Cours S8 Introduction au monde quantique

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1 Cours S8 Introduction au monde quantique Image originally created by IBM Corporation David Malka MPSI Lycée Saint-Exupéry

2 Table des matières 1 Le monde classique Les corpuscules Les ondes Le monde quantique 1 3 La lumière : onde ou corpuscule? Phénomène d interférences : expérience des fentes d Young Sur la piste du photon : l effet photoélectrique Interférences photon unique Si on cherche à savoir par où passe le photon On ne cherche plus à savoir par où passe le photon Conclusion partielle Des interférences avec de la matière! 7 5 La dualité onde-corpuscule Relations de de Broglie et de Planck-Einstein Paramètres relatifs aux ondes et aux corpuscules Relation de Planck-Einstein Relation de de Broglie Les quantons Interprétation probabiliste des interférences particule par particule 9 7 Particule dans un puits carré de potentiel Puits carré infini Analogie avec la corde vibrante Quantification de l énergie Table des figures 1 Expériences des fentes d Young Fentes d Young Seule la fente gauche (0,05mm) est ouverte (a) Fentes d Young (b) Intensité lumineuse Fentes d Young Seule la fente droite (0,05mm) est ouverte (a) Fentes d Young (b) Intensité lumineuse Expérience des fentes d Young : fentes de largeur 0,05mm espacée de 0,03mm (a) Fentes d Young (b) Intensité lumineuse Effet photoélectrique Travaux d extraction W de quelques métaux Intensité du courant en fonction de la fréquence du rayonnement incident Bi-primse de Fresnel : comptage de photons à partir d une source à photon unique Bi-primse de Fresnel : enregistrement du champ d interférences Reconstitution des franges d interférences photon par photon : https://www.youtube.com/watch? v=naeo517ndxo Reconstitution des franges d interférences électron par électron : watch?v=5oqwtcfzn4m Métaphore du quanton : de même qu un cylindre n est ni un cercle ni un rectangle, un quanton n est ni une onde, ni un corpuscule mais apparaît comme l un ou l autre suivant l expérience... 9

3 Capacités exigibles 1. Relation de de Broglie et de Planck-Einstein : évaluer des ordres de grandeurs typiques intervenant dans des phénomènes quantiques. 2. Décrire un exemple d expérience mettant en évidence la nécessité de la notion de photon. 3. Décrire un exemple d expérience illustrant la notion d ondes de matière. 4. Interpréter une expérience d interférences (matière ou lumière) «particule par particule» en termes probabilistes. 5. Quantification de l énergie d une particule libre confinée 1D : obtenir les niveaux d énergie par analogie avec les modes propres d une corde vibrante, établir le lien qualitatif entre confinement spatial et quantification.

4 1 Le monde classique 1.1 Les corpuscules En physique classique, un corpuscule possède une extension spatiale finie parfaitement définie. Il est caractérisée par sa masse m et sa vitesse v. La trajectoire d un corpuscule classique (dans la limite non relativiste) est décrite par la relation fondamentale de la dynamique : d p dt = F ext où p = m v est la quantité de mouvement de la particule. 1.2 Les ondes Une onde occupe un domaine étendu de l espace et est souvent décrite par la donnée d une ou plusieurs grandeurs vibratoires. Une onde est caractérisée par sa fréquence ν et sa longueur d onde λ (avec λ = C ν où C est la célérité de l onde). Les phénomènes de diffraction ou d interférences signent la nature ondulatoire d un objet physique. L interprétation de ces phénomènes a imposé le modèle ondulatoire de la lumière au début du XIX ème siècle. 2 Le monde quantique Trois aspects fondamentaux de la mécanique quantique sont abordés à travers des documents relatant des expériences modernes ou historiques : la dualité onde/corpuscule, l essence probabiliste de la mécanique quantique, la quantification de l énergie d une particule confinée spatialement. 3 La lumière : onde ou corpuscule? 3.1 Phénomène d interférences : expérience des fentes d Young L expérience des fentes d Young (fig.1) a contribué à imposer le modèle ondulatoire de la lumière au XIX ème siècle. La question était de savoir si la lumière était constituée de corpuscules comme le soutenait Newton ou était une vibration se propageant dans un «éther luminifère 1», c est-à-dire une onde, comme le soutenait Huygens puis Young et Fresnel. Une bi-fente est éclairé par une source de lumière monochromatique. Chaque fente diffracte la lumière incidente et émet ainsi un faisceau secondaire de lumière. On mesure l intensité lumineuse sur un écran situé à une distance D des bi-fentes. 1. Un ensemble d expériences de la fin du XIX ème siècle démontra l inexistence de cet éther. Les ondes lumineuses se propagent dans le vide. 1

