par : P {S n = (k 1 ; k 2 )} = n! k 1!k 2!(n (k 1 + k 2 ))! pk1 1 pk2 2 (1 p 1 p 2 ) n k 1 k 2 pour tout (k 1, k 2 ) N N tel que k 1 + k 2 n. En déduire les lois des variables aléatoires T n et U n ainsi que la loi conditionnelle de T n sachant 31

34 U n : P {T n = k 1 /U n = k 2 } (où k 1 n k 2, (k 1, k 2 ) N N). Calculer E(T n ), E(U n ) et Cov(T n, U n ). Les variables aléatoires T n et U n sont-elles indépendantes? 2. Calculer, pour tout t = (t 1, t 2 ) dans R 2 Φ n (t) = E { } e (i<t,s n>) = E {e } i(t 1T n+t 2 U n ) 3. Faisons tendre n +, p 1 0, p 2 0 de telle manière que E{T n } et E{U n } restent constantes, soit E{T n } = θ 1, E{U n } = θ 2 où 0 < θ i <, i = 1, 2. Montrer que, dans ces conditions, les lois des variables aléatoires S n, T n, et U n convergent vers des limites à déterminer. Partie III Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose qu il existe α > 0 tel que pour tout s ] α, α[, on a E{e (s.x) } < et E{X} = 0. On pose : ( { Φ(s) = log E e (s.x)}), ( s < α) 1. Montrer que la fonction Φ est convexe, de classe C sur l intervalle ] α, α[. Calculer Φ (s) et Φ (s). 2. Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi que X. On pose S n = X 1 + X X n (n 1). (a) Montrer que si ɛ > 0 et s ]0, α[, on a : En déduire que {S n > nɛ} = {e s.sn > e snɛ } P {S n > nɛ} e n(φ(s) sɛ) (b) Montrer que, pour tout ɛ > 0 { Sn } P n > ɛ < n 1 En déduire que Sn n 0 presque sûrement, quand n + Partie IV Soient X 1, X 2,..., X n n variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi µ, de carré intégrable, centrées, réduites. Posons Y = X 1 + X X n W l = X l Y n W 1 (l = 1, 2,..., n) et W 2 W =. W n On se propose de montrer que µ = N 1 (0, 1) si et seulement si les variables aléatoires Y et W sont indépendantes. 32

35 1. Montrer que µ = N 1 (0, 1) Y et W sont indépendantes. 2. Réciproquement, supposons que Y et W sont indépendantes (a) Soit Z = n (W l ) 2 l=1 Montrer que Y et Z sont indépendantes. (b) Vérifier la relation : En déduire E(Z). ( Z = 1 1 ) n Xl 2 2 n n l=1 1 l<k n 3. Soit ϕ la fonction caractéristique de X 1 : { } ϕ(t) = E e (itx 1) (t R) En exprimant de deux façons différentes la quantité (ity E {Z.e )} à l aide de ϕ, ϕ et ϕ, montrer que, si ϕ(t) 0, on a Conclure. ϕ(t)ϕ (t) (ϕ (t)) 2 = (ϕ(t)) 2 X l X k 33

36 Université Paris Dauphine Année Probabilités - Licence MD3 Partiel du 13 Novembre 1999 Partie I Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi µ et soit a R tel que : 0 < P {X 1 > a} < 1. Posons p = 1 P {X 1 > a}. 1. On considère la variable aléatoire ν définie par avec la convention inf{ } = +. ν = inf{m 1 : X m > a} (a) Exprimer, pour tout n N, l événement {ν = n} en fonction des variables aléatoires X 1, X 2..., X n. En déduire que la variable aléatoire ν suit une loi géométrique dont on déterminera la fonction génératrice, l espérance et la variance. Vérifier que ν < p. s. (b) Montrer que les variables aléatoires X ν+n (n 1) sont indépendantes de même loi µ. 2. (a) Montrer que P { lim(x n > a) } = 1 (b) En déduire que l on peut définir presque sûrement les instants aléatoires successifs T 1, T 2,..., T n,... où la suite (X n ) dépasse le seuil a : T 1 = ν = inf{m 1 : X m > a} T 2 = inf{m > T 1 : X m > a}. T n = inf{m > T n 1 : X m > a} (n 2) Montrer que les variables aléatoires T 1, T 2 T 1,..., T n T n 1,... sont indépendantes et de même loi. Calculer la fonction génératrice, l espérance et la variance de T n. (c) Montrer que les variables aléatoires (X Tn ) n 1 sont indépendantes et suivent la même loi que l on exprimera en fonction de µ. Partie II Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires réelles de même loi, à valeurs {0, 1}, telles que : P {X n = 0} = P {X n = 1} = Pour tout n N, posons T n = n m=1 X m 2 m 34

