Fonctions de plusieurs variables. 1 Dérivées partielles et points critiques.

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1 La fiche ci-après détaille le programme du DST à partir du chapitre 6: les points de cours (c est-à-dire les formules, les théorèmes, les propositions, etc.), les méthodes pratiques et les exercices types que vous devez connaître par chapitres. Les chapitres 1 à 5 sont évidemment à revoir également, et vous trouverez les points de cours, méthode et exercices pour ces chapitres dans la feuille de route des révisions pour le DSI. En plus des exercices que nous avons fait, je vous conseille vivement de regarder les exercices (corrigés!) donnés par mes collègues en contrôle. Vous les trouverez aux adresses suivantes: ontrôles de cette année de G. Lazzarini: html ontrôles de l an passé de G. Lazzarini: ontrôles de J.. oyer: Le contenu du DST contient le complémentaire de ce qui a été demandé au DSI: il vous sera très certainement demandé ce qui ne vous a pas été demandé sur la première partie du cours, et toute la deuxième partie du cours (chpts 6 et 7). (Mais ce qui a été demandé peut être re-demandé...). Au vu des résultats des derniers contrôles en TD, j insiste sur le fait qu il faut travailler la dérivation et l intégration. Les tableaux de dérivées et de primitives en particulier sont à connaître par coeur. Vous avez besoin de ces outils dans quasiment tous les chapitres et vos erreurs principales proviennent de difficultés à trouver une primitive, à calculer correctement une dérivée... Entraînez-vous là-dessus (maitrisez parfaitement les exercices des chapitres 3 et 4 par exemple). Enfin travaillez votre rédaction: vous êtes encore trop nombreux à lister une suite de résultats, sans transition, sans justification: si vous voulez mettre le correcteur en confiance, dites lui ce que vous faites. Vous trouverez des modèles de rédactions dans les exercices corrigés: inspirez vous en, voir apprenez ces schémas de rédaction par coeur! eci étant dit, bonnes révisions et bonne continuation! hpt 6 Fonctions de plusieurs variables. 1 Dérivées partielles et points critiques. A Points de cours: onnaître les définitions suivantes: gradients, point critique, matrice hessienne. onnaître le critère permettant de déterminer si un point critique est un minimum local, un maximum local, ou un point selle (construction de la matrice Hessienne): Définition (matrice Hessienne): La matrice Hessienne d une fonction de deux variables en un point de R 2 est la matrice de ses dérivées partielles secondes: ( ) 2 f x 2 f 2 x y H f = 2 f y x 2 f y 2. 1

2 puis utiliser le théorème Théorème: Soit (x 0, y 0 ) un point critique de f, et H f (x 0, y 0 ) la matrice hessienne de f en (x 0, y 0 ). Alors, si det(h f (x 0, y 0 )) < 0, (x 0, y 0 ) est un point selle; si det(h f (x 0, y 0 )) > 0, (x 0, y 0 ) est un extrêmum local: c est un minimum si le premier coefficient de H f (x 0, y 0 ) est positif, et c est un maximum si le premier coefficient de H f (x 0, y 0 ) est négatif. Remarque: Le cas d annulation n est pas traité: si le déterminant de la matrice hessienne s annule, on ne peut rien dire. Si vous vous trouvez dans ce cas, c est que vous vous êtes trompés! Savoir calculer les dérivées partielles et les dérivées partielles secondes d une fonction de deux variables. Savoir déterminer les points critiques d une fonction de deux variables (ce qui revient en pratique à résoudre un système de deux équations, non linéaire en général!). Savoir déterminer la nature des points critiques (minimum local, maximum local, point selle). Feuille de TD 6: exercices 1, 2 et 3. DS3 de l an dernier :exercice 2. ontrôle de rattrapage de l an dernier: exercice 2. DS3: exercice 2. ontrôle de rattrapage: exercice 2. G. Lazzarini, son dernier contrôle de l an dernier: exercice 1, et son dernier contrôle de cette année :exercice 1. J.. oyer, son dernier contrôle de l an dernier: exercice 2. DSI de 2011/2012: question 5. 2 Intégration des fonctions de plusieurs variables. A Points de cours: Théorème de Fubini: Théorème (Fubini): Soit D = [a, b] [c, d] R 2, et f : D R continue. On suppose qu il existe deux fonctions d une variable, φ 1 et φ 2, telles que pour tout D, f = φ 1 (x)φ 2 (y). Alors: ( b ) ( d ) fd = φ 1 (x)dx φ 2 (y)dy. D a c 2