5 x a M(x) Source Bi-Fente D Ecran Figure 1 Expériences des fentes d Young Si seule la fente gauche est ouverte, on observe une tâche lumineuse sur l écran en vertu du phénomène de diffraction (qu une théorie corpusculaire comme ondulatoire peut expliquer) : fig.2. x a Source Bi-Fente D Ecran (a) Fentes d Young (b) Intensité lumineuse Figure 2 Fentes d Young Seule la fente gauche (0,05mm) est ouverte De même, si seule la fente droite est ouverte, on observe une tâche lumineuse : fig.3. 2

6 x a Source Bi-Fente D Ecran (a) Fentes d Young (b) Intensité lumineuse Figure 3 Fentes d Young Seule la fente droite (0,05mm) est ouverte Ouvrons les deux fentes simultanément. La théorie corpusculaire classique prédirait une distribution spatiale de l intensité lumineuse superposition des intensités lumineuses fig.3 et fig.2. Or expérimentalement, on observe le distribution spatiale de l intensité lumineuse représentée fig.4 : une alternance de franges brillantes (interférences constructives) et de franges sombres (interférences destructives) typique du phénomène d interférences à deux ondes. x a D Source Bi-Fente Ecran (a) Fentes d Young (b) Intensité lumineuse Figure 4 Expérience des fentes d Young : fentes de largeur 0,05mm espacée de 0,03mm Seule la théorie ondulatoire de la lumière est à même d expliquer les interférences lumineuses. Si la distance D bi-fentes-écran est très grande devant la distance inter-fente a et devant la largeur du champ d observation x, la distance entre deux franges brillantes, dite interfrange i, vaut : où λ est la longueur d onde de la lumière. i = λd a La lumière est donc une onde. 3.2 Sur la piste du photon : l effet photoélectrique En 1888 W. HALLWACHS, un étudiant de H. HERTZ, observe qu une plaque de zinc isolée prend, sous l action d un éclairage ultra-violet, une charge positive. Inversement, une plaque de zinc initialement chargée 3

7 négativement se décharge par insolation avec un rayonnement ultraviolet, ceci même lorsqu elle est placée dans le vide (fig.5). C est l effet photoélectrique. lumière électrons Métal Figure 5 Effet photoélectrique Les lois fondamentales suivantes caractérisent l effet photoélectrique : L énergie cinétique d un électron émis a une valeur maximale E c,max qui dépend linéairement de la fréquence optique d excitation. De plus, l émission d électrons n apparaît qu au delà d un seuil de fréquence «seuil» caractéristique du matériau. Le flux lumineux n affecte pas la valeur d E c,max, bien qu il détermine le nombre de photo-électrons émis par la cathode par unité de temps Les modèles classiques de la lumière (onde électromagnétique) et de l atome (modèle de Thomson) prédisent un seuil d extraction en intensité de lumière et non en fréquence comme le montre l expérience. En 1905, EINSTEIN interprète l effet photoélecrique en quantifiant les champ électromagnétique incident en «Lichten Quanten» baptisé plus tard photon. L échange d énergie entre l onde lumineuse et les électrons du métal se fait par absorption d un photon d énergie E = hν (où h est la constante de PLANCK) par un électron. Si hν < W alors l électron n a pas suffisamment d énergie pour être arraché du métal. Si hν > W soit ν > W h alors l électron est arraché du métal et son énergie cinétique maximale vaut, par conservation de l énergie : E c,max = hν W W est appelé travail d extraction du métal. C est l énergie minimale qu il faut fournir pour arracher un électron du métal. W dépend de la nature du métal. On donne quelques valeurs à titre d ordre de grandeur dans le tableau fig.6. Métal Zinc Zn Tungstène W Cuivre Cu W (ev) 4, 33 4, 55 4, 65 Figure 6 Travaux d extraction W de quelques métaux Le flux de photons arrivant sur le métal est proportionnel à l intensité de la lumière. Il en résulte que comme le montre l expérience, le nombre d électrons arrachés au métal est proportionnel à l intensité lumineuse. En 1916, les travaux expérimentaux de Robert MILLIKAN confirme la théorie d EINSTEIN (fig.7). 4