37 (a) Calculer (b) Soit E{T n }, Var{T n } et ϕ(s) = E F n = { z } 2 n où z {0, 1, 2,..., 2 n 1} { e ( stn)}, (s R + ) [0, 1] Montrer que la variable aléatoire T n suit la loi uniforme sur l ensemble F n. On rappelle que tout entier z {0, 1, 2,..., 2 n 1} se décompose de manière unique sous la forme : z = x 1.2 n 1 + x 2.2 n x n x n où les x i {0, 1}, i = 1,..., n 2. (a) Montrer que la suite (T n ) converge presque sûrement, quand n, vers une variable aléatoire réelle T qu on ne cherchera pas à calculer. (b) Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée que pour tout p [1, [ : E{ T T n p } 0 quand n (c) Calculer E{T }, Var{T } et montrer que pour tout s 0 { } lim E e ( st n) ( st = E {e )} n 3. Posons { ϕ(s) = E e ( st )} où s 0 (a) Montrer que la fonction ϕ est de classe C 1 dans [0, + [. (Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral). (b) Montrer que l on a la décomposition : T = X T presque sûrement où les variables aléatoires réelles X 1 et T sont indépendantes, T et T étant de même loi. (c) En déduire que la fonction ϕ vérifie l équation suivante : ( 1 + e ( s 2 ) ) ( s ϕ(s) =.ϕ pour tout s > 0 2 2) (d) On se propose de montrer que, pour s > 0 : Posons ϕ(s) = 1 0 e sx dx = 1 e s s ϕ(s) = 1 e s s et ψ(s) = ϕ(s) ϕ(s) 35

38 Vérifier que les fonctions ϕ et ψ sont aussi solutions de l équation de 3.(c) mais que : lim s 0 ψ(s) = 0 En déduire que ψ 0 N.B. La relation 3.(d) signifie que la variable aléatoire réelle T suit la loi uniforme sur l intervalle [0, 1]. 36

39 Université Paris Dauphine Année Probabilités - Licence MD3 Examen du 12 Janvier 2000 Partie I Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respectives : On pose f 1 (x) = xe x 1 R +(x) et f 2 (x) = x2 2 e x 1 R +(x) S = X 1 + X 2 et Y = X 1 S Déterminer la loi du couple (S, Y ), en déduire les lois de S et Y. Les variables aléatoires S et Y sont-elles indépendantes? Partie II Soient X 1, X 2 et X 3 trois variables aléatoires réelles indépendantes de même loi N 1 (0, 1). Posons : U = X 1 2X 2 + 2X 3, V = 2X 1 + 2X 2 + X 3, S = X 1 + X 2 + X 3 1. Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes? Déterminer la loi et la fonction caractéristique de chacune des variables aléatoires U, V et 1 9 (U 2 + V 2 ). 2. (a) Montrer qu il existe une unique constante α R telle que U αs soit indépendante de S. Calculer α. (b) Soit H l ensemble des applications mesurables ϕ de R dans R telles que ϕ(s) L 2. Montrer que pour tout ϕ H on a En déduire que E{(U αs).ϕ(s)} = 0 E { (U ϕ(s)) 2} = E { (U αs) 2} + E { (αs ϕ(s)) 2} (c) Pour tout ϕ H, posons Déterminer la constante (ϕ) = E { (U ϕ(s)) 2} l = inf ϕ H (ϕ) 37

