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1 Le monde quantique

2 1. L idée de quanta 2. La dualité onde-corpuscule 3. L équation d onde des quanta 4. Le principe de superposition 5. L indéterminisme s invite en physique 6. Le spin

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4 Rayonnement dans une cavité (ex. un four) Selon la théorie classique : énergie du rayonnement de corps noir croît avec la fréquence énergie rayonnée = («catastrophe ultraviolette») Hypothèse de Planck en 1900 : énergie échangée par quantités finies, les quanta Valeur d un quantum d énergie du rayonnement : h h = constante de Planck = 6, J.s (grandeur d une action) Hypothèse confirmée par Einstein en 1905 : interprétation de l effet photoélectrique + théorie des photons Le rayonnement électromagnétique est constitué de quanta : les photons

5 La lumière peut-elle percuter un électron? Une onde électromagnétique fait vibrer un électron, mais ne le percute pas En 1923, A. Compton observe l éjection d électrons en bombardant des cristaux par des rayons X tout se passe comme si les rayons X se comportaient comme des particules Des ondes électromagnétiques très énergétiques se comportent comme des particules et percutent les électrons comme le feraient des billes! Conformément à la théorie d Einstein, l énergie des «grains de lumière» mesurée par Compton est proportionnelle à leur fréquence E = hν

6 Des neutrons qui rebondissent (expérience réalisée à l Institut Laue-Langevin de Grenoble en mai 2002) Faisceau de neutrons très froids (quelques K) passant entre une surface absorbante et une autre réfléchissante Les neutrons, sous l effet de la gravitation, tombent et rebondissent En déplaçant la surface absorbante, on détermine la hauteur des rebonds Observation : les neutrons ne peuvent rebondir à moins de 15 µm quantification des sauts des neutrons Les phonons Dans un réseau cristallin, les atomes sont «liés» par des forces qui peuvent être comparées à des élastiques Si l on déplace puis relâche un atome de sa position d équilibre, il va vibrer et entraîner la vibration des atomes alentour Formation d ondes qui se déplacent dans le cristal Ces ondes mécaniques transportent une énergie quantifiée Les vibrations dans un cristal sont des objets quantiques appelés phonons Source de neutrons froids Surface absorbante pour les neutrons Surface réfléchissante pour les neutrons

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8 Interférence d un photon avec lui-même Expérience réalisée pour la première fois en 2004 par l équipe de Jean- François Roch (Laboratoire de photonique quantique de l ENS Cachan) Évolution de la figure d interférence avec le nombre de photons La mesure des coïncidences montre clairement que chaque photon passe par un seul chemin à la fois!!! Le photon passe par 1seule fente à la fois MAIS l onde passe par les 2! 8

9 Des billes ne peuvent pas traverser un mur en béton Une «marche» de potentiel joue le rôle d un mur pour des électrons Les électrons peuvent traverser une tel mur de potentiel c est l effet tunnel Seules les ondes peuvent traverser des «murs» (ex. réfraction de la lumière) Effet tunnel met en évidence la nature ondulatoire des électrons Billes Électrons Mur en béton Barrière de potentiel Applications Microscope à effet tunnel Diode à effet tunnel Graphite Nickel

10 Expérience avec des billes Expérience avec des ondes Expérience avec des électrons

11 L expérience des trous d Young avec des électrons n a jamais été réalisée avec deux fentes mais sur des réseaux cristallins Observation de diffraction d électrons par les cristaux en cristallographie

12 Les électrons sont des corpuscules mais se comportent aussi comme des ondes (diffraction) La lumière est une onde mais se comporte aussi comme des corpuscules (effet Compton) À l échelle microscopique, les objets semblent se comporter à la fois comme des ondes et comme des corpuscules Les quanta sont des objets hybrides : des grains-ondes Mais si l on comprend ce qu est le corpuscule, qu est-ce que l onde d un objet quantique?

13 L onde de lumière est une onde électromagnétique Qu est-ce que l onde d un électron? Il faut raisonner autrement Abandonner l image d un corpuscule surfant sur une onde Quantum de lumière Manifestation corpusculaire = photon Manifestation ondulatoire = onde (du champ) électromagnétique Quantum électronique Manifestation corpusculaire = électron Manifestation ondulatoire = onde du «champ électronique»? Qu est-ce que cela signifie?