8 Figure 7 Intensité du courant en fonction de la fréquence du rayonnement incident La lumière semble constituée de corpuscules : les photons. R Rigoureusement, l effet photoélectrique peut-être interprété à l aide d un champ électrique classique comme l ont montré, dans les années cinquante, W. E. LAMB et M. O. SCULLY. Il ne constitue donc pas une preuve de la nécessité du photon. 3.3 Interférences photon unique Le présent paragraphe s appuie sur la thèse de Vincent Jacques, chercheur au laboratoire de Photonique Quantique et Moléculaire à l ENS Cachan : Sources de photons uniques et interférences à un seul photon : de l expérience des fentes d Young au choix retardé., publiée en Il comprend des simplifications visant à rendre l expérience accessible à un niveau L Si on cherche à savoir par où passe le photon Des impulsions de lumière de photoluminescence émises par un centre coloré NV individuel sont envoyées en incidence normale sur un bi-prisme de Fresnel. Deux détecteurs fonctionnant en régime de comptage de photon sont positionnés en sortie de chacun des deux chemins de l interféromètre, loin de la zone de recouvrement des faisceaux issus du bi-prisme (fig.8). Le dispositif est réglé de façon à ce que, dans l hypothèse de l existence du photon, il en existe au plus un seul dans l appareil de mesure durant la fenêtre de détection des compteurs. 5

9 Figure 8 Bi-primse de Fresnel : comptage de photons à partir d une source à photon unique Si la lumière se comporte comme une onde, elle se sépare en deux au niveau du bi-prisme et emprunte simultanément les deux chemins. Si la lumière est de nature corpusculaire, chaque photon ne peut emprunter qu un seul des deux chemins. On définit le paramètre de corrélation A par : A = N C N T N 1 N 2 où N T, N C, N 1 et N 2 sont respectivement le nombre total de détections, le nombre de détections coïncidentes au niveau des détecteurs en 1 et 2, le nombre de détections du détecteur en 1 et le nombre de détections du détecteur en 2. Avec un intervalle de confiance de 95%, on mesure finalement : A = 0.13 ± 0.01 Cette expérience démontre l existence du photon. Il manifeste un comportement qu on qualifierait classiquement de corpusculaire On ne cherche plus à savoir par où passe le photon Des impulsions de lumière de photoluminesence émises par un centre coloré NV individuel sont envoyées en incidence normale sur un bi-prisme de Fresnel. Une caméra CCD intensifiée refroidie à la température 25 C (istar, ANDOR TECHNOLOGIES) est positionnée dans la zone de recouvrement des deux fronts d onde déviés par le bi-prisme (fig.9). Le dispositif est réglé de façon à ce qu il existe au plus un seul photon dans l appareil de mesure durant la fenêtre de détection de la caméra. Ce dispositif est équivalent à celui des fentes d Young (document 1). Figure 9 Bi-primse de Fresnel : enregistrement du champ d interférences 6

10 2000 clichés, équivalents à la détection d environ photons, ont été réalisés. Ces clichés accumulés ont été utilisés pour réaliser un film qui permet de visualiser très clairement la construction photon par photon de franges d interférence (fig.10). Figure 10 Reconstitution des franges d interférences photon par photon : https://www.youtube.com/watch? v=naeo517ndxo Les impacts successifs sur le détecteur semblent obéir à une certaine loi de probabilité. Si on accumule les impacts, la figure d interférences typique des fentes d Young apparaît. Dans cette expérience, le photon manifeste un comportement qu on qualifierait classiquement d ondulatoire Conclusion partielle Le photon manifeste tantôt un comportement ondulatoire, tantôt un comportement corpusculaire. Pourtant, classiquement, ces deux comportements sont contradictoires! 4 Des interférences avec de la matière! Une équipe d Hitachi a réalisé en 1989 une expérience analogue aux fentes d Young mais en utilisant des électrons et un «bi-prisme électromagnétique». Des électrons, émis par une source identique à celle d un microscope électronique, sont accélérés sous une différence de potentiel de 50 kv, puis dirigés vers un ensemble de trois électrodes. Une électrode centrale cylindrique, de diamètre inférieur au micromètre, est portée à un potentiel supérieur de 10 V à celui de deux électrodes 7

11 Figure 11 Reconstitution des franges d interférences électron par électron : watch?v=5oqwtcfzn4m planes disposées latéralement. La distance entre les deux électrodes latérales est de 10 mm. La distance entre la source d électrons et le détecteur est de 1, 5m. Le faisceau électronique est ainsi divisé en deux faisceaux, déviés dans des sens opposés. Un détecteur est placé dans la zone de recouvrement des deux faisceaux. L impact d un électron en un point du détecteur produit des photons (par fluorescence), qui sont ensuite multipliés, détectés et localisés. La position de l impact d un électron sur le détecteur peut ainsi être mesurée. Le flux d électrons est contrôlé. Il est égal à 103 électrons par seconde, ce qui correspond à un courant d intensité 1, A. La vitesse des électrons est égale à 1, m.s 1. On est donc assuré de la présence au plus d un seul électron dans le dispositif entre deux détection. On observe une figure d interférences typique de l interférence à deux ondes (fig.11). Cette expérience, analogue à celle de V.JACQUES, montre que les électrons peuvent manifester un comportement ondulatoire. C est plus généralement, c est le cas de tous les objets physique à l échelle atomique 2 5 La dualité onde-corpuscule 5.1 Relations de de Broglie et de Planck-Einstein Paramètres relatifs aux ondes et aux corpuscules Mécanique quantique Q : h. Onde : λ, ν, C. Corpuscule : m, v, E Relation de Planck-Einstein Relation de Planck-Einstein Soit une onde électromagnétique de fréquence ν. A cette onde, on peut associer un ensemble de corpuscules indivisibles, appelés photons, d énergies individuelles E telles que : E = hν Relation de de Broglie Par analyse dimensionnelle, on détermine un lien entre λ, grandeur ondulatoire et p grandeur corpusculaire. 2. Aujourd hui, on sait faire interférer des atomes et des molécules dits froids. A plus grande échelle, les objets semblent perdre leurs propriétés quantiques : c est la décohérence. 8

