Méthodologie statistique

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1 Méthodologe statstque 000 L'ECONOMETIE ET l'etude DES COMPOTEMENTS Présetato et mse e oeuvre de modèles de régresso qualtatfs Les modèles uvarés à résdus logstques ou ormaux LOGIT, POBIT Documet de traval Isttut Natoal de la Statstque et des Etudes Ecoomques

2 INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ÉTUDES ÉCONOMIQUES Sére des Documets de Traval de la DIECTION DES STATISTIQUES DEMOGAPHIQUES ET SOCIALES Uté «Méthodes Statstques» Sére des Documets de Traval Méthodologe Statstque 000 L'ECONOMETIE ET l'etude DES COMPOTEMENTS Présetato et mse e oeuvre de modèles de régresso qualtatfs Les modèles uvarés à résdus logstques ou ormaux LOGIT, POBIT Javer 000 Cette ote est le frut d'u traval collectf auquel ot partcpé G. GIMLE, D. LE BLANC, S. LOLLIVIE, M. MAPSAT, H. OUSSE, A. TOGNON, D. VEGE. Ce traval a bééfcé des remarques de A. JACQUOT et L. TOULEMON. Les rédacteurs e sot D. LE BLANC, S. LOLLIVIE, M. MAPSAT et D. VEGE. Leur adresser vos remarques, suggestos, correctos, crtques, af d'amélorer cette verso. Ces documets de traval e reflètet pas la posto de l'insee et 'egaget que leurs auteurs. Workg papers do ot reflect the posto of INSEE but oly ther authors vews.

3 L ÉCONOMÉTIE ET L ÉTUDE DES COMPOTEMENTS Présetato et mse e œuvre de modèles de régresso qualtatfs Les modèles uvarés à résdus logstques ou ormaux LOGIT, POBIT D. LEBLANC INSEE - Drecto des Statstques Démographques et Socales Départemet des prx à la cosommato, des ressources et des codtos de ve des méages S. LOLLIVIE GENES - ENSAE M. MAPSAT INED D. VEGE INSEE - Drecto des Statsques Démographques et Socales Uté de Méthodologe Statstque ÉSUMÉ : Ce documet présete certaes méthodes écoométrques de régresso sur varables qualtatves. Il est essetellemet cosacré à l étude des modèles à varable dépedate dchotomque logt ou probt selo les hypothèses sur les résdus. Le cas des modèles polytomques ordoés est auss abordé, mas plus sommaremet. Das u premer temps, ous précsos les partculartés des modèles à réposes qualtatves par rapport aux modèles tradtoels d aalyse de varace. Nous motros esute que, be que relevat d ue même logque, la modélsato est plus complexe pusqu elle fat terver ue varable latete. C est sur cette derère qu est postulé le modèle léare habtuel. Nous explquos ef les méthodes de résoluto de ces modèles, as que les tests pouvat être ms e œuvre. Das u secod temps, ous explquos commet ces modèles peuvet être estmés par le logcel SAS. Sot fours e partculer quelques suggestos sur le chox des varables explcatves, certaes mses e garde sur les dffcultés lées à l terprétato, et des cosels sur la lecture des résultats. Le texte se terme par l exposé de quelques problèmes écoométrques fréquemmet gorés. MOTS CLÉS : Varables qualtatves ; modèles Logt et Probt ; écoométre sur varables latetes. Modèles Logt et Probt

4 L'ECONOMETIE ET L'ETUDE DES COMPOTEMENTS Présetato et mse e oeuvre de modèles de régresso qualtatfs Les modèles à résdus logstques ou ormaux dts LOGIT, POBIT SOMMAIE I Les varables qualtatves Les varables dchotomques Les varables polytomques... 9 a. Les varables polytomques ordoées... 9 b. Les varables o ordoées... 9 II Pourquo des modèles partculers?... 0 III Nveau d'utlté, varables latetes... IV Le s modèle s théorque s.... V Les modèles POBIT et LOGIT Le modèle POBIT Le modèle LOGIT Comparaso des deux modèles... 3 VI L'estmato : formules, précsos techques Le prcpe de la méthode L'algorthme utlsé Quelques proprétés asymptotques de l'estmateur du maxmum de vrasemblace... 7 Modèles Logt et Probt 3

5 VII Les tests Test de la ullté d'u coeffcet... 9 I. Test d'ue laso de la forme : λ β C... 9 k k k 3. Test de la ullté d'ue esemble de coeffcets test de Wald test du rapport de vrasemblace... ' 4. Cas plus gééral : test d'ue hypothèse léare de la forme Q β C Test de la valdté géérale du modèle... VIII Mse e oeuvre de la procédure LOGISTIC de la verso 6 de SAS Quelques remarques et mses e garde préalables Quelques rappels de sytaxe Quelques précsos sur les procédures de sélecto pas à pas des varables U exemple de sorte terprétée Le fcher e sorte Modèle LOGIT, modèle POBIT I Mse e oeuvre du modèle LOGIT La spécfcato du modèle a. reter ou o ue dmeso explcatve b. représetato d'ue dmeso explcatve reteue quelles varables pour ue dmeso? la stuato de référece : à quo sert-elle? Commet la chosr?... 5 c. troducto smultaée de pluseurs dmesos explcatves : problèmes spécfques à évter les problèmes de coléarté les défauts d'addtvté d. les varables omses e. podérer ou e pas podérer : that's the questo! f. l edogééïté La lecture des résultats a. sgfcatvté des coeffcets b. l'terprétato des coeffcets e termes de probablté c. sgfcatvté globale d'ue dmeso explcatve d. peut-o classer les dverses dmesos explcatves par ordre d'mportace pussace explcatve?... 7 e. les coeffcets égaux à ±... 7 f. derers problèmes La publcato des résultats Modèles Logt et Probt 4

6 Quelques problèmes écoométrques souvet gorés L'hétéroscédastcté L'asymétre de la dstrbuto des perturbatos Test de mauvase spécfcato I Exteso au cas d'ue varable dépedate polytomque ordoée Cocluso Bblographe Modèles Logt et Probt 5

7 Modèles Logt et Probt 6

8 Préambule Ue aalyse des comportemets court le rsque de rester complète s o se lmte à l'observato de tableaux crosés vetlat ue pratque selo u ou pluseurs crtères. E effet, dvers effets de structure peuvet codure à des terprétatos erroées ; l est alors écessare d'soler les effets propres de telle ou telle varable. Pour ce fare, les tabulatos crosées so e gééral suffsates : même pour des equêtes dot l'échatllo est grad, o se heurte très vte aux problèmes que pose le grad ombre de cases qu e regroupet qu'u effectf très fable de méages. Pour aller plus lo, et teter d'soler l'effet spécfque d'u facteur «toutes choses égales par alleurs», l faut fare des hypothèses et postuler des régulartés statstques. Quad le phéomèe étudé est cotu exemple : le reveu ou so logarthme, la cosommato ou so logarthme, la méthode approprée est l'aalyse de la varace. Cette méthode est ue exteso aturelle du modèle de régresso par les modres carrés ordares, ou MCO. Toutefos, das ue étude sur le comportemet des méages ou des dvdus, les pratques étudées sot le plus souvet de ature dscrète, qualtatve. Le recours à ue aalyse écoométrque d'u type partculer est alors écessare pour soler les effets propres o parlera auss de «séparato des effets», d «effet d'ue varable toutes choses égales par alleurs», ou d'«effet d'ue varable codtoellemet aux varables trodutes das le modèle». La procédure SAS décrte das ce documet correspod à celle de la verso 6. sous Wdows. Elle est appelée à évoluer das les versos ultéreures. Modèles Logt et Probt 7