40 Partie III Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi de densité f strictement positive sur R. Posons F (t) = P {X 1 t} pour tout t R. 1. Montrer que si n m : P {X n = X m } = 0 et en déduire que P { n m {X n = X m } } = 0 2. Soit t R. On définit la variable aléatoire entière N t n(ω) = Card{j {1, 2,..., n} : X j (ω) t} Quelle est la loi de Nn t? Montrer que, lorsque n, N t n n tend presque sûrement vers F (t) et que n { N t n n F (t) } converge en loi vers une limite à préciser. 3. Pour tout n N, on peut, d après le n o 1, ranger presque sûrement par ordre strictement croissant, les nombres X 1 (ω), X 2 (ω),..., X 2n+1 (ω), X σ1 (ω)(ω) < X σ2 (ω)(ω) <... < X σn (ω)(ω) < X σn+1 (ω)(ω) <... < X σ2n+1 (ω)(ω) Posons : M n (ω) = X σn+1 (ω)(ω) (M n est appelée médiane empirique) Exprimer les événements {M n t} et {M n > t} à l aide de la variable aléatoire N t 2n Soit µ l unique constante telle que F (µ) = 1 2 (µ est appelée médiane de la loi commune des X n ). Montrer que, si s < µ < t, on a En déduire que 1 ]s,t] (M n ) 1 lorsque n presque sûrement M n µ lorsque n p.s. 5. (a) Montrer que, pour tout m N, 1 k m, p ]0, 1[ on a : m Cmp r r (1 p) m r = kcm k r=k (Indication : dériver en p). p 0 t k 1 (1 t) m k dt (b) En déduire la fonction de répartition de M n et montrer que M n a une densité donnée par : (2n + 1)! ( ) n ( ) n.f(t) F (t) 1 F (t) (t R) (n!) 2 38

41 Université Paris Dauphine Année Probabilités - Licence MD3 Examen du 16 Janvier 2001 Partie I Soit ( X Y ) un vecteur aléatoire à valeurs R 2, de densité f(x, y) = 1 π 1 (x 2 +y 2 1) (densité uniforme sur le disque unité) 1. Déterminer les lois de X et Y respectivement, l espérance et la matrice de covariance D du vecteur aléatoire ( ) X Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? 2. Soit ( X n Y n une suite indépendante de vecteurs aléatoires de même loi )n N que ( ) X Y. (a) Posons n ( ) Xl S n = l=1 Que peut-on dire du comportement asymptotique, quand n +, des variables aléatoires Sn Sn n et? n (b) Soit T n = 1 n Y l ( ) (X X n ) 2 (Y Y n ) 2 Montrer que la suite (T n ) n N converge, en un sens à préciser, vers un couple de variables aléatoires indépendantes ( ) U V dont on déterminera la loi. Partie II Deux états sont en guerre. Le premier attaque le second à l instant T en émettant un nombre aléatoire X de missiles. Le second réagit en lançant un nombre aléatoire Y d antimissiles. On suppose que chaque antimissile détruit un missile et que les missiles restants (s ils existent!) atteignent leur cible. Soit Z le nombre aléatoire de missiles non détruits, on a donc : Z = (X Y )1 (X>Y ) On suppose que les variables aléatoires entières X et Y sont indépendantes et que X suit une loi géométrique de paramètre a ]0, 1[ : P {X = k} = a k (1 a), (k N) On posera α = E{a Y } et on notera µ = (µ n ) n N la loi de Y. 39

42 1. Calculer pour tout (n, k) N N (en distinguant les cas n 1 et n = 0) P {Z = n, Y = k}. En déduire la loi de Z. Les variables aléatoires Z et Y sont-elles indépendantes? 2. Calculer la fonction génératrice de Z, son espérance et sa variance. Ayant observé le nombre Y d antimissiles, on se propose d estimer le nombre Z de missiles qui atteignent leur cible en fonction de Y et du paramètre a. 3. Soit Vérifier que P {Y S} = 1 4. Pour tout n S, posons : Montrer que et que S = {n N : P (Y = n) = µ n > 0} ϕ(n) = E{Z/Y = n} déf. = E{Z.1 {Y =n} }/P {Y = n} ϕ(n) = an+1 1 a (n S) E{ϕ 2 (Y )} E{Z 2 } < E{ϕ(Y )} = E{Z} 5. Soit ψ : N R telle que E{ψ 2 (Y )} <. Montrer, en utilisant la formule de Bayes, que En déduire que : E{Z(ϕ(Y ) ψ(y ))} = E{ϕ(Y )(ϕ(y ) ψ(y ))} E{(Z ψ(y )) 2 } = E{(Z ϕ(y )) 2 }+E{(ϕ(Y ) ψ(y )) 2 } E{(Z ϕ(y )) 2 } Conclusion? Partie III Soient X, Y, Z trois variables aléatoires réelles indépendantes de même loi N 1 (0, 1). Posons T = X +2Y +2Z et W 1 = 2X Y, W 2 = Y Z, W 3 = Z 2X. 1. Déterminer la loi et la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle T. 2. Montrer que T est indépendante du vecteur aléatoire W = W 1 W 2 W 3 3. Déterminer l espérance, la matrice de covariance K et la fonction caractéristique de W = W 1 W 2 W 3 40