3 Savoir appliquer le théorème de Fubini pour calculer l intégrale d une fonction de deux variables. Remarques: Pour cela il faut d abord identifier les deux fonctions d une variable, φ 1 et φ 2, et faire savoir au correcteur que vous les avez identifiées: soignez votre rédaction. Vous êtes en suite ramené à calculer des intégrales de fonctions d une variable: vous devez maîtriser le chapitre 4! Feuille de TD 6: exercice 5 et 6 (les autres ne sont plus au programme cette année). Feuille d exercices supplémentaires sur l intégration des fonctions de deux variables: en entier. DS3: exercice 3. ontrôle de rattrapage: exercice 3. DS3 de l an dernier: exercice 3. ontrôle de rattrapage de l an dernier: exercice 3. G. Lazzarini, son dernier contrôle de l an dernier: exercice 2, et son dernier contrôle de cette année :exercice 2. J.. oyer, son dernier contrôle de l an dernier: exercice 1. DSI de 2011/2012: question 3. hpt 7 Introduction aux équations différentielles. 1 Équations différentielles linéaires d ordre 1. A Points de cours: onnaître la forme des solutions d une équation différentielle linéaire d ordre 1 homogène: Théorème : Les solutions de l équation homogène y (t) = a(t)y(t) (E h ) sont les fonctions y(t) = e A(t), R, où A(t) est une primitive de a(t). Savoir que les solutions d une équation différentielle s obtiennent en additionnant une solution particulière y p aux solutions de l équation homogène associée. 3

4 Savoir mettre une équation différentielle linéaire du premier ordre sous la forme y (t) = a(t)y(t) + b(t). Savoir résoudre une équation différentielle homogène linéaire du premier ordre, donc savoir trouver des primitives. Savoir déterminer une solution particulière d une équation différentielle linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la contante. La fiche sur la variation de la constante que vous trouverez sur ma page, est à maitriser parfaitement. Savoir résoudre un problème de auchy, c est-à-dire, une fois l ensemble (infini) des solutions d une équation différentielle du premier ordre trouvé, savoir déterminer l unique solution vérifiant une condition initiale y(t 0 ) = y 0 donnée. Feuille de TD 7: exercices 1, 2, 3, 4 et 5. DS3: exercice 1. ontrôle de rattrapage : exercice 1. DS3 de l an dernier: exercice 1. ontrôle de rattrapage de l an dernier: exercice 1. G. Lazzarini, son dernier contrôle de l an dernier: exercice 3, et son dernier contrôle de cette année :exercice 3. J.. oyer, son dernier contrôle de l an dernier: exercice 3. DST de 2011/2012: question 3. 2 Équations différentielles linéaires d ordre 2, à coefficients constants. A Points de cours: Savoir déterminer l ensemble des solutions d une équation linéaire du second ordre, en fonction du signe du discriminant de l équation caractéristique: 4

5 Théorème: Soit ay + by + cy = 0 (E h ) une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants, et ax 2 + bx + c = 0 (E..) l équation caractéristique associée, de discriminant = b 2 4ac. Alors: 1. Si > 0, (E..) possède deux racines simples λ 1 et λ 2, et les solutions de (E h ) sont les y(t) = Ae λ1t + e λ2t, A, R. 2. Si = 0, (E..) possède une racine double, λ et les solutions de (E h ) sont les y(t) = (A + t)e λt A, R. 3. Si < 0, (E..) possède deux racines complexes conjuguées, λ 1 = α + iβ et λ 2 = α iβ et les solutions de (E h ) sont les y(t) = (A cos(βt) + sin(βt))e αt A, R. Savoir trouver les solutions d une équation différentielle homogène du second degré. Pour cela, il faut savoir calculer les racines d un polynôme de degré 2! Savoir trouver une solution particulière d une équation différentielle du second degré, sous une forme donnée (par identification des coefficients). La forme de la solution particulière est donnée dans le tableau distribué en TD, que vous pouvez retrouver sur ma page. Au DST, on vous indiquera la forme sous laquelle vous devez chercher la solution. Savoir résoudre un problème de auchy, c est-à-dire, une fois l ensemble (infini) des solutions d une équation différentielle du second degré trouvé, savoir déterminer l unique solution vérifiant des conditions initiales y(t 0 ) = y 0 et y (t 1 ) = y 1 données. Feuille de TD 8: exercices 1, 2, et 3. G. Lazzarini, son dernier contrôle de cette année : exercice 4. DST 2011/2012: question 4. 5