9 Modèles Logt et Probt 8

10 I Les varables qualtatves Dfférets types de varables qualtatves se recotret fréquemmet das os equêtes auprès des méages :. Les varables dchotomques Ce sot des varables qu preet deux valeurs, o dra auss qu ot deux modaltés, souvet otées 0 et. Exemples : - la possesso d'u be durable : s le méage possède le be 0 s'l e le possède pas - la pratque d'ue actvté : s l'dvdu pratque l'actvté 0 s'l e la pratque pas. Les varables polytomques Ce sot des varables qu preet plus de deux valeurs ou modaltés. O dstgue deux sortes de varables polytomques, qu serot tratées dfféremmet das les modèles : a. les varables polytomques ordoées Les dfféretes modaltés sot ordoées das u ordre «aturel», qu elles proveet d u classemet selo ue testé fréquece d actvté, ombre de bes durables,.., ou qu elles résultet du découpage e traches d ue varable umérque reveu,... Exemple : fare du sport. Tous les jours. Ue ou pluseurs fos par semae 3. Plus raremet b. les varables o ordoées Exemple : parm les dstractos possbles le samed sor, la persoe terrogée préfère :. La télévso. Le théâtre 3. Le céma Das cette ote, o tratera essetellemet des varables à deux modaltés, que l'o otera 0 et. Quelques dcatos serot doées sur les autres cas, qu correspodet aux réposes à pluseurs modaltés. Modèles Logt et Probt 9

11 II Pourquo des modèles partculers? O e peut pas utlser la même méthode que das le cas cotu pusqu'e partculer, la varable explquée Y e preat que deux valeurs, la perturbato u suvrat oblgatoremet ue lo dscrète, ce qu est compatble avec les hypothèses habtuelles de cotuté et de ormalté des résdus vor Gouréroux, 989. E effet, s o écrvat : Y b + u pour l'dvdu alors o aurat: u β avec la probablté p u β avec la probablté p où P[ Y ] p sot ue lo dscrète pour u Modèles Logt et Probt 0

12 III Nveau d'utlté, varables latetes Les méthodes utlsées partet du prcpe que le phéomèe observé est la mafestato vsble d'ue varable latete Z observable qu, elle, est cotue. O se ramèe alors coceptuellemet à u modèle d'aalyse de la varace sur cette varable latete, le problème à résoudre état celu de l'estmato de ce modèle. Exemple de cette varable latete : das le cas de la possesso d'u be durable, la varable latete peut être «l'testé du désr» de posséder le be : tat que cette testé reste féreure à u certa seul, o observe Y 0 le méage e possède pas le be, quad elle le dépasse o observe Y le méage possède le be. O peut auss formuler le problème e terme de focto d'utlté : pour le méage de caractérstques âge, sexe de la persoe de référece, reveu etc., la possesso du be procure u veau d'utlté U,, alors que la o possesso procure u veau U 0,. O a alors : Y U, > U 0, et Y U 0, > U, 0 le méage chosssat la stuato qu lu procure le plus haut veau d'utlté. O se ramèe au cas de la varable latete e posat : Z U, U 0, O a alors : Y Z > 0 et Y 0 Z < 0 Il y a possesso du be lorsque la varable latete Z dépasse le seul 0. Modèles Logt et Probt

13 IV Le s modèle s théorque s Notos Y la varable dchotomque à explquer, dte auss varable dépedate, dot o supposera qu'elle pred les valeurs 0 et. O observe les valeurs que pred Y sur u esemble d'dvdus ou de méages dcés par,,..., I. I est la talle de l'échatllo. Sot Z la varable latete sous-jacete au phéomèe. Le modèle postule ue relato du type : Z b + u où est u esemble de varables dtes exogèes ou explcatves, qu peuvet être : des varables cotues: le reveu, l'âge dot l'effet est alors léare, vor plus lo das les spécfcatos du modèle des varables «dscrétsées» : le reveu e traches, l'âge déceal ce qu permet de mettre e évdece des effets o léares des varables qualtatves : la CSP, la catégore de commue Das le cas de varables dscrétsées ou qualtatves, l covet de chosr ue stuato de référece vor c-après. La probablté que l'dvdu sot das l'état Y est alors : p P Y [ ] P[ Z > 0] P[ β > u] F β s o ote F la focto de répartto de u, c'est-à-dre la focto défe par : F w P[ u < w]. Le chox du modèle porte sur le chox de F. Deux foctos sot courammet utlsées et serot tratées c : F focto de répartto de la lo ormale modèle POBIT F focto de répartto de la lo logstque modèle LOGIT Toutefos, d'autres foctos peuvet être choses. As, la procédure LOGISTIC de SAS, dot o tratera plus lo, permet égalemet de predre pour F la focto de répartto de la lo de Gompertz. Modèles Logt et Probt

14 V Les modèles POBIT et LOGIT. Le modèle POBIT est celu pour lequel F est la focto de répartto de la lo ormale cetrée rédute : w F w Φ w t exp dt π ce qu doe: t β [ ] Φ β exp dt P Y. Le modèle LOGIT est celu pour lequel F est la focto de répartto de la lo logstque: ce qu doe : 3. Comparaso des deux modèles π exp w F w L w + exp w + exp w [ ] P Y L β + exp β L focto de répartto de la lo logstque et Φ focto de répartto de la lo ormale sot toutes les deux symétrques par rapport au pot 0,/, et comprses etre 0 et ce qu covet pour représeter ue probablté. La lo logstque de focto de répartto L a pour moyee 0, pour varace π 3 aturel de comparer à Φ w, focto de répartto de N 0,, la focto L w où / ; l est doc L w + exp πw / 3 La fgure c-dessous doe e focto de x, la dfférece L x Φ des foctos de répartto : L Φ 0,05 0,0 0,05 0,0 x 0,005 0 x référece : Gouréroux [989]. -0,005 0,00 0,40 0,80,0,60,00 Modèles Logt et Probt 3

15 Ces los état proches, das la plupart des cas pratques o peut dfféremmet chosr l'u ou l'autre modèle. Le modèle LOGIT a l'avatage d'ue plus grade smplcté umérque, le modèle POBIT est e revache plus proche du modèle habtuel de régresso par les modres carrés ordares. Atteto toutefos lorsque vous voudrez comparer les estmateurs obteus à partr des dfférets modèles. La Proc Logstc utlse Φ et L o pas L : les estmateurs obteus avec le modèle LOGIT serot doc π / 3 fos plus grads evro que ceux obteus par le modèle POBIT. Modèles Logt et Probt 4