14 Interprétation des franges d interférence Franges brillantes : forte présence de photons Franges sombres : absence ou faible présence de photons L intensité de la frange donne la probabilité de trouver un photon Onde du photon onde de probabilité de présence du photon Idem pour tous les objets quantiques Mais alors, on ne connaît que la probabilité de trouver une particule la physique est devenue indéterministe!!!

15 L un et l autre à la fois? Ni l un ni l autre? Niels Bohr a dit : «Il est faux de penser que le but de la physique est de trouver comment est faite la nature. La physique est seulement concernée par ce que l on peut dire sur elle.» La mécanique quantique fonctionne très bien Les physiciens ont décidé de ne pas trop se poser de questions sur sa signification!!!

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17 L onde de probabilité des quanta est décrite par l équation de Schrödinger iħ ψ t + ħ2 2m 2 ψ Vψ = 0 avec ħ = h 2π (h = 6, J.s) L équation de Schrödinger n est pas relativiste (sa version relativiste est l équation de Klein-Gordon : ħ 2 2 ψ t 2 + ħ2 c 2 2 ψ + m 2 c 4 ψ = 0) La fonction d onde n évolue pas dans l espace physique mais dans l espace des phases (positions + quantités de mouvement de toutes les particules du système) L équation de Schrödinger est une équation différentielle linéaire Ses solutions sont des fonctions complexes de L 2 Remarque : en posant x = iħx, y = iħy, z = iħz, t = iħt, l équation de Schrödinger devient : ψ 1 t 2m 2 ψ Vψ = 0 C est une équation de diffusion

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19 Une lapalissade On ne peut connaître l état d un système quantique avant de l avoir mesuré lourde de conséquences On est obligé de faire l hypothèse que tous les états compatibles avec les conditions physiques coexistent avant la mesure C est une conséquence de l équation d onde de Schrödinger Toute composition linéaire des solutions est solution Tous les états coexistent!!! C est le principe de superposition

20 Dans l expérience, deux états sont possibles L iode radioactif n a pas émis de radiation + la bouteille de poison est intacte + Garfield est vivant L iode radioactif s est désintégré + la bouteille de poison est cassée + Garfield est mort Un troisième état doit être envisagé : la superposition des deux états ci-dessus Garfield est à la fois MORT et VIVANT!

21 Expérience des trous d Young avec un électron à la fois L onde décrit l évolution des propriétés physiques de chaque électron L onde diffracte, interfère les propriétés physiques évoluent comme une onde Mais au final, c est bien un corpuscule qui frappe l écran Bien que l onde ait une valeur partout sur l écran, pourquoi le corpuscule est-il localisé en 1 seul point? En première analyse, sur l écran, il se passe quelque chose (détection de l électron = interaction de la matière de l écran avec l électron) qui fait basculer la description ondulatoire en description corpusculaire

22 La fonction d onde décrit tous les états possibles avant la mesure Après la mesure, un seul état est observé La fonction d onde a changé : elle ne décrit plus que l état observé / mesuré On dit que la fonction d onde a été réduite basculement de tous les états possibles vers un seul état unique Il est difficile de rendre compte de la réduction de la fonction d onde avec l outillage mathématique de la mécanique quantique (ensemble théorique développé par Zureck, Hartle, Zeh, Omnès, Gell-Mann, etc. dans les années 1990)

23 Pour résoudre le paradoxe du chat de Schrödinger il faut admettre qu à l échelle macroscopique les phénomènes quantiques disparaissent POURQUOI? Les états superposés sont très sensibles aux interactions Pour que 2 états restent superposés il ne faut pas qu il y ait d interactions avec d autres objets car Les interactions ont pour effet de réduire la fonction d onde À l échelle de temps macroscopique, les états superposés disparaissent donc du fait du grand nombre d interactions avec l environnement Garfield ne peut rester très longtemps intriqué au détecteur et à l atome d Iode radioactif Ce phénomène s appelle la décohérence quantique

24 Un photon peut se matérialiser en une paire électron-positon (antiélectron) Respect de la loi de conservation du moment cinétique les spins des particules sont opposés États de spin possibles superposition ou mélange des 2 états précédents = «état intriqué» superposition ou mélange des 2 états précédents = «état intriqué» (état dit «singulet») Dans les états intriqués, les particules ont à la fois un spin et Ces états existent vraiment et leurs probabilités ont été mesurées