12 Relation de de Broglie A tout corpuscule de quantité de mouvement p, on peut associer une onde de longueur d onde : λ = h p Le comportement ondulatoire de cette particule se manifeste si la taille caractéristique d des obstacles qu elle rencontre est plus petite ou de l ordre de λ. 5.2 Les quantons Figure 12 Métaphore du quanton : de même qu un cylindre n est ni un cercle ni un rectangle, un quanton n est ni une onde, ni un corpuscule mais apparaît comme l un ou l autre suivant l expérience. Un quanton ni une onde, ni un corpuscule mais se comporte comme une onde ou comme un corpuscule suivant comment on regarde cet objet i.e. suivant l expérience => l influence de l observateur est inscrite dans la théorie quantique. Métaphore du quanton : fig Interprétation probabiliste des interférences particule par particule Soit ϕ(x) la fonction d onde décrivant l état de la particule (photon, électrons...). En l absence de mesure sur le système, qualitativement, la fonction d onde s écrit : ϕ(x) = ϕ 1 (x) + ϕ 2 (x) où ϕ 1 (x) et ϕ 2 (x) sont respectivement l amplitude de probabilité que la particule impacte le détecteur en x en passant par la fente 1 et l amplitude de probabilité que la particule impacte le détecteur en x en passant par la fente 2. Le photon est dans une superposition d état : il passe à la fois par la fente 1 et par la fente 2. On admet que la densité de probabilité que la particule se trouve en x s écrit ϕ(x) 2 = ϕ(x)ϕ(x). Dans le cas de l expérience des fentes d Young à photon unique, la densité de probabilité s écrit : ϕ(x) 2 = ϕ 1 (x) 2 + ϕ 2 (x) 2 + ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) + ϕ 2 (x)ϕ 1 (x) ϕ 1 (x) 2 est la densité de probabilité que la particule arrive en x si seule la fente 1 est ouverte. ϕ 2 (x) 2 est la densité de probabilité que la particule arrive en x si seule la fente 2 est ouverte. ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) + ϕ 2 (x)ϕ 1 (x) est le terme d interférences entre les deux états de ϕ 1 et ϕ 2 : il explique la reconstitution des franges d interférences lorsque les particules s accumulent sur le capteur. On peut dire que la particule interfèrent avec elle-même. 9

13 7 Particule dans un puits carré de potentiel 7.1 Puits carré infini Soit une particule enfermées dans puits de potentiel infini de largeur L. La fonction d onde ψ(x, t) décrit son état quantique. ψ(x, t) est continu est s annule aux bords du puits c est-à-dire : 7.2 Analogie avec la corde vibrante t, ψ(0, t) = 0 t, ψ(a, t) = 0 Nous admettons que la particule se comporte comme une onde et que, par analogie avec la corde vibrante, sa fonction d onde ψ(x, t) s écrit avec ψ(x, t) = ϕ(x)ϕ(t) ϕ(x) = ϕ 0 sin(kx) x [0, a] avec k = 2π λ ϕ(x) = 0 x ], 0] [a, [ De même, la particule étant confinée, comme pour la corde vibrante, la longueur d onde est quantifiée : λ n = 2a n avec n N 7.3 Quantification de l énergie Quelles sont les énergies autorisées pour la particule? Classiquement, l énergie mécanique de la particule s écrit : E = Ec + V (x) avec x [0, a], V (x) = 0 D après le relation de de Broglie : E = p2 2m p = h λ avec, ici, λ n = 2a n. Finalement, l énergie de la particule s écrit : L énergie de la particule est quantifiée. R Remarques : E n = n 2 h 2 8ma 2 Pour n = 1, E 1 = h2 0 : l énergie de l état fondamental de la particule est non nul, contrairement 8ma2 au cas classique. Pour n > 1, l état de la particule est dit excité. On peut amener la particule dans cet état en lui communiquant l énergie E n E 1 depuis l état fondamental, par exemple par absorption d un photon. 10

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