16 VI L'estmato : formules, précsos techques. le prcpe de la méthode La méthode d'estmato adoptée est celle du maxmum de vrasemblace. L'equête fourt I observatos dépedates, Y. Les Y sot des varables de Beroull, p où : p P Y La vrasemblace s écrt alors : [ ] Y Y pour ue observato : p p l β pour I observatos : sot : La log-vrasemblace s écrt : sot : O e dédut la dérvée : l L I I Λ β β I l I I Y [ F β ] [ F ] Λ β β Y L I β log Λ β log l β I I β Y log F β + Y log F β I I l β Y F β I F β F β f β où f est la dérvée de F, et la matrce des dérvées secodes, ou Hesse : l ' β β I I ' + f β + F β F β F β Y Y Y F β F β ' f β ' as que la matrce d formato de Fsher : l I F β E ' β β La procédure d'estmato cosste à rechercher la valeur β de β qu maxmse la vrasemblace ou plus précsémet so logarthme L I β, oté l.. L'algorthme utlsé Das le cas des modèles LOGIT ou POBIT, o motre asémet que la log-vrasemblace l est cocave. β est alors la soluto de l'équato : C'est-à-dre : l β I l 0 β Y F β f β F β F β 0 Modèles Logt et Probt 5

17 Cette soluto est uque das les cas usuels de o-dégéérescece. Doc toute procédure tératve covergete dot l'emplo pour résoudre l'équato dfféretelle est écessare car l'équato est oléare coverge vers βˆ. La procédure employée das la plupart des cas est basée sur l'algorthme de Newto-aphso. Das le cas des GLM, o utlse souvet ue autre procédure, celle de l algorthme de Fsher Fsher scorg. Cet algorthme ressemble à celu de Newto-aphso, la dfférece état que le Fsher scorg utlse l espérace de la matrce des dérvées secodes au leu de la matrce elle-même. Sot β k la k-ème approxmato pour l EMV βˆ. Das la méthode de Newto-aphso, o a : β k + β k H k q k où H est la matrce hessee ayat pour élémets L β élémets ; β j k H et k q sot évaluées e k β β. L β, q est le vecteur des dérvées ayat pour β β h La formule du Fsher scorg s écrt : β k + k k β + I F β q k k où I β est la k-ème approxmato de la matrce d formato de Fsher estmée. Autremet dt, F k L β I F β a pour élémets E, évaluée e β β h k β β. O motre que la méthode du Fsher scorg peut s terpréter comme ue successo de modres carrés, podérés par des pods qu chaget à chaque térato. L estmato de la matrce de varacecovarace est u sous-produt de la méthode. Pour cette raso, l algorthme employé est appelé «modres carrés repodérés tératfs» Iteratvely eweghted Least Squares ou ILS. La procédure employée par la Proc Logstc de SAS utlse cette méthode tératve de modres carrés 0 repodérés. A partr d'ue valeur tale ˆβ, o corrge l'estmato selo ue formule du type : ˆ β β + ˆ + c jusqu'à obter la stablté, e l'occurrece jusqu'au momet où la valeur absolue de la dfférece etre les valeurs calculées pour le logarthme de la vrasemblace à deux étapes successves sot e deçà d'u seul fxé à l'avace. Pour la Proc Logstc, toutefos, o cosdère que les tératos ot covergé lorsque la dfférece maxmale etre les estmateurs des dfférets paramètres est féreure à u seul, par défaut 0-4. Pour plus de détals sur la méthode ILS vor SAS/STAT User's gude, vol.. Pour plus de détals sur la méthode de Newto-aphso, vor AGESTI [990] ou GOUIEOU [989]. 3. Quelques proprétés asymptotques de l'estmateur du maxmum de vrasemblace Sous des hypothèses très géérales, l'estmateur du maxmum de vrasemblace a de boes proprétés. Il est asymptotquemet.e. lorsque I est grad ormal : ˆ asymp. I β β N0, I où I F β désge la matrce d formato de Fsher. La matrce de varace-covarace asymptotque de l estmateur du maxmum de vrasemblace s écrt doc : F β Modèles Logt et Probt 6

18 Modèles Logt et Probt 7 ' ˆ β β β l E V Or, codtoellemet aux, o a : I F F f l E ' ' / β β β β β La matrce de varace-covarace asymptotque codtoelle de βˆ vaut doc : ' ˆ I F F f V β β β β O e obtet u estmateur e calculat la valeur précédete au pot β. Cas partculer du modèle LOGIT Das ce cas, o a : exp w w F + exp exp exp exp exp ' w w w w w w F w f w F w F w f avec : [ ] exp β P Y p + exp log log + Λ I I I Y l β β β I I F Y f F F F Y l β β β β β β et doc la dérvée secode de la log-vrasemblace se smplfe e : I I I p p F F f l ' ' ' ' β β β β β Il e résulte que le Hesse e déped pas des observatos de Y. Il est alors égal à so espérace codtoelle aux. De ce fat, le Fsher scorg et la méthode de Newto-aphso sot équvalets. E partculer, l estmateur de la matrce de varace-covarace de βˆ peut s écrre: ' ˆ ˆ ˆ ˆ I p p Vβ où :

19 pˆ + exp ˆ β représete l estmato de la probablté de chox par exemple de chosr de posséder u be pour l'dvdu de caractérstques dvduelles. Cas partculer du modèle POBIT f est la desté de la lo ormale cetrée rédute et F so tégrale. Modèles Logt et Probt 8

20 VII Les tests. Test de la ullté d'u coeffcet O veut tester la ullté du coeffcet β j, c'est à dre de la j ème composate du vecteur de paramètres β. β j est le coeffcet correspodat à la j ème varable explcatve jème coloe de la matrce. O cosdère la statstque de Studet : ˆ β j Vβ ˆ ˆ j où βˆ j est la j ème composate de l'estmateur Vβˆ ˆ j est le j ème coeffcet de la dagoale de la matrce de varace-covarace estmée de β Vβˆ ˆ j e est l'écart-type estmé stadard devato. O compare habtuellemet cette statstque au seul de sgfcatvté à 5% d'ue lo ormale evro Das la procédure Logstc de SAS, la sgfcatvté de chaque coeffcet β j est testée à partr de la statstque de Wald : W ˆ j β Vˆ ˆ β j sot le carré de la statstque de Studet. Cette statstque sut asymptotquemet ue lo du χ à degré de lberté. l'hypothèse de la ullté de β j est rejetée lorsque la statstque de Wald dépasse u certa seul, evro 4 pour ue sgfcatvté à 5 %.. Test d'ue laso de la forme λ β C I k k k S o ote Vβ la matrce de varace-covarace estmée de l'estmateur β et Q' le vecteur lge,..., λ I λ, o a le résultat asymptotque suvat : Q' ˆ β C asymp. N0, Q' Vˆ ˆ β Q s l'hypothèse Q ' β C est vrae S l'hypothèse alteratve du test est Q' β C, l'hypothèse «ulle» est rejetée s la valeur absolue de la statstque précédete dépasse u certa seul de sgfcatvté. Le cas est be sûr u cas partculer de, lorsque seul λ j est o ul et C 0. Modèles Logt et Probt 9