25 Einstein a imaginé avec Podolski et Rosen l expérience de création de paire électron-positon pour mettre la mécanique quantique à défaut Paradoxe Einstein-Podolski-Rosen (EPR) Dans les états intriqués 1 2 ± quand on mesure le spin de l électron, on obtient une valeur ou même s il a initialement les deux états de spin à la fois Le spin du positon prend alors instantanément la valeur opposée Selon Einstein, tout se passe comme si une information a été transmise instantanément de l électron au positon lors de la mesure Information transmise à une vitesse infinie Violation de la relativité (une information ne peut se déplacer à une vitesse supérieure à celle de la lumière) Selon Einstein, cette expérience mettait à défaut la mécanique quantique et l existence des états intriqués En fait, dans l état intriqué, les 2 particules ne constituent qu un seul et même objet quantique Mesurer le spin de l une revient à mesurer le spin des deux composantes de l objet quantique intriqué à la fois Pas d information transmise entre l électron et le positon Pas de violation de la relativité

26 Dans l expérience EPR, l électron et le positon restent intriqués tant que l un n interagit pas avec une particule tierce Idéalement, si l on peut faire le vide total dans un très grand volume La paire e + e - peut subsister un très long moment L électron et le positon peuvent beaucoup s éloigner tout en restant intriqués L intrication ne tient pas compte des distances entre les objets intriqués Cette caractéristique des objets quantiques s appelle la nonlocalité

27 Portés à des températures proches de 0K (- 273, 15 C) certains métaux voient leur résistance électrique s annuler : c est la supraconductivité À très basse température, les électrons de ces métaux s apparient en paires de Cooper À très basse température, disparition des mouvements thermiques Les électrons dans le métal peuvent s apparier en paires de spins opposés (selon des mécanismes encore mal expliqués) : les paires de Cooper L objet obtenu est un objet quantique intriqué Les paires de Cooper se comportent comme une unique particule de spin 1 (boson) insensible aux interactions avec les atomes résistivité nulle Cube supraconducteur en suspension magnétique au-dessus d un disque supraconducteur dans lequel circule un courant

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29 ψ ε x Fonction g e (k) e = 0,5 e = 1 e = 2 x ψ ε x, 0 = 1 2π + g ε (k)e ikx dk Où : e ikx est un mode (onde sinusoïdale) g e (k) poids relatif de chaque mode k = vecteur d onde = p h e = 2 e = 1 e = 0,1 e = 0,01

30 Les ondes peuvent être décomposées en modes 1 mode = 1 onde sinusoïdale = 1 fréquence Une vraie onde sinusoïdale n a ni début, ni fin non localisée Onde localisée (paquet d ondes) = superposition de modes Nombre de modes croît avec la localisation quantité de mouvement du paquet est indéterminé Conclusion, pour une onde : Localisation méconnaissance de la quantité de mouvement Résultat pour les ondes transposable aux quanta en général Δp. Δx ħ 2

31 Mesurons et estimons l énergie d une onde sinusoïdale pour une mesure durant Dt Dt très court onde observée non sinusoïdale superposition de très nombreux modes énergie réelle très différente de l énergie prédictible (la différence inversement proportionnelle à Dt) Dt Dt très long onde se rapproche d une sinusoïde faible nombre de mode (à la limite 1 seul mode) énergie réelle énergie prédictible Même chose avec les quanta ΔE. Δt ħ 2

32 Principe énoncé par Werner Heisenberg en 1927 Interprétation physique On ne peut connaître à la fois la quantité de mouvement et la position d un quantum Plus la durée de mesure d énergie est courte, plus l incertitude sur la valeur de l énergie est grande Conséquences physiques L ordre dans lequel on mesure vitesse et position influence le résultat des mesures (mesures non commutatives) Une particule ne peut exister au repos!!! L énergie d un système quantique peut fortement fluctuer sur de brèves durées. Cas de l énergie du vide dont les fluctuations peuvent être très grandes!