21 3. Test de la ullté d'u esemble de coeffcets O peut souhater tester la ullté d'u esemble de q coeffcets par exemple tous ceux cocerat les dfféretes varables trodutes pour représeter ue dmeso explcatve cf fra telle que la CSP, ou be le reveu e traches, ou be l'âge ququeal etc.. O peut souhater tester égalemet la ullté de l'esemble des coeffcets. L'hypothèse de la ullté d'u esemble de q coeffcets s'écrt sous la forme Q ' β 0, où Q' est ue matrce dagoale où seuls les coeffcets correspodat aux β j la ullté sot égaux à, les autres états uls. Par exemple, das le cas où: dot o veut tester β β β β 3 et où o veut tester β 0 et β 0, o aura: Q O dspose de pluseurs tests, par exemple : - le test de Wald - le test du rapport de vrasemblace * Test de Wald asymp W Q' ' Q' V Q Q'. β β β χ q W ted asymptotquemet vers u χ à q degrés de lberté. appelos que das le cas d'ue varable catégorelle à p modaltés, comme les CSP, l'ue des modaltés est prse comme veau de référece et so coeffcet est doc ul. La statstque de Wald sur les coeffcets des modaltés qu restet sera doc covergete asymptotquemet vers u χ à p- degrés de lberté. Ic ecore, l'hypothèse «ulle» Q' β 0 sera rejetée lorsque la valeur de la statstque de Wald dépassera u seul crtque. Modèles Logt et Probt 0

22 * Test du rapport de vrasemblace S l désge la log-vrasemblace, β l'estmateur du maxmum de vrasemblace, β 0 maxmum de vrasemblace sous la cotrate Q' β 0 o a : l'estmateur du LT ˆ. ˆ0 asymp l β l β χ q Ic auss, l'hypothèse de ullté smultaée des coeffcets cosdérés dot être rejetée s la valeur de la statstque dépasse u seul crtque. Applcato : chox etre modèles dot l'u est ue verso «rédute» de l'autre. Modèle : les varables explcatves sot,..., p Modèle :,...,, p,..., p+ p+ k Préférer à, c'est accepter l'hypothèse que, das le secod modèle, les k coeffcets β sot uls. Cette hypothèse s'écrt sous la forme Q' β 0 comme o l'a déjà vu. O chosra le modèle s : LT l ˆ β l ˆ β 0,..., β p+ p+ k est supéreur à la valeur crtque au seul de a % du χ à k degrés de lberté. * Atteto : ce type de chox etre modèles dot l'u est ue verso rédute de l'autre se présete e partculer das le cas d'estmatos BACKWAD o retre des varables au modèle selo certas crtères de chox, FOWAD o e ajoute, ou STEPWISE alteratvemet, o retre et o ajoute des varables au modèle. Toutefos, la Proc Logstc de SAS chost etre les modèles e utlsat la statstque du score pour la procédure FOWAD et la statstque de Wald pour la procédure BACKWAD.. La statstque du score est ue forme quadratque costrute à partr du vecteur des dérvées partelles de la log-vrasemblace par rapport au vecteur de paramètres β, et évaluée e β 0 c'est à dre sous l'hypothèse ulle. O a alors : l l S β 0 ' I F β 0 β 0 β β où I F β est la matrce d'formato de Fscher, qu sut asymptotquemet ue lo du χ à k degrés de lberté. O chosra alors le modèle c'est à dre celu qu comporte le plus de varables explcatves lorsque S sera supéreur à la valeur crtque au seul de a % du χ à k degrés de lberté. SAS édte la «p-value» de la statstque S dte auss «statstque du χ résduel», c'est à dre la probablté que sous l'hypothèse ulle modèle la statstque S dépasse la valeur observée. Cette «p-value» dot être fable pour chosr le modèle. 4. Cas plus gééral : test d'ue hypothèse léare de la forme Q ' β C Modèles Logt et Probt

23 où : Q' est ue matrce de coeffcets costats cous de dmeso q x K K ombre de varables das le modèle estmé, y comprs la costate, et C est u vecteur de costates coues, détermées par l'utlsateur. Les q lges de Q sot léaremet dépedates. O vot que les cas tratés précédemmet sot tous des cas partculers de celu-c. O peut c ecore utlser le test de Wald : ou celu du rapport de vrasemblace : asymp W Q' C' Q' V Q Q'. β β βc χ asymp LT l l. β β χ 0 où β 0 est l'estmateur obteu e maxmsat la vrasemblace sous la cotrate Q' β C q q Comme précédemmet, l'hypothèse certa seul. Q ' β C dot être rejetée s la valeur de la statstque dépasse u 5. Tests de la valdté géérale du modèle Exste-t-l des statstques permettat de juger de la boe adéquato du modèle, e jouat u rôle aalogue à celu du classque? Les auteurs e ot proposé pluseurs, souvet crtquables à u ttre ou à u autre. Il est e partculer dffcle d'apporter les correctos adéquates pour comparer des modèles ayat des ombres de degrés de lberté dfférets. Voc celles foures par la Proc Logstc : Le rapport de vrasemblace l'hypothèse ulle état celle où le modèle cotet la seule costate ; la statstque du score ou du χ résduel déjà défe plus haut ; le crtère d'akake AIC log L + K où K est le ombre de paramètres à estmer ; le crtère de Schwartz SC log L + K log I où I est le ombre total d'observatos. Les crtères de Schwartz et d'akake sot utles pour comparer des modèles dfférets portat sur les mêmes doées. O préférera le modèle pour lequel ces statstques ot la valeur la plus fable. D'autres approches permettet d'évaluer la capacté prédctve du modèle : Les prédctos et observatos cocordates O cosdère toutes les pares d'observatos ayat des valeurs observées de Y dfféretes, soet et 0. Parm ces pares, o compte celles pour lesquelles l'observato où Y a ue probablté estmée que Y plus grade que l'observato où Y 0. O dt alors que la pare est cocordate. Elle est dscordate Modèles Logt et Probt

24 lorsque la probablté que Y est plus fable pour l'observato où Y que pour celle où Y 0. Les pares qu e sot cocordates dscordates sot dtes «lées» ted ou «ex-aequo». S I est le ombre total d'observatos, t le ombre de pares ayat des valeurs observées de Y dfféretes, c le ombre de pares cocordates, d le ombre des pares dscordates, t c d le ombre de pares «lées», SAS calcule quatre dces de «corrélato du rag» rak correlato : C c + 0,5 t c d / t Somer's D c d / t Goodma - Kruskal Gamma c d / c + d Kedall's Tau - a /0,5I I c Ces quatre dces sot e quelque sorte des mesures d'assocato etre la probablté prédte et la valeur de la varable explcatve. Cette assocato est d'autat plus forte et o est d'autat plus satsfat que les dces sot élevés, c'est-à-dre proches de. E effet tous ces dces sot crossats lorsque c croît, décrossats lorsque d croît et varet etre les bores suvates : C : etre 0 et Somer's D : etre - et + Gamma : etre - et + Kedall's Tau-a : etre - et + Le cas extrême où l'dce pred la valeur + est celu où la totalté des pares ayat pour u élémet Y 0 et pour l'autre Y sot cocordates c'est-à-dre que la probablté estmée que Y est plus forte pour l'observato telle que Y : la prévso correspod «au meux» à la réalté. les tables de classfcato vor l'opto Ctable Pprob das l'structo Model L dée de base de ces tables est de «prédre» Y par Y de la faço suvate : Y ˆ s la probablté estmée de valor dépasse u certa seul Y ˆ 0 so. SAS fat varer le seul de 0 à et doe, pour chaque valeur, quatre ratos défs comme sut : La «sesblté» sestvty est la proporto de vraes valeurs qu sot prédtes valor. La «spécfcté» specfcty répod à la défto aalogue pour les valeurs 0. Le «taux d'erreur par excès» false postve rate est la proporto de prédctos qu valet e réalté 0. Le «taux d'erreur par défaut» false egatve rate la proporto de prédctos 0 qu valet e réalté. Lorsque le seul est très bas, la prédcto vaut toujours. Le modèle e se trompe jamas pour prédre l évéemet, mas l se trompe toujours pour prédre le o évéemet. La sesblté est de 00, et la spécfcté de 0. Le taux d erreur par excès correspod à la fréquece des observatos pour lesquelles Y 0. A l opposé, lorsque le seul est trop élevé, la prédcto est toujours de 0. La sesblté est ulle, et la spécfcté de 00. Le taux d erreur par défaut correspod alors à la fréquece des observatos pour lesquelles Y. Les seuls comprs etre ces deux extrêmes balaet la plage des stuatos termédares. d Il faut se garder d utlser cette table de classfcato pour juger de la capacté prédctve du modèle. E effet, s le modèle est vra das la populato, quel que sot le seul α chos, l y aura toujours des observatos pour lesquelles F β > α et Y 0. Autremet dt, le crtère mplcte de «bo modèle» qu est derrère les tables de classfcatos, à savor «s le modèle état parfat, tout serat prédt parfatemet» est qu ue lluso. Exemple : supposos la populato composée de deux groupes de 000 dvdus ayat les mêmes mas pas écessaremet les mêmes u, de sorte que certas recouret à la pratque et d autres o. La populato est telle que F β 0. 8 pour les dvdus du premer groupe, et F β 0. pour les dvdus du deuxème groupe. Ce que le modèle dt, c est qu evro 800 persoes du premer groupe et Modèles Logt et Probt 3

25 evro 00 persoes du deuxème groupe aurot Y. Or, la costructo de la CTABLE codut à calculer F ˆ β, qu a la même valeur pour tous les dvdus du même groupe. Quelque sot le seul, la procédure affecte doc la même valeur à tous des dvdus de chaque groupe. Cec est pas cohéret avec l hypothèse aléatore justfat le modèle. Pour formalser cec, otos que s le modèle est vra, le ombre d observatos valat das l échatllo est, sous ce modèle: I { Y } C Ι. C est ue varable aléatore dot o observe la réalsato. So espérace et sa varace sot : E I C F β, V C U estmateur «rasoable» de C serat : I C F β I p p. Or, les quattés décrtes das les tables de classfcato proveet d estmateurs asymptotquemet du I I ~ ~ C Ι F ˆ β > α. Das le cas où / C ˆ Ι β > 0, qu dffère de C. Plus type { }. α, { } gééralemet, et quelque sot α, ce type de valdato de modèle e s applque guère aux problèmes de ature statstque. Il est davatage desté aux applcatos médcales, qu cherchet à cotrôler le veau ou la pussace des tests. Les ODD ATIOS Lors de l estmato des modèles Logt et d eux seulemet, la Proc Logstc fourt à côté de chaque coeffcet ue statstque d ODD ATIO, qu présete certaes proprétés. Celles-c proveet de la gééralsato de pratques à l orge destées à l aalyse de tableaux crosés. Aalyse de tableaux crosés Admettos que l o souhate répodre à la questo : les femmes fot-elles plus de sport que les hommes? Commet décrre l écart etre les deux pratques? O dspose de deux varables : - ue varable explquée Y valat pour les dvdus fasat du sport, 0 pour les autres. - ue varable explcatve, valat 0 pour les hommes et pour les femmes. O suppose que les femmes sot e proporto 54 % das la populato, que 30 % des hommes et 50 % des femmes fot du sport ; la proporto de persoes fasat du sport das la populato est doc de 40,8%. Pour comparer les hommes et les femmes, o déft : a le rsque relatf : Probablté de fare du sport quad o est u homme 30 r 0,6 probablté de fare du sport quad o est ue femme 50 b la dfférece des taux de pratque au se des deux sous-populatos : c les chaces ODDS pour chaque sexe. d50 %-30 %0 pots e faveur des femmes. Modèles Logt et Probt 4

26 Ω Probablté de fare du sport probablté de e pas fare de sport p p Pour se représeter la sgfcato des chaces o peut mager que l o pred u par sur le fat de fare du sport ou pas. S l évéemet «e pas fare de sport» est par hypothèse à la cote, alors «fare du sport» est à la cote ODDS O peut calculer autat de ODDS que de modaltés de la varable explcatve. Pour les hommes Ω H Pour les femmes Ω F Le logarthme de la ème chace est appelé «le ème logt» H ou F c. d Ef, o déft le rapport des chaces ODDS ATIO O H/F Ω Ω H F Ic O H/F S o pred comme catégore de référece les hommes au leu des femmes, le ODDS ATIO est trasformé e so verse. O H/F et doc logo -logo O FH / H/F F/H Le ODDS ATIO a comme proprété d être chagé s l o multple tous les effectfs d ue lge ou d ue coloe par ue costate strctemet postve. Sport Pas de sport total hommes + x C femmes + x D total + + x A x B Le ouveau ODDS ATIO vaut alors : O H/F Ω AC BD H Ω F ADBC E outre, le ODDS ATIO e déped pas des marges : l est robuste par rapport à la représetatvté de l échatllo. Supposos que pour coaître ces chffres, o décde de réalser ue equête. Pour la commodté du rasoemet, o suppose que l o peut detfer exactemet les sportfs et les o sportfs par exemple, o décde qu est sportf celu qu possède ue lcece das u sport, ce qu permet d avor ue base de sodage. O suppose égalemet que les equêtes doet toutes les proportos exactes. Premère equête O tre 5000 persoes das la populato, et o les classe suvat le sexe et la pratque du sport échatlloage bomal Sport Pas de sport total hommes femmes total , fxé Modèles Logt et Probt 5

27 A partr de cette equête, o peut estmer toutes les proportos désrées. Par exemple e lge Sport Pas de sport total hommes 30 % 70 % 00 % femmes 50 % 50 % 00 % total 40,8 % 59, % 00 % O vérfe que tous les dcateurs de dsparté etre hommes et femmes que ous avos cosdérés sot égaux à leur vrae valeur das la populato. Supposos par exemple que otre equête sot mateat meée de la maère suvate : Deuxème equête : O equête 000 sportfs et 000 o sportfs o codtoe l échatlloage sur la varable explquée. Le tableau crosat le sexe et la pratque du sport devet : Sport Pas de sport total hommes femmes fxé fxé 000 A partr de cette equête, o e peut pas estmer correctemet la part des hommes ou des femmes qu fot du sport. O obtedrat : 338 / 8838,3 % pour les hommes 66 / 859, % pour les femmes. O e peut plus estmer correctemet le rsque relatf : r , la dfférece des taux de pratque au se des deux sous-populatos 0,9 pots + les ODDS pour les hommes et les femmes Ω H , 544 E revache, o peut toujours estmer correctemet le ODDS ATIO O. Celu-c est égal à : O H/F Ω H Ω F Le ODDS ATIO est doc adapté à dfférets modes d échatlloage : - l échatlloage bomal celu des equêtes méages à l INSEE, e gééral - celu où o tre dépedammet das les catégores de la varable explcatve appelé «trage bomal dépedat» - celu où o tre dépedammet das les catégores de la varable explquée appelé «étude rétrospectve», terme proveat du vocabulare médcal, car les études de malades adoptet souvet ce mode d échatlloage. 043, Gééralsato à pluseurs varables S l y a pluseurs varables explcatves sexe, trache d âge, CSP, o peut ecore défr les ODDS ATIO, par rapport à ue stuato de référece ue «case» du tableau crosé de toutes les varables explcatves. Par exemple : être u homme, de plus de 40 as, employé. La chace ODDS das la catégore de référece est alors : Modèles Logt et Probt 6

28 Ω ombre de persoes qu fot du sport das cette caté gore ombre de persoes qu e fot pas de sport das cette catégore S mateat o s téresse à ue catégore de la populato par exemple, Femme, de 30 à 40 as, cadre, o peut défr la chace ODDS das cette catégore : Ω ombre de persoes qu fot du sport das cette caté gore ombre de persoes qu e fot pas de sport das cette catégore Ω L ODDS ATIO pour cette catégore est déf par O /, ou, par défto du logt déf, Ω rappelos-le, comme le logarthme de la chace: logo / logtp logtp. Selo les valeurs des probabltés de fare du sport das chaque case du tableau crosé des varables explcatves, logo / peut varer de mos l f à plus l f. O peut soger à le modélser comme ue focto léare des dfféretes varables explcatves: logo / β. apparteace à la trache d'age + β. apparteace à la CSP j + β. apparteace au sexe mascul ou fé m 3 Sous cette forme, les coeffcets e dépedet pas du mode d échatlloage, parm les tros modes evsagés, car l ODDS ATIO est le même das les tros cas. Le modèle s écrt de maère équvalete logtp logtp log p p α + + ODDS ATIO exp p p β p β β C est le prcpe du modèle LOGIT. La trosème formule est celle que l o retrouve e sorte de la Proc Logstc lorsque seul u est o ul. A partr de la formule, seule la costate qu représete le logt de la catégore de référece est affectée par le mode d échatlloage. Pour u exposé théorque complet et tutf sur l aalyse des tableaux crosés et les modélsatos possbles, vor Agrest [990]. Modèles Logt et Probt 7

29 VIII Mse e oeuvre de la procédure LOGISTIC de SAS. Quelques remarques et mses e garde préalables La procédure Logstc, décrte das ce mauel, ajuste des modèles à résdus logstques LOGIT ou ormaux POBIT ou ecore correspodat à la lo de Gompertz vor plus haut. Das la procédure, la varable dépedate dot être sot dchotomque ce qu est le cas traté das cette ote, sot polytomque ordoée. La procédure Probt a sesblemet les mêmes proprétés que la procédure Logstc. Ses foctoaltés, assez rédutes das les premères versos de SAS, sot aujourd hu aalogues. La procédure Probt présete cepedat l avatage, grâce à l ue de ses optos, de pouvor predre e compte des comportemets pour lesquels le taux de saturato das la populato sot féreurs à 00 % pour e savor plus, se référer à la brochure SAS. Les sytaxes état légèremet dfféretes, le chox etre la Proc Logstc et la Proc Probt est d abord affare d habtude. La procédure Catmod trate elle auss les modèles dchotomques et polytomques ordoés. Mas elle est avat tout destée à estmer les modèles polytomques o ordoés, ou les modèles de trasto markoves e temps dscret. De ce fat, elle est plus complexe et les procédures Logstc ou Probt sot vvemet cosellées pour les modèles dchotomques et polytomques ordoés. La procédure Logstc trate les varables explcatves comme s elles étaet cotues. Il covet doc de dchotomser les varables explcatves qualtatves, telles que CSP, sexe, mas auss traches de reveu ou d'âge. La procédure Probt dspese d ue telle opérato, car elle comporte ue opto Class comme la Proc GLM. Mas l usage d ue telle opto terdt de récupérer das u data séparé les estmateurs correspodat aux varables explcatves. E outre, les chox par défaut de l opto Class modalté de référece pouvat être vde ou presque,... sot parfos gêats, et oblget à recourr à des recodfcatos parfos plus lourdes que la fabrcato des varables muettes. Il est mateat utle de formuler quelques remarques géérales cocerat la dchotomsato des varables explcatves qualtatves. La varable explcatve est déjà à deux modaltés, 0 et : o e chage re. O fera fgurer das la lste des varables explcatves et la procédure cosdérera que 0 est la modalté de référece. La varable explcatve est à deux modaltés quelcoques par exemple : 8 et 9. s o chost 8 pour modalté de référece, o fera fgurer das la lste des varables explcatves déf au préalable par : 9 ; La varable explcatve a modaltés preat les valeurs,...,. O utlsera l'structo Array. Exemple : la catégore soco-professoelle est la varable PPCS qu vaut de à 8. O écrra : Array P J PPCS - PPCS8; Do J TO 8; P PPCS J; Ed; Modèles Logt et Probt 8

30 La varable explcatve a + modaltés preat les valeurs 0,,...,. Premère soluto : o recodfe au préalable par + et o se ramèe au cas précédet. Deuxème soluto : preos l'exemple du dplôme de la persoe de référece, DIPLOP, qu vare de 0 à 5. O écrra Array DM DIP0-DIP5 ; Do M To 6 ; D DIPLOP M-; Ed; O veut à la fos dchotomser et regrouper des modaltés. Exemple : le reveu du méage est dqué par la varable EVENU qu pred des valeurs de à 8 8 traches. O veut opérer les regroupemets suvats : O écrra : et, 3 et 4, 5 à 7, 8 EV EVENU! EVENU ; EV EVENU 3! EVENU 4 ; EV3 5 < EVENU < 7 ; EV4 EVENU 8 ; Ne pas oubler qu'l faut ue modalté de référece so Proc Logstc pred la derère. Cette modalté est celle qu est omse das la lste des varables de l'structo Model. La procédure Logstc ajuste le modèle sur la probablté de la modalté la plus fable. S doc vous avez codé : Y 0 je e possède pas u be je le possède SAS modélse la probablté de e pas avor le be. Les coeffcets de la régresso serot postfs pour les modaltés explcatves correspodat à ue plus forte probablté de e pas posséder le be. Les vras coeffcets modélsat la probablté verse sot tout smplemet l opposé des coeffcets obteus. E effet, s o pose Z Y, o a pour le modèle LOGIT: Pr Z 0 Pr Y Pr Z + exp β Y + exp β Z + exp β Z Doc : β Y β Z. ˆ β Y Par le prcpe d varace foctoelle, les estmateurs du MV vérfet auss la relato ˆ β das le cas des modèles LOGIT et POBIT O peut égalemet s e persuader drectemet e Z remarquat que la symétre de la focto F permet d écrre F β F β, de sorte que la logvrasemblace vérfe : I l LI Y, β Y log F β + Y log F β LI I Y, β Modèles Logt et Probt 9

31 Cocrètemet, vous avez la possblté, sot de chager le sge de vos coeffcets lorsque vous doez vos résultats, sot d utlser l opto Descedg de la Proc Logstc, sot ef de recodfer au début du programme : Y je possède le be je e le possède pas C est cette secode soluto qu est présetée das les exemples. L terprétato de la costate Par alleurs, l terprétato de la costate est délcate et écesste de rever sur les fodemets de la méthode. E matère d aalyse des comportemets, o fat habtuellemet l hypothèse que le chox du cosommateur est rég par ue varable latete, qu représete la propeso qu l a à réalser la pratque secto III. C est sur cette propeso que l o postule le modèle léare. De fat, s elle état drectemet observée, o se trouverat das le cas usuel de l aalyse de varace sur varable explquée quattatve. Mas ce que l o observe pratquemet correspod au fat que la propeso dépasse u certa seul. Le cosommateur chost doc de pratquer s sa propeso est au-delà du seul s, de e pas pratquer so : Or, Z > s Y Z a + b + u s l o sole la costate parm les varables explcatves. De ce fat, Z > s a s + b + u > 0 Le modèle as spécfé est doc pas detfable. Seul l écart etre la costate et le seul l est. Il correspod à la varable INTECPT das l estmato, qu est doc dffclemet terprétable e so. Das la lecture des résultats, plus la pratque est rare modalté fréquete, plus le seul est élevé, et doc plus le coeffcet de la varable INTECPT est égatf. Iversemet, plus la pratque est fréquete, plus ce coeffcet est postf. Cette dffculté e pose qu u problème d terprétato de la costate. Elle est sas coséquece lorsque l o cherche à recalculer les probabltés estmées selo les caractérstques dvduelles, et otammet celle qu correspod à la stuato de référece. Das le cas de doées de départ très ombreuses, l est possble de travaller sur ue table crosée au leu de travaller sur la table complète des observatos, e utlsat la sytaxe dte «évéemets/expéreces» evets/trals de la Proc Logstc. E effet, l exhaustvté des statstques Y, N, vor la vrasemblace permet de travaller sur le tableau ssu d ue Proc Summary de la varable explquée, trée selo les varables explcatves. Cela a d térêt que s toutes les varables explcatves sot dscrètes : das ce cas, o a u ombre f et relatvemet lmté de crosemets des varables explcatves, et _FEQ_ est alors prs comme ombre d essas trals SUM est prs comme le ombre d évéemets evets. La procédure toure alors beaucoup plus rapdemet que sur la table des observatos. Modèles Logt et Probt 30

32 . Quelques rappels de sytaxe Pour plus de détals, vor la brochure SAS ttulée SAS/STAT User's Gude volume verso 6. La sytaxe est la suvate : Proc Logstc < optos >; Model Y...</ optos >; By varables; Test équato <, équato, équato >; Output < Out table sas > Weght varable; < mot clé ommot clé om > </Alpha valeur >; structos oblgatores structos facultatves Les partes etre < > sot optoelles. Parm les optos : Data pour précser la table SAS où sot les doées de départ par défaut le derer créé des optos pour modfer les mpressos automatques Outest crée ue table SAS qu cotet les estmateurs déftfs des paramètres et e opto leur covarace estmée. Das le cas d'u modèle dchotomque, les oms des varables das cette table sot les mêmes que ceux des varables explcatves de MODEL plus le om INTECEP pour l'estmateur de la costate. Parm les optos : Lk permet de trater le modèle POBIT Lk Normt est celu lé à la lo de Gompertz Lk Cloglog. Par défaut, Lk Logt. Not ajuste u modèle sas terme costat Selecto pour sélectoer la méthode de costructo du modèle. Par défaut Selecto Noe l'ajustemet se fat sur toutes les varables explcatves dquées. O peut adopter Selecto Backward, Selecto Forward, Selecto Stepwse. D'autres optos précset les mpressos désrées quad Selecto est précsé état de départ, veaux de sgfcatvté désrés pour qu'ue varable sot reteue... Ctable mprme ue table de classfcato vor plus haut, pour dfféretes valeurs du seul défes par SAS. Cette opto par défaut peut être modfée par l'opto Pprob. Dvers dagostcs sur la régresso. E partculer, Iplots doe des graphques représetat pour chaque observato la valeur d'u certa ombre de statstques. Atteto quad vous avez beaucoup d'observatos! Maxter permet de modfer le ombre d'tératos cf fra. Le ombre par défaut est 5. L structo TEST : Cette structo permet de réalser des tests de Wald pour toutes les cotrates léares, e partculer : - la ullté d u coeffcet - la ullté d u esemble de coeffcets - l égalté de deux coeffcets - ue ou pluseurs relatos léares etre coeffcets. As, après ue structo du style : Proc Logstc DataTOTO; Modèles Logt et Probt 3

33 Model Ya-a5 b-b6 c c d-d4; o peut programmer : TEST a0; ou TEST a; test de la ullté du coeffcet de a. TEST a0, a0,a30; test de ullté cojote des coeffcets de a, a et a3. TEST aa4; test d égalté des coeffcets de a et a4 TEST a-*a3d-b4, a54*b3 ; test d u système de relatos léares etre coeffcets 3. Quelques précsos sur les procédures de sélecto pas à pas des varables Procédure FOWAD Cette procédure etre les varables ue à ue das le modèle. O peut partr d u modèle avec costate seulemet c est ce qu est fat par défaut ou spécfer des varables cluses oblgatoremet das le modèle, par les structos STAT et INCLUDE. SAS procède alors à l ade de l algorthme suvat : La procédure LOGISTIC estme d abord les paramètres pour les varables présetes das le modèle. La procédure calcule esute pour chaque varable o présete das le modèle, la statstque du «Khdeux résduel», c est-à-dre la statstque du score pour le test : Ho : modèle compreat toutes les varables etrées jusqu à cette étape. H : modèle compreat toutes les varables etrées jusqu à cette étape plus la varable examée. - S ue de ces statstques est sgfcatve au veau dqué e etrée par SLENTY par défaut, 0.05, la varable pour laquelle la statstque est la plus grade est etrée das le modèle. O revet à l étape d estmato pour le modèle augmeté. - So, la procédure est termée, et le modèle reteu est celu de la derère étape. Exemple de mse e oeuvre avec comme varable de départ la seule costate. O otera que la procédure fourt dfférets tests rapport de vrasemblace,..., mas que le seul utlsé pour reter les varables est le tests du score etre la costate et les varables à trodure 3 et 7 das l exemple : Forward Selecto Procedure Step 0. Itercept etered: esdual Ch-Square wth 9 DF p0.000 Test du score pour cotre Ho : modèle avec la costate seule H : modèle avec toutes les varables explcatves 9 degrés de lberté Step. Varable POP etered: Model Fttg Iformato ad Testg Global Null Hypothess BETA0 Itercept Itercept ad Crtero Oly Covarates Ch-Square for Covarates AIC SC LOG L wth DF p0.000 Score wth DF p esdual Ch-Square wth 8 DF p Modèles Logt et Probt 3

34 Test du rapport de vrasemblace pour Ho : modèle avec la costate seule cotre H : modèle avec la costate et la varable POP degré de lberté 3 Test du score pour les mêmes hypothèses 4 Test du score pour cotre Ho : modèle avec la costate et la varable POP H : modèle avec toutes les varables explcatves. S Ho est vrae, la statstque du score dot suvre asymptotquemet u Kh-deux à 9-8 degrés de lberté Step. Varable IAAT9 etered: Model Fttg Iformato ad Testg Global Null Hypothess BETA0 Itercept Itercept ad Crtero Oly Covarates Ch-Square for Covarates AIC SC LOG L wth DF p Score wth DF p esdual Ch-Square wth 7 DF p Test du rapport de vrasemblace pour Ho : modèle avec la costate seule cotre H : modèle avec la costate et les varables POP et IAAT9 degrés de lberté. C est u test de sgfcatvté des deux varables prses e même temps. 6 Test du score pour les mêmes hypothèses 7 Test du score pour cotre Ho : modèle avec la costate et les varables POP et IAAT9 H : modèle avec toutes les varables explcatves. S Ho est vrae, la statstque du score dot suvre asymptotquemet u Kh-deux à 9-7 degrés de lberté ETC. la séquece se poursut jusqu à ce qu o e trouve plus de varable au seul de sgfcatvté doé das la procédure c, 0.0. SAS dque alors cec : NOTE: No addtoal varables met the 0.0 sgfcace level for etry to the model. Modèles Logt et Probt 33

35 Summary of Forward Selecto Procedure Step Varable Etered Number I Score Ch-Square 8 Pr > Ch-Square POP IAAT CONF SUPEUP CONF CONF AUTE UC IAAT IAAT UC TU UC UC UC INDIVID IAAT IAAT IAAT IAAT IAAT TU Les statstques du score dquées das le tableau e correspodet pas sauf la premère à celles apparues das les étapes précédetes, car elles e correspodet pas aux mêmes hypothèses ulles et alteratves. Pour la même raso, les scores e sot pas systématquemet décrossats das le tableau. 8 Test du score pour Ho : modèle avec la costate et les varables retrées jusqu à l étape précédete cotre H : modèle avec la costate et les varables retrées jusqu à l étape courate. S Ho état vrae, la statstque du score aurat dû suvre asymptotquemet u Kh-deux à degré de lberté. La POC LOGISTIC se base sur ces statstques pour reter les varables. La valeur crtque au seul retré c % est de 6,63. Pour toutes les varables reteues, la statstque du score dépasse cette valeur. Procédure BACKWAD Cette procédure part du modèle complet ou du modèle compreat les varables spécfées das l structo STAT ou INCLUDE et élme les varables à du modèle. Par défaut, le modèle de départ est le modèle complet. SAS procède alors à l ade de l algorthme suvat : La procédure LOGISTIC estme les paramètres pour les varables ecore présetes das le modèle. O passe e. - S toutes les varables sot sgfcatves dvduellemet au ses du test de Wald, au veau dqué par SLSTAY par défaut, 0.05, la procédure s arrête. - S ue des varables est pas sgfcatve dvduellemet, la mos sgfcatve est élmée du modèle. O passe e. Le test de suppresso des varables est doc pas le même que pour la procédure FOWAD. De même, l y a aucue raso pour que les varables elevées fe soet exactemet celles qu e sot pas sgfcatves das le modèle complet, pusque les statstques de Wald qu etret e jeu sot celles du modèle de l étape courate. vor fra le tableau de comparaso des effets des dfféretes procédures. Modèles Logt et Probt 34

36 Backward Elmato Procedure Step 0. The followg varables were etered: INTECPT TU0 TU TU4 TU8 INDIVID POP AUTE IAAT IAAT IAAT3 IAAT4 IAAT5 IAAT7 IAAT8 IAAT9 UC UC UC3 UC4 UC6 UC7 UC8 UC9 UC0 SUPEUP SOUPEUP CONF CONF CONF3 Step. Varable SOUPEUP s removed: Model Fttg Iformato ad Testg Global Null Hypothess BETA0 Itercept Itercept ad Crtero Oly Covarates Ch-Square for Covarates AIC SC LOG L wth 8 DF p0.000 Score wth 8 DF p0.000 esdual Ch-Square wth DF p Test du score pour Ho : modèle avec la costate et toutes les varables sauf SOUPEUP cotre H : modèle avec toutes les varables explcatves. S Ho est vrae, la statstque du score dot suvre asymptotquemet u Kh-deux à degré de lberté. Ic, la valeur a 43,76 % de chace d être dépassée. O accepte doc la valdté de Ho au seul de %. ATTENTION : ce est pas ce test qu est utlsé par SAS das la procédure BACKWAD. Ce test est seulemet u moye de cotrôle!.... Step 5. Varable TU0 s removed: esdual Ch-Square wth 5 DF p0.070 NOTE: No addtoal varables met the 0.0 sgfcace level for removal from the model. Summary of Backward Elmato Procedure Varable Number Wald Pr > Step emoved I Ch-Square Ch-Square SOUPEUP UC TU TU TU Valeur de la statstque de Wald pour la varable elevée, das le modèle de l étape courate. C est le crtère d élmato utlsé par SAS. Modèles Logt et Probt 35