33 L effet Casimir (Hendrik Casimir) Deux plaques métalliques, non électriquement chargées, dans une cavité complètement vide Les deux plaques se rapprochent spontanément jusqu à se toucher C est l effet Casimir, prédit par Hendrick Casimir en 1948 Mesuré En 1997 par Steve Lamoreaux entre un plan et une sphère (Los Alamos National Laboratory) En 2001 entre 2 plans (Université de Padoue) Le rayonnement des trous noirs (Stephen Hawking) Des paires de particules naissent spontanément dans le vide À la périphérie d un trou noir, l une des 2 particules peut tomber dans le trou noir mais pas l autre Génération d un rayonnement de particules

34 En physique classique On peut mesurer simultanément position et quantité de mouvement Ces deux grandeurs se complètent pour donner un même «point de vue» du phénomène En physique quantique On ne peut mesurer simultanément position et quantité de mouvement (on ne peut avoir connaissance des 2 grandeurs à la fois) La mesure de chacune de ces grandeurs est, en soi, un «point de vue» du phénomène Ces deux points de vue ne se complètent pas pour n en former qu un : ils sont indépendants l un de l autre!!! Dans le langage de la mécanique quantique, des grandeurs qui donnent des points de vues indépendants l un de l autre sont dites non commutatives Exemples d autres grandeurs non commutatives Moment cinétique et position Moment cinétique et quantité de mouvement

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36 z 1 2 Spin d un objet quantique son moment cinétique intrinsèque En physique quantique, le moment cinétique est quantifié le spin également Quantification du spin (et du moment cinétique) : la projection du spin sur un axe arbitraire est O 1-2 Les 2 états de spin d une 1 particule de spin 2 Soit un nombre entier (0, 1, 2, ) Soit un nombre «demi-entier» (1/2, 3/2, 5/2, ) Spin 5/2 Spin 2

37 Le spin apparaît de lui-même dans les solutions des équations relativistes de la fonction d onde Équations de la fonction d onde Équation de Schrödinger : équation non relativiste Équation de Klein-Gordon : équation relativiste qui décrit des objets de spin entier Équation de Dirac : équation relativiste qui décrit des objets de spin «demientier» Les solutions de l équation de Dirac sont des objets mathématiques très bizarres, appelés des spineurs Un spineur est une matrice 2x2 complexe dotée de propriétés géométriques très particulières Il faut tourner un spineur de 4 pour qu il retrouve sa valeur initiale Une rotation de 2 le fait basculer

38 En physique quantique, un système de 2 particules identiques = 1 système avec 1 seul état physique La permutation des 2 particules ne modifie les propriétés physiques du système ψ 1 2 = ψ 2 2 Cette condition induit 2 cas de figure : ψ 1 = ψ 2 Ces objets sont appelés des bosons ψ 1 = ψ 2 Ces objets sont appelés des fermions On montre que Les bosons ont un spin entier Les fermions ont un spin «demi-entier» ψ 1 ψ 2 Rotation de Animations Rotation de Illustration d un fermion de spin ½ Illustration de la permutation d un fermion de spin ½

39 Comportement des fermions 𝜓1 = 𝜓2 amplitude de probabilité pour que 2 fermions identiques occupent le même état quantique = é𝑡𝑎𝑡𝑠 = 𝜓1 + 𝜓2 = 0 Deux fermions identiques ne peuvent se trouver dans un même état C est le principe d exclusion de Pauli Illustration du comportement des fermions Dans les couches électroniques des atomes, les électrons vont par paires 1 électron avec le spin 1 électron avec le spin La pression «fermionique» dans les étoiles à neutrons = dernier rempart à la formation des trous noirs Le courant électrique Répartir les états d énergie des électrons revient à remplir une boîte avec des cubes en commençant par le fond, les états de plus basse énergie Les cubes du fond ne peuvent plus «bouger» car ils sont «bloqués» par ceux situés audessus d eux Seuls les cubes à la surface sont libres. Ce sont ces électrons qui constituent le courant électrique

40 Comportement des bosons 𝜓1 = 𝜓2 l amplitude de probabilité croît avec le nombre de bosons dans le même état Les bosons ont tendance à occuper tous le même état C est ce que l on appelle le phénomène de condensation des bosons Illustration du comportement des bosons : l Hélium 3 superfluide He à 2,17K (point ) passe dans un état de superfluidité avec une conductivité thermique infinie Un récipient d He superfluide se vide tout seul en remontant les parois La superfluidité de l He vient du fait qu au point, l He s apparie en paires de Cooper et devient un boson de spin